2.2.1基本不等式 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础理解、技能应用、综合拓展三层递进设计，实现从基本不等式概念辨析到实际情境应用的完整巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|基本不等式概念及简单应用|单选题1-3直接考查不等式成立条件，填空题9聚焦正实数乘积最值，夯实概念理解| |技能应用|条件变形与多知识点综合|单选题4-6涉及和定积最大/积定和最小，多选题7-8结合代数式变形辨析，提升推理能力| |综合拓展|实际情境与多问探究|解答题12以矩形菜园为情境，融合面积与周长关系的实际应用；解答题11-13设置多问，深化模型意识与问题解决能力|

2.2 基本不等式（第一课时） 一、单选题 1．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 2．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 3．若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确； 因为， 若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确； 因为，若，则，故C正确； 因为，若， 不一定大于1，例如，故D不正确． 4．已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 6．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，都是正数， 所以， 当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 二、多选题 7．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 8．已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 三、填空题 9．已知正实数，则ab的最大值为________． 【答案】0.5/. 【分析】利用基本不等式计算即可得解. 【详解】因为为正实数，， 已知，则，所以. 当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件. 所以的最大值为. 故答案为：. 10．已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【分析】先观察条件等式和所求式子，由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为. 故答案为： 四、解答题 11．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 12．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 13．（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2基本不等式（第一课时） 一、单选题 1．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 2．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 8．已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 三、填空题 9．已知正实数，则ab的最大值为________． 10．已知，且，则的最大值为_________； 四、解答题 11．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 12．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 13．（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $