26.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程根的近似值求法及与不等式的关系，通过知识回顾二次函数图象与x轴交点和方程根的联系，结合具体问题导入新课，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用“观察图象+二分法”估算近似根，结合表格梳理二次函数与不等式的关系，体现几何直观、推理能力和模型意识。例如通过方程x²-2x-2=0的探究，引导学生逐步缩小范围，培养探究能力。学生能深化数形结合思想，教师可借助系统步骤提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 8. 对接中考 1. 进一步掌握二次函数与一元二次方程的双向转化关系，理解利用二次函数图象求一元二次方程近似根的原理与方法. 2. 能通过“观察图象+逐步缩小范围(二分法)”的方式，估算一元二次方程的近似根，深化数形结合与转化的数学思想. 3. 能运用二次函数及其图象、性质确定不等式的解集. 学习目标 知识回顾 二次函数 的图象与x轴的公共点 一元二次方程 的根 有两个公共点 有两个不相等的实数根 有一个公共点 有两个相等的实数根 没有公共点 没有实数根 二次函数 的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程的根的关系 新课导入 根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题.不妨来看下面的问题. 新课讲解 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 解：画出函数y=x2-2x-2的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程的实数根为 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. y=x2-2x-2 探究 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 新课讲解 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数的图象，可以发现：点(2,-2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3,1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. 因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴.也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根. y=x2-2x-2 新课讲解 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. y=x2-2x-2 新课讲解 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6 875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0 625<0.1，我们可以将2.6 875作为根的近似值. y=x2-2x-2 新课讲解 y=x2-2x-2 观察函数 y=x2-2x-2 的图象，可以发现： 点(-1,1)在轴的上方，即当自变量为-1时的函数值大于0，点(0,-2)在x轴的下方，即当自变量为0时的函数值小于0. 因为抛物线 y=x2-2x-2 是一条连续不断的曲线， 所以抛物线在 -1<x<0 这一段经过轴. 也就是说，方程x2-2x-2=0在-1和0之间有根. 探究 你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？ 新课讲解 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号，所以根在-1与-0.5之间. y=x2-2x-2 再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量为-0.75时的函数值为0.0 625>0，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.5之间. 再取-0.75与-0.5的平均数-0.625，计算自变量为 -0.625时的函数值为-0.359 375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.625之间. 此时区间两端点之差为∣-0.625-(-0.75)∣=0.125>0.1 不满足精度要求，再取一次平均数. 新课讲解 取-0.75与-0.625的平均数-0.6 875，计算自变量为-0.6 875时的函数值为-0.15234375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.6 875之间. 此时区间两端点之差为∣-0.6 875-(-0.75)∣=0.0 625<0.1. 因此，我们可以将-0.75或-0.6 875作为根的近似值. 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. y=x2-2x-2 新课讲解 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m，n (m<n) 之间. 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 确定一元二次方程的近似根的步骤 新课讲解 例 1. 如图是二次函数的图象，对称轴为直线 ，则方程的负数解 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. B 解：令方程的正数解为 ， 由题中图象可知 抛物线关于直线对称， 点， 关于直线的对称点的坐标为，， . 新课讲解 练一练 … 0 1 2 3 4 5 … … 1.15 2.45 2.75 2.05 0.35 … 1. 在二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是与 的几组对应值： 则关于的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个根约等于__________________（结果保留小数点后一位）. 解：从题表中数据可知，当时，； 当 时，，因此方程的一个根在3和4之间， 因为 ，所以根更接近， 所以关于的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于3.1. 3.1（答案不唯一） 新课讲解 练一练 0.25 0.56 0.89 2. 已知二次函数中和 的部分对应值如下表所示，则方程 的一个较大的根的范围是 ( ) C A. B. C. D. 新课讲解 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 1 O 抛物线 一元二次不等式 抛物线在轴上方的点所对应的的值就是不等式的解集 新课讲解 如图是函数 y=x2-x-2 的图象，根据图象回答问题： (1) 方程 x2-x-2=0 的根是多少？ (2) x 取什么值时，函数值大于 0？ (3) x 取什么值时，函数值小于 0？ y=x2-x-2 解：(1) x1=2，x2=-1. (2) 当x<-1或x>2时，函数值大于0. (3) 当-1<x<2时，函数值小于0. 问题 新课讲解 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 新课讲解 例 2. 已知二次函数 的图象如图所示，观察图象可知关于的不等式 的解集是 ( ) A.或 B. C. D.或 解：由题中函数图象可知，当或时，函数图象在 轴的上方， 所以关于的不等式的解集是或 . D 新课讲解 练一练 解：由图可知抛物线 𝑦=��𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 的对称轴为直线 𝑥=−1，且经过点 (−3，0)， ∴ 抛物线与 𝑥 轴的另一个交点为 (1，0). ∵ 抛物线在 𝑥 轴的上方部分的 𝑦>0， ∴ 当 𝑦>0 时，𝑥 的取值范围是 −3<𝑥<1. 1 1. 已知二次函数  () 的部分图象如图所示，当  时， 的取值范围是 （ ） A.  B.  C.  或  D.  B 新课讲解 练一练 2. 如图，直线 与抛物线 交于， 两点，观察图象可知关于的不等式 的解集是____________． 解：观察题中函数图象，知当 时， 直线在抛物线 的下方， ∴不等式的解集为 ． 新课讲解 b2－4ac 的取值 b2－4ac >0 b2－4ac =0 b2－4ac <0 a>0 抛物线 y= ax2＋bx＋c与x轴的公共点情况 有两个公共点 有一个公共点 无公共点 不等式ax2＋bx＋c >0 的解集 x<x1或x>x2 x≠ x0 全体实数 不等式ax2＋bx＋c <0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 a<0 抛 物 线 y= ax2＋bx＋c与x轴的公共点情况 有两个公共点 有一个公共点 无公共点 不等式ax2＋bx＋c >0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式ax2＋bx＋c <0 的解集 x<x1或x>x2 x≠ x0 全体实数 b2－4ac 的取值 b2－4ac >0 b2－4ac =0 b2－4ac <0 课堂小结 估计一元二次方程的近似根 二次函数与一元二次方程 求解一元二次不等式的解集 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集 1.画图；2.定位；3.试值；4.定根 当堂小练 … 0.7 0.8 0.9 1.0 … … 0.30 0.05 … A. 3.0 B. 3.1 C. 3.2 D. 3.3 1. 下表是二次函数的自变量与函数值 的若干组对应值： 则下面是关于的方程 的一个近似根（精确到 ）的是 ( ) C 当堂小练 2. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ，且与轴的负半轴交于点，则关于的方程 的正数解的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 当堂小练 C 3. 一元二次方程的两个根分别为 和4，若二次函数与轴的交点为，，则对于， 的范围描述正确的是 ( ) A. B. C. D. 当堂小练 4. 如图，抛物线经过点 ，对称轴为直线.当时， 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.或 D 当堂小练 A. B. 或 C. D. 或 5. 如图，二次函数 的图象与轴交于点，其对称轴是直线 ，则不等式 的解集是 ( ) D 当堂小练 6. 如图，以(2，5) 为顶点的二次函数y=ax2+ bx+c 的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程ax2+bx+c=0 的正数解 x 的范围是( ) A.2<x<3 B.1<x<2 C.4<x<5 D.5<x<6 D 当堂小练 7. 如图，一次函数 与二次函数的图象相交于， 两点，则关于的不等式 的解集为 ( ) A A. B. C. D.或 对接中考 1. 将二次函数的图象在 轴下方的部分以轴为对称轴翻折到 轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是 ( ) C A.图象与轴的交点坐标是 B.当 时，函数取得最大值 C.图象与 轴两个交点之间的距离为4 D.当时，的值随 值的增大而增大 对接中考 2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的对称轴为直线x=1， 与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，下列结论： ①4ac<b2； ② 方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1=-1， x2=3； ③ 3a+c>0； ④当y>0 时，x 的取值范围是-1 ≤ x<3； ⑤当x1<x2<0 时，y1<y2． 其中结论正确的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 拓展与延伸 1. 已知二次函数的图象与 轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点 ，与一次函数的图象交于， 两点. (1) 求点 的坐标； 解：(1) 对于 ， 令，则，解得或 ， 令，则 ， ，， . 把点的坐标代入 ，得，解得 ， ， 令，则 , 解得或（舍去），当时， ， 点的坐标是 . 拓展与延伸 1. 已知二次函数的图象与 轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点 ，与一次函数的图象交于， 两点. (1) 求点 的坐标； 点的坐标是 (2) 求 的面积； (3) 根据图象，若，则 的取值范围为____________； (4) 根据图象，若，则 的取值范围为_______________； (5) 根据图象，当时， 的取值范围为_ ______. 解：(2) ， 顶点的坐标是 . ，， ， . (3) 如图，当时，的取值范围为 . 或 (4) 根据图象，当时，的取值范围为或 . (5) 根据图象，当时，的取值范围为 . 拓展与延伸 2. 现定义：对于一个数，我们把称为 的“邻一数”，若，则；若 ，则.例如： ， .已知函数，当直线 与该函数的图象有4个交点时， 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 解：由题知 ，其图象如图. 当 时，，令，则， 当直线 过点时，与函数 的图象有3个交点. 令 ，即， 当直线 与抛物线 4有一个公共点时，，解得 . 由图象可得当 时，直线 与函数 的图象有4个交点. $