第三单元 分数除法（易错专项讲义）数学人教版六年级上册（新教材）

该小学数学第三单元分数除法易错专项讲义通过框架图系统梳理了知识体系，将分数除法口算、解方程、四则混合运算等7个易错题型按“法则理解-运算应用-实际问题”递进组织，用对比表格归纳不同题型的易错点和解题关键。 讲义亮点在于“易错点精准剖析+分层巩固”设计，如分数除法口算强调“法则遵循与反向核验”，培养运算能力和推理意识。工程问题通过“设总量为1”的模型教学，引导学生用数学语言表达数量关系。每个题型配精讲例题和4组巩固题，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

第三单元 分数除法易错专项讲义  易错题型01 分数除法口算 易错题型02 解分数除法方程 易错题型03 分数四则混合运算 易错题型04 倒数的认识及复杂计算 易错题型05 被除数和商的大小关系 易错题型06 分数除法实际问题 易错题型07 工程问题 易错题型01 分数除法口算 1、同时满足「运算符号判定合规、计算逻辑匹配分数除法法则」推导得到的结果，才是本单元认可的分数除法口算的合规结果，脱离分数除法定义、随意拼接分子分母数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算分数除以整数的口算题时，要严格依托“分数除以非0整数，等于分数乘这个整数的倒数”的法则运算，不能直接把分子直接除以整数后分母不变、忽略倒数转换，混淆分数乘法和除法的计算逻辑。 3、计算一个数除以分数的口算题时，要严格依托“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的法则运算，不能错误将被除数也同时取倒数再相乘，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、反向核验口算结果的合理性时，将算出的商乘除数反向推导，得到的结果必须和题目给定的原始被除数数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含带分数的分数除法口算题时，要先将带分数转化为假分数再做倒数转换运算，不能直接把带分数的整数部分和分数部分分开分别取倒数计算，得到结果偏差的错误答案。 6、标注分数除法口算的最终结果时，必须将结果约分为最简分数形式，涉及实际场景的口算题要匹配对应单位，避免出现未约分、单位错配的问题，导致运算结果的指代完全失真。 【题型精讲1】直接写出得数。                   【易错巩固1】直接写出得数。                                                                                           【易错巩固2】直接写出得数。                                                   【易错巩固3】直接写出得数。                                         【易错巩固4】直接写得数。                                                 易错题型02 解分数除法方程 1、同时满足「等式变形逻辑合规、运算过程匹配等式性质与分数除法法则」推导得到的结果，才是本单元认可的分数除法方程解题的合规结果，脱离方程定义、随意移项拼接数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、处理方程中的分数除法项时，要严格依托“除以非0数等于乘这个数的倒数”的法则先将除法转化为乘法，不能直接把除数的分子分母颠倒后和被除数直接分子加分子、分母加分母，混淆分数除法和分数加法的计算逻辑。 3、利用等式性质消去未知数前的系数时，要严格遵循“等式两边同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立”的规则运算，不能错误只给方程一侧做乘除变形、另一侧保持原数不变，得到完全偏离正确值的方程解。 4、反向核验方程解的合理性时，将算出的未知数数值代入原方程左右两侧分别计算，得到的两侧结果必须完全相等，不能出现代入后左右两边数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注分数除法方程的最终解时，必须将结果约分为最简分数形式，涉及实际场景的方程题要匹配对应单位，避免出现未约分、单位错配的问题，导致解的实际指代完全失真。 6、求解包含多个含未知数项的分数除法方程时，要先通过移项合并同类项，再统一计算系数，不能直接将不同项的分子分母盲目交叉约分，得到重复计算、系数错配的错误结果。 【题型精讲2】解方程。                              【易错巩固1】解方程。           【易错巩固2】解方程。                          【易错巩固3】解方程。              【易错巩固4】解方程。          易错题型03 分数四则混合运算 1、同时满足「运算顺序合规、计算逻辑匹配分数四则运算法则」推导得到的结果，才是本单元认可的分数四则混合运算的合规结果，脱离运算优先级定义、随意拼接分子分母数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、确定分数四则混合运算的运算顺序时，要严格遵循“先算乘除、后算加减，有括号先算括号内”的优先级规则运算，不能直接按照从左到右的顺序盲目计算，混淆不同运算的优先级逻辑。 3、计算分数乘除衔接的运算步骤时，要严格依托“除以非0数等于乘这个数的倒数”的法则统一转化为分数乘法后再交叉约分，不能错误将除法项的被除数也同时取倒数，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、反向核验运算结果的合理性时，将算出的最终结果按运算顺序反向逆推每一步的中间值，得到的初始数值必须和题目给定的原始算式数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含括号的多层分数混合运算时，要仅按“先小括号、再中括号、最后括号外”的顺序逐层计算，不能跳过内层括号直接计算外层运算，得到运算顺序错乱的错误结果。 6、标注分数四则混合运算的最终结果时，必须将结果约分为最简分数形式，涉及实际场景的运算题要匹配对应单位，避免出现未约分、单位错配的问题，导致运算结果的指代完全失真。 7、运用运算律进行分数简便计算时，要先通过运算律匹配可凑整、可约分的项再合并计算，不能直接违背运算律随意凑整、错误套用乘法分配律，得到重复计算或漏项的错误结果。 8、同一道分数四则混合运算的计算过程中，倒数转换规则、约分标准、运算顺序必须完全统一，不能中途随意更改约分倍数、跳步漏写运算步骤，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲3】选择合适的方法计算。                                                              【易错巩固1】计算，能简算的要简算。                               【易错巩固2】用简便方法计算下列各题。          【易错巩固3】怎样算简便就怎样算。                   【易错巩固4】脱式计算，能简算的要简算。 7.3－0.37－0.63         易错题型04 倒数的认识及复杂计算 1、同时满足「倒数定义属性合规、运算逻辑匹配倒数乘积规则」推导得到的结果，才是本单元认可的倒数相关计算的合规结果，脱离倒数“乘积为1的两个数互为倒数”的核心定义、随意拼接分子分母得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、判定两个数是否互为倒数时，要严格依托“两数相乘乘积为1”的标准验证，不能直接把分子分母颠倒的形式等同于倒数判定的唯一依据，混淆形式特征和本质定义的逻辑。 3、求分数、整数的倒数时，要严格依托倒数定义计算：分数的倒数交换分子分母位置、非0整数的倒数是整数分之一，不能错误将0的倒数判定为0，得到完全违背数学定义的错误结果。 4、反向核验倒数计算结果的合理性时，将算出的倒数和原数相乘，得到的乘积必须等于1，不能出现相乘后结果不等于1的逻辑矛盾。 5、计算包含带分数、小数的复杂倒数问题时，要先将带分数转化为假分数、小数转化为最简分数，再交换分子分母求倒数，不能直接颠倒带分数的分数部分、直接颠倒小数的数位求倒数，得到结果偏差的错误答案。 6、标注倒数相关计算的最终结果时，要明确倒数是两个数的相互依存关系，不能单独说某个数是倒数，涉及实际场景的计算要匹配对应单位，避免出现关系表述错误、单位错配的问题，导致概念指代完全失真。 7、计算多个数连乘的倒数类复杂问题时，要先通过倒数定义剔除乘积为1的倒数对简化运算，不能直接对多个数逐一颠倒分子分母后盲目连乘，得到重复计算的错误结果。 8、同一道倒数相关的复杂计算过程中，倒数的判定标准、分数小数的转换规则必须完全统一，不能中途随意更改倒数的判定条件，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲4】与它的倒数的乘积是（    ）。 A． B．5 C．1 D． 【易错巩固1】自然数中，最小质数与最小奇数之和的倒数是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固2】与（ ）的和是1，与它的倒数相差（ ），1与它的倒数相乘的积是（ ）。 【易错巩固3】已知甲乙丙（甲、乙、丙都不为0），则甲、乙、丙三个数中最大的是（ ）、最小的是（ ）。 【易错巩固4】一块长方形广告牌长米，宽和长互为倒数，现在要给广告牌的四周镶上铝合金边框，一共需要多少米的铝合金？ 易错题型05 被除数和商的大小关系 1、同时满足「除数取值范围合规、大小判定逻辑匹配分数除法运算规律」推导得到的结论，才是本单元认可的被除数与商大小关系判定的合规结果，脱离除法运算本质、仅凭直觉判定得到的不符合数理逻辑的结论不能作为有效判定依据。 2、判定分数除法中商与被除数的大小关系时，要严格依托“除以非0数等于乘这个数的倒数”的核心法则推导，不能直接套用整数除法“除法一定让结果变小”的固有印象直接判定，混淆整数除法和分数除法的规律逻辑。 3、分析除数对商的影响时，要严格按除数与1的大小关系分类判定，不能错误将“除数是分数”直接等同于“商一定大于被除数”，得到完全偏离正确规律的判定结果。 4、反向核验大小判定结果的合理性时，将符合条件的具体数值代入原式计算验证，得到的商和被除数的大小关系必须和之前的判定结论完全匹配，不能出现代入验证后大小关系相反的逻辑矛盾。 5、判定包含0的特殊除法算式的大小关系时，要仅统计非0除数的有效算式：0除以任何非0数商都是0，和被除数相等，不能把0作除数的无意义算式纳入大小判定范围，得到规律适用范围错乱的错误结论。 6、标注大小关系的判定结论时，必须明确标注结论的适用前提（如“除数大于1且被除数为正数”），避免出现前提缺失、范围错配的问题，导致规律的指代完全失真。 7、应用商与被除数的大小关系快速比较算式大小时，要严格匹配除数的取值范围对应规律判定，不能脱离除数大小直接给结果排序，得到和实际计算结果完全不符的大小排序结论。 【题型精讲5】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ）        （ ） 【易错巩固1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ）    （ ） 【易错巩固2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）       （ ）      （ ）0.28 【易错巩固3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ）    （ ） 【易错巩固4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ）    （ ） 易错题型06 分数除法实际问题 1、同时满足「数量关系梳理合规、解题逻辑匹配分数除法核心定义」推导得到的结果，才是本单元认可的分数除法实际问题的合规结果，脱离“已知部分量和对应分率求单位‘1’”的题型本质、随意拼接数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、分析分数除法实际问题的数量关系时，要严格依托“单位‘1’的量×对应分率=对应部分量”的核心关系列算式或方程，不能直接把已知部分量乘对应分率求单位“1”，混淆分数乘法和分数除法实际问题的解题逻辑。 3、确定题目中的单位“1”时，要严格抓准“占、是、比、相当于”等关键词后的标准量，不能错误把比较量当作单位“1”，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、反向核验解题结果的合理性时，将算出的单位“1”的量乘题目给出的对应分率，得到的部分量必须和题目给定的原始已知部分量完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含多个分率的复杂分数实际问题时，要仅统计和所求量直接对应的有效分率，不能把题目中其他无关分率随意代入运算，得到结果虚高或偏低的错误答案。 6、标注分数除法实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的实际单位，涉及分率的结果要明确分率的对应基准，避免出现单位错配、分率指代混乱的问题，导致结果的实际意义完全失真。 7、计算包含两个量重叠、分率交叉的分数实际问题时，要先通过容斥原理剔除重复统计的重叠部分对应的分率，不能直接将多个分率对应的量盲目相加，得到重复计算的错误总数量。 8、求解“已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数”的题型时，要先算出已知量对应的分率（1加或减相差分率），再用部分量除以对应分率求解，不能直接用已知量除以相差分率计算，得到和实际数量关系不符的结果。 【题型精讲6】学校图书馆有科技书和故事书共300本，科技书的本数是故事书的。两种书各有多少本？ 【易错巩固1】小猫咪咪，欢欢和乐乐一起去钓鱼，咪咪钓的鱼是欢欢的，乐乐钓的鱼是欢欢的，已知咪咪钓了千克，你知道欢欢和乐乐各钓了多少千克鱼吗？ 【易错巩固2】六年级举行“小发明”比赛，六（1）班交了35件作品，六（1）班比六（2）班多交，两个班一共交了多少件作品？ 【易错巩固3】甲乙两个仓库都装满了粮食，甲仓库的粮食运出，乙仓库的粮食运出后，两个仓库剩余的粮食数相等。已知甲仓库粮食320吨，求乙仓库原来有粮食多少吨？ 【易错巩固4】《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 易错题型07 工程问题 1、同时满足「工作总量设定合规、数量关系匹配工程问题核心逻辑」推导得到的结果，才是本单元认可的工程问题合规结果，脱离“工作总量、工作效率、工作时间”三量关系、随意拼接时间数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、计算无具体工作总量的工程问题时，要严格依托“将总工作总量设为单位‘1’”的规则设定基准，不能直接把给出的单独完工时间当作工作效率参与运算，混淆工作时间和工作效率的概念逻辑。 3、计算合作类工程问题的工作效率时，要严格依托公式合作效率=甲效率+乙效率合作效率=甲效率+乙效率运算，不能错误将两人的单独完工时间直接相加求合作时间，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验工程问题结果的合理性时，将算出的合作时间乘合作总效率，得到的工作总量必须和初始设定的单位“1”完全匹配，不能出现反向推导后总量不等于1的逻辑矛盾。 5、计算包含“先单独做、再合作”分段施工的工程问题时，要仅统计对应施工阶段的效率和时长计算工作量，不能把未参与该阶段施工的主体效率强行计入，得到工作时长虚高的错误结果。 6、标注工程问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位：工作效率标注“总量/天”类复合单位、工作时间标注时间单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 7、计算包含多主体轮班、工作量重叠的工程问题时，要先通过分段统计剔除重复计算的重叠工作量，不能直接将多个主体的总工作量直接相加，得到重复计算的错误总工作量。 8、同一道工程问题的计算过程中，工作总量的设定标准、效率的计算口径必须完全统一，不能中途随意更换总工作量的取值、混淆各主体的效率归属，打乱运算逻辑的严谨性。 9、计算包含“中途有人离开、有人加入”的动态工程问题时，要先分段梳理每个阶段的参与主体、对应效率和已完成工作量，再求解剩余部分的施工时间，不能全程按初始合作效率计算，得到和实际施工过程不符的结果。 【题型精讲7】一个蓄水池，甲注水管向池中注水，4小时可以注满，乙注水管向池中注水，5小时可以注满，如果同时开甲、乙两个注水管，需要几小时可以注满水池？ 【易错巩固1】学校为田径场重新画跑道线，甲组单独完成需20分钟，乙组单独完成需30分钟，两队合作10分钟后，剩余任务由乙组单独完成，还需要多少分钟？ 【易错巩固2】城市要改造美化入城大道，甲乙两队合作需要12天完成，现甲先工作3天，然后由乙再工作2天，还剩下这段路的没完成，已知甲每天比乙少完成40米，要美化的入城大道有多少米？ 【易错巩固3】修一段路，甲队单独修要20天完成，乙队单独修要15天完成，现在先由甲队单独修5天后，乙队加入进来与甲队一起合修了3天，这时甲队因有事被外调，余下的工程只能由乙队单独修，请问乙队还要修多少天才能完成？ 【易错巩固4】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半，如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成，还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 分数除法易错专项讲义  易错题型01 分数除法口算 易错题型02 解分数除法方程 易错题型03 分数四则混合运算 易错题型04 倒数的认识及复杂计算 易错题型05 被除数和商的大小关系 易错题型06 分数除法实际问题 易错题型07 工程问题 易错题型01 分数除法口算 1、同时满足「运算符号判定合规、计算逻辑匹配分数除法法则」推导得到的结果，才是本单元认可的分数除法口算的合规结果，脱离分数除法定义、随意拼接分子分母数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、计算分数除以整数的口算题时，要严格依托“分数除以非0整数，等于分数乘这个整数的倒数”的法则运算，不能直接把分子直接除以整数后分母不变、忽略倒数转换，混淆分数乘法和除法的计算逻辑。 3、计算一个数除以分数的口算题时，要严格依托“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的法则运算，不能错误将被除数也同时取倒数再相乘，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、反向核验口算结果的合理性时，将算出的商乘除数反向推导，得到的结果必须和题目给定的原始被除数数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含带分数的分数除法口算题时，要先将带分数转化为假分数再做倒数转换运算，不能直接把带分数的整数部分和分数部分分开分别取倒数计算，得到结果偏差的错误答案。 6、标注分数除法口算的最终结果时，必须将结果约分为最简分数形式，涉及实际场景的口算题要匹配对应单位，避免出现未约分、单位错配的问题，导致运算结果的指代完全失真。 【题型精讲1】直接写出得数。                   【答案】；； ；； 【易错巩固1】直接写出得数。                                                                                           【答案】；；；； ；；； 【易错巩固2】直接写出得数。                                                   【答案】；；；； ；；； 【易错巩固3】直接写出得数。                                         【答案】；；；； ；；； 【易错巩固4】直接写得数。                                                 【答案】（或）；3；9；； 1；；（或0.6）； 易错题型02 解分数除法方程 1、同时满足「等式变形逻辑合规、运算过程匹配等式性质与分数除法法则」推导得到的结果，才是本单元认可的分数除法方程解题的合规结果，脱离方程定义、随意移项拼接数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、处理方程中的分数除法项时，要严格依托“除以非0数等于乘这个数的倒数”的法则先将除法转化为乘法，不能直接把除数的分子分母颠倒后和被除数直接分子加分子、分母加分母，混淆分数除法和分数加法的计算逻辑。 3、利用等式性质消去未知数前的系数时，要严格遵循“等式两边同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立”的规则运算，不能错误只给方程一侧做乘除变形、另一侧保持原数不变，得到完全偏离正确值的方程解。 4、反向核验方程解的合理性时，将算出的未知数数值代入原方程左右两侧分别计算，得到的两侧结果必须完全相等，不能出现代入后左右两边数值不一致的逻辑矛盾。 5、标注分数除法方程的最终解时，必须将结果约分为最简分数形式，涉及实际场景的方程题要匹配对应单位，避免出现未约分、单位错配的问题，导致解的实际指代完全失真。 6、求解包含多个含未知数项的分数除法方程时，要先通过移项合并同类项，再统一计算系数，不能直接将不同项的分子分母盲目交叉约分，得到重复计算、系数错配的错误结果。 【题型精讲2】解方程。                              【答案】； 【分析】第一题：根据等式的性质1，方程两边同时减去6.3，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 第二题：先化简方程左边含有x的算式，即求出－1的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－1的差即可。 【解答】x＋6.3＝12.3 解：x＋6.3－6.3＝12.3－6.3 x＝6 x÷＝6÷ x＝6× x＝ x－x＝21 解：x＝21 x÷＝21÷ x＝21×7 x＝147 【易错巩固1】解方程。           【答案】；； 【分析】利用等式的性质2两边同时除以7解方程。 利用等式的性质1两边同时减去6，再利用等式的性质2两边同时除以解方程。 ，先对等式左边进行化简，再利用等式的性质2两边同时除以解方程。 【解答】 解： 解： 解： 【易错巩固2】解方程。                          【答案】；； 【分析】根据等式的性质，方程两边同时除以； 先算减法，根据等式的性质，方程两边同时除以； 根据等式的性质，方程两边同时加，再除以2。 【解答】 解： 解： 解： 【易错巩固3】解方程。              【答案】x＝36； 【分析】根据等式的性质2，左右两边同时除以即可； 先化简左边算式，再左右两边同时除以x前的数字即可。 【解答】 解： x＝36 解： 【易错巩固4】解方程。          【答案】；； 【分析】利用等式的性质1两边同时减去45，再利用等式的性质2两边同时除以解方程。 利用等式的性质2两边同时除以，再利用等式的性质1两边同时减去24解方程。 利用等式的性质1两边同时加上后两边再同时减去，再利用等式的性质2两边同时除以解方程。 【解答】 解： 解： 解： 易错题型03 分数四则混合运算 1、同时满足「运算顺序合规、计算逻辑匹配分数四则运算法则」推导得到的结果，才是本单元认可的分数四则混合运算的合规结果，脱离运算优先级定义、随意拼接分子分母数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、确定分数四则混合运算的运算顺序时，要严格遵循“先算乘除、后算加减，有括号先算括号内”的优先级规则运算，不能直接按照从左到右的顺序盲目计算，混淆不同运算的优先级逻辑。 3、计算分数乘除衔接的运算步骤时，要严格依托“除以非0数等于乘这个数的倒数”的法则统一转化为分数乘法后再交叉约分，不能错误将除法项的被除数也同时取倒数，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、反向核验运算结果的合理性时，将算出的最终结果按运算顺序反向逆推每一步的中间值，得到的初始数值必须和题目给定的原始算式数值完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含括号的多层分数混合运算时，要仅按“先小括号、再中括号、最后括号外”的顺序逐层计算，不能跳过内层括号直接计算外层运算，得到运算顺序错乱的错误结果。 6、标注分数四则混合运算的最终结果时，必须将结果约分为最简分数形式，涉及实际场景的运算题要匹配对应单位，避免出现未约分、单位错配的问题，导致运算结果的指代完全失真。 7、运用运算律进行分数简便计算时，要先通过运算律匹配可凑整、可约分的项再合并计算，不能直接违背运算律随意凑整、错误套用乘法分配律，得到重复计算或漏项的错误结果。 8、同一道分数四则混合运算的计算过程中，倒数转换规则、约分标准、运算顺序必须完全统一，不能中途随意更改约分倍数、跳步漏写运算步骤，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲3】选择合适的方法计算。                                                              【答案】；； ； 【分析】（1）先算乘法，再算减法。 （2）先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算括号外的除法。 （3）利用减法的性质，将减去两个数的和转化为连续减法，简化计算。 （4）利用乘法分配律，提取相同因数，简化计算。 【解答】（1） ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝1×5 ＝5 【易错巩固1】计算，能简算的要简算。                               【答案】29；1.6； ； 【分析】（1）利用乘法分配律，将括号里的每个分数分别乘24，简化计算。 （2）先把除法转化为乘法，再从左往右依次约分计算。 （3）利用乘法分配律，提取相同因数，简化计算。 （4）先算小括号里的减法，再算中括号内的除法，最后算括号外的乘法。 【解答】（1） ＝ ＝18＋20－9 ＝38－9 ＝29 （2） ＝ ＝2×0.8 ＝1.6 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错巩固2】用简便方法计算下列各题。          【答案】6；；75 【分析】先算除法，再用减法的性质简便计算； 先将除法转化成乘法，再用乘法分配律简便计算； 先把除以变成乘36，再用乘法分配律简便计算。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝7－1 ＝6 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝18＋27＋30 ＝75 【易错巩固3】怎样算简便就怎样算。                   【答案】；； ； 【分析】根据加法的交换律和减法的性质，将算式变成再计算； 先计算小括号内减法，再计算中括号内乘法，最后计算除法； 将除法换成乘法，再根据乘法分配律将算式变成再计算； 将2025写成2026－1，再根据乘法分配律将算式变成。 【解答】 【易错巩固4】脱式计算，能简算的要简算。 7.3－0.37－0.63         【答案】6.3；；2 【分析】（1）运用减法运算性质简便计算； （2）将除以6变为乘后，运用乘法分配律的逆运算简便计算； （3）先算小括号里的减法再算中括号里的乘法最后算括号外的除法。 【解答】（1）7.3－0.37－0.63 ＝7.3－（0.37＋0.63） ＝7.3－1 ＝6.3 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 易错题型04 倒数的认识及复杂计算 1、同时满足「倒数定义属性合规、运算逻辑匹配倒数乘积规则」推导得到的结果，才是本单元认可的倒数相关计算的合规结果，脱离倒数“乘积为1的两个数互为倒数”的核心定义、随意拼接分子分母得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效运算依据。 2、判定两个数是否互为倒数时，要严格依托“两数相乘乘积为1”的标准验证，不能直接把分子分母颠倒的形式等同于倒数判定的唯一依据，混淆形式特征和本质定义的逻辑。 3、求分数、整数的倒数时，要严格依托倒数定义计算：分数的倒数交换分子分母位置、非0整数的倒数是整数分之一，不能错误将0的倒数判定为0，得到完全违背数学定义的错误结果。 4、反向核验倒数计算结果的合理性时，将算出的倒数和原数相乘，得到的乘积必须等于1，不能出现相乘后结果不等于1的逻辑矛盾。 5、计算包含带分数、小数的复杂倒数问题时，要先将带分数转化为假分数、小数转化为最简分数，再交换分子分母求倒数，不能直接颠倒带分数的分数部分、直接颠倒小数的数位求倒数，得到结果偏差的错误答案。 6、标注倒数相关计算的最终结果时，要明确倒数是两个数的相互依存关系，不能单独说某个数是倒数，涉及实际场景的计算要匹配对应单位，避免出现关系表述错误、单位错配的问题，导致概念指代完全失真。 7、计算多个数连乘的倒数类复杂问题时，要先通过倒数定义剔除乘积为1的倒数对简化运算，不能直接对多个数逐一颠倒分子分母后盲目连乘，得到重复计算的错误结果。 8、同一道倒数相关的复杂计算过程中，倒数的判定标准、分数小数的转换规则必须完全统一，不能中途随意更改倒数的判定条件，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲4】与它的倒数的乘积是（    ）。 A． B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，据此得解。 【解答】任意非零数与它的倒数的乘积都为1，所以与它的倒数的乘积是1。 【易错巩固1】自然数中，最小质数与最小奇数之和的倒数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】质数是大于1、只有1和它本身两个因数的自然数，奇数是不能被2整除的自然数，乘积为1的两个数互为倒数。解题思路为先找出最小质数2和最小奇数1，求出二者的和，最后求出这个和的倒数。求整数的倒数，先把整数写成分母是1的分数，再把分子、分母颠倒位置即可。 【解答】最小质数为2，最小奇数为1。 两数之和：2＋1＝3 3的倒数是 【易错巩固2】与（ ）的和是1，与它的倒数相差（ ），1与它的倒数相乘的积是（ ）。 【答案】/0.75 //2.1 1 【分析】第一个空：和是1，求其中一个加数，用（1－）。 第二个空：求一个分数的倒数就是把分子分母互换位置，相差就是大数减小数。 第三个空：1的倒数还是1，再相乘即可。 【解答】第一空： 1－＝ 第二空： 的倒数是 － ＝－ ＝ ＝ 第三空：1×1＝1 【易错巩固3】已知甲乙丙（甲、乙、丙都不为0），则甲、乙、丙三个数中最大的是（ ）、最小的是（ ）。 【答案】乙 丙 【分析】首先设三个算式的乘积都等于1，因为乘积相等的情况下，可以分别反推出甲、乙、丙的数值进行比较。 乘积为1的两个数互为倒数，求一个分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置即可，据此得到甲、乙、丙的具体值。 比较三个数的大小，如果是同分子分数比较，分母大的分数更小；如果有假分数，那么假分数大于真分数。 【解答】把三个等式的结果都假设为1，分别算出三个数的大小： 甲×＝1，那么甲＝ 乙×＝1，那么乙＝ 丙×＝1，那么丙＝ ，所以最大的是乙，最小的是丙。 【易错巩固4】一块长方形广告牌长米，宽和长互为倒数，现在要给广告牌的四周镶上铝合金边框，一共需要多少米的铝合金？ 【答案】米 【分析】先根据倒数的意义求出长方形广告牌的宽，再利用长方形周长公式计算铝合金边框的总长度。 【解答】长为米，宽和长互为倒数，所以宽为米。 ＝ （米） 答：一共需要米的铝合金。 易错题型05 被除数和商的大小关系 1、同时满足「除数取值范围合规、大小判定逻辑匹配分数除法运算规律」推导得到的结论，才是本单元认可的被除数与商大小关系判定的合规结果，脱离除法运算本质、仅凭直觉判定得到的不符合数理逻辑的结论不能作为有效判定依据。 2、判定分数除法中商与被除数的大小关系时，要严格依托“除以非0数等于乘这个数的倒数”的核心法则推导，不能直接套用整数除法“除法一定让结果变小”的固有印象直接判定，混淆整数除法和分数除法的规律逻辑。 3、分析除数对商的影响时，要严格按除数与1的大小关系分类判定，不能错误将“除数是分数”直接等同于“商一定大于被除数”，得到完全偏离正确规律的判定结果。 4、反向核验大小判定结果的合理性时，将符合条件的具体数值代入原式计算验证，得到的商和被除数的大小关系必须和之前的判定结论完全匹配，不能出现代入验证后大小关系相反的逻辑矛盾。 5、判定包含0的特殊除法算式的大小关系时，要仅统计非0除数的有效算式：0除以任何非0数商都是0，和被除数相等，不能把0作除数的无意义算式纳入大小判定范围，得到规律适用范围错乱的错误结论。 6、标注大小关系的判定结论时，必须明确标注结论的适用前提（如“除数大于1且被除数为正数”），避免出现前提缺失、范围错配的问题，导致规律的指代完全失真。 7、应用商与被除数的大小关系快速比较算式大小时，要严格匹配除数的取值范围对应规律判定，不能脱离除数大小直接给结果排序，得到和实际计算结果完全不符的大小排序结论。 【题型精讲5】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ）        （ ） 【答案】 【分析】一个数（除外）乘大于的数，积大于这个数；乘小于的数，积小于这个数。一个数（除外）除以小于的数（除外），商大于被除数。据此比较大小。 【解答】， ， ， 【易错巩固1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ）    （ ） 【答案】＞ ＜ ＝ 【分析】一个数（0除外）除以一个小于1（0除外）的数，结果会大于原数；除以1等于其本身；除以一个大于1的数，结果会小于原数；除以一个分数等于乘这个分数的倒数。 【解答】（1）因为＜1，所以＞。 （2）因为＞1，所以＜。 （3）因为的倒数是，所以＝。 【易错巩固2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）       （ ）      （ ）0.28 【答案】＜ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。 用分子除以分母，将分数化为小数，再比较大小。 【解答】因为＞1，所以＜； 因为＜1，所以9÷＞9，9×＜9，因此，9÷＞9×； ＝7÷25＝0.28，所以＝0.28。 【易错巩固3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ）    （ ） 【答案】＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个非0的数乘一个大于1的数，结果大于这个数，乘一个小于1的数，结果小于这个数；一个非0的数除以一个小于1的数（0除外），结果大于这个数，除以一个大于1的数，结果小于这个数； （2）先根据异分母分数减法和分数乘法的计算方法分别算出－和×，再比较大小。 【解答】因为＜1，所以13÷＞13； 因为＞1，所以÷＜，×＞，所以÷＜×； 因为－＝－＝，×＝，所以－＝×。 13÷＞13；÷＜×；－＝×。 【易错巩固4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）    （ ）    （ ） 【答案】＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商比原来的数大； （2）先把除法转化成乘法，再根据“乘法算式中，其中一个因数相同，另一个因数大的，积就大”进行比较； （3）根据“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”将除法转化成乘法。 【解答】（1），所以； （2），，所以； （3）。 易错题型06 分数除法实际问题 1、同时满足「数量关系梳理合规、解题逻辑匹配分数除法核心定义」推导得到的结果，才是本单元认可的分数除法实际问题的合规结果，脱离“已知部分量和对应分率求单位‘1’”的题型本质、随意拼接数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、分析分数除法实际问题的数量关系时，要严格依托“单位‘1’的量×对应分率=对应部分量”的核心关系列算式或方程，不能直接把已知部分量乘对应分率求单位“1”，混淆分数乘法和分数除法实际问题的解题逻辑。 3、确定题目中的单位“1”时，要严格抓准“占、是、比、相当于”等关键词后的标准量，不能错误把比较量当作单位“1”，得到完全偏离正确值的运算结果。 4、反向核验解题结果的合理性时，将算出的单位“1”的量乘题目给出的对应分率，得到的部分量必须和题目给定的原始已知部分量完全匹配，不能出现反向推导后数值不一致的逻辑矛盾。 5、计算包含多个分率的复杂分数实际问题时，要仅统计和所求量直接对应的有效分率，不能把题目中其他无关分率随意代入运算，得到结果虚高或偏低的错误答案。 6、标注分数除法实际问题的最终结果时，必须明确标注对应的实际单位，涉及分率的结果要明确分率的对应基准，避免出现单位错配、分率指代混乱的问题，导致结果的实际意义完全失真。 7、计算包含两个量重叠、分率交叉的分数实际问题时，要先通过容斥原理剔除重复统计的重叠部分对应的分率，不能直接将多个分率对应的量盲目相加，得到重复计算的错误总数量。 8、求解“已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数”的题型时，要先算出已知量对应的分率（1加或减相差分率），再用部分量除以对应分率求解，不能直接用已知量除以相差分率计算，得到和实际数量关系不符的结果。 【题型精讲6】学校图书馆有科技书和故事书共300本，科技书的本数是故事书的。两种书各有多少本？ 【答案】科技书有120本；故事书有180本 【分析】因为科技书的本数是故事书的，是将故事书的本数看作单位“1”，两种书的数量是故事书的（），所以两种书的总本数对应的分率是（），根据“对应量÷对应分率＝单位‘1’的量”，用两种书的总本数除以总本数对应的分率，计算出故事书的本数；科技书和故事书的和是总本数，用总本数减去故事书的本数，即可求得科技书是多少本。 【解答】300÷（1＋） ＝300÷ ＝300× ＝60×3 ＝180（本） 300－180＝120（本） 答：科技书有120本，故事书有180本。 【易错巩固1】小猫咪咪，欢欢和乐乐一起去钓鱼，咪咪钓的鱼是欢欢的，乐乐钓的鱼是欢欢的，已知咪咪钓了千克，你知道欢欢和乐乐各钓了多少千克鱼吗？ 【答案】千克；千克 【分析】把欢欢钓鱼的重量看作单位“1”，先根据咪咪钓鱼的重量对应欢欢的，用除法求出欢欢的钓鱼重量，再根据乐乐钓鱼的重量是欢欢的，用乘法求出乐乐的钓鱼重量。 【解答】 （千克） （千克） 答：欢欢钓了千克鱼，乐乐钓了千克鱼。 【易错巩固2】六年级举行“小发明”比赛，六（1）班交了35件作品，六（1）班比六（2）班多交，两个班一共交了多少件作品？ 【答案】63件 【分析】把六（2）班交的作品数看作单位“1”，六（1）班交的作品数对应六（2）班的，先用除法求出六（2）班的作品数，再将两个班的作品数相加得到总数。 【解答】（件） （件） 答：两个班一共交了63件作品。 【易错巩固3】甲乙两个仓库都装满了粮食，甲仓库的粮食运出，乙仓库的粮食运出后，两个仓库剩余的粮食数相等。已知甲仓库粮食320吨，求乙仓库原来有粮食多少吨？ 【答案】300吨 【分析】“甲仓库的粮食运出”，这里的单位“1”是甲仓库原有粮食质量。用甲仓库原有粮食质量×甲仓库剩余粮食对应的分率（1－），算出甲仓库剩余的粮食质量；由于两仓库剩余粮食质量相等，用乙（甲）仓库剩余的粮食质量÷乙仓库剩余粮食质量对应的分率（1－），就能求出乙仓库原有粮食的质量。 【解答】 （吨） （吨） 答：乙仓库原来有粮食300吨。 【易错巩固4】《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【答案】斗 【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1－），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（斗） 答：这个人原来背斗米出关。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。 易错题型07 工程问题 1、同时满足「工作总量设定合规、数量关系匹配工程问题核心逻辑」推导得到的结果，才是本单元认可的工程问题合规结果，脱离“工作总量、工作效率、工作时间”三量关系、随意拼接时间数值得到的不符合数理逻辑的结果不能作为有效解题依据。 2、计算无具体工作总量的工程问题时，要严格依托“将总工作总量设为单位‘1’”的规则设定基准，不能直接把给出的单独完工时间当作工作效率参与运算，混淆工作时间和工作效率的概念逻辑。 3、计算合作类工程问题的工作效率时，要严格依托公式合作效率=甲效率+乙效率合作效率=甲效率+乙效率运算，不能错误将两人的单独完工时间直接相加求合作时间，得到完全偏离正确值的结果。 4、反向核验工程问题结果的合理性时，将算出的合作时间乘合作总效率，得到的工作总量必须和初始设定的单位“1”完全匹配，不能出现反向推导后总量不等于1的逻辑矛盾。 5、计算包含“先单独做、再合作”分段施工的工程问题时，要仅统计对应施工阶段的效率和时长计算工作量，不能把未参与该阶段施工的主体效率强行计入，得到工作时长虚高的错误结果。 6、标注工程问题的最终结果时，必须明确标注对应的单位：工作效率标注“总量/天”类复合单位、工作时间标注时间单位，避免出现单位错配的问题，导致度量结果的指代完全失真。 7、计算包含多主体轮班、工作量重叠的工程问题时，要先通过分段统计剔除重复计算的重叠工作量，不能直接将多个主体的总工作量直接相加，得到重复计算的错误总工作量。 8、同一道工程问题的计算过程中，工作总量的设定标准、效率的计算口径必须完全统一，不能中途随意更换总工作量的取值、混淆各主体的效率归属，打乱运算逻辑的严谨性。 9、计算包含“中途有人离开、有人加入”的动态工程问题时，要先分段梳理每个阶段的参与主体、对应效率和已完成工作量，再求解剩余部分的施工时间，不能全程按初始合作效率计算，得到和实际施工过程不符的结果。 【题型精讲7】一个蓄水池，甲注水管向池中注水，4小时可以注满，乙注水管向池中注水，5小时可以注满，如果同时开甲、乙两个注水管，需要几小时可以注满水池？ 【答案】小时 【分析】将蓄水池的总容量看作单位“1”，先分别用除法求出甲、乙注水管的注水效率，再求出两管同时开的效率和，最后用总容量除以效率和得到注满时间。 【解答】 （小时） 答：需要小时可以注满水池。 【易错巩固1】学校为田径场重新画跑道线，甲组单独完成需20分钟，乙组单独完成需30分钟，两队合作10分钟后，剩余任务由乙组单独完成，还需要多少分钟？ 【答案】5分钟 【分析】把画跑道线看作单位“1”，那么甲组的工作效率是1÷20＝，乙组的工作效率是1÷30＝，两队合作10分钟，所以用两队的工作效率之和乘10，求出两队合作10分钟的工作量，再用单位“1”减去两队合作10分钟的工作量，求出剩下的工作量，然后再除以乙组的工作效率即可解答。 【解答】1÷20＝ 1÷30＝ （分钟） 答：还需要5分钟。 【易错巩固2】城市要改造美化入城大道，甲乙两队合作需要12天完成，现甲先工作3天，然后由乙再工作2天，还剩下这段路的没完成，已知甲每天比乙少完成40米，要美化的入城大道有多少米？ 【答案】2400米 【分析】把入城大道总长度看作单位“1”，先根据合作时间求出甲乙合作的工作效率，再将甲工作3天、乙工作2天的工作量转化为甲乙合作2天加甲单独工作1天的工作量，依次求出甲、乙的工作效率，最后用甲乙效率差对应的实际长度除以效率的分率差，得到总长度。 【解答】甲乙合作工作效率： 甲工作3天＋乙工作2天工作量： 甲乙合作两天的工作量： 甲工作效率： 乙工作效率： 甲乙工作效率差： 总长度：（米） 答：要美化的入城大道有2400米。 【易错巩固3】修一段路，甲队单独修要20天完成，乙队单独修要15天完成，现在先由甲队单独修5天后，乙队加入进来与甲队一起合修了3天，这时甲队因有事被外调，余下的工程只能由乙队单独修，请问乙队还要修多少天才能完成？ 【答案】6天 【分析】把修这段路的总工作量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两队的工作效率； 先由甲队单独修5天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”求出甲队5天完成的工作量； 乙队加入进来与甲队一起合修了3天，根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”求出两队合修3天完成的工作量； 用总工作量减去甲单独修5天与甲乙合修3天完成的工作量之和，求出剩余工作量； 余下的工程只能由乙队单独修，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”求出乙队还要修的天数。 【解答】甲队的工作效率： 乙队的工作效率： 甲队单独修天的工作量： 甲乙两队合修天的工作量： 剩余工作量： 乙队还需修的天数： （天） 答：乙队还要修6天才能完成。 【易错巩固4】一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半，如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成，还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？ 【答案】30 【分析】把全部工程量看作单位“1”，丙帮忙的时间段中，乙的工作效率是丙的3倍，那么同时间内乙丙工作量比为3：1，据此求出丙的工作量；若丙不来，乙需多做丙的这部分工作量，再结合“计划推迟天”进而得到乙的效率，再用乙完成的总工程量除以乙的效率得到乙的总工作时间；再结合甲单独做提前6天的条件，求出甲的效率和单独完成时间，最终推算计划工期。 【解答】根据分析，把全部工程量看作单位“1” 丙帮忙期间乙丙完成的总工作量： 帮忙时丙自己完成的工作量： 若丙不来，乙需多做，对应推迟（）天， 乙的工作效率： 乙总共完成工程总量的，乙的总工作时间：（天） 甲完成部分后，剩余工作量由乙和丙共同完成，这部分总量为： 甲单独做完全部工程比计划提前6天，因此甲做剩余的时间比乙总工作时间少6天：（天） 甲的工作效率： 甲单独完成工程的时间：（天） 原计划工期：（天） 答：计划规定的工期是30天。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $