26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质，通过知识回顾二次函数顶点式，以“从简单到复杂”的递进方式导入，搭建从顶点式到一般式转化的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以配方法和公式法为核心，通过“一提二配三去四写”步骤培养推理能力，结合实例用平移法和描点法发展几何直观，表格归纳\(a,b,c\)与图象关系渗透模型意识。学生能系统掌握性质提升解题能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数与间的关系 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次函数 的图象和性质 9. 对接中考 6. 知识点3 二次函数 的图象与𝒂，𝒃，𝒄符号间的关系 1. 会用配方法或公式法将一般式 化成顶点式. 2. 能够熟练求出二次函数一般式 的顶点坐标、对称轴. 学习目标 知识回顾 二次函数 的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h ,k) x=h 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>h 时，y 随x的增大而增大. 当 x<h 时，y 随x 的增大而增大；当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. x=h 时，y最小值=k x=h 时，y最大值=k 抛物线 y=a(x-h)2+k 可以看作是由抛物线 y=ax2 经过平移得到的. 新课导入 从简单的二次函数 y=ax2 开始，我们逐步深入，研究了二次函数 的图象和性质. 我们还知道，通过配方，可以将二次函数 转化为 .这样，就可以利用的图象和性质来研究二次函数的图象和性质. 新课讲解 知识点1 二次函数 与 间的关系 一提 二配 三去 四写 二次函数 可以通过配方法化成 的形式，即 . 新课讲解 例 1. 将二次函数化成 的形式是 ( ) A A. B. C. D. 新课讲解 练一练 1. 将二次函数 化成 的形式为 ( ) C A. B. C. D. 解： . 2. 把二次函数化为 的形式，那么 ___. 1 新课讲解 知识点2 二次函数 的图象和性质 怎样将化成的形式？ 配方 提出二次项系数，常数项放括号外 配方，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方 去括号，不要漏乘了括号前的系数 思考 新课讲解 根据前面的学习，可以先画出二次函数  的图象，然后把这个图象向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就得到二次函数y-6x+21  的图象.     把抛物线  向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度，就得到抛物线y-6x+21 . 思考 还有其他平移方法吗？ 新课讲解 由配方的结果可知，抛物线y-6x+21 的顶点是(6，3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x ⋯ 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ y= ⋯ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ⋯ 然后描点画图，得到  的图象. 思考 能直接画出二次函数 y-6x+21的图象吗？ 新课讲解 画二次函数  的图象的方法 1. 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. 2. 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 归纳 新课讲解 二次函数图象的平移（“左加右减，上加下减”） 归纳 平移前抛物线的解析式 平移 个单位 长度 平移后抛物线的解析式 向左 向右 向上 向下 新课讲解 从二次函数  的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x=6 时，y 取最小值，最小值是 3. 新课讲解 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数 化成： 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶点. 新课讲解 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0，那么 当 x < 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； 因此，当 a > 0时， 抛物线 的顶点是最低点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最小值. 新课讲解 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a < 0，那么 当 x < 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x >时，y 随 x 的增大而减小. 因此，当 a < 0时， 抛物线 的顶点是最高点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最大值. 新课讲解 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 () 对称轴 直线 x=− 增减性 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x> 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=​时，y最小值​= 当 x= 时，y最大值​= 二次函数  的图象和性质 归纳 新课讲解 例 2. 已知抛物线 ，下列结论错误的是 ( ) D A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时， 取最大值，为2 D. 若和是抛物线上两点，则当时， 解：抛物线的解析式为 ，则抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时， 取最大值，为2，故A，B，C选项不符合题意； 若和 是抛物线上两点，则当时， ，故选D. 新课讲解 3. 将抛物线 y=ax2＋bx＋c向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到抛物线 y=x2+2x+3，求抛物线y=ax2＋bx＋c 的解析式 . 例 解：y=x2+2x+3 =(x+1) 2+2. ∵ 把抛物线 y=(x+1) 2+2 向上平移 2 个单位长度， 再向左平移 3 个单位长度得到抛物线 y=(x+4) 2+4， ∴ y=ax2＋bx＋c =(x+4)2+4=x 2+8x+20. 新课讲解 练一练 1. 将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为 ( ) A A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 已知，， 是二次函数的图象上的三个点，则，， 的大小关系为 ( ) D A. B. C. D. 解：二次函数 的图象的对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为2，1， ， 抛物线开口向下， ． 新课讲解 练一练 3. 二次函数 的图象如图，则一次函数 的图象一定不经过 ( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 新课讲解 知识点3 抛物线 与 间的关系 知识点3 二次函数 的图象与𝒂，𝒃，𝒄符号间的关系 x y O 二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴左侧， 对称轴在y轴右侧， x=0时，y=c. 新课讲解 x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴在y轴左侧， 对称轴在y轴右侧， x=0时，y=c. 新课讲解 系数 字母的符号条件 图象的特征 补充说明 a a>0 开口向上 抛物线开口方向的唯一决定因素 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为 y 轴（直线 x=0） 对称轴公式：x=− ab>0(a，b 同号) 对称轴在 y 轴左侧 a，b 同号时，−<0 ab<0(a，b 异号) 对称轴在 y 轴右侧 a，b 异号时，−​>0 c c=0 图象过原点 (0，0) 当 x=0 时，y=c，即与 y 轴交点为 (0，c) c>0 与 y 轴正半轴相交 交点坐标 (0，c) ，在 y 轴上方 c<0 与 y 轴负半轴相交 交点坐标 (0，c) ，在 y 轴下方 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c的关系 简记为 “左同右异” 归纳 新课讲解 例 4. 二次函数 的图象大致是 ( ) C A. B. C. D. 5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①b<0； ②c>0； ③a+b+c>0； ④4a+2b+c<0. 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 新课讲解 例 观察图象→当x=1时，y>0→a+b+c>0 抛物线与y轴正半轴相交→c>0 观察图象→当x=2时，y<0→4a+2b+c<0 C 新课讲解 练一练 图象特征 相应关系 结论 对称轴为直线 ________ . D项错误 开口向上 ，根据__________ . A项错误 当时， . B项正确 当时， . C项错误 1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 解： B 新课讲解 练一练 2. 对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②4a+2b+c＞0，③3a+c＞0，④a+b≤m(am+b) (m为任意实数)，⑤当x＜-1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：①由图象可知，a＞0，c＜0，b＜0，∴abc＜0，故①错误； ②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故②错误； ③∵ 对称轴为x=1，∴b＝-2a. 当x＝-1时，y＝a-b+c＞0，∴3a+c＞0，故③正确； ④当x＝1时，y的值最小，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故④正确； ⑤当x＜-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误，故选A. A 新课讲解 1. 根据抛物线的开口方向和与y轴的交点位置，先确定a和c的符号； 2. 根据a的符号和对称轴的位置，再确定b的符号； 3. 最后结合特殊，点的位置，确定代数式的符号. 归纳 根据二次函数图象确定字母系数及相关代数式的符号的步骤 比如：a+b+c对应的是x=1时的函数值； a-b+c对应的是x=-1时的函数值； 4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 课堂小结 y=ax2+bx+c (a ≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 画法 图象 性质 描点法：列表 → 描点 → 连线 平移法： 上加上减常数项，左加右减自变量 当  时，有最小值 当  时，有最大值 ①当  时，在对称轴右侧  随  的增大而增大，在对称轴左侧  随  的增大而减小； ②当  时，在对称轴右侧  随  的增大而减小，在对称轴左侧  随  的增大而增大. 开口方向 ，开口向上；，开口向下 对称轴：直线  顶点坐标：（） 增减性 最值 当堂小练 1. 李玲用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，y= ． 1 2. 将抛物线平移得到抛物线 ，则需将原抛物线先向左平移___个单位长度，再向____平移___个单位长度. 2 下 4 当堂小练 3. 对于二次函数y＝－x2＋x－4，下列说法正确的是(　　) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 B 当堂小练 4. 如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象为( )．　　 A. B. C. D. C 交y轴负半轴 开口向下 当堂小练 5. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是 ( ) A. B. 图象与轴的负半轴交于点 C. 函数的最大值为 D. D 当堂小练 6. 分别在下列范围内求函数 y=x2-2x-3 的最大值和最小值. (1) -1≤x≤2； (2) 2≤x≤3. 解：因为 y=x2-2x-3=(x-1)2-4， 所以当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大. (1)由 -1≤x≤2 知，当 x=1时，y 有最小值 -4， 因为当 x=-1 时，y=0，当 x=2 时，y=-3， 所以当 x=-1 时，y 有最大值 0. (2)当 2≤x≤3时，y 随 x 的增大而增大， 所以当 x=2 时，y 有最小值 -3，当 x=3 时，y 有最大值 0. 求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数的增减性确定最值. 归纳 当堂小练 7. 二次函数为常数的图象经过点 ，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有 ( ) A. 最大值5 B. 最大值 C. 最小值5 D. 最小值 8. 已知二次函数，当 时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. D 对接中考 已知二次函数 的图象如图所示，则 ( ) A. B. C. D. 解： 二次函数 的图象开口向上， 对称轴， ，，即 抛物线与 轴的交点在负半轴， ，故选项A错误； 对称轴 ，由题图知对称轴，即. 又，两边乘 ，得， ，故选项B错误； 当时，由题图可知 ，故选项D错误; 易知 .当时， ， ，整理，得 ，故选项C正确. C 拓展与延伸 在平面直角坐标系中，两点 ，在抛物线 上，则下列结论中正确的是 ( ) A A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 解：由 知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线. 把代入 ，得， 抛物线的顶点坐标为 两点，在抛物线上， 当且时，（因时,抛物线在 轴上方）， ，此时 ，故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减，故越大， 越小， 即，故B选项的结论错误；当且 时， ，此时应满足或 ，故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增，故越大， 越大， 即 ，故D选项的结论错误.故选A. $