专题3.2 二次根式的运算（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题3.2 二次根式的运算 教学目标 1. 掌握二次根式的乘法运算。 2. 掌握二次根式的除法运算。 3. 掌握二次根式的加减运算。 4. 掌握二次根式的混合运算。 5. 能够进行二次根式的化简、分母有理化，并解决相关应用问题及比较大小问题。 教学重难点 1.重点 （1） 二次根式的乘除运算规则及应用。 （2）二次根式的加减运算中化简与合并同类二次根式的方法。 2.难点 （1）二次根式混合运算中运算顺序和各类运算法则的综合运用。 （2）分母有理化的原理及针对不同分母形式的有理化方法。 知识点01二次根式的乘法运算 = (a≥0, b≥0). 利用上述等式，可以进行二次根式的乘法运算.要注意的是，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式。 【即学即练】 1．计算所得结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式乘法，根据二次根式的乘法法则，先将根号内的数相乘，再化简为最简二次根式． 【详解】解：． 故选C． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．根据二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：．，正确，所以选项符合题意； B．，原计算错误，所以B选项不符合题意； C．，原计算错误，所以C选项不符合题意； D．，原计算错误，所以D选项不符合题意． 故选：A． 3．若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解得：， 故选：B． 知识点02二次根式的除法运算 = (a≥0,b≥0). 利用上述等式，可以进行二次根式的除法运算.要注意的是，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式。 【即学即练】 1．计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，根据二次根式的除法计算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点03 二次根式的加法和减法 对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化为最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算。 【即学即练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的加减，根据二次根式加减法法则进行计算后再判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故此选项符合题意； B、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能计算，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减，先将二次根式化简再合并即可 【详解】解：， 故答案为： 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和交换律进行的。 【即学即练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘、除，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）利用二次根式的乘法法则化简然后合并同类二次根式即可； （2）先计算除法，然后合并同类二次根式即可． （3）先根据乘法公式去括号，再合并即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】1．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则． 利用二次根式乘法法则进行计算，然后化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简，根据二次根式的乘法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】化简：① ；② ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘法运算等知识点，掌握二次根式的性质以及乘法运算法则成为解题的关键． ①根据二次根式的性质化简即可；②根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：①或； ②． 故答案为：或，． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘法法则计算，即可作答． （3）根据二次根式的乘法法则计算，再结合二次根式的性质化简，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型02 二次根式的除法 【典例2】若，则中的数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 直接根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 【变式1】计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 【详解】解：． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【变式3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例3】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 同级运算从左向右进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型04 同类二次根式 【典例4】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简四个选项中的二次根式，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：A、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； B、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； C、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式2】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．据此列方程进行解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故答案为：1． 【变式3】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先化简，再根据同类二次根式的定义得出，即可求出x的值． 【详解】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， ， 故答案为：． 题型05 二次根式的加减运算 【典例5】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键． 先判断各选项的两个加数是不是同类二次根式，再加减． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意； B． 和不是同类二次根式，不能合并，故选项B不符合题意； C． 和不是同类二次根式，不能合并，故选项C不符合题意； D． ，计算正确，故选项D符合题意； 故选D． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法．根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算， 先化简原式，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式    . ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减计算，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 去绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： 题型06 分母有理化 【典例6】下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质逐一验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】化简： ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的性质，根据分母有理化的方法化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化； 先进行分母有理化，再计算二次根式的加减即可． 【详解】解：， 同理可得：，，…，， ． 故答案为：． 题型07 二次根式的混合运算 【典例7】计算：   【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先利用二次根式的性质化简，计算二次根式的除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式混合运算，掌握运算法则是解决问题的关键． 先进行括号内二次根式加减运算，再进行乘除运算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【变式2】计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．第一题根据二次根式的乘除法法则计算即可；第二题先将括号内的二次根式化简，然后求和，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解： ． ． 故答案为：； 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是解题的关键，混淆完全平方公式及平方差公式是解题的易错点． （1）先计算二次根式的除法和化简二次根式，再计算加、减； （2）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再相加、减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08 已知字母的值，化简求值 【典例8】化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，从而化简式子，最后将的值代入化简后的式子求值． 本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、除法运算、因式分解以及二次根式的化简．熟练掌握分式的运算法则、因式分解的方法以及二次根式的化简方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式 ． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式展开，再化简，最后将字母的值代入，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，然后去括号合并化简，再把a的值代入计算． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【变式3】（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，分式混合运算法则． （1）先根据整式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2）解： ， 当，时，原式． 题型09 二次根式的应用 【典例9】在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 【变式1】若某长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用．直接利用矩形面积求法结合二次根式乘法运算法则得出答案． 【详解】解：长方形的长为，宽为， 此长方形的面积为： ． 故答案为：． 【变式2】如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，根据长方形面积计算公式进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式3】在白洋淀某景区，有一个用于表演的长方形舞台（阴影部分），其面积为80平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带，求舞台装饰后的总面积．（结果保留根号） 【答案】(1)这个舞台的宽为米 (2)舞台装饰后的总面积为米 【分析】本题考查二次根式的实际应用，熟练掌握长方形的面积公式，二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）用面积除以长，求出宽即可； （2）求出长方形的长和宽，进行计算即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米）， 这个舞台的宽为米； （2）由题意，舞台装饰后的总面积为， 舞台装饰后的总面积为米 题型10 比较二次根式的大小 【典例10】比较大小： 4； ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．根据任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴． 故答案为：；． 【变式1】已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 【变式2】比较大小： （填“”、“=”、“”）． 【答案】 【分析】根据，结合，得到，解答即可． 本题考查了二次根式的大小比较，比较被开方数的大小是解题的关键． 【详解】解：根据，又，故， 故答案为：． 【变式3】通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 ； （2） ； （3） 1； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了整数、分数与算术平方根的大小比较，利用平方运算，将整数转化为二次根式，对被开方数进行大小比较，并掌握作差法，若，则；若，则；若，则，是解题的关键． （1）计算得到为的算术平方根，比较与大小即可求解； （2）两个算术平方根比较大小，只需要比较被开方数的大小即可； （3）把与作差，再与比较即可； （4）把与作差，再与比较即可． 【详解】解：（1），且， ， 故答案为：． （2）被开方数， ， 故答案为：． （3）， ，即， 故答案为：． （4）， ，即， 故答案为：． 1．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算以及二次根式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意；     D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，同类二次根式，几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，据此进行求解即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； C、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D、，与是同类二次根式，能合并，故本选项正确； 故选：D． 3．下列各数中与的积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，有理数和无理数的定义，根据二次根式的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不是有理数，故此选项不符合题意； B、，不是有理数，故此选项不符合题意； C、，是有理数，故此选项符合题意； D、，不是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将进行化简变形，然后把a，b的值代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 5．化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，正确运用运算律及公式是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解：原式， 故选：A． 6．计算： ， ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，，， 故答案为：；5；2． 7．已知算式成立，则“□”处的数为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则. 等号左边去括号并合并同类二次根式，根据等式的性质得到未知量的值. 【详解】解：设“□”处的数字为,则原式可化为： “□”处的数字为. 故答案为：． 8．比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 9．若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式，根据同类二次根式及最简二次根式的定义可得，解得的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， 解得：， 当时，二次根式有意义， 故； 故答案为：1． 10．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 利用二次根式的混合运算法则即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：4． 11．已知某直角三角形的面积为S，它的两条直角边长分别为a，b．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形面积公式列出算式，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算： (1)； (2)． (3)． (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，化简绝对值，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先化简算术平方根，然后按照加减运算即可求解； （2）先计算乘方，再化简算术平方根，然后按照加减运算即可求解； （3）先计算零指数幂，负整数幂并化简绝对值，然后再按照加减运算即可求解； （4）先化简算术平方根并用平方差公式进行计算，然后即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 13．先化简，再求值：．其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，准确利用平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值即可； 【详解】解：原式， ， 当，时 原式． 14．有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： (1)上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； (2)计算：． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的乘除法，正确计算是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可； （2）先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：，， 能合并的是①和②， 故答案为：①，②； （2）解：． 15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积． 【答案】(1)， (2)留下部分的面积为 【分析】本题主要考查了算术平方根． 根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长； 根据两个正方形的边长可知留下矩形的长为，宽为，根据长方形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）解：较大正方形的面积是， 较大正方形的边长是； 较小正方形的面积是， 较小正方形的边长是； 故答案为：，； （2）解：由可知裁去的较大正方形的边长为，较小正方形的边长为， 留下矩形的长为，宽为， 留下部分的面积， 答：留下部分的面积为．   16．嘉桐同学准备完成题目：计算：，发现系数“■”印刷不清楚． (1)她把“■”猜成4，计算：； (2)她后面翻看了答案，看到标准答案是0，请你通过计算说明原题中的“■”是几． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式的加减计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算加减法，最后根据标准答案是0得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是， ， ∵标准答案是0 ， ∴， 解得：． 17．在求无理数的倒数时经常用或平方差公式进行化简,得出结果． (1)的倒数是___________，的倒数是___________； (2)利用倒数法比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解决问题的关键． （1）根据倒数的定义和分母有理化求解； （2）先比较两者的倒数，利用分母有理化得到，然后比较与的大小即可． 【详解】（1）解：的倒数为； 的倒数为； 故答案为：； （2）解： ， ， 而， ， ． 18．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】(1)6；3； (2)；； (3)10； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 二次根式的运算 教学目标 1. 掌握二次根式的乘法运算。 2. 掌握二次根式的除法运算。 3. 掌握二次根式的加减运算。 4. 掌握二次根式的混合运算。 5. 能够进行二次根式的化简、分母有理化，并解决相关应用问题及比较大小问题。 教学重难点 1.重点 （1） 二次根式的乘除运算规则及应用。 （2）二次根式的加减运算中化简与合并同类二次根式的方法。 2.难点 （1）二次根式混合运算中运算顺序和各类运算法则的综合运用。 （2）分母有理化的原理及针对不同分母形式的有理化方法。 知识点01二次根式的乘法运算 = (a≥0, b≥0). 利用上述等式，可以进行二次根式的乘法运算.要注意的是，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式。 【即学即练】 1．计算所得结果是（ ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点02二次根式的除法运算 = (a≥0,b≥0). 利用上述等式，可以进行二次根式的除法运算.要注意的是，运算结果中的二次根式要化成最简二次根式。 【即学即练】 1．计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 2．计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 3．计算的结果是 ． 知识点03 二次根式的加法和减法 对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化为最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算。 【即学即练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．计算： ． 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和交换律进行的。 【即学即练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】1．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【变式1】计算的结果是 ． 【变式2】化简：① ；② ． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 题型02 二次根式的除法 【典例2】若，则中的数是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 【变式2】计算： ． 【变式3】计算： (1)． (2)． 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例3】计算： ． 【变式1】计算的结果是 ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 题型04 同类二次根式 【典例4】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式3】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 题型05 二次根式的加减运算 【典例5】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算： ． 【变式2】计算：    【变式3】计算：． 题型06 分母有理化 【典例6】下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】化简 ． 【变式2】化简： ． 【变式3】 ． 题型07 二次根式的混合运算 【典例7】计算：   【变式1】计算： ． 【变式2】计算： ； ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型08 已知字母的值，化简求值 【典例8】化简求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 题型09 二次根式的应用 【典例9】在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若某长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为 ． 【变式2】如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为 ． 【变式3】在白洋淀某景区，有一个用于表演的长方形舞台（阴影部分），其面积为80平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带，求舞台装饰后的总面积．（结果保留根号） 题型10 比较二次根式的大小 【典例10】比较大小： 4； ． 【变式1】已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【变式2】比较大小： （填“”、“=”、“”）． 【变式3】通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 ； （2） ； （3） 1； （4） ． 1．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D．  2．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各数中与的积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 4．设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（      ） A． B． C． D． 6．计算： ， ， ． 7．已知算式成立，则“□”处的数为 ． 8．比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 9．若最简二次根式与可以合并，则 ． 10．已知，则 ． 11．已知某直角三角形的面积为S，它的两条直角边长分别为a，b．若，，则 ． 12．计算： (1)； (2)． (3)． (4)； 13．先化简，再求值：．其中，． 14．有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： (1)上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； (2)计算：． 15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形． (1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ； (2)求留下部分的面积．   16．嘉桐同学准备完成题目：计算：，发现系数“■”印刷不清楚． (1)她把“■”猜成4，计算：； (2)她后面翻看了答案，看到标准答案是0，请你通过计算说明原题中的“■”是几． 17．在求无理数的倒数时经常用或平方差公式进行化简,得出结果． (1)的倒数是___________，的倒数是___________； (2)利用倒数法比较和的大小． 18．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$