3.2　二次根式的乘法和除法 教学设计 2025-2026学年 湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式乘除法法则，通过复习积与商的算术平方根性质，设计对比计算（如√4×√9与√36）引导学生观察归纳，搭建新旧知识联系的学习支架。 以“探究-应用-拓展”为主线，学生自创式子验证法则培养抽象能力，综合题（如结合绝对值求代数式值）发展推理意识，生活实例（电视塔信号传播）强化应用意识。知识网络与反思助力教师教学，提升学生运算与问题解决能力。

3.2　二次根式的乘法和除法 第1课时　二次根式的乘法 课题 第1课时　二次根式的乘法 授课人 教 学 目 标 1.掌握二次根式的乘法法则,能熟练地应用它进行二次根式的乘法运算. 2.灵活应用和逆用二次根式的乘法法则,能熟练地将二次根式化简. 3.培养学生利用二次根式的乘法法则进行化简的深层思考. 4.让学生认识到二次根式的乘法与积的算术平方根两者互为逆运算. 5.让学生在总结规律的基础上,通过运用二次根式的乘法法则去解决生活中的实际问题. 6.经过探索二次根式的乘法法则,培养学生观察、分析、发现问题的能力. 7.引导学生掌握从特殊到一般以及类比的方法,从而正确地去解决实际问题. 教学 重点 　　正确运用·=(a≥0,b≥0)去化简或计算. 教学 难点 　　正确应用·=(a≥0,b≥0)去计算求值. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体及实物投影仪 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.复习积的算术平方根的表达式子:=·(a≥0,b≥0). 2.举例说明:==×. 通过复习,加强新、旧知识之间的联系,有利于对比新知识点. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 对于上述的表达式子是否有×=? 针对这个问题,我们通过做下面的一些题来进行总结: (1)×与;(2)×与. 它们的值分别相等吗?通过你计算的答案来回答. 归纳:(1)×=;(2)×=. 　　从正、反两方面设计情境,引导学生思考两者之间的联系,明确两个知识点之间的内涵. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 乘法法则:·=(a≥0,b≥0) 对于课堂引入中的(1)×=,(2)×=,是否对于所有的非负数都有·=成立呢? (学生自己动手,通过自创数学式子,各小组通过计算、对比,分析答案,验证式子的正确性) 结论:对于任意满足二次根式的数都有·=成立. 补充成立的条件是a≥0,b≥0. 　　从特殊到一般,让学生自己发现结论. 【应用举例】 例1　计算:(1)×;(2)×. 变式一:计算:×. 例2　计算:(1)2×5;(2)3×. 变式二:计算:(1)2×3;(2)××. 　　利用二次根式的乘法法则,从不同的被开方数的形式进行计算,做到形式全面具备. 【拓展提升】 例3　计算:3×5×.[答案:6] 例4　已知|x-2|++z2-6z+9=0,求··的值. 解:因为|x-2|++z2-6z+9=|x-2|++(z-3)2=0, 所以x-2=0,6-y=0,z-3=0,即x=2,y=6,z=3, 则原式=××=6. 　　拓宽视野,从计算与应用的角度进行提升能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P71练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P74习题3.2 T1. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 这节课教师和学生一起从具体的例子入手,先通过比较、观察,归纳出二次根式的乘法法则,接着应用二次根式的乘法法则进行计算,在例题和练习题的选择上,既突出了本节的重点(两个二次根式相乘),又进行了知识的拓展(三个二次根式相乘、带系数的二次根式相乘等).这样不仅有利于大多数学生的学习,也兼顾了部分优秀学生的发展. ②[讲授效果反思] 本节课的重点在于学会二次根式的乘法法则,并运用其进行计算,在结果上,需强调要将答案化成最简二次根式. ③[师生互动反思] 在做题的过程中,开展师生互动,主要在思考上做文章. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第2课时　二次根式的除法 课题 第2课时　二次根式的除法 授课人 教 学 目 标 1.理解=(a>0,b≥0)和=(a>0,b≥0)之间的区别与联系. 2.会利用二次根式的除法法则进行化简与求值运算. 3.能熟练地进行二次根式的乘除混合运算. 教学 重点 1.探究商的算术平方根的性质的得出过程. 2.准确运用二次根式的除法法则进行二次根式的化简运算. 教学 难点 　　利用公式=(a>0,b≥0)进行二次根式的化简. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.回顾二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0). 2.举例说明:如×===3. 　　通过回顾,加深旧知识的印象,同时又为以类比的方式导出新课服务. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 从教材中的“思考”入手,对二次根式计算的结果进行对比.从“=”和“=”中去分析一般规律. 　　先从数的情形进行分析,总结规律,导入新课. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 二次根式的除法法则 根据二次根式的乘法法则有:若a>0,·==1,则=(a>0). 推广到一般情形:对于满足条件的a>0,b≥0,则 ==·=·=. 实质:商的算术平方根的性质. 用数学语言表述:商的算术平方根等于算术平方根的商. 　　从特殊情况递推到一般情况分析,实现数学学习从特殊到一般的过程. 【应用举例】 例1　化简下列二次根式:(1);(2). 变式一:化简:.[答案:] 例2　计算:(1)÷;(2);(3). 变式二:计算:.[答案:] 变式三:计算:2×÷5. 解:原式=4××=3×=. 例3　电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足r=(其中R是地球半径).现有两座塔高分别为h1=600 m,h2=450 m的电视塔,问它们的信号传播半径之比等于多少? 　　从数到应用的两个角度进行了计算,合情合理. 【拓展提升】 例4　一个底面为 cm× cm的长方体玻璃容器中装满水,现将玻璃容器中的一部分水倒入一个底面为正方形,且高为 cm的铁桶中,当铁桶装满水时,玻璃容器中的水面下降了 cm,那么铁桶的底面边长是多少厘米? 解:设铁桶的底面边长为x cm, 则××=x2, x2==150, 所以x==5(cm). 答:铁桶的底面边长为5 cm. 　　从二次根式的除法公式的应用范围拓展,超出教学内容,但拓宽学生的视野,提升学生的应考能力. 活动 二: 探究 与 应用 例5　已知=,且x为偶数,求(1+x)·的值. 解:式子=,只有当a>0,b≥0时才能成立. 因此得到9-x≥0且x-6>0,即6<x≤9. 又因为x为偶数,所以x=8. 所以(1+x)·=(1+8)×=9×=9×=9×=6. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P73练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P74习题3.2 T2,T3. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过类比导入能直接将学生的学习状态带入到课堂中,并从中感受乘法与除法两者关系. ②[讲授效果反思] 在教学时重点在二次根式除法的计算上,拓展被开方数是代数式的形式,这是学生学习的一大难点,要做到少讲但不能不讲,注意针对不同的学生需把握讲的“度”. ③[师生互动反思] 在“做题”的过程中实现师生互动,讲练结合. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $