4.1 认识三角形 第2课时 教学设计 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦三角形内角和定理、外角概念及性质，通过复习小学检验内角和的操作，指出其不严谨性，自然引出严谨证明，搭建小学直观认知到初中逻辑推理的学习支架。 资料亮点在于多角度推导内角和（平移方法培养几何直观与推理能力），例题结合方程思想（体现模型意识），用思维导图梳理知识，分层练习巩固。助力学生发展推理与应用能力，帮助教师系统开展教学。

第四章 三角形 4.1认识三角形 第2课时 一、教学目标 1.掌握三角形内角和定理、三角形的外角概念及性质； 2.运用三角形内角和进行计算，会利用三角形外角的性质解决有关问题； 3.通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力； 4.让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣. 二、教学重难点 重点：掌握三角形内角和定理、三角形的外角概念及性质. 难点：运用三角形内角和进行计算，会利用三角形外角的性质解决有关问题. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，学生思考后回答. 在小学里我们就接触过三角形，并且知道三角形的内角和是180°，大家还记得我们是怎样检验的吗? 预设： 上面的检验过程是不严谨的，今天我们一起来研究一下，为什么三角形的内角和是180°. 设计意图：通过回忆小学检验三角形内角和的操作，引发学生思考，点明小学方法不严谨，进而激发学生探究三角形内角和为180°严谨证明的兴趣与欲望，自然引入新课. 【探究新知】 探究：任意三角形的内角和都是180°吗？为什么？ 由图2受到启发，任画一个ABC，将边AB所在直线沿点B到点C的方向平移线段BC的长度，得到线段A′B′，则该直线经过点C，如图： 预设：因为直线在平移下的像是与它平行的直线，所以A′B′ //AB. 则∠A′CD=∠B，∠ACA′=∠A. 又∠BCA+∠ACA′+∠A′CD=180°， 所以∠BCA+∠A+∠B =180°. 由此得到：三角形的内角和等于180°. 【思考】 还有其他方法得出此结论吗? 将边BC所在直线沿点B到点A的方向平移线段BA的长度，得到直线B′C′，则该直线经过点C，如图： 预设：因为直线在平移下的像是与它平行的直线，所以B′C′ //BC. 则∠B′AB=∠B，∠C′AC=∠C. 又∠B′AB+∠BAC+∠C′AC=180°， 所以∠B+∠BAC+∠C =180°. 总结：三角形的内角和等于180°. 设计意图：通过不同平移方法推导三角形内角和为180°，让学生从多角度理解定理，培养发散思维与推理能力，深化对知识的掌握. 【说一说】 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 预设：由于三角形的内角和等于180°，因此，一个三角形中最多有一个直角或一个钝角. 【抽象】 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形. 有一个角是直角的三角形叫直角三角形. 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形. 三角形按角分类，即可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 直角三角形可用符号“Rt△”来表示， 例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 例如，AC与BC都是直角边，AB是斜边. 特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 设计意图：先结合三角形内角和，引导学生思考直角、钝角数量，再抽象出不同三角形类型，明确直角三角形相关概念与表示，帮助学生系统认识三角形分类及直角三角形特征. 【思考】 如图，把△ABC的边BC延长，可得到∠ACD，则∠ACD与∠ACB有何关系呢？ 预设：∠ACD与∠ACB互补，共顶点且共一条边AC，∠ACD的另一条边CD是∠ACB另一条边BC的延长线. 【抽象】 像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角. 例如，图中的∠ACD就是△ABC的一个外角. 【思考】 如图，∠ACD是△ABC的一个外角， (1)∠ACD与内角∠ACB有什么关系？ (2)∠ACD与内角∠A，∠B之间有什么关系？ 预设：（1）如图，∠ACB+∠ACD=180°. （2）因为∠ACD+∠ACB=180° ，∠A+∠B+∠ACB=180°， 所以∠ACD=180°-∠ACB，∠A+∠B==180°-∠ACB. 于是∠ACD=∠A+∠B（等量代换）. 由此得到三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【议一议】 (1)三角形的外角具有哪些特征？ (2)三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？ 预设：（1）外角与三角形的一个内角共顶点且共边，一条边是三角形的一边， 另一条边是该边的延长线. （2） 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，与它相邻的内角互补. 设计意图：通过思考三角形外角与内角的关系，引导学生探究、抽象出三角形外角的定义与性质，再通过议一议，让学生总结外角特征及与内角的大小关系，培养学生的探究、归纳能力，帮助学生深入理解三角形外角相关知识. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 在△ABC 中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 分析：先设∠B=x°，根据等量关系及三角形内角和180°列方程. 解：设∠B=x°，则∠A=(3x)°，∠C = (x + 15)°， 从而3x + x + (x + 15)＝180， 解得 x＝33，所以3x＝99，x + 15＝48. 答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°. 注意：几何求值问题可借助方程来解. 例2 如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数. 分析：利用三角形的外角性质及内角和进行解答即可. 解: 因为∠ADB=∠C+∠CAD，所以∠CAD=∠ADB-∠C=98°-70°=28°. 又∠BAD=∠CAD，所以∠BAD=28°. 因此，∠B=180°-∠ADB-∠BAD=54°. 注意：已知某外角及不相邻的一个内角，利用外角性质求另一个角. 经典例题 例3 如图，在等边三角形ABC中，过BC边上一点P，作∠DPE=60°，分别与边AB，AC相交于点D，E．在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由. 解：∠BDP=∠EPC，理由如下： 因为△ABC为等边三角形，所以∠B=60°， 因为∠DPE=60°，所以∠DPE=∠B 因为∠DPC是△BDP的外角， 所以∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP， 所以∠EPC=∠BDP. 注意：利用等边三角形和外角性质找等角. 设计意图：通过三个例题，分别运用方程、角平分线与外角性质、等边三角形与外角性质，逐步巩固三角形相关知识与解题技巧. 【课堂练习】 教材习题 1.填空 (1)在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，则∠B=________； (2)在△ABC中，∠A-∠B=50°，∠C-∠B=40°，则∠B=_______. 答案： 60°，30°. 2.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAC的度数. 解：因为∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=36°，∠C=76° 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=68°， 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠DAC=∠BAD=68°÷2=34°. 3.如图，∠CAD是△ABC的一个外角，且∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数. 解: 因为∠CAD是△ABC的一个外角，所以∠CAD=∠C+∠B， 又因为∠CAD=100°，∠B=30° 所以∠C=∠CAD-∠B=100°-30°=70°. 自选练习 4.在△ ABC 中， 若∠A=90°，∠B ∶∠C=2∶1，则∠B等于（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 答案：D. 5.如图， 在△ABC中，∠A=80°， ∠B=40 °，D，E 分别是AB，AC上的点， 且DE∥BC， 则∠AED的度数是（ ） A. 40° B.60° C.80° D.120° 答案：B. 6.如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，CD是∠ACB的角平分线，点E在AC上，且DE∥BC，求∠CDE的度数． 解: 因为∠A=62°，∠B=74°， 所以∠ACB=180°-62°-74°=44°， 因为CD是∠ACB的角平分线， 所以∠ACD=∠DCB=22°. 又因为DE∥BC，所以∠CDE=∠DCB=22°. 7.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B = ∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求：∠B及∠C的度数. 解：因为∠ADC 是△ABD 的外角，所以∠ADC =∠B +∠BAD = 80°. 又因为∠B =∠BAD，所以∠B=80°×=40°， 因为在△ABC中，∠B +∠BAC +∠C = 180°， 所以∠C = 180° - 40° -70° = 70°. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 【总结归纳】 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $