2.5.1直线与圆的位置关系8题型分类讲义(讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系的几何法与代数法判断，弦长的几何法、代数法及公式法求解，过圆上或圆外点的切线方程求法等内容，搭建从基础原理到综合应用的学习支架，承接圆的方程知识，为圆锥曲线学习奠定基础。 该资料以8大题型分类为特色，精选高考模拟题，通过几何直观与代数推理结合（数学思维），如位置关系判断中距离与判别式的应用，实际应用题（如跑道设计、隧道通行）培养数学眼光观察现实世界。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过题型训练查漏补缺，提升解决问题能力。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.5.1直线与圆的位置关系8题型分类 一、直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程， 可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二、直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l， 利用r2＝d2＋2解题. 代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后， 直接用两点间距离公式计算弦长. 弦长公式法 l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 弦长l＝|x1－x2|＝. 三、求过某一点的圆的切线方程： (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． （一） 直线与圆的位置关系的判断 直线与圆的位置关系 1．几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 (1)直线与圆相离无交点； (2)直线与圆相切只有一个交点； (3)直线与圆相交有两个交点. 2．代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： (1)当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交. (2)当时，直线与圆有1个交点，直线与圆相切. (3)当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 3.直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 题型1：判断直线与圆的位置关系 1．（2026高三·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 3．（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 4．（2026·云南·模拟预测）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026·江苏·模拟预测）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 题型2：根据直线与圆的位置关系求参数 6．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 7．（2026高二·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 8．（2026高二·广东广州·阶段检测）已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026高二·河南新乡·期末）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 10．（2026高二·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 题型3：根据直线与圆的位置关系求距离的最值 11．（2026高二·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 12．（2026·河南濮阳·模拟预测）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 13．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 14．（2026高二·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2026高二·宁夏·阶段检测）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． （二） 圆的弦长问题 直线与圆相交时的弦长求法： 1．几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：. 2．代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长. 3．弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长. 题型4：圆的弦长问题 17．（2026高二·福建厦门·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 18．（2026高二·河南周口·期中）在轴上的截距分别为的直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 20．（2026高二·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 21．（2026高二·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．（2026高二·天津南开·期末）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． （三） 求圆的切线方程 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 题型5：求圆的切线方程 23．（2026·全国）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·广东佛山·期中）过原点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或 25．（2026高二·四川内江·期中）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 26．（2026高二·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 题型6：与切线长有关的问题 27．（2026·天津河西·模拟预测）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 28．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 29．（2026高二·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 30．（2026高二·河北沧州·期末）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．（2026高二·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 题型7：切点弦问题 32．（2026高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 33．（2026高三·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（    ） A． B． C． D． 34．（2026高二·全国·随堂练习）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． （四） 直线与圆的实际应用 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 题型8：直线与圆的实际应用 35．（2026高二·上海闵行·期末）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2），若，，则直线的一般式方程为_____________． 36．（2026高二·上海闵行·期末）如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． (1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； (2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 37．（2026高二·广东汕头·期末）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度（图1）.以为原点，正东方向为轴正方向建立如图2所示的平面直角坐标系. 图1    图2 (1)在西辅道上距离建筑物地面中心距离米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 38．（2026高二·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 39．（2026高二·江苏南通·专题练习）如图，某海面上有O，A，B三个小岛面积大小忽略不计，A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．已知存在圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 1．（2026·海南三亚·模拟预测）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 3．（2026高二·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．（2026高二·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 6．（2026高二·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 7．（2026高二·全国·课后作业）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 8．（2026高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 9．（2026高二·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 11．（2026高二·广东汕尾·期末）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 13．（2026高一·湖南邵阳·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 14．（2026高一·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高三·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 16．（2026高二·河南信阳·阶段检测）已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 17．（2026高二·江苏泰州·期末）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 18．（2026高二·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 19．（2026高一·河北保定·阶段检测）“过点与圆相切的直线l方程为”是“原点到直线的距离为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2026高二·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 21．（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（2026高二·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 23．【多选】（2026·广东清远·模拟预测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 24．【多选】（2026高二·云南文山·阶段检测）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 25．（2026高二·湖南·期中）若直线与圆只有一个公共点，则______． 26．（2026高三·河北衡水·期中）已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 27．（2026高二·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 28．（2026高二·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点________． 29．（2026高二·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 30．（2026高二·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 31．（2026高二·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 32．（2026高二·河北石家庄·阶段检测）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 33．（2026高二·甘肃酒泉·期末）直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 34．（2026高二·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.5.1直线与圆的位置关系8题型分类 一、直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离 d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由 消元得到一元二次方程， 可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二、直线与圆相交时的弦长求法： 几何法 圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l， 利用r2＝d2＋2解题. 代数法 若交点坐标易求出，求出交点坐标后， 直接用两点间距离公式计算弦长. 弦长公式法 l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 弦长l＝|x1－x2|＝. 三、求过某一点的圆的切线方程： (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． （一） 直线与圆的位置关系的判断 直线与圆的位置关系 1．几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 (1)直线与圆相离无交点； (2)直线与圆相切只有一个交点； (3)直线与圆相交有两个交点. 2．代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： (1)当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交. (2)当时，直线与圆有1个交点，直线与圆相切. (3)当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 3.直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 题型1：判断直线与圆的位置关系 1．（2026高三·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 2．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 3．（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 4．（2026·云南·模拟预测）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据直线和半圆的位置关系确定正确答案. 【详解】集合A表示以原点为圆心，半径为1的圆上满足的所有点的集合， 集合B表示直线上的所有点的集合， 结合图形可知，两者交于两点,即的元素个数为2. 5．（2026·江苏·模拟预测）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 题型2：根据直线与圆的位置关系求参数 6．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 7．（2026高二·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 8．（2026高二·广东广州·阶段检测）已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系得出，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 9．（2026高二·河南新乡·期末）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 10．（2026高二·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 题型3：根据直线与圆的位置关系求距离的最值 11．（2026高二·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 12．（2026·河南濮阳·模拟预测）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 13．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由直线的方程可确定直线过定点，则当点到直线的距离的最大值为时，取最小值. 【详解】直线，可化为，则直线过定点， 圆配方得，可得圆心，半径， 所以，即点在圆内， 则当点到直线的距离的最大值为时，， 故选：C． 14．（2026高二·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】确定线段的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，，所以，即， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：C 15．（2026高二·宁夏·阶段检测）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可求得点轨迹方程为，再求方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可解. 【详解】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D 16．（2026高二·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. （二） 圆的弦长问题 直线与圆相交时的弦长求法： 1．几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：. 2．代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长. 3．弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长. 题型4：圆的弦长问题 17．（2026高二·福建厦门·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 则弦长. 故选：C. 18．（2026高二·河南周口·期中）在轴上的截距分别为的直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意得，直线的方程为，即， 又由，可化为， 可得圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 19．（2026高二·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 20．（2026高二·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 21．（2026高二·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线所过定点，确定定点在圆内，则有时，直线l被圆C截得的弦长最小，依此求解即可. 【详解】直线， 令，即，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即点P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 22．（2026高二·天津南开·期末）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心坐标，可得圆心与点连线的斜率，利用弦长公式得到当直线与垂直时，弦长度最短，进而得到直线的斜率，再由点斜式得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 当直线与垂直时，圆心到直线的距离取到最大值， 利用弦长公式，得到此时弦长度最短， 由直线与垂直，得：， 又由圆心与点连线的斜率， 可得直线的斜率， 又因为直线过， 所以直线的方程为， 即． 故选：B （三） 求圆的切线方程 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0)在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 题型5：求圆的切线方程 23．（2026·全国）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 24．（2026高二·广东佛山·期中）过原点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆的方程写出圆心坐标、半径，讨论切线斜率存在性，结合点线距离公式求切线方程. 【详解】由题意，圆的方程为，圆心为，半径为2， 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 由圆心到直线的距离等于半径2，即，可得， 因此一条切线方程为； 当切线斜率不存在时，轴是符合条件的切线，方程为，    故选：C 25．（2026高二·四川内江·期中）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】求出点关于x轴的对称点为，则反射光线经过，当反射光线所在直线与轴垂直时，不与圆相切，故反射光线所在直线的斜率存在，设为，反射光线所在直线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案. 【详解】点关于x轴的对称点为，所以反射光线经过， 当反射光线所在直线与轴垂直时，即， 圆到直线的距离为， 因为，所以直线与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为， 则反射光线所在直线的方程为，即， 因为反射光线与圆相切，所以，解得或， 所以反射光线所在直线的方程为，或， 整理得或. 故选：A. 26．（2026高二·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 题型6：与切线长有关的问题 27．（2026·天津河西·模拟预测）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 28．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 【答案】 【详解】由已知可得圆心坐标，半径， 点到圆心的距离为， 则切线长. 29．（2026高二·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 30．（2026高二·河北沧州·期末）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意得，过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，即为圆心到直线的距离，结合，即可求得的值. 【详解】由题意得，圆心，半径，切线长为， 过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，则有， 即为圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 31．（2026高二·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 题型7：切点弦问题 32．（2026高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用切线长公式求出切线长度；求出以为直径的圆的方程，两圆相减得到AB直线方程 【详解】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 33．（2026高三·北京顺义·期中）过直线上一动点，向圆：引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线距离的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，由圆的切线性质可得点、在以为直径的圆上，联立两个圆的方程可得直线的方程，结合的坐标可得直线过定点，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，点在直线上，设，则， 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点、在以为直径的圆上， 又由，则以为直径的圆的方程是， 圆的方程为， 联立两个圆的方程可得：直线的方程为，即， 因为，所以，代入直线的方程，得，即， 当且，即，时该方程恒成立，所以直线过定点， 点到直线距离的最大值即为点，之间的距离加上圆的半径， 即点到直线距离的最大值为． 动点到直线距离的最大值为， 故选：B 34．（2026高二·全国·随堂练习）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程． 【答案】 【分析】根据圆心和半径及切线所过点确定为一条切线，进而得到对应切点坐标，再由两点式求及直线垂直关系求，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，圆心且半径为1，过的切线必有一条为， 令切线与圆切于，而，且，则， 所以直线，即.    （四） 直线与圆的实际应用 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 题型8：直线与圆的实际应用 35．（2026高二·上海闵行·期末）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2），若，，则直线的一般式方程为_____________． 【答案】 【分析】结合题意求得，设直线的斜率为，由与内侧分道线相切建立等式结合图形计算求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，， 所以，即， 因为点在轴上，所以， 由题意可得以点为圆心的半圆形内弯道所在方程为， 设直线的斜率为，则直线方程为，即， 因为与内侧分道线相切， 所以，解得， 结合图形可知，代入直线方程化简可得. 36．（2026高二·上海闵行·期末）如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． (1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； (2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 【答案】(1)以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系， (2) 或 【分析】（1）利用圆心到 、 两点距离相等可得圆心在线段 的垂直平分线上. （2）利用圆与 相切，圆心到点 的距离为半径以及圆心在（1）所求直线上可求解半径 的值，进而求得圆的周长. 【详解】（1）如图以 为原点， 为 轴， 为轴建立平面直角坐标系. 则 ， ， ， ， . ∵圆形跑道经过 、 两点， ∴圆心在线段 的垂直平分线上. ∵ ， ∴线段 的垂直平分线的斜率为 . ∵ 中点坐标为 ， ∴线段 的垂直平分线的方程为 ，即 . ∴圆形跑道圆心所在的直线方程为 . （2）∵直线 与该圆形跑道有且只有一个交点， ∴直线 与该圆相切，即圆心到轴距离为半径 . 设圆心为 ，则. ∴，即 . 解得，则. ∴圆形跑道的周长为 或 . 37．（2026高二·广东汕头·期末）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度（图1）.以为原点，正东方向为轴正方向建立如图2所示的平面直角坐标系. 图1    图2 (1)在西辅道上距离建筑物地面中心距离米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？ (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度． 【答案】(1)不在，理由如下： 由题可知，观景直道所在直线方程为， 由题意可得，游客所在点为， 则直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离， 故直线与圆相交，故游客不在该摄像头监控范围内； (2)米 【分析】（1）求出直线的方程，再判断直线与圆的位置关系即可得出结论； （2）摄像头监控会被建筑物遮挡，求出过点并与圆相切的直线方程，再令其与直线分别联立即可得出答案. 【详解】（1）略 （2）由图可得：过点的直线与圆相切或相离时， 摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线过点且与圆相切， （1）若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切， （2）若直线l不垂直于x轴，设，即， 故圆心O到直线l的距离，解得或， 故直线l的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于D，E两点， 由解得，由解得， 故，故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米. 38．（2026高二·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 39．（2026高二·江苏南通·专题练习）如图，某海面上有O，A，B三个小岛面积大小忽略不计，A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．已知存在圆C经过O，A，B三点．    (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船有触礁的危险 【分析】（1）设圆的一般式方程，将O，A，B三点坐标代入方程求解得到的值，便可得到圆的方程； （2）求出船航线所在直线l的方程，再算出圆心C到直线l的距离和圆的半径比较，判断是否有危险. 【详解】（1）由题意，得，， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则 ，解得 ； 圆C的方程 （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故直线l：， 由得圆C的圆心为，半径， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船有触礁的危险． 1．（2026·海南三亚·模拟预测）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【分析】先由圆的方程得到圆心、半径，结合圆心角，利用等腰三角形求出圆心到直线的距离，再用点到直线距离公式列方程求出即可. 【详解】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 3．（2026高二·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题目条件得到，从而得到方程，求出答案 【详解】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 5．（2026高二·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 6．（2026高二·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系. 【详解】由题知，圆心坐标，半径， 将直线化为点斜式得， 知该直线过定点， 又，故该定点在圆内， 所以该直线与圆必相交. 故选：C 7．（2026高二·全国·课后作业）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】由题意可得，结合圆心到直线的距离判断与半径的大小关系，即得答案. 【详解】由题意知为圆内异于圆心的一点， 则， 而圆：的圆心到直线的距离为， 故直线与该圆的位置关系为相离， 故选：C 8．（2026高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 9．（2026高二·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 10．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 11．（2026高二·广东汕尾·期末）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得圆心为，半径，设，切点分别为、，即可得到且，求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径，设， 过点的圆的切线的切点分别为、，连接、、，    则且， 又，，所以， 所以. 故选：C 12．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 13．（2026高一·湖南邵阳·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 14．（2026高一·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得圆C的轨迹方程，根据点到直线距离公式，结合直线与圆的位置关系，数形结合，分析求解，即可得答案. 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 15．（2026高三·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 16．（2026高二·河南信阳·阶段检测）已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由圆心到x轴的距离等于半径即可求出的值，再由直线与圆的相交弦长公式解出答案. 【详解】圆：的标准方程为： 所以圆心，半径， 因为圆与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即，解得, 所以圆的半径， 所以圆被轴截得的弦长为：. 17．（2026高二·江苏泰州·期末）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】首先判断在圆内，设的中点为，连接，则，设，即可表示，设圆心到直线的距离为，在、中分别利用勾股定理得到、的方程，解得，即可得解. 【详解】因为，所以在圆内， 设的中点为，连接，则， 设，因为，则， 所以，则， 设圆心到直线的距离为， 所以在中，即， 在中，即， 解得，则，. 故选：D 18．（2026高二·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以. 19．（2026高一·河北保定·阶段检测）“过点与圆相切的直线l方程为”是“原点到直线的距离为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程及由原点到直线的距离求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】依题意，圆C的方程化为，其圆心为，半径， 而，即点M在圆C上，直线的斜率， 由直线l与圆相切，得直线l与直线垂直，则直线l的斜率， 直线l的方程为，即，因此， 由原点到直线的距离为，即，解得， 所以是的充分不必要条件. 20．（2026高二·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 21．（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，根据圆上至多有个点到直线的距离为，列出不等式，求解即可. 【详解】由圆，所以圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 因为圆上至多有个点到直线的距离为，则， 即，化简得，解不等式得或， 所以的取值范围是. 故选：A 22．（2026高二·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 23．【多选】（2026·广东清远·模拟预测）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 24．【多选】（2026高二·云南文山·阶段检测）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【分析】选项A，将直线方程整理为参数项与常数项分离的形式，建立关于的方程并求解，即可得到定点坐标；选项B，通过圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式建立关于的方程并求解；选项C，求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去半径，所以代入对应值计算即可；选项D，利用勾股定理表示切线长，根据点到圆心的距离最小时切线长最小，代入公式计算即可. 【详解】整理圆方程可得，因此圆心，半径. 选项A，整理直线的方程可得：， 令，解得，即直线恒过定点， A正确. 选项B，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离： ， 解得：，B正确. 选项C，如图所示，当时，直线， 则圆心到直线的距离为：. ，C错误.    选项D，如图所示，从点向圆引切线，设一个切点为，连接、，则， 切线长， 因此当且仅当最小时最小，， 代入得：，D正确.    25．（2026高二·湖南·期中）若直线与圆只有一个公共点，则______． 【答案】或 【分析】将问题转化为“圆心到直线的距离等于半径”，由此可求解出的值. 【详解】由圆，得，圆心为，半径为， 因为直线与圆只有一个公共点， 所以到直线的距离等于，即，解得或． 故答案为：或． 26．（2026高三·河北衡水·期中）已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 27．（2026高二·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质列式求解. 【详解】由点，线段为的一条直径，得， 的半径， 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则， 整理得，因此是方程的两个根， 所以. 28．（2026高二·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点________． 【答案】 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 29．（2026高二·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 30．（2026高二·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2或 【分析】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 31．（2026高二·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【详解】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 32．（2026高二·河北石家庄·阶段检测）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）. (1)求圆的方程； (2)若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意，得到圆心在直线上，连接，作轴，由圆被轴分成的两段弧之比为，求得，得到圆心，半径为2，即可求解； （2）易知直线的斜率为0不符合题意，设直线的方程为，与圆方程联立，结合韦达定理及求出的值即可. 【详解】（1）因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上， 如图所示：连接，作垂直于轴，垂足为， 又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以， 故，可得圆心的坐标为，半径为2. 所求圆的方程为：. （2）当直线的斜率为0时，则直线的方程为， 代入圆的方程得，解得， 不妨设,又, 则， 所以，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立，消去得， 即， 即. ，解得或. 设，， 则， 所以， 即， 即， 即， 故， 即，即， 所以， 即，解得或，均满足或. 综上所述，直线的方程为或. 33．（2026高二·甘肃酒泉·期末）直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （3）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. （2）圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. （3）设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 34．（2026高二·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2) 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $