26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，系统梳理抛物线与x轴交点横坐标即方程根、判别式与交点个数关系等核心知识点。课堂导入通过类比一次函数与一元一次方程的联系，搭建知识迁移支架，引导学生从已学内容自然过渡到新知探究。 其亮点在于以几何直观和推理能力为核心，通过函数图象观察（如y=x²+x-2等实例）建立方程根与交点关系，例1采用代入法、对称轴法、韦达定理等多解法培养数学思维，结合小球飞行、推铅球等实际问题渗透模型意识。学生能深化知识理解与应用能力，教师可借助分层练习和详细解析提升教学效果。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 二次函数与一元二次方程专项练习 （人教版数学九年级上册 26.3 第1课时） 一、基础知识点梳理 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）联系紧密。当二次函数的函数值y=0时，对应的自变量x的值就是一元二次方程的根。抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况：判别式Δ=b²-4ac，Δ>0时，抛物线与x轴有两个不同交点，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上），方程有两个相等的实数根；Δ<0时，抛物线与x轴无交点，方程无实数根。反之，可通过方程根的情况判断抛物线与x轴的位置关系。 二、专项练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 抛物线y=x²-5x+6与x轴的交点横坐标是方程________的根。 2. 已知抛物线y=x²-4x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是________。 3. 一元二次方程x²-2x-3=0的两根为x₁=-1，x₂=3，则抛物线y=x²-2x-3与x轴的交点坐标为________、________。 4. 抛物线y=2x²+3x+1与x轴只有一个交点，则Δ=________。 5. 若抛物线y=ax²+bx+4经过点(2,0)，则一元二次方程ax²+bx+4=0的一个根为________。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线y=x²+2x+2与x轴的交点个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 2. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不相等交点，则一元二次方程ax²+bx+c=0的根为（） A. 无实数根 B. 两个相等实数根 C. 两个不相等实数根 D. 无法判断 3. 抛物线y=-x²+4x-4与x轴的交点坐标是（） A. (2,0) B. (-2,0) C. (4,0) D. (-4,0) 4. 若方程x²-6x+k=0有两个相等实数根，则抛物线y=x²-6x+k与x轴的交点个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知抛物线y=x²+mx-2过点(1,0)，则方程x²+mx-2=0的另一个根为（） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 （三）解答题（共60分） 1.（20分）已知二次函数y=x²-6x+5。（1）判断该抛物线与x轴的交点个数；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标。 2.（20分）已知抛物线y=2x²-4x+m。（1）若抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）若抛物线与x轴仅有一个交点，求m的值及交点坐标。 3.（20分）已知二次函数y=-x²+3x+4。（1）求对应一元二次方程-x²+3x+4=0的根；（2）结合方程根，说明抛物线与x轴的交点情况，并写出交点坐标。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. x²-5x+6=0 解析：抛物线与x轴交点处y=0，对应方程即为解析式等于0。 2. m<4 解析：Δ=16-4m>0，解得m<4。 3. (-1,0)、(3,0) 解析：方程的根即为抛物线与x轴交点的横坐标。 4. 0 解析：抛物线与x轴仅有一个交点，对应判别式Δ=0。 5. x=2 解析：函数图象过(2,0)，即x=2时y=0，为方程的根。 （二）选择题 1.A 2.C 3.A 4.B 5.A （三）解答题 1. 解：（1）Δ=36-20=16>0，抛物线与x轴有两个交点；（2）令y=0，解得x₁=1，x₂=5，交点坐标为(1,0)、(5,0)。 2. 解：Δ=16-8m。（1）Δ>0即16-8m>0，得m<2；（2）Δ=0时m=2，抛物线解析式为y=2(x-1)²，交点坐标为(1,0)。 3. 解：（1）解方程-x²+3x+4=0，得x₁=-1，x₂=4；（2）方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个交点，坐标为(-1,0)、(4,0)。 （字数：1012） 情境导入 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. （重点） 学习目标 函数的观点 对应函数 从函数值角度 从函数图象角度 函数y=ax+b (a≠0) 函数值为___ 时，求______的值 确定直线y=ax+b与___的交点的＿坐标 解关于x 的________ 方程ax+b=0 (a≠0) 一元一次 一次 0 ax+b=0 x 轴 横 已学对象 重新分析 那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？ 学习目标 思考：如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2； (2) y=x2−8x+16； (3) y=x2−x+1. 由此，你能说方程 x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0 根的情况吗？ y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 探究新知 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 x2+x−2=0 有两个不相等的实数根 −2，1. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 探究新知 通过图中的函数图象可以看出： (2) 抛物线y=x²−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4. 当 x=4 时，函数值是 0. 由此可知，方程x2−8x+16=0 有两个相等的实数根 4. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 探究新知 通过图中的函数图象可以看出： (3) 抛物线 y=x2−x+1 与 x 轴没有公共点. 由此可知，方程 x2−x+1=0 没有实数根. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 探究新知 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 探究新知 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 解析：方法一 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3,0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根， ∴，解得m=3, ∴ 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 例1 探究新知 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 例1 解析：方法二 ∵二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴是直线x= 且与x轴的一个交点为(3，0)， ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 方法三 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根. 设方程的另一个根为x₁，则 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). (-1，0) 探究新知 求抛物线与 x 轴的交点的坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； (2) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； (3) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. 探究新知 1. 返回 一元二次方程x2＋2x－8＝0的根是_______________，所以抛物线y＝x2＋2x－8与x轴的公共点坐标是__________________． x1＝2，x2＝－4 (2，0)，(－4，0) 举一反三 12 返回 2. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为(　　) A．x1＝－2，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝－3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 B 举一反三 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t-5t2的根的问题. 探究新知 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 解：当  时，由函数关系 ， 列得方程 即 解方程，得 这说明，当自变量  时，二次函数  的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m. 探究新知 1. 已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点的坐标为(m，0)，则代数式m2－m＋2026的值为(　C　) A. 2024 B. 2026 C. 2027 D. 2029 C 2. 抛物线y＝x2－2x－3与x轴的公共点个数是(C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 当堂检测 3. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列结论错误的是(　D　) A. 2a＋b＝0 B. b2－4ac＞0 C. 方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3， x2＝－1 D. a＋b＋c＝0 D 当堂检测 4. 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公 共点； (1)证明：Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m2＋3)＝4m2－ 4m2－12＝－12＜0. ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点. (1)证明：Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m2＋3) ＝4m2－4m2－12＝－12＜0. ∴不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点. 当堂检测 4. 已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3 ( m 是常数). (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度 后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 若m＞0，画出平移前后草图 草图通关 平移前顶点坐标： ⁠， 平移后顶点坐标： ⁠. (m，3)　 (m，0)　 当堂检测 (2)解：∵y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3， ∴二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象的顶点坐标 为(m，3). ∴该函数的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位长度后， 得到的图象与 x 轴只有一个公共点 (m，0). 4. 已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3 ( m 是常数). (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度 后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？ 当堂检测 5.如图，某学生推铅球，铅球出手 (点 A 处) 的高度是0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x = 4 m． (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？ 解：(1)设二次函数的解析式为 y = a(x - 4)2 + 3，把 (0，0.6) 代入得 0.6 = a(0 - 4)2 + 3，解得 当堂检测 (2)当 y=0时， 答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m远． 解得 （舍） 当堂检测 返回 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，利用图象解答下列各题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是___________________； (2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是________________； (3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是________________； (4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是__________； x1＝－1，x2＝3 x1＝0，x2＝2 x1＝4，x2＝－2 x1＝x2＝1 举一反三 返回 (5)方程ax2＋bx＋c＝－6的根的情况怎样？ 解：方程无实数根． 举一反三 返回 4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个公共点，则对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 B 举一反三 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的交点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 返回 5. B 举一反三 若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________． 返回 6. 举一反三 返回 7. 【新趋势 跨学科综合】一个小球从地面竖直向上抛，其运动关系式：h＝vt－gt2(不计空气阻力)，其中h(m)是物体距离地面的高度，v(m/s)是初速度，g是重力加速度(g取10 m/s2)，t(s)是抛出后所经历的时间，用发射器(发射器的高度忽略不计)将小球以10 m/s的初速度从地面竖直向上抛． (1)当小球的高度为1.8 m时，求时间t的值； 举一反三 返回 解：把v＝10，g＝10代入h＝ 得，h＝－5t2＋10t， 当h＝1.8时，1.8＝－5t2＋10t， 即5t2－10t＋1.8＝0，解得t1＝0.2，t2＝1.8. 答：当小球的高度为1.8 m时，时间t的值为0.2或1.8. 举一反三 返回 (2)小球的高度能达到5.8 m吗？请作出判断，并说明理由． 解：小球的高度不能达到5.8 m，理由如下： 把h＝5.8代入h＝－5t2＋10t，得5.8＝－5t2＋10t， ∴5t2－10t＋5.8＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×5×5.8＝－16<0， ∴5.8＝－5t2＋10t无实数解， ∴小球的高度不能达到5.8 m. 举一反三 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点 b2-4ac<0 与x轴无公共点 探究新知 谢谢观看 THANKS c＞ vt－gt2 $