周周练01 1.1～1.2.1认识特殊的平行四边形、菱形的性质与判定（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过人行横道标志（第7题）、吊灯外框（第20题）等生活情境，结合网格作图（第19题）、动点探究（第25题），考查几何直观与推理能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|菱形对角线性质（第8题）、特殊四边形对称性（第5题）|基础概念辨析，如第1题对比平行四边形与菱形性质| |填空题|4/16|平移形成菱形（第13题）、动态最小值（第16题）|结合图形变换，考查空间观念| |解答题|9/98|菱形判定证明（第20题）、坐标系中几何计算（第24题）|综合动点与等边三角形（第25题），发展创新意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测01 1.1～1.2.1 认识特殊的平行四边形、菱形的性质与判定 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条 C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分 2．在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 3．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．32 B．24 C．16 D．12 6．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 7．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 8．菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（     ） A． B． C．36 D． 9．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 10．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 12．如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 13．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点N，点M为垂足，连接，则的大小是_______． 14．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 三、解答题：本题共3小题,共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 16（8分）．小美周末和妈妈逛家具市场，买回来一盏简单而精致的吊灯，吊灯的外框为菱形，，是对角线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 17（10分）．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测01 1.1～1.2.1 认识特殊的平行四边形、菱形的性质与判定 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条 C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分 2．在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 3．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，若，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．32 B．24 C．16 D．12 7．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 8．菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为（     ） A． B． C． D． 9．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 10．菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（     ） A． B． C．36 D． 11．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 12．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 14．如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 15．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点N，点M为垂足，连接，则的大小是_______． 16．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 三、解答题：本题共9小题,共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（10分）．已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 18（10分）．如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 19（12分）．如图，在边长为1的正方形网格中，小正方形的顶点称之为格点，点、点均在格点上，按照题目要求作图．只用无刻度的直尺，按要求在图中以为边画一个菱形．（要求：菱形的顶点均在格点上，且所画的三个菱形不全等） 20（10分）．小美周末和妈妈逛家具市场，买回来一盏简单而精致的吊灯，吊灯的外框为菱形，，是对角线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 21（10分）．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 22（10分）．如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 23（12分）．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 24（12分）．如图，将边长为的菱形放在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，边与轴重合，且． (1)求点的坐标； (2)求所在直线的函数表达式． 25（12分）．如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结． (1)如图，点在线段上，若，则________． (2)如图，连结，当四边形是菱形时，求证：，，三点共线． (3)当时，求与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测01 1.1～1.2.1 认识特殊的平行四边形、菱形的性质与判定 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．正方形的对称轴有四条 C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D．菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【详解】解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意． 2．在菱形中，，对角线，则该菱形的周长为（     ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【详解】解∶如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为． 3．按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共个． 5．如图，在菱形中，E、F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（    ） A．32 B．24 C．16 D．12 【答案】A 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， 是的中位线， ， 在菱形中，， 则菱形的周长为． 6．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形为菱形，， ，，， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 故该标志的占地面积为． 7．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，菱形的对角线、相交于O，且，， ∴，，，， 在中，， ∴菱形的周长为． 8．菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（     ） A． B． C．36 D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 10．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，可得， ∴，即， 解得， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理可得． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 12．如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 【答案】 【详解】解：矩形的四个内角都是直角， 则的大小为． 13．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点N，点M为垂足，连接，则的大小是_______． 【答案】 【详解】解：连接， 四边形是菱形， 、、， 的垂直平分线交于点N， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 14．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 【答案】/ 【详解】解：连接， ∵菱形的周长为4，， ∴，垂直平分， ∴为等边三角形，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值是. 三、解答题：本题共3小题,共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（6分）．如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 16（8分）．小美周末和妈妈逛家具市场，买回来一盏简单而精致的吊灯，吊灯的外框为菱形，，是对角线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形是菱形， ，，平分，平分， ，， ． ，， ， ， 四边形是菱形． 17（10分）．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026-2027学年九年级上学期数学周周测01 1.1~1.2.1认识特殊的平行四边形、菱形的性质与判定 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.下列说法错误的是() A.平行四边形的对角相等 B.正方形的对称轴有四条 C.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D.菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【详解】解：，平行四边形的对角相等，A选项说法正确，不符合题意； ,正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有4条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ,矩形绕对角线交点旋转180°能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又 是轴对称图形，C选项说法正确，不符合题意： ·菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，D选项说法错误，符合题意 2.在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC=3,则该菱形的周长为() A.6 B.12 C.15 D.20 【答案】B 【详解】解：如图， A ,四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD=AD, ,∠B=60°， ∴.△ABC是等边三角形， 1/20 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .'AB=AC=3. ∴.菱形ABCD的周长为4×3=12 3.按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若∠1=50°，则∠2的大小为() A.60° B.50° C.45° D.40° 【答案】D 【详解】解：如图， B 延长AE交CD于点F, ,四边形ABCD是矩形， .ABII CD ∠DFE=∠1=50°， :∠AED=∠DFE+∠2，∠AED=90°， ∴.∠2=90°-50°=40° 4.如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AD=5,则AD,BC间的距离为() D A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AB⊥BC, 2/20 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :AD,BC间的距离即为线段AB的长， AB=3, AD,BC间的距离为3， 5.在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图 形的一共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求： 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求： 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求： 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求： 综上，符合要求的图形共3个 6.如图，在菱形ABCD中，B、F分别是AC,AB的中点，如果EF=4,那么菱形ABCD的周长为() A.32 B.24 C.16 D.12 【答案】A 【详解】解：：E、F分别是AC,AB的中点，EF=4, ∴.EF是△ABC的中位线， .BC=2EF=8, 在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD=8. 则菱形ABCD的周长为8×4=32 7.道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方己接近人行横道，应减速慢行， 并需注意行人横过马路.若测得菱形标志ABCD的对角线AC+BD=14,边长AB=5,则该标志的占地面 3/20 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 积为() B D A.12 B.20 C.24 D.48 【答案】C 【详解】解：~四边形ABCD为菱形，AC+BD=14, AO-AC.BO--BD ,AC⊥BD' A0+B0(4C+BD)=7, :(A0+B0)2=4 ,即A0+2A0.B0+B0=49 AB=5. .AB2=A02+B02 A02+B02=25 ,即 .2A0.B0=24, .S菱形ABCD= 4C-BD=2×2A0×2B0=2A0-B0=24, 故该标志的占地面积为24 8.菱形的面积为24cm2,一条对角线是12cm,那么菱形的另一条对角线长为(） A.3cm B 4cm C.5cm D.6cm 【答案】B 【详解】解：设另一条对角线长为xcm, ,菱形的面积为24cm,一条对角线是12cm, 1 12x=24 .2 6x=24 4/20 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 x=4 9.菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm,则它的周长为() A.14cm B.20cm C.28cm D.40cm 【答案】B 【详解】解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且AC=6cm,BD=8cm, D 4B=BC=CD=AD:04-24C=3cm.BBD=4cm.ACIBD 在RtaA0B中，AB=VOP+0B2=V32+4=5cm .菱形的周长为4AB=4×5=20cm 10.菱形ABCD的边长为6，有一个内角为120°，则菱形ABCD的面积为() A.96 B.18V5 C.36 D 36V5 【答案】B 【详解】解：如图，设AC与BD交于点O, D :四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∠ABD=∠CBD=60°，AC⊥BD, .∠A0B=90°， .∠0AB=30°， .AB=6. 在a4OB中，0B-4B=3, 5/20 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :0M=VAB2-0B2=3V5 :BD=20B=6.AC=20A=6N5 1 ÷Sm-24C-BD=18W5 11.如图，菱形ABCD的周长为40cm,∠BAC=60°，则该菱形的面积是() A D B A.50cm2 B. 50v3cm2 c.100cm2 D 100W3cm2 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O, A D ,菱形ABCD的周长为40cm, :4B=BC=-x40=10cm,AC1BD:04=OC,0B=OD 4 :∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形， ∠ABC=60°， 1 ∴.∠ABD=∠ABC=30° 2 01 24B=5cm. :.0B=VAB-0M=i02-3=55cm 6/20 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AC=204=10cm BD=20B=10v3cm ÷菱形的面积为24C-BD-x10x10w5=50cm 1 2 12.如图，四边形ABCD为菱形，AC=8，,DB=6,作DH⊥AB,垂足为H,交AC于G点，则OG的长 度为() D H B A.5 B.4 C.4-V3 D.10-1 【答案】B 【详解】解：如图，连接BG, B :四边形ABCD是菱形， ÷D1AC,B0=D0-BD=3,40=C0-4C=4, :.AC是BD的垂直平分线， ∴.DG=BG, 在Rta40B中，可得4B=VA0+BO=5, :.5DH-AC.BD,SDH-x6x8, 2 解得DH=24 7/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在R△801中，直勾股定里可得H=VBD产-D7--- 设DG=BG=x, 则HG=DH-DG=24 x 在Rt△BHG中，由勾股定理可得BG=HG+BH, 4j 15 解得x= 4 15 :'DG=BG=x= 4 在Rt△BOG中，由勾股定理可得OG=VBG2-OB 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.如图，在口ABCD中，AB=6,BC=8,将线段CD水平向左平移n个单位得到线段MN,若四边形 ABMN为菱形，则的值为一 B M N D 【答案】2 【详解】解：：四边形ABMN是菱形，AB=6, .AB=BM=6. BC=8. ∴.n=MC=BC-BM=2 14.如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形ABCD的形状，则矩形ABCD的内角∠ABC的 大小为 8/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【答案】90° 【详解】解：矩形ABCD的四个内角都是直角， 则∠ABC的大小为90° 15.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=105°，AB的垂直平分线交AC于点N,点M为垂足，连接DN,则 ∠CDN的大小是 D A 旧 B 【答案】22.5° 【详解】解：连接BN, D N 四边形 是菱形， B. ABCD AB=AD ABIICD、 ∠BAC=∠DAC=∠BAD=x105°=52.5°， :AB的垂直平分线交AC于点N, :AN =BN, ∴.∠ABN=∠BAN=52.5°， .∠ABN=∠DAN, AD=AB ∠DAN=∠ABN 在 和 中 DAN ABN AN=BN 9/20 丽学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .△DAN≌△ABN(SAS) ∠ADN=LBAN=52.5°， :AB∥CD, ∴.∠ADC=180°-∠BAD=180°-105°=75°， ∴.∠CDN=∠ADC-∠ADN=75°-52.5°=22.5° 16.如图，菱形ABCD的周长为4，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则 PB+PE的最小值是 D A B 【,9 【详解】解：连接BD,DP,DE, D B :菱形ABCD的周长为4，∠DAC=30°， :.AD=AB=BC=CD=L,∠DAB=2∠DAC=60°，AC垂直平分BD, ∴.△DAB为等边三角形，BP=DP, .PB+PE=DP+PE≥DE, ∴当P,D,E三点共线时，PB+PE的值最小为DE的长， :E是AB的中点， 10/20 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE⊥AB ME=BE=号AB= 1 2 2 DE-VAD-AE 2, 3 ∴.PB+PE的最小值是2· 三、解答题：本题共9小题共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(10分)，己知如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点.求证：BE=CE. E D 【答案】证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=DC,∠A=∠D=90°. E为边AD的中点， ∴AE=DE, 在△ABE和△CDE中， AB=DC ∠A=∠D=90° AE=DE △ABE≌ACDE(SAS) .BE=CE 18(10分).如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD上，AE=CF.求证：BE=BF. A E D B 11/20 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠A=∠C=90°， 在△BAE和△BCF中， AB=BC ∠A=∠C AE=CF △BAE≌ABCF(SAS) ∴.BE=BF 19(12分).如图，在边长为1的5×5正方形网格中，小正方形的顶点称之为格点，点A、点B均在格点 上，按照题目要求作图.只用无刻度的直尺，按要求在图中以AB为边画一个菱形.（要求：菱形ABCD 的顶点CD均在格点上，且所画的三个菱形不全等) B 图① 图② 图③ 【答案】 B B D 图① 图② 图③ 20(10分)·小美周末和妈妈逛家具市场，买回来一盏简单而精致的吊灯，吊灯的外框ABCD为菱形，E, F是对角线AC上的两点，且AE=CF,连接BF,FD,DE,EB.求证：四边形DEBF是菱形 12/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 【答案】证明：四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠DCB,AC平分∠DAB,CA平分∠DCB, ∠D1C=∠BAC=<D1B,∠DCA=∠ACB ∴.∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB .AE=CF,AB=BC=CD=AD. ∴.△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS), ∴.DE=BE=BF=DF, .四边形DEBF是菱形 21(10分)·如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、R、G分别是边AB.BC.AD的中点，连接 EF、EG,EF⊥EG,垂足为E,且EF+EG=7. A E B D C (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)求AB的长. 【答案】(I)证明：连接AC,BD交于点O,如图 A D :点E、F、G分别是边AB、BC、AD的中点， 13/20 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∴EF是△ABC的中位线，EG是△ABD的中位线， .EF∥AC,EG∥BD ,EF⊥EG,EF∥AC, .AC⊥EG. :EF∥AC, .AC⊥BD, .平行四边形ABCD是菱形. (2)解：设EF=m,EG=n, 、.m+n=7, :EF是△ABC的中位线，EG是△ABD的中位线， .AC=2EF =2m,BD=2EG=2n, :S菱形面积4CD=2AC·BD=24, 2m-2n=24 .2 解得mn=12, :四边形ABCD是菱形， A40=)AC=m,B0 2BD=n ,AC⊥BD :AB=VA0+B02=Vm2+m=Vm+n'-2m=P-2x12=5 22(10分)·如图，小明想用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，首先他将∠A对折，得到折痕AE, 点E在边BC上，请你用尺规作图法作出菱形ADEF,使得点D,F分别落在边AB,AC上.（保留作图 痕迹，不写作法) B 14/20 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 D B 【详解】解：如图所示，菱形ADEF即为所求. 0.- 以点A为圆心，以大于AE长的一半为半径画圆，保持半径不变以点E为圆心画圆，连接两个圆的交点， 所连成的直线交AB于点D,AC于点F,AE于点O,此时DF垂直平分AE. ∴.∠AOD=∠AOF=90° :AE平分∠DAF ∴.∠DAO=∠FAO 在△AOD和△AOF中 I∠DAO=∠FAO AO=AO ∠AOD=∠AOF ∴.△AOD≌AAOF(ASA) ∴.DO=FO ∴.AE与DF互相垂直平分 ∴四边形ADEF为菱形， 23(I2分).如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE⊥BD交BC的延长线于点E. B (I)求证：四边形ACED是平行四边形： 15/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若AC=CE,DE=4,求BD的长. 【答案】(I)证明：~四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,AD∥BC, DE⊥BD, AC∥DE, 又AD∥CE, ·四边形ACED是平行四边形： (2)解：由(1)可知，四边形ACED是平行四边形， .AC=CE, ∴四边形ACED是菱形， .AC=CE=AD=DE=4, 四边形ABCD是菱形， BC=AD-A:OA=OCAC=2:BD=20B:ACLBI ∴在Rt△BOC中，OB=VBC2-OC2=2W3 :BD=43 24(12分).如图，将边长为5的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，BC边与x 轴重合，且A0:B0=4:3 B (1)求D点的坐标： (2)求CD所在直线的函数表达式. 【答案】)D54) 48 (2)y=3x-3 16/20 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：A0:B0=4:3, 设A0=4k,则B0=3k, OA⊥OB, .AO2+B02=AB2, :菱形ABCD的边长为5， :(4+(3=3, k=1, ∴A0=4,B0=3, :四边形ABCD是菱形， AD∥x轴，AD=5, .D(5,4) (2)解：由(1)可知点 D(5,4)0C=BC-B0=5-3=2, C(2,0) 设直线CD的解析式为y=r+b, 0=2a+b ∴.4=5a+b, a=4 3 解得 6、8. 3 48 “直线CD的解析式为y=3x-3· 25(12分)，如图，己知菱形ABCD,∠ABC=60°，点P是射线BD上的动点，以AP为边向右侧作等边 △APE,连结PC. 17/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 (1)如图1，点P在线段BD上，若PC=3,则PE= (2)如图2，连结DE,当四边形APDE是菱形时，求证：C,P,E三点共线 (3)当CP⊥PE时，求AB与AP的数量关系， 【详解】(I)解：：四边形ABCD是菱形，点P是射线BD上的动点， ∴由菱形的对称性可得PC=AP, :△APE是等边三角形， ..AP=PE, .PC=3 :PE=PC=3: (2)(2)证明：如图所示： 图2 在菱形ABCD中，ADC=∠ABC=60,则由菱形的对称性可得∠ADB=∠CDB=)∠ADC=30°， 2 ~四边形APDE是菱形， .PA=PD, ∴.∠PAD=∠PDA=30°. :∠APB是△APD的一个外角， ∴.∠APB=∠PAD+∠PDA=60° 则由菱形的对称性可得∠BPC=∠BPA=60°， ·∠APC=120°， :△APE是等边三角形， ∠APE=60° 18/20 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 .∠APC+∠APE=120°+60°=180°， 即C,P,E三点共线： (3)解：当CP⊥PE时，∠CPE=90°，分两种情况： 当P在线段BD上时，过P作PF⊥AB于F,如图所示： 是等边三角形， :△APE .∠APE=60° ∴.∠APC=∠APE+∠CPE=150°， 由菱形BD的对g性时知∠PD=∠CPD-号C=7S、ABP=CBP-ABC=30 :∠APD是△ABP的一个外角， ∴.∠PAB=∠APD-∠ABP=75°-30°=45° .△APF是等腰直角三角形， 设1F=PF=m,则 P=√2m 在RtBPF中，∠ABP=30°，PB=2PF=2m,则由勾股定理可得BF=VPB-PF=V3m .AB=BF+AF=(3+1)m 4B(3+)m6+2 :.AP √2m 2 当P在线段BD延长线上时，连接AC交BD于O,如图所示： :∠ABC=60° 19/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△ABC是等边三角形，即AB=BC=AC, :△APE是等边三角形， ∠APE=60°， ∴.∠CPA=∠CPE-∠APE=30°. 由对称性可知乙APD=∠CPD=)∠CPA=15°。 2 ∠4DB=1∠ADC=300 ∴.∠DAP=∠ADB-∠APD=15°」 ∠DAP=∠APD, .PD=AD :四边形ABCD是菱形， ∴.∠AOD=90° 设OA=n,则AB=AD=PD=2n, 在R1a10D中，01=”，4D=2m,则由勾股定理可得OD=VAD2-0M=V5n, :.OP=OD+PD=(+2)n 在R△AOP中，由勾股定理可得4P=VOA+OP-(6+2)n, AB 2n 6-2 ∴.AP（N6+V2n 2, AB+2 4B 6-2 综上所述，AB与AP的数量关系为AP2或AP 2 20/20