第61讲　排列与组合专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦排列组合核心方法，通过16道题构建“公式应用-技巧迁移-情境建模”的递进训练体系，强化逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本公式应用|1-2题|组合数公式、渐升数转化|从排列组合定义到组合数实际应用| |限制条件排列|4-5、10、14题|插空法、捆绑法、定序去重|特殊元素/位置问题→相邻不相邻→圆形排列| |分配与分组|6-9、11题|隔板法、正难则反、分类讨论|相同元素分配→不同元素分组→有限制条件分配| |综合情境应用|12-13、15-16题|分步计数、模型转化|数字排列→实际问题建模→跨知识综合应用|

第61讲　排列与组合 (时间:45分钟) 1.若=,则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.90 B.42 C.12 D.10 2.[2024·河北承德二模] 对于一个自然数,如果从左往右每一位上的数字依次增大,则称自然数是“渐升数”,那么三位数的“渐升数”共有 (　 ) A.97个 B.91个 C.84个 D.75个 3.[2024·安徽池州二模] 甲、乙两人分别从a,b,c,d,e五项不同科目中随机选三项学习,则两人恰好有两项科目相同的选法有 (　 ) A.30种 B.60种 C.45种 D.90种 4.3名同学和2名老师站成一排合影,若2名老师之间至少有一名同学,则不同的站法有 (　 ) A.48种 B.64种 C.72种 D.120种 5.由3个2,1个0,2个5组成的六位数中,满足有相邻四位恰好是2025的六位数的个数为 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.24 6.现有10人排队,其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定,则不同排法共有 　　　　种.  7.[2024·贵州遵义二模] 某校开展劳动技能比赛,高三(1)班有3名男生,5名女生报名参赛,现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛,要求男、女生各至少1人,则不同的选派方案共有　　　　种.  8.学校有8个优秀学生名额,要求分配到高一、高二、高三,每个年级至少1个名额,则不同的分配方案有 (　 ) A.45种 B.210种 C.21种 D.120种 9.[2024·安徽安庆三模] A,B,C,D,E这5所学校将分别组织部分学生开展研学活动,现有甲、乙、丙三个研学基地供选择,每个学校只选择一个基地,且每个基地至少有1所学校去,则A校不去甲地,乙地仅有2所学校去的不同选择共有 (　 ) A.36种 B.42种 C.48种 D.60种 10.(多选题)某中学某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课,且该天上午总共5节课,下列结论正确的是 (　 ) A.若数学课不安排在第一节且不安排在最后一节课,则有72种不同的安排方法 B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有48种不同的安排方法 C.若语文课和数学课不能相邻,则有72种不同的安排方法 D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有40种不同的安排方法 11.(多选题)将9本书分给甲、乙在内的3位同学,下列说法正确的是 (　 ) A.若9本书内容完全一样,每人至少一本,则有28种不同的分法 B.若9本书内容都不一样,分给3位同学,则有39种不同的分法 C.若9本书内容完全一样,分给3位同学,则有55种不同的分法 D.若9本书内容都不一样,甲同学至少分得一本,乙同学至少分得2本,则有729种不同的分法 12.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有　　　　个.  13.2024年春耕期间,某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕,要求每人只去一个村庄,且这三个村庄都有人去,若甲和乙不去同一个村庄,甲和丙去同一个村庄,则不同的分配方法共有　　　　种.(用数字作答)  14.2024年3月5日至11日,第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.某村党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议,根据会议要求,甲、乙必须相邻,甲、丙、丁不能相邻,则不同的座位安排有　　　　种.(用数字作答)  15.[2025·浙江七彩阳光联盟联考] 将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列,要求所有的红球互不相邻,当小球的总数为8时,满足条件的不同排列方法的种数为 (　 ) A.20 B.36 C.54 D.108 16.已知斐波那契数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an,若as,at是数列{an}中的任意两项,|as-at|=m,当m≤2时,称数组(as,at)为数列{an}的“平缓数组”((as,at)与(at,as)为相同的“平缓数组”),m为数组(as,at)的组差.现从{an}的所有“平缓数组”中随机抽取3个,则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为 (　 ) A.24 B.26 C.29 D.35 参考答案 第61讲　排列与组合 1.A　[解析] 根据=,得n=3+7=10,所以==10×9=90.故选A. 2.C　[解析] 在1,2,…,9中任取3个数,其大小关系确定,所以“渐升数”共有=84(个).故选C. 3.B　[解析] 两人恰好有两项科目相同的选法有=60(种).故选B. 4.C　[解析] 根据题意,分两步进行:第一步,安排3名同学站成一排,不同的站法共有种;第二步,安排2名老师,采用插空法,不同的站法共有种.由分步乘法计数原理可得,不同的站法共有=72(种).故选C. 5.B　[解析] 由题得3个2,1个0,2个5中,除去四个数字2,0,2,5后,还剩1个2,1个5,将2025看作1个元素,与2,5共3个元素全排列,有=6(个)六位数.故选B. 6.30 240　[解析] 先将10人全排列,即为,再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排列,即为,故共有=30 240(种)不同排法. 7.65　[解析] 从8名同学中任选4名,有种方法,其中全是女生的选法有种,所以不同的选派方案共有-=70-5=65(种). 8.C　[解析] 问题等价于将8个完全相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,由隔板法可知,不同的分配方案种数为=21.故选C. 9.B　[解析] ①若A校去乙地,则有=24(种)不同的选择;②若A校与另一所学校去丙地,则有=12(种)不同的选择;③若A校单独去丙地,则有=6(种)不同的选择.所以共有24+12+6=42(种)不同的选择,故选B. 10.AC　[解析] 对于A,若数学课不安排在第一节且不安排在最后一节课,则数学课有3节课可选,其余科目没有要求,有种安排方法,则一共有3=72(种)不同的安排方法,故A正确;对于B,语文课和数学课捆绑在一起,看作一个元素,与余下的科目一起排列,则有=24(种)不同的安排方法,故B错误;对于C,先安排英语、物理、化学3节课,有=6(种)不同的安排方法,把语文课和数学课安排在英语、物理、化学3节课产生的4个空位上,有=12(种)不同的安排方法,则共有6×12=72(种)不同的安排方法,故C正确;对于D,若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有=20(种)不同的安排方法,故D错误.故选AC. 11.ABC　[解析] 对于A,将9本相同的书分给3位同学,每人至少一本,利用挡板法分析,在9本书之间的8个空隙中任选2个,插入挡板即可,有=28(种)不同的分法,故A正确.对于B,根据题意,9本书内容都不一样,则每本书都可以分给3人中的任意一人,即有3种分法,所以9本书有39种不同的分法,故B正确.对于C,若内容完全一样的9本书分给3位同学,则3人中有可能有人分不到书,则先借给这3人每人一本书,此时每人至少分1本书,再利用隔板法,可得有=55(种)不同的分法,故C正确.对于D,可以分为11类情况:①“1,2,6”型,有×4=1008(种)分法;②“1,3,5”型,有×4=2016(种)分法;③“1,4,4”型,有×2=1260(种)分法;④“1,7,1”型,有=72(种)分法;⑤“1,8,0”型,有=9(种)分法;⑥“2,2,5”型,有×3=2268(种)分法;⑦“2,3,4”型,有×6=7560(种)分法;⑧“2,7,0”型,有×2=72(种)分法;⑨“3,3,3”型,有=1680(种)分法;⑩“3,6,0”型,有×2=168(种)分法;“4,5,0”型,有×2=252(种)分法.所以共有1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16 365(种)不同的分法,故D错误.故选ABC. 12.120　[解析] 当五位数的万位为4时,个位数可以是0,2,此时满足条件的偶数共有×=48(个);当五位数的万位为5时,个位数可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有×=72(个).所以比40 000大的偶数共有48+72=120(个). 13.30　[解析] 分两类:第一类,甲、丙两人去同一个村庄,共有种分配方法;第二类,甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄,共有种分配方法.故共有+=30(种)不同的分配方法. 14.43 200　[解析] 甲和乙必须相邻,采用捆绑法,将其看作一个整体,与除丙、丁外的其他6人排成一圈,共有·=1440(种)排法.甲和丙、丁不能相邻,采用插空法,甲和乙与除了丙、丁外的其他6人排成一圈后形成7个空,但甲与丙、丁不能相邻,故丙、丁只有6个空位可选,有=30(种)选法.根据分步乘法计数原理可知,不同的安排方法有30×1440=43 200(种). 15.C　[解析] 8个除颜色外完全相同的球,要使红球互不相邻,则最多有4个红球,根据红球个数分类讨论:1个红球7个黑球时,先排7个黑球共有1种排法,从8个空里面选出1个空让红球插入,有=8(种)选法;2个红球6个黑球时,先排6个黑球共有1种排法,从7个空里面选出2个空让红球插入,有=21(种)选法;3个红球5个黑球时,先排5个黑球共有1种排法,从6个空里面选出3个空让红球插入,有=20(种)选法;4个红球4个黑球时,先排4个黑球共有1种排法,从5个空里面选出4个空让红球插入,有=5(种)选法.所以满足条件的不同排列方法的种数为8+21+20+5=54.故选C. 16.B　[解析] 由题意得an+1≥an,an+2-an+1≥an+1-an,a1=a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,又a6-a5=3,所以当n≥5时,an+1-ai≥3(i=1,2,…,n),所以{an}的所有“平缓数组”有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),(a4,a5),共7个,其中组差为0的有1个,为(a1,a2),组差为1的有3个,为(a1,a3),(a2,a3),(a3,a4),组差为2的有3个,为(a1,a4),(a2,a4),(a4,a5),所以随机抽取的3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为2+2=26,故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $