26.3 二次函数与一元二次方程 课时练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习以A、B、C组分层设计，覆盖二次函数与一元二次方程关系及解析式求法，通过基础巩固、能力提升到拓展应用的梯度，培养运算能力、推理意识与应用意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础练|求交点坐标、判断抛物线性质、基础解析式求解|直接应用概念，如求抛物线与坐标轴交点，培养运算能力| |B组能力练|证明交点存在、结合图像求面积、综合性质判断|融入推理，如证明抛物线与x轴交点个数，发展推理意识| |C组拓展练|存在性问题、跨知识点综合（几何与代数）、实际情境应用|联系综合情境，如探究抛物线上满足面积条件的点，提升应用意识|

第26章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 第1课 二次函数与一元二次方程的关系(1) A组基础练 1.求抛物线 与x轴、y轴的交点坐标. 2.(1)抛物线 与x轴的交点坐标为 ; (2)二次函数 与y轴的交点坐标为 3.已知抛物线 下列结论错误的是( ) A.与x轴有2个交点 B.与y轴有1个交点 C.开口向下 D.对称轴为y轴 4.若抛物线 与x轴的交点为(-1,0),(2,0),则方程 的解为 . 5.已知抛物线 与x轴没有交点. (1)求c的取值范围； (2)试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由. B组能力练 6.已知抛物线 (1)求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； (2)如果这个抛物线与x轴有一个交点坐标为(3,0),求a的值. 7.如图，二次函数 与y轴交于点A,与x轴交于点 B,C. (1)求点A,B,C的坐标; (2)连接AB,AC,求 S△ABC. C组拓展练 8. 已知抛物线 . 第2课 二次函数与一元二次方程的关系(2) A组 基础练 1.二次函数 的图象如图所示. (1)对称轴为 ; (2)当y<0时,x的取值范围是 ; (3)当 时，x的取值范围是 . 2.如图，抛物线的对称轴为直线x=1，若点 B 的坐标为(3,0),则点A 的坐标为 . 3.如图，二次函数 与一次函数 的图象相交于两点，观察图象回答下列问题： (1)当x满足 时, (2)当x满足 时, (3)当x满足 时, 4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程 的两个根是 ； (2)当x满足 时,y<0. 5.如图，直线y=x-1和抛物线 相交于点A 和点 B. (1)求点A 和点 B 的坐标; (2)直接写出不等式 的解集. B组 能力练 6.二次函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A. a>0 B.当x>1时，y随x的增大而增大 C. c<0 D.3是方程 的一个根 7.如图是二次函数 图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论中正确的是( ) B. ac>0 C.2a-b=0 D. a-b+c=0 C组 拓展练 8.如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴相交于点C. (1)点B 的坐标为( , ),点 C 的坐标为( , ); (2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围是 ； (3)该二次函数图象上有一点D(x,y),使 求点 D 的坐标. 第3 课 用待定系数法求二次函数解析式(一般式) A组 基础练 1.抛物线 过点(2,8),则a= . 2.已知抛物线 经过点(1,0),(2，5)，求抛物线的解析式. 3.抛物线 经过点 A(-1,2),B(0,1),C(2,-7),求这个二次函数的解析式. 4.如图，抛物线与坐标轴交于点A，B，C，求其解析式. B组 能力练 5.已知抛物线 经过点 A(4,0),B(2，-12)，求这条抛物线的解析式及其对称轴. C组 拓展练 6.如图，已知二次函数 的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积; (3)若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点 P，使得△PAD 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 第4课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式、交点式) A组 基础练 1.已知二次函数的图象顶点是( -2,3),且过点( -1,5),求这个二次函数的解析式. 2.抛物线与坐标轴交于点A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),求抛物线的解析式. 3.已知二次函数当x=4时，函数有最小值-3，且抛物线过点(2，1)，求出它的函数解析式. B组 能力练 4.已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式. 5.二次函数 的部分对应值如下表： x -3 -2 0 1 3 5 y 7 0 -8 -9 -5 7 则当x=2时，对应的函数值y= . C组 拓展练 6.如图，已知抛物线 经过点A(1,0)和点B(-3,0),P为第二象限内抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式； (2)连接PA,PB,当 时，求出点 P 的坐标. 第26章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 答案版 第1课 二次函数与一元二次方程的关系(1) A组 基础练 1.求抛物线 与x轴、y轴的交点坐标. 解:当x=0时,y=-4; 当y=0时， 解得. ∴抛物线与x轴的交点坐标为(4,0)和(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0，-4). 2.(1)抛物线 与x轴的交点坐标为(1,0)和( (2)二次函数 与y轴的交点坐标为(0,5) . 3.已知抛物线 下列结论错误的是(D) A.与x轴有2个交点 B.与y轴有1个交点 C.开口向下 D.对称轴为y轴 4.若抛物线 与x轴的交点为(-1,0),(2,0),则方程 的解为 5.已知抛物线 与x轴没有交点. (1)求c的取值范围； (2)试确定直线y=cx+1 经过的象限，并说明理由. 解：(1)依题意，得 解得 (2)直线y= cx+1经过第一、二、三象限. 理由如下： ∴直线y=cx+1经过第一、三象限. ∵b=1, ∴直线y=cx+1与y轴正半轴相交. ∴直线y=cx+1经过第一、二、三象限. B组 能力练 6.已知抛物线 (1)求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； (2)如果这个抛物线与x轴有一个交点坐标为(3,0),求a的值. (1)证明: ∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点. (2)解:将(3,0)代入. 得9–3a+2(a–3)=0. ∴9-3a+2a-6=0. ∴a=3. 7.如图，二次函数 与y轴交于点A,与x轴交于点B,C. (1)求点A,B,C的坐标; (2)连接AB,AC,求 S△ABC. 解:(1)当x=0时,y=2,∴点A 的坐标为(0,2). 当y=0时, 解得 ∴点B的坐标为(-1,0),点C的坐标为(3,0). C组 拓展练 8.已知抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤2且k≠0 . 第2课 二次函数与一元二次方程的关系(2) A 组 基础练 1.二次函数 的图象如图所示. (1)对称轴为 直线x=2 ; (D) (2)当y<0时,x的取值范围是 1<x<3 ; (3)当 时，x的取值范围是 x<1或x>3 . 2.如图，抛物线的对称轴为直线x=1，若点 B 的坐标为(3,0),则点A 的坐标为 (-1,0) . 3.如图，二次函数 与一次函数 的图象相交于两点，观察图象回答下列问题： (1)当x满足 x=1或x= -2 时, (2)当x满足 -2<x<1 时, (3)当x满足 -2<x<0 时, 4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程 的两个根是 (2)当x满足 x<1 或x>3 时,y<0. 5.如图，直线y=x-1和抛物线 相交于点A 和点 B. (1)求点A 和点 B的坐标; (2)直接写出不等式 的解集. 解:(1)联立 解得 或 ∴A(1,0),B(3,2). (2)由(1)得点A,B的横坐标分别为1,3. 由图可得,当x≤1或x≥3时, 故其解集为x≤1或x≥3. B组 能力练 6.二次函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A. a>0 B.当x>1时，y随x的增大而增大 C. c<0 D.3是方程 的一个根 7.如图是二次函数 图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论中正确的是 (D) B. ac>0 C.2a-b=0 D. a-b+c=0 C组 拓展练 8.如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴相交于点 C. (1)点 B 的坐标为( -1 , 0 ),点 C 的坐标为( 0 , 3 ); (2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围是 -1<x<3 ; (3)该二次函数图象上有一点D(x，y)，使 求点 D 的坐标. 解:(3)设D(x,y),如图,连接BD,AD,过点 D 作 DE⊥AB于点E. ∵B( ﹣1,0),A(3,0), ∴AB=4. 当y=4时,x=1,∴D(1,4); 当y=-4时,. 或 或 综上所述，点D 的坐标为(1，4)或 或 第3课 用待定系数法求二次函数解析式(一般式) A组 基础练 1.抛物线 过点(2,8),则a= 2 . 2.已知抛物线 经过点(1,0),(2，5)，求抛物线的解析式. 解：依题意，得 解得 ∴抛物线的解析式为 3.抛物线 经过点 A(-1,2),B(0,1),C(2,-7),求这个二次函数的解析式.解：将点A，B，C的坐标代入 中，得 解得 ∴二次函数的解析式为 4.如图，抛物线与坐标轴交于点A，B，C，求其解析式. 解：设其解析式为 由图可知,过点A(﹣3,0),B(1,0),C(0,-3)三点. 解得 ∴其解析式为 B组 能力练 5.已知抛物线 经过点 A(4,0),B(2，-12)，求这条抛物线的解析式及其对称轴. 解：将点A，B的坐标代入. 中，得 解得 ∴抛物线的解析式为 对称轴为直线 C组 拓展练 6.如图，已知二次函数 的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积; (3)若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点 P，使得△PAD 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)依题意，得 解得 ∴这个二次函数的解析式为 (2)对称轴为直线 ∴C(4,0). ∴AC=2. (3)存在. AD 长度固定,只需找到点P 使PA+PD 最小即可，找到点A 关于y轴的对称点A'，如图，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P 的位置. ∵点A'的坐标为( -2,0),点D的坐标为(4,2), 设直线A'D的解析式为y= kx+m, 则 解得 ∴直线A'D的解析式为 当x=0时, ，则点P的坐标为(0， 第4课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式、交点式) A组 基础练 1.已知二次函数的图象顶点是(-2,3),且过点(-1,5),求这个二次函数的解析式. 解：设二次函数的解析式为. ∵图象顶点是( −2,3), ∴h=-2,k=3. 依题意，得 解得a=2. ∴这个二次函数的解析式为 2.抛物线与坐标轴交于点A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),求抛物线的解析式. 解：依题意，设抛物线的解析式为 y=a(x+3)(x-1). 将C(0,-3)代入,得-3a= -3,解得a=1. ∴抛物线的解析式为 3.已知二次函数当x=4时，函数有最小值-3，且抛物线过点(2，1)，求出它的函数解析式. 解：依题意，得函数的顶点坐标为(4，-3)，设解析式为 ∵过点(2,1), 则解析式为 B组 能力练 4.已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式. 解：由图可知，函数的顶点坐标为(1,4),设解析式为 ∵过点 (3,0), 则 ∴解析式为 5.二次函数 的部分对应值如下表： x … -3 -2 0 1 3 5 .. y … 7 0 -8 -9 -5 7 则当x=2时,对应的函数值y= -8 . C组 拓展练 6.如图，已知抛物线 经过点A(1,0)和点B(-3,0),P 为第二象限内抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式； (2)连接PA,PB,当 时，求出点 P 的坐标. 解：(1)依题意，设抛物线的解析式为 2nx-3n. 对比系数,得-3n=3,解得n = -1. ∴抛物线的解析式为 (2)设点P 的坐标为 ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴m<0, ∵A(1,0),B(-3,0),∴AB=4. =6, 解得 (舍去). ∴点P 的坐标为( -2,3). 学科网（北京）股份有限公司 $