4.2.2 证明，举反例 教案2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学 上册

该教案聚焦湘教版八年级上册《4.2.2 证明，举反例》核心内容，承接命题真假判断，通过生活假命题快问快答导入，搭建从生活到数学的学习支架，梳理从举例验证到严谨证明的逻辑脉络。 以4个探究活动突破学生认知障碍，通过“猜想—验证—反驳—修正”过程培养推理意识与创新意识，分层作业兼顾基础与拓展，助力教师精准教学，提升学生逻辑思维与质疑精神。

分课时教学设计 第二课时《4.2.2 证明，举反例》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《证明，举反例》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第二节第二课时的内容。本节课内容是初中几何逻辑体系的核心内容，承接《4.2.1 定义，命题》中命题真假判断的基础，进一步深化对真命题的严谨性证明与假命题的批判性分析。本节用4个探究活动、3个例题把“证明的规范格式”与“反例的构造策略”显性化，为后续全等三角形、平行四边形等演绎证明奠定语言与思维模板，是几何课程由“说明”走向“论证”的关键跳板。 学习者分析 学生在上一课时已学习命题结构，但存在三个认知障碍：约60%的学生将"举例验证"等同于严格证明，认为"测试几个数成立"就能证明数学命题；构造反例时，45%的学生仅能举出极端特例，缺乏系统寻找反例的策略；书写证明过程时，常出现"因为看起来相等所以相等"等循环论证，逻辑链条的完整性有待加强。 教学目标 1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。 3.经历“猜想—验证—反驳—修正”的完整探究，体会反例在数学发现中的价值。 4.体验严谨推理带来的确定感，树立“一个反例胜过一打例证”的科学精神，培养勇于质疑、乐于合作的学习品质。 教学重点 1.证明的概念与步骤，包括分析命题条件、选择推理依据、逐步推导结论。 2.反例的构造方法，明确命题条件与结论的矛盾点，选取合适的反例验证假命题。 教学难点 1.复杂命题证明中，准确选择定理、定义和基本事实作为推理依据。 2.针对不同类型的命题，构造具有说服力的反例。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 你能判断这些命题的真假吗？ 1.越贵的东西质量越好。 2.天气冷就一定会感冒。 3.运动时间越长，健身效果越好。 4.戴眼镜的人学习成绩都好。 5.解答题太复杂，我肯定做不出来。 思考：如何判断一个命题是假命题呢？ 学生活动1： 快问快答，举手回答问题 认真思考，举手回答问题 活动意图说明：通过生活问题导入，唤起学生求知的欲望，调动学生思维的积极性，激发学生学习新知识的兴趣，有利于活跃课堂教学氛围。 环节二：新知探究 教师活动2： 探究一：举反例 判一判：下列命题是真命题还是假命题？你能说明原因吗？ 1.若a是有理数，则a是整数。 2.有理数的绝对值是正数。 【定义】一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 例2 命题“如果 ，那么 = 0”是真命题还是假命题？ 解：1×0 = 0，但是 1≠0， 因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题. 【做一做】用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1) 若 a² = b²，则 a = b； (2) 一个角的余角大于这个角； (3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |； (4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角. 探究二：证明 【思考】如何判断一个命题是真命题呢？ 【定义】证明：判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 例3证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么 a²+b²≠0. 证明：若a≠0，则 a² 为正数. 又 b² 为正数或 0，从而 a² + b² 是正数， 因此 a²+b²≠0. 同理可得，若b≠0，则 a²+b²≠0. 学生活动2： 认真思考，举手回答问题 认真听讲，了解什么是举反例 认真思考，举手回答问题 举手回答问题，举反例 认真听讲 学生认真思考，举手回答问题 学生认真听讲 学生认真作答，举手回答问题 学生认真听讲 活动意图说明：引导学生从“判断命题真假”的角度，系统掌握举反例和证明两种逻辑方法，深化对命题本质的理解，初步构建逻辑推理的思维框架。 环节三：例题探究 教师活动3： 探究三：反证法 例4证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°， 则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°. 这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾， 故假设不成立. 因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 【定义】反证法：当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法的基本步骤： (1) 假设命题不成立； (2) 导出矛盾； (3) 肯定结论. 【做一做】你能用反证法证明本节例3吗？ 证明：假设 a² + b² = 0. 因为对于任意实数 a、b，都有 a²≥0，b²≥0， 要使 a² + b² = 0 成立，则 a² = 0 且 b² = 0， 由此可得 a = 0 且 b = 0. 这与已知条件“实数 a≠0 或实数 b≠0”矛盾. 所以假设不成立，即如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a² + b²≠0. 应用反证法的情形： (1) 直接证明困难； (2) 需分成很多类进行讨论； (3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题； (4) 结论为“唯一”类命题. 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能： (1)与原命题的条件矛盾； (2)与定义、公理、定理、性质矛盾； (3)与假设矛盾； (4)与客观事实矛盾. 学生活动3： 认真思考，进行证明 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲，了解反证法的基本步骤 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲，了解应用反证法的一般情形 认真听讲，了解导出矛盾的几种可能 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 举反例：1.符合命题条件 2.不满足命题结论 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 反证法：(1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论. 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45° 2.下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3.对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （　　） A．，　　　　　　　　B．， C．，　　　　　　　　D．， 选做题： 4.若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设　 　． 5.命题“若，，则”是　 　命题．（填“真”“假”） 6.4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有　 　局为平局. 【综合拓展类作业】 7.（1）一个三角形最多有几个直角？为什么？ （2）一个三角形最多有几个钝角？为什么？ （3）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知命题“关于的不等式无解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2.有下列命题： ①若则a=b； ②若则a=b； ③若ab=0，则a=b=0； ④若a=0，则ab=0. 其中假命题有(　　). A．①②　　　B．①③　　　C．②④　　　D．③④ 3.我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（　　） A．①②③④　B．③④②①　C．③④①②　D．④③②① 【综合拓展类作业】 4.命题“若是自然数，则代数式+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明. 教学反思 作业检查中发现学生能模仿例题完成证明，但一遇到“非典型”辅助线便无从下手，提示我后续应补充“条件—目标”双向分析示范；再举反例里，有人把“反例”画成极端特殊图形，虽能驳倒命题，却失去一般性，我临时追加“反例是否越简单越具说服力”的辩论，效果良好。后续可建立“反例档案袋”，让学生长期收集并评比，逐步提升构造与评价反例的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $