1.3用反比例函数解决问题提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上《用反比例函数解决问题》提优特训A·B卷，通过基础过关与强化提优分层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养数学建模、逻辑推理与直观想象素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|反比例函数模型建立、工程/行程/几何基础应用、基本运算与取值范围|以选择填空夯实概念，解答题聚焦“审设求解答”五步流程，如工程问题运输趟数计算| |B卷强化提优|跨学科（压强/杠杆）应用、函数图像综合分析、实际优化问题|结合物理情境（如杠杆平衡）、图表数据探究，如近视眼镜度数与焦距关系分析，提升综合建模能力|

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第一章反比例函数第三节用反比例函数解决问题》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.数学建模 ： 能够从工程、行程、几何、跨学科（压强、杠杆）真实情境中识别乘积为定值的数量关系，建立反比例函数数学模型，掌握实际应用题完整解题流程，体会函数解决现实问题的价值。 2.逻辑推理 ： 能区分题目中的常量、自变量、因变量；结合反比例函数增减性分析实际问题，求解 “ 至少、至多 ” 类取值范围；根据现实条件对计算结果做合理取整（进一法、去尾法），推理自变量的实际约束范围。 3.数学运算 ： 熟练运用待定系数法求实际情境下反比例函数解析式；会代入求值，会结合不等式求解变量取值；能够处理含整数限制的实际运算，规范书写应用题步骤。 4.直观想象 ： 理解实际问题中反比例函数图像往往只是第一象限内的一段曲线，不是完整双曲线；借助图像直观理解变量此增彼减的变化趋势，实现解析式、表格、图像三者互相转化。 ) 二．知识梳理 ( （一） 反比例函数解决实际问题的本质 当实际问题中两个变量的乘积是一个固定不变的正数k，即xy=k(k>0)，则y是x的反比例函数，解析式写成y= (k>0)。现实中定值k常见含义： 1.   工程问题：总工作量； 2.   行程问题：总路程； 3.   几何问题：固定面积、固定体积； 4.   物理情境：压力（压强）、阻力 × 阻力臂（杠杆）。 注意：实际应用题，k一般是正数，图像只用到第一象限。 （二） 标准解题五步流程（审 → 设 → 求 → 解 → 答） 1.审题：读题找出不变的总量，分清自变量、因变量，判断是否满足乘积为定值； 2.设解析式：设y= ； 3.求参数k：把题目给出一组x、y代入，计算得到k，写出完整解析式； 4.求解问题：代入数值计算，或者结合增减性、不等式求变量取值范围、最值； 5.作答：必须标注自变量实际取值范围，人数、设备等结果要按现实要求取整数（进一法、去尾法）。 （三） 四大高频应用场景 1.工程问题 总工作量固定：工作总量=工作效率 × 工作时间。效率越大，完成时间越短。 2.行程问题 总路程固定：路程=速度 × 时间。速度越大，用时越少。 3.几何问题 矩形面积一定：面积=长 × 宽；长方体体积一定：体积=底面积 × 高。 4. 物理跨学科问题 ① 压强：压力一定，p= ，压强与受力面积成反比例； ② 杠杆平衡：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，乘积为定值，动力越大，动力臂可以越短。 ) ( （四） 自变量取值范围（本节最大易错点） 1.   数学上反比例函数x ≠ 0；但实际问题中时间、长度、面积、人数都是正数，所以一般x>0。 2.   如果代表人数、机器台数，自变量不仅大于0，还必须取正整数。 3.   题干给出额外限制条件（如速度不能超过某值、工期不能超过若干天），自变量还要叠加该不等式约束。 4.   实际对应的函数图像，只是双曲线第一象限内的一部分曲线，不是完整两支。 （五） 增减性在实际问题中的运用 实际应用中k>0，在x>0范围内：y随x的增大而减小。含义：一个量变大，另一个量必然变小；常用于 “ 至少、至多 ” 类问题。例：总路程固定，速度越大，时间越少；想要时间尽可能短，速度就要尽可能大。 （六） 结果取整规则 1.进一法：求 “ 至少需要多少人、多少台设备 ” ，计算出现小数，无论小数部分多少，整数部分加1。 2.去尾法：求 “ 最多可以做多少件、多少套 ” ，小数部分直接舍去，只保留整数部分。 （七） 高频易错汇总 1.求出解析式后，漏掉自变量实际取值范围，考试会扣分； 2.应用题算出来小数，没有结合现实取整； 3.找错不变量，把变化的量当成定值k； 4.套用完整双曲线性质，忽略实际只有第一象限图像； 5.混淆 “ 至少 ”“ 至多 ” ，搞反增减变化关系。 （八） 常考题型 1.工程/行程：总工作量/总路程k不变，时间t= （速度越快，用时越少）； 例 .一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度 y （单位：吨/天）与卸货天数 t 是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求 y 与 t 之间的函数解析式； （2）南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 2. 利用反比例函数解决光电学问题 例 .某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流 I （A）与电阻 R （ ）的关系图象，该图象经过点 ． （1）求 I 与 R 之间的函数表达式； （2）当 时，求 I 的取值范围． ) ( 3. 利用反比例函数解决面（体）积问题 例 .世界的面食之根就在山西．山西面食，不仅是中华民族饮食文化中的重要组成部分，也是世界饮食文化中的一朵奇葩．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度 是面条横截面面积 的反比例函数，其图象经过 ， 两点（如图）． （1）求 与 之间的函数表达式； （2）求 的值，并解释它的实际意义； （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过 ，求这根面条的总长度至少有多长． 4 、利用反比例函数解决力学问题 例 .如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来．在中点 O 的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点 O 右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点 O 的距离 L （单位：cm）及弹簧秤的示数 F （单位： N ）满足 若弹簧秤的示数 F 不超过 ，则 L 的值至少为          cm． 5. 反比例函数与一次函数相结合的实际应用 例 .心理学研究发现，一般情况下，在一节 分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数 随时间 （分钟）的变化规律如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 为反比例函数图象的一部分． （1）求 所在的反比例函数的解析式； （2）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排 分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于 ，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）总工作量固定，工作效率x与工作时间y的函数关系是（ ） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 2.（2025·苏州吴中期末）矩形面积为30，长为x，宽为y，下列说法正确的是（ ） A.y=(x<0) B.y=(x>0) C.y=30x(x>0) D.y=30-x(x>0) 3.（2025·泰州姜堰期末）压力F=200N保持不变，压强p=，当受力面积S增大时，压强p会（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增大后减小 4.（2026·南京鼓楼一模）某工程总量固定，函数y=，y代表天数，x代表工人数量，则自变量x可取（ ） A.-2 B.0.5 C.4 D.-5 5.（2025·连云港海州区九上期末）路程固定，行驶速度v与时间t成反比例，下列关系式正确的是（ ） A. v=kt B. vt=k C. v= D. v+t=k 6.（2026·常州武进区一模）采购文具总金额60元，单价x元，购买数量y件，下列说法正确的是（ ） A.y随x增大而增大 B. xy=60 C.解析式y=60x D.单价10元，可买5件 7.（2025·镇江丹徒区九上期末）杠杆平衡：阻力×阻力臂=定值，阻力10N，阻力臂0.6m，动力 F 与动力臂 L 反比例，若动力臂扩大3倍，动力（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小为 C. 不变 D. 扩大6倍 8.（2025·盐城阜宁县九上期末）压力不变时，压强 p(Pa)与受力面积 S(m2)成反比例，若 S=0.2m2 时， p=500Pa，则p与S的函数解析式为（ ） A. p=100S B. p= C. p=2500S D.p= 9.（2026·苏州昆山市一模）一批货物总重120吨，货车运货时间y（小时）与每车运载量x（吨/小时）成反比例，下列说法错误的是（ ） A. 解析式 y=(x>0) B. x越大，y越小 C. 若运载量扩大2倍，时间扩大2倍 D. 运载量为30吨/小时，用时4小时 10.（2025·扬州邗江区九上期末）矩形面积固定为36，长为x，宽为y，当 4≤x≤9 时，y的取值范围是（ ） A. 4≤y≤9 B. 9≤y≤36 C. 4≤y≤36 D. 1≤y≤9 二．填空题（共30分） 11.（2025·扬州邗江期末）要完成总工作量480，工作效率为x，工作时间y的函数关系式________。 12.（2025·镇江丹徒期末）体积一定的长方体，底面积S=20cm2，高h=6cm，则S关于h解析式________。 13.（2026·常州新北一模）杠杆平衡，阻力×阻力臂=60，动力为F，动力臂为L，则F=__。 14.（2025·徐州铜山期末）总路程240千米，行驶时间t=3h，行驶速度v=______。 15.（2025·连云港海州期末）一批货物总量固定，人手越多，完成时间越______。 16.某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为，当时，的值为       ． 17.面积为的一个三角形，它的底边随着这边上的高的变化而变化．则与之间的关系式为          ． 18．如图，点是正比例函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的交点，交轴于点，且的面积为2，则的值是_______． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，取线段的中点，连结并延长交轴于点，则的面积为_____． 20.某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为      小时. 三．解答题（共60分） 21.（2025·盐城东台市九上期末）农场运送粮食，总重量240吨，货车每趟运载量x吨，运输总趟数y。 (1) 求y关于x的反比例函数解析式； (2) 若每车每次运12吨，一共需要运多少趟？ (3) 要求运输趟数不超过20趟，每车至少运多少吨？ 22.（2026·苏州吴中区一模）恒温下密闭容器气体，体积 V(m3) ，气压 p(kPa) ，成反比例，已知 V=5 时，p=40 。 (1) 求p与V的函数关系式； (2) 若气压不得超过100 kPa，求气体体积最小值； (3) 若体积控制在 2≤V≤10 ，求气压取值范围。 23. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 （1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（x，y）的对应点 （2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 24. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“新冠肺炎”疫情反弹，对教室定期进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？ 25.某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 26. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走． （1）假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ （3）在（2）的条件下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 27．如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A(m，－2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)若双曲线上的点C(2，n)沿OA方向向下平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州姑苏二模）某工厂加工一批零件，总数一定，下列说法错误的是（ ） A.效率提高，加工时间缩短 B.解析式一般只取第一象限图像 C.时间可以取负数 D.效率与时间成反比例 2.（2026·南通崇川二模）总工程量为240，y=，y代表天数，若要求工期不超过15天，则x应满足（ ） A.x≥16 B.x≤16 C.x>240 D.x<240 3.（2025·无锡江阴期末）制作一批礼盒，材料总量固定，下列属于反比例模型的是（ ） A.礼盒单价和总售价 B.单个礼盒用料和可以制作礼盒数量 C.礼盒边长与周长 D.礼盒边长与面积 4.（2026·盐城盐都二模）杠杆平衡，阻力×阻力臂=48，若动力臂扩大2倍，则动力（ ） A.扩大2倍 B.缩小为原来 C.不变 D.扩大4倍 5.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6.农大毕业的小王回乡自主创业，在大棚中栽培新品种的蘑菇，该种蘑菇在的条件下生长最快，每天只开启一次，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度（时）变化的函数图象，其中段是函数，若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（   ） A.18小时 B.小时 C.12小时 D.10小时 7.物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当时，由此可知、“人造自由百变泥”的密度是（    ） A. B. C. D. 8.为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 9．如图，反比例函数y＝(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6，则k的值为 ( ) A．1 　 B．2 　 C．3 　 D．4 10.如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离 观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表： 下列说法不正确的是（    ） A.弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图 B.y与x的函数关系式为 C.当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D.随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 二．填空题（共30分） 11.（2026·镇江京口二模）某河道清淤总量960立方米，每日清淤量m立方米，所需天数n=________。 12.（2025·常州武进期末）一定体积的密闭容器，pV=120，p压强，V体积，当V≥4，则p取值范围________。 13.（2026·徐州云龙二模）运输一批农产品，总吨数固定，车辆越多，每辆车装载吨数越______。 14.（2025·连云港连云期末）矩形面积是60，若宽不大于4，则长的取值范围________。 15.（2026·淮安淮阴二模）完成一项工程，y=，若最多用时21天，则工作效率至少为______。 16.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化，已知密度ρ是体积V的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当ρ=3.3kg/m3时，相应的体积V是      m3． 17.验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了      度． 18.如图，圆柱形量筒的容积为（），若底面积为，则量筒的高与的函数关系为      ． 19.小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为      字/min． 20.如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为         cm． 三．解答题（共60分） 21.学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 22.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）这个反比例函数的解析式是 　     （）． （2）若使用时电阻，则电流I是 　   　 （3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 23.如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： （1）根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值； （2）将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 24.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求y与x（）的函数表达式； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 25.用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，寄宿生小红和小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）．如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克． (1)请帮助小红和小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x之间的函数关系式 (2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡？为什么？ 26．阅读理解： 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”，如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”． (1)已知点A的坐标为 ①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为____________． ②若点C在直线上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点M的坐标为，点N的坐标为，若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围． 27.项目化学习 【项目主题】：探究杠杆平衡条件. 【项目步骤】：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 【试验数据】： 【问题解决】：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？______．（填写“添加”或“减少”） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第一章反比例函数第三节用反比例函数解决问题》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.数学建模 ： 能够从工程、行程、几何、跨学科（压强、杠杆）真实情境中识别乘积为定值的数量关系，建立反比例函数数学模型，掌握实际应用题完整解题流程，体会函数解决现实问题的价值。 2.逻辑推理 ： 能区分题目中的常量、自变量、因变量；结合反比例函数增减性分析实际问题，求解 “ 至少、至多 ” 类取值范围；根据现实条件对计算结果做合理取整（进一法、去尾法），推理自变量的实际约束范围。 3.数学运算 ： 熟练运用待定系数法求实际情境下反比例函数解析式；会代入求值，会结合不等式求解变量取值；能够处理含整数限制的实际运算，规范书写应用题步骤。 4.直观想象 ： 理解实际问题中反比例函数图像往往只是第一象限内的一段曲线，不是完整双曲线；借助图像直观理解变量此增彼减的变化趋势，实现解析式、表格、图像三者互相转化。 ) 二．知识梳理 ( （一） 反比例函数解决实际问题的本质 当实际问题中两个变量的乘积是一个固定不变的正数k，即xy=k(k>0)，则y是x的反比例函数，解析式写成y= (k>0)。现实中定值k常见含义： 1.   工程问题：总工作量； 2.   行程问题：总路程； 3.   几何问题：固定面积、固定体积； 4.   物理情境：压力（压强）、阻力 × 阻力臂（杠杆）。 注意：实际应用题，k一般是正数，图像只用到第一象限。 （二） 标准解题五步流程（审 → 设 → 求 → 解 → 答） 1.审题：读题找出不变的总量，分清自变量、因变量，判断是否满足乘积为定值； 2.设解析式：设y= ； 3.求参数k：把题目给出一组x、y代入，计算得到k，写出完整解析式； 4.求解问题：代入数值计算，或者结合增减性、不等式求变量取值范围、最值； 5.作答：必须标注自变量实际取值范围，人数、设备等结果要按现实要求取整数（进一法、去尾法）。 （三） 四大高频应用场景 1.工程问题 总工作量固定：工作总量=工作效率 × 工作时间。效率越大，完成时间越短。 2.行程问题 总路程固定：路程=速度 × 时间。速度越大，用时越少。 3.几何问题 矩形面积一定：面积=长 × 宽；长方体体积一定：体积=底面积 × 高。 4. 物理跨学科问题 ① 压强：压力一定，p= ，压强与受力面积成反比例； ② 杠杆平衡：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂，乘积为定值，动力越大，动力臂可以越短。 ) ( （四） 自变量取值范围（本节最大易错点） 1.   数学上反比例函数x ≠ 0；但实际问题中时间、长度、面积、人数都是正数，所以一般x>0。 2.   如果代表人数、机器台数，自变量不仅大于0，还必须取正整数。 3.   题干给出额外限制条件（如速度不能超过某值、工期不能超过若干天），自变量还要叠加该不等式约束。 4.   实际对应的函数图像，只是双曲线第一象限内的一部分曲线，不是完整两支。 （五） 增减性在实际问题中的运用 实际应用中k>0，在x>0范围内：y随x的增大而减小。含义：一个量变大，另一个量必然变小；常用于 “ 至少、至多 ” 类问题。例：总路程固定，速度越大，时间越少；想要时间尽可能短，速度就要尽可能大。 （六） 结果取整规则 1.进一法：求 “ 至少需要多少人、多少台设备 ” ，计算出现小数，无论小数部分多少，整数部分加1。 2.去尾法：求 “ 最多可以做多少件、多少套 ” ，小数部分直接舍去，只保留整数部分。 （七） 高频易错汇总 1.求出解析式后，漏掉自变量实际取值范围，考试会扣分； 2.应用题算出来小数，没有结合现实取整； 3.找错不变量，把变化的量当成定值k； 4.套用完整双曲线性质，忽略实际只有第一象限图像； 5.混淆 “ 至少 ”“ 至多 ” ，搞反增减变化关系。 （八） 常考题型 1.工程/行程：总工作量/总路程k不变，时间t= （速度越快，用时越少）； 例 .一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度 y （单位：吨/天）与卸货天数 t 是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求 y 与 t 之间的函数解析式； （2）南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 解：（1） 与 是反比例函数关系， 设 ， 图象过点 ， ， 与 之间的函数解析式为： . （2）当 时， ， 当 时， 随 的增大而减小， 当 时， ，答：平均每天至少要卸载48吨． 2. 利用反比例函数解决光电学问题 例 .某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流 I （A）与电阻 R （ ）的关系图象，该图象经过点 ． ) ( （1）求 I 与 R 之间的函数表达式； （2）当 时，求 I 的取值范围． 解：（1）设 I 与 R 之间的函数表达式： ， 图象经过点 ， ，解得： ， I 与 R 之间的函数表达式： . （2）当 时， ，当 时， ， 当 时，求 I 的取值范围 ． 3. 利用反比例函数解决面（体）积问题 例 .世界的面食之根就在山西．山西面食，不仅是中华民族饮食文化中的重要组成部分，也是世界饮食文化中的一朵奇葩．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度 是面条横截面面积 的反比例函数，其图象经过 ， 两点（如图）． （1）求 与 之间的函数表达式； （2）求 的值，并解释它的实际意义； （3）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过 ，求这根面条的总长度至少有多长． 解：（1）设 与 之间的函数表达式为： ，将 代入可得： ， 与 之间的函数表达式为 . （2） 点 在反比例函数 上， ，解得： ， ，且其表示的实际意义为面条的总长度为 时，其横截面积为 . （3）当 时， ， ， 随 增大而减小， 当厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过 时，这根面条的总长度至少为 ． 4 、利用反比例函数解决力学问题 例 .如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来．在中点 O 的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点 O 右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点 O 的距离 L （单位：cm）及弹簧秤的示数 F （单位： N ）满足 若弹簧秤的示数 F 不超过 ，则 L 的值至少为          cm． ) ( 【答案】 35 【解析】 根据题意， ，∴弹簧秤的示数 F 关于 L 的函数解析式为 ，且该函数图像在第一象限， F 随 L 的增大而减小，当 时，可有 ，∵ L 越大，弹簧秤的示数 F 越小，∴当 时， ，即弹簧秤的示数 F 不超过 ，则 L 的值至少为35cm． 5. 反比例函数与一次函数相结合的实际应用 例 .心理学研究发现，一般情况下，在一节 分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数 随时间 （分钟）的变化规律如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 为反比例函数图象的一部分． （1）求 所在的反比例函数的解析式； （2）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排 分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于 ，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 解：（1）由题意，设 所在反比例函数的解析式为 ，∵点 的坐标为 ，∴ ，∴ . （2）老师安排不合理，理由：由题意，设 ，∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，令 ，解得： ， 令 ，∴ ，∵ ，∴老师安排不合理． )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）总工作量固定，工作效率x与工作时间y的函数关系是（ ） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 【答案】：B 【解析】：工作总量=效率×时间，总量定值，xy=k(k>0)，属于反比例函数。 2.（2025·苏州吴中期末）矩形面积为30，长为x，宽为y，下列说法正确的是（ ） A.y=(x<0) B.y=(x>0) C.y=30x(x>0) D.y=30-x(x>0) 【答案】：B 【解析】：长宽均为正数，xy=30，y=，x>0。 3.（2025·泰州姜堰期末）压力F=200N保持不变，压强p=，当受力面积S增大时，压强p会（ ） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增大后减小 【答案】：B 【解析】：k=200>0，S>0，p随S增大而减小。 4.（2026·南京鼓楼一模）某工程总量固定，函数y=，y代表天数，x代表工人数量，则自变量x可取（ ） A.-2 B.0.5 C.4 D.-5 【答案】：C 【解析】：工人数量为正整数，只有4符合实际意义。 5.（2025·连云港海州区九上期末）路程固定，行驶速度v与时间t成反比例，下列关系式正确的是（ ） A. v=kt B. vt=k C. v= D. v+t=k 【答案】：B 【解析】：路程=速度×时间，定值乘积， vt=k 。 6.（2026·常州武进区一模）采购文具总金额60元，单价x元，购买数量y件，下列说法正确的是（ ） A.y随x增大而增大 B. xy=60 C.解析式y=60x D.单价10元，可买5件 【答案】：B 【解析】：总价=单价×数量，xy=60；x 增大 y 减小，单价10元可买6件。 7.（2025·镇江丹徒区九上期末）杠杆平衡：阻力×阻力臂=定值，阻力10N，阻力臂0.6m，动力 F 与动力臂 L 反比例，若动力臂扩大3倍，动力（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小为 C. 不变 D. 扩大6倍 【答案】：B 【解析】： FL=10×0.6=6 ，乘积定值，L 扩大3倍，F 缩小为。 8.（2025·盐城阜宁县九上期末）压力不变时，压强 p(Pa)与受力面积 S(m2)成反比例，若 S=0.2m2 时， p=500Pa，则p与S的函数解析式为（ ） A. p=100S B. p= C. p=2500S D.p= 【答案】：B 【解析】：压力 F=pS=0.2×500=100 ， p=。 9.（2026·苏州昆山市一模）一批货物总重120吨，货车运货时间 y （小时）与每车运载量 x （吨/小时）成反比例，下列说法错误的是（ ） A. 解析式 y=(x>0) B. x越大，y越小 C. 若运载量扩大2倍，时间扩大2倍 D. 运载量为30吨/小时，用时4小时 【答案】：C 【解析】： xy=120 ，x扩大2倍，y缩小为原来，C错误。 10.（2025·扬州邗江区九上期末）矩形面积固定为36，长为x，宽为y，当 4≤x≤9 时，y的取值范围是（ ） A. 4≤y≤9 B. 9≤y≤36 C. 4≤y≤36 D. 1≤y≤9 【答案】：A 【解析】： y= ，k=36>0 ，x增大y减小；x=4,y=9 ；x=9,y=4 ，故4≤y≤9 二．填空题（共30分） 11.（2025·扬州邗江期末）要完成总工作量480，工作效率为x，工作时间y的函数关系式________。 【答案】：y=(x>0) 【解析】：效率×时间=总工作量，实际效率大于0。 12.（2025·镇江丹徒期末）体积一定的长方体，底面积S=20cm2，高h=6cm，则S关于h解析式________。 【答案】：S=(h>0) 【解析】：V=20×6=120，S×h=120。 13.（2026·常州新北一模）杠杆平衡，阻力×阻力臂=60，动力为F，动力臂为L，则F=__。 【答案】：F=(L>0) 【解析】：杠杆平衡条件，乘积为定值，长度大于0。 14.（2025·徐州铜山期末）总路程240千米，行驶时间t=3h，行驶速度v=______。 【答案】：80km/h 【解析】：v==80。 15.（2025·连云港海州期末）一批货物总量固定，人手越多，完成时间越______。 【答案】：短 【解析】：k>0，x>0，自变量增大，函数值减小。 16.某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为，当时，的值为       ． 【答案】4 【解析】∵，∴. 17.面积为的一个三角形，它的底边随着这边上的高的变化而变化．则与之间的关系式为          ． 【答案】 【解析】由题意可得，∴. 18．如图，点是正比例函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的交点，交轴于点，且的面积为2，则的值是_______． 【答案】-2 【解析】过P作PC⊥OA于点C，∵P点在y=-x上，∴∠POA=45°，又PA⊥PO，∴△POA为等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于C，则S△POC=S△PCA=，∴S△POA==2，∴k=-2，故答案为：-2． 19．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，取线段的中点，连结并延长交轴于点，则的面积为_____． 【答案】9 【解析】∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴S矩形APBO=9，∵C点为OB的中点，∴OC=BC，在△PBC和△DOC中，∴△PBC≌△DOC，∴S△PBC=S△DOC，∴S△APD=S矩形APBO=9．故答案为9． 20.某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为      小时. 【答案】4.8 【解析】由题意可得：当时，，当时，函数关系式为， 将代入可得：，所以与的函数关系式为；当时，函数关系式为，将代入可得：，所以与的函数关系式是：；当时，将代入可得：，解得：；当时，将代入可得：，解得：．（小时），所以成年人服药一次有效的时间是小时． 三．解答题（共60分） 21.（2025·盐城东台市九上期末）农场运送粮食，总重量240吨，货车每趟运载量x吨，运输总趟数y。 (1) 求y关于x的反比例函数解析式； (2) 若每车每次运12吨，一共需要运多少趟？ (3) 要求运输趟数不超过20趟，每车至少运多少吨？ 解：(1)xy=240 ⇒ y=(x>0) ； (2) x=12 ，y==20 ，需20趟； (3) y≤20 ⇒ ≤20 ⇒ x≥12 ，至少运12吨。 22.（2026·苏州吴中区一模）恒温下密闭容器气体，体积 V(m3) ，气压 p(kPa) ，成反比例，已知 V=5 时，p=40 。 (1) 求p与V的函数关系式； (2) 若气压不得超过100 kPa，求气体体积最小值； (3) 若体积控制在 2≤V≤10 ，求气压取值范围。 解：(1) k=5×40=200 ， p=(V>0) ； (2) p≤100 ⇒≤100 ⇒ V≥2 ，最小体积2 m³； (3) k>0 ，V=2,p=100 ； V=10,p=20 ，气压范围 20≤ p≤100 。 23. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x（元/个） 3 4 5 6 y（个） 20 15 12 10 （1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（x，y）的对应点 （2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 解：（1）如图所示： （2）反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为y=； （3）∵W=（x-2）y=60-，又∵x≤10，∴当x=10，W最大，故当日销售单价x定10元时，才能获得最大日销售利润． 24. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“新冠肺炎”疫情反弹，对教室定期进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？ 解：（1）根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）发反比例，把点（25,6）代入y=得k=25×6=150，∴y=（x≥15）， （2）把y=2代入y=，解得x=75，∴从消毒开始，师生至少在75分钟内不能进入教室． 25.某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 解：（1）由题意知：xy=36，故（≤x≤） （2）根据题意得：解得：x=0.3经检验：是原方程的根1.5x=0.45 答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤． 26. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走． （1）假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ （3）在（2）的条件下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：（1）∵xy＝1200，∴y＝； （2）x＝12×5＝60，将x＝60代入y＝，得y＝＝20，答：5辆这样的拖拉机要用20天才能运完； （3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60＝720（米3），剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，则每天至少运720÷6＝120（米3），则需要拖拉机120÷12＝10（辆），10－5＝5（辆），即至少需要增加5辆这样的拖拉机才能按时完成任务． 27．如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A(m，－2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围； (3)若双曲线上的点C(2，n)沿OA方向向下平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论． 解：(1)设反比例函数的表达式为y＝(k＞0)，∵A(m，－2)在y＝2x上，∴－2＝2m， ∴m＝－1，∴A(－1，－2)．又∵点A在y＝上，∴k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝. (2) －1＜x＜0或x＞1. (3)四边形OABC是菱形．证明：∵A(－1，－2)，∴OA＝＝，由题意，得CB∥OA且CB＝，∴CB＝OA，∴四边形OABC是平行四边形．∵C(2，n)在y＝上，∴n＝1，∴C(2，1)，∴OC＝＝，∴OC＝OA，∴四边形OABC是菱形． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州姑苏二模）某工厂加工一批零件，总数一定，下列说法错误的是（ ） A.效率提高，加工时间缩短 B.解析式一般只取第一象限图像 C.时间可以取负数 D.效率与时间成反比例 【答案】：C 【解析】：时间为实际物理量，必须大于0，不能取负数。 2.（2026·南通崇川二模）总工程量为240，y=，y代表天数，若要求工期不超过15天，则x应满足（ ） A.x≥16 B.x≤16 C.x>240 D.x<240 【答案】：A 【解析】：y=≤15，解得x≥16。 3.（2025·无锡江阴期末）制作一批礼盒，材料总量固定，下列属于反比例模型的是（ ） A.礼盒单价和总售价 B.单个礼盒用料和可以制作礼盒数量 C.礼盒边长与周长 D.礼盒边长与面积 【答案】：B 【解析】：总材料=单个用料×数量，乘积定值，成反比例。 4.（2026·盐城盐都二模）杠杆平衡，阻力×阻力臂=48，若动力臂扩大2倍，则动力（ ） A.扩大2倍 B.缩小为原来 C.不变 D.扩大4倍 【答案】：B 【解析】：F=，L扩大两倍，F变为原来二分之一。 5.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设反比例函数解析式为，将代入得，，∴反比例函数解析式为：，当时，，∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是.故选：A． 6.农大毕业的小王回乡自主创业，在大棚中栽培新品种的蘑菇，该种蘑菇在的条件下生长最快，每天只开启一次，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度（时）变化的函数图象，其中段是函数，若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（   ） A.18小时 B.小时 C.12小时 D.10小时 【答案】B 【解析】把代入，，∴， 设一次函数的解析式为：，把，代入中得：，解得，∴的解析式为：，当时，，解得：，把代入得：，解得：， ∴（小时）.故选：B． 7.物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当时，由此可知、“人造自由百变泥”的密度是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由可知，“人造自由百变泥”排开水的体积： ，“人造自由百变泥”浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，则“人造自由百变泥”的体积，“人造自由百变泥”的质量：，则“人造自由百变泥”的密度：故选：A． 8.为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故①正确，符合题意； 治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故②正确，符合题意；设反比例函数解析式为：，代入得，故，当，解得：，则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此④错误，不符合题意；设一次函数解析式为：，则，解得，故一次函数解析式为：，把代入，解得，则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到150万， 把代入，得，故该厂8月份的月利润与2月份相同，此选项③正确，符合题意．故选：C． 9．如图，反比例函数y＝(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E若四边形ODBE的面积为6，则k的值为 ( ) A．1 　 B．2 　 C．3 　 D．4 【答案】B 【解析】设M点坐标为（a，b），由矩形性质可得B点坐标为（2a，2b），所以矩形OABC面积为4ab.因为设M（a，b）在反比例函数y＝上，所以k=ab.因为点D、E在反比例函数y＝上，所以△OAD,△OCE面积等于，因为四边形ODBE的面积等于矩形OABC面积减去△OAD、△OCE的面积，所以4k－－=6，解得k=2. 10.如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离 观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表： 下列说法不正确的是（    ） A.弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图 B.y与x的函数关系式为 C.当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5 D.随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 【答案】C 【解析】由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，所以设 把代入求得 ∴将其余各点代入验证均适合，∴y与x的函数关系式为，把代入 得，∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．故选：C． 二．填空题（共30分） 11.（2026·镇江京口二模）某河道清淤总量960立方米，每日清淤量m立方米，所需天数n=________。 【答案】：n=(m>0) 【解析】：每日工作量×天数=总工程量。 12.（2025·常州武进期末）一定体积的密闭容器，pV=120，p压强，V体积，当V≥4，则p取值范围________。 【答案】：0<p≤30 【解析】：p=，k>0，V≥4得0<p≤30。 13.（2026·徐州云龙二模）运输一批农产品，总吨数固定，车辆越多，每辆车装载吨数越______。 【答案】：小 【解析】：k>0,x>0，自变量增大函数值减小。 14.（2025·连云港连云期末）矩形面积是60，若宽不大于4，则长的取值范围________。 【答案】：长≥15 【解析】：x=，y≤4，x≥15。 15.（2026·淮安淮阴二模）完成一项工程，y=，若最多用时21天，则工作效率至少为______。 【答案】：20 【解析】：≤21→x≥20。 16.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化，已知密度ρ是体积V的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当ρ=3.3kg/m3时，相应的体积V是      m3． 【答案】3 【解析】设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ=，把点（5，1.98）代入解ρ=，得k=9.9，∴密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ=，V＞0．当ρ=3.3时，V==3， 即当ρ=3.3 kg/m3时，相应的体积V是3m3． 17.验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了      度． 【答案】 【解析】根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度. 18.如图，圆柱形量筒的容积为（），若底面积为，则量筒的高与的函数关系为      ． 【答案】 【解析】由题意得：量筒的高与的函数关系为. 19.小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为      字/min． 【答案】200 【解析】设，把代入，得，∴，∴， 当时，，∵，在第一象限内，y随x的增大而减小， ∴小明录入文字的速度至少为200字/min． 20.如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为         cm． 【答案】35 【解析】根据题意，，∴弹簧秤的示数F关于L的函数解析式为，且该函数图像在第一象限，F随L的增大而减小，当时，可有，∵L越大，弹簧秤的示数F越小，∴当时，， 即弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为35cm． 三．解答题（共60分） 21.学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 解：由长方形的面积公式得，∴y关于x的函数表达式为．∵墙的长度为8米，，即，∴自变量x的取值范围为． 22.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）这个反比例函数的解析式是 　     （）． （2）若使用时电阻，则电流I是 　   　 （3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 解：（1）设反比例函数式，∵把代入反比例函数式，∴， ∴． （2）当，. （3）当A时，则，∴，∴用电器的可变电阻至少是． 23.如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： （1）根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值； （2）将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，设，将代入得：，， 将代入得：，. （2）这种摆放方式不安全，理由如下：由图可知， 将长方体放置于该水平玻璃桌面上，．，这种摆放方式不安全． 24.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求y与x（）的函数表达式； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 解：（1）设双曲线解析式为：，，，双曲线的解析式为：. （2）设的解析式为：，把代入中得：，解得：，的解析式为：，当时，，解得，把代入，得，解得：， .答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时. 25.用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，寄宿生小红和小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）．如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克． (1)请帮助小红和小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x之间的函数关系式 (2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡？为什么？ 解：(1)设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，将和分别代入两个关系式得：k1=1.5, k2=2.∴小红的函数关系式是y1＝，小敏的函数关系式是y2＝. (2)把y=0.5分别代入两个函数得：=0.5, =0.5，解得：x1=3,x2=4， 10×3=30(升),5×4=20(升).答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡． 26．阅读理解： 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”，如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”． (1)已知点A的坐标为 ①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为____________． ②若点C在直线上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点M的坐标为，点N的坐标为，若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围． 解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴点A、B的“相关矩形”如图所示，∴点A、B的“相关矩形”周长=，故答案为：14；②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，∵点C的在直线y=5上，∴点C的纵坐标为5，又∵点A，C的相关矩形是正方形，且A，∴点A到直线y=5的距离为5-1=4，∴A，C的“相关矩形”为正方形时，该正方形的边长为4，∴点C的坐标为或，如图，设直线AC的解析式为，当点C的坐标为，将A，C代入，可得，解得，，∴；当点C的坐标为，将A，C代入，可得，解得，∴；∴符合题意得直线AC的解析式为或． （2）∵点M的坐标为，点N的坐标为，∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为、，当函数的图象经过时，k=-6，当函数的图象经过时，k=-20，作图如下：∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：． 27.项目化学习 【项目主题】：探究杠杆平衡条件. 【项目步骤】：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 【试验数据】： 【问题解决】：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （2）观察所画的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （3）当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； （4）当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？______．（填写“添加”或“减少”） 解：（1）如图所示. （2）由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴设，把，代入得：．∴y与x的函数关系式为：． （3）把代入，得．∴当活动托盘B与点O的距离是12.5cm时，当砝码的质量为24g． （4）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大，应添加砝码. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $