1.1认识特殊的平行四边形同步练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学特殊平行四边形新授课同步练，以三级分层设计实现从概念巩固到综合应用的递进，适配课时教学目标，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|特殊平行四边形定义、性质基础应用|结合图形计算（如矩形对角线、菱形角度），夯实双基| |B级|性质综合应用、动态问题|含动点、翻折等情境（如矩形翻折求线段长），提升空间观念| |C级|跨知识点探究、开放问题|涉及正方形中数量关系证明（如AQ与OP关系），发展推理与创新意识|

第一章 特殊平行四边形 第 1节 认识特殊的平行四边形 今日复习 1.研究特殊的平行四边形的思路：先满足“ ”这个基础条件，再多加一个或几个特殊条件，就得到 平行四边形. 2.平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫作平行四边形. 3.特殊平行四边形的定义 (1)菱形的定义：有一组邻边 的平行四边形叫作菱形. (2)矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫作矩形. (3)正方形的定义：既是 形，又是 形的平行四边形叫作正方形.(即有一个角是 且有一组邻边 的平行四边形是正方形) 名师点拨 1.学习特殊平行四边形的思维架构：从“一般→特殊”整体理解. (1)四边形+两组对边平行，平行四边形+一个直角→矩形. (2)四边形+两组对边平行平行四边形+一组邻边相等菱形. (3)平行四边形-+一组邻边相等>菱形+一个直角→正方形. 2.整体性记忆：从“边、角、对角线”三个维度统一看. 所有特殊平行四边形都可以用同一套框架分析：边+角+对角线. 图形 对边 邻边 角 对角线 平行四边形 平行且相等 不一定相等 对角相等 互相平分 矩形 平行且相等 不一定相等 四个直角 互相平分且相等 菱形 平行且相等 都相等 对角相等 互相平分且垂直 正方形 平行且相等 都相等 四个直角 互相平分、相等且垂直 3.探索特殊平行四边形的方法 (1)性质是“继承 +新增”：特殊平行四边形一定拥有平行四边形的所有性质，再加上自己独有的特征. (2)判定要“先保底，再特殊”：先证是平行四边形，再证满足特殊平行四边形的特殊条件. 课时三级达标 A级 双基过手 1.(2026·编写)如图,O是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M是AD的中点， BC=2,则OB的长为 . 2.(2026·武侯)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=80°,点 E 在对角线 BD 上,且BE=BA,则∠AED的度数是 . 3.(2026·锦江)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=5,点 E 在CD 边上,将四边形ABCE 沿直线AE 翻折，得到四边形AFGE,点 B,C的对应点分别为点 F,G.当点 D 恰好在线段FG 上时，线段CE的长为 . 4.(2026·编写)如图,在正方形ABCD的边BC 的延长线上取一点E,使CE=AC,连接AE交CD 于点F,则∠AFC的度数为 . 5.(2026·编写)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点坐标分别为A(3,0),B(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标为 ( ) A.(-5,4) B.(-2,3) C.(-3,4) D.(5,4) 6.(2026·金牛)如图,已知点 A 的坐标为 ，点B 的坐标为( 菱形ABCD 的对角线交于坐标原点O，则C，D两点的坐标分别为 ( ) 7.(2026·武侯)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE⊥AC于点E.若∠AOD=130°,则∠CDE的度数是 ( ) A.45° B.35° C.25° D.20° 8.(2026·编写)如图，在平面直角坐标系xOy中,正方形 ABCD 的顶点 D 在 y 轴上,且A(-3,0),点 B 的横坐标为2,则正方形ABCD的面积是 ( ) A.13 B.20 C.25 D.34 9.(1)(2026·成华)如图,在△BCF中,D,E分别是BC,FC 的中点,AF∥BC,交DE的延长线于点 A,AB⊥AC,连接AD.求证:四边形AFBD为菱形. (2)(2026·温江)如图,在矩形ABCD中,F是BC 的中点,E是AD 上一点,且∠EBC=∠DCE,EF=3c m,求 AD的长. 10.(2026 ·简阳)如图,点 E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点,连接AE,过点 E作EF⊥AE,交 BC 于点F.已知 求BF的长. B级 能力提升 11.(2026·新都)如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,E 为对角线AC上一点,过点E作EF⊥AB 于点F,作 EG⊥BC 于点G.若EF+EG=3,则菱形ABCD的面积为 . 12.(2026·编写)如图，在平面直角坐标系中，边长为3 的正方形 ABCD 在第一象限内,AD∥y轴,点A 的坐标为(6,4).若函数y= mx-2的图象与正方形ABCD有交点，则m的取值范围是 . 13.(2026·郫都)如图,已知矩形 ABCD,AB=4,E为BC 上一点,BE=10,点M是AD边上一动点(点 M不与点A，D重合).当△BEM 是直角三角形时，AM的长为 . 14.(2026 ·天府新区)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC 的中点,CE,DF交于点G,连接AG.求证: (1)CE=DF; (2)CE⊥DF; (3)∠AGE=∠CDF. C级综合拓展 15.(2026·温江)在四边形 ABCD中,对角线AC，BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外),连接PD,PB.点 Q在BA 的延长线上且PQ=PD. (1)如图1，若四边形ABCD是正方形. ①求 的度数； ②探究 AQ与OP 的数量关系并说明理由. (2)如图 2,若四边形 ABCD 是菱形且 探究AQ与CP 的数量关系并说明理由. 【今日复习】 1.平行四边形 特殊 2.平行 3.(1)相等 (2)直角(3)矩菱 直角 相等 【课时三级达标】 A级(双基过手) 2.110°3.1.5 4.112.5°5. A 6. B 7. C8. D 9.(1)【证明】∵D,E分别是BC,FC的中点, ∴DE 是△BCF 的中位线,∴DE∥BF. 又∵AF∥BC, ∴四边形AFBD 是平行四边形. ∵AB⊥AC, ∴∠BAC=90°, ∴四边形 AFBD为菱形. (2)【解】∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,∠BCD=90°, ∴∠ECB+∠DCE=90°. 又∵∠EBC=∠DCE, ∴∠EBC+∠ECB=90°, ∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=90°, ∴△BEC是直角三角形. ∵F是BC的中点, ∴AD=BC=2EF=2×3=6(cm). 10.【解】如图,过点 E 作 MN⊥AD 于点M,交 BC 于点N, 则∠DMN=∠AMN=90°, 又∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠MAB=∠ABN=90°,∠MDE=∠EBN=45°, ∴四边形MANB 是矩形, ∴AM=BN,∠BNE=90°, ∴△BNE是等腰直角三角形， ∴EN=BN,∴AM=EN. ∵EF⊥AE, ∴∠AEF=90°, ∴∠EAM+∠MEA=∠FEN+∠MEA=90°, ∴∠EAM=∠FEN. 在△ENF和△AME中, ∴△ENF≌△AME(ASA), ∴FN=ME,EF=AE= ∵∠MDE=45°,∠DME=90°, ∴△DME是等腰直角三角形. 又 ∴FN=1. ∵∠AME=90°, ME=1, ∴BN=AM=3, ∴BF=BN-FN=3-1=2. B级(能力提升) 11.9 13.2或8或10 14.【证明】(1)∵四边形 ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°. ∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴BE=CF. 在△CBE和△DCF中, ∴△CBE≌△DCF(SAS), ∴∠ECB=∠FDC,CE=DF. (2)∵∠BCE+∠ECD=90°, ∴∠ECD+∠CDF=90°, ∴∠CGD=90°,∴CE⊥DF. (3)如图,延长CE交DA 的延长线于点 H. ∵点E是AB的中点,∴AE=BE. ∵AD∥BC,∴∠AHE=∠BCE. 又∵∠AEH=∠BEC, ∴△AEH≌△BEC(AAS), ∴AH=BC=AD. ∵CE⊥DF, ∴在 Rt△DGH中,AG是斜边DH 上的中线, ∴∠ADG=∠AGD. ∵∠AGE+∠AGD=90°,∠CDF+∠ADG=90°, ∴∠AGE=∠CDF. C级(综合拓展) 15.【解】(1)①如图1,设PQ与AD交于点M. ∵ 四边 形 ABCD 是正方形， ∴ AD = AB, ∠DAC =∠BAC=45°,∠DAB=90°, ∴∠DAQ=90°. 又∵AP=AP, ∴△DAP≌△BAP(SAS), ∴PD=PB,∠ADP=∠ABP.又∵PQ=PD, ∴PQ=PB, ∴∠PQA=∠PBA=∠ADP. 又∵∠AMQ=∠DMP, ∴∠DPQ=∠DAQ=90°. 理由如下： 如图2,在OD上取一点N,使DN=PA,连接PN. ∵ 四边形 ABCD 是 正方形， ∴OD=OA,∠AOD=90°, ∵DN=PA, ∴ON=OP, ∴△PON 是等腰直角三角形， ∵∠DPQ=90°, ∴∠APQ+∠OPD=90°. ∵∠OPD+∠ODP=90°, ∴∠APQ=∠ODP. 又∵PD=PQ, ∴△DNP≌△PAQ(SAS), ∴PN=AQ, (2)AQ=CP.理由如下: 如图3,过点 D作DE⊥BQ于点E,连接DQ, ∴∠AED=∠DEQ=90°. ∵四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, ∴AD∥BC,∠ABD=30°,AC⊥BD,AD=AB= BC, ∠DAE =∠ABC=60°, ∴∠AOB=∠BOC=90°,△ABC是等边三角形, ∴∠BOC=∠AED,∠AOB=∠DEQ,∠ACB=60°.由(1)同理得,PB=PD=PQ,∠DPQ=∠DAQ=60°, ∴△PDQ是等边三角形， ∴DQ=PD=PB, ∴△ADE≌△CBO(AAS), ∴DE=OB,AE=OC, ∴Rt△DEQ≌Rt△BOP(HL), ∴EQ=OP, ∴EQ+AE=OP+OC,即AQ=CP. 学科网（北京）股份有限公司 $