专题04 一次函数与图形面积综合（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型分层”构建一次函数与图形面积综合训练体系，通过四步通法提炼与五类题型递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4类通法|直接公式法、割补法、铅垂高水平宽法、等积转化法|从规则到不规则图形面积计算，构建方法迁移路径| |题型归纳|5类题型（含变式）|基础必考→中档核心→压轴拔高，每类配题型模版|直线与坐标轴→两直线相交→斜三角形→动点→面积比例，层层递进| |压轴挑战|22道综合题|高难压轴题突破，融合面积存在性与比例分割|综合应用通法解决复杂问题，提升创新意识|

专题04 一次函数与图形面积综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与坐标轴围成三角形面积（基础必考） 题型二、两直线相交构成三角形面积（中档核心） 题型三、任意三点坐标求斜三角形面积（无规则图形） 题型四、动点面积存在性问题（期末压轴） 题型五、面积比例与四边形面积综合（拔高题型） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：直接公式法（适配坐标轴/平行坐标轴图形） 适用场景：三角形、四边形有边落在x轴、y轴，或边与坐标轴平行，属于基础规则图形。 核心公式： 底边在x轴：底长=，高为对应点纵坐标绝对值， 底边在y轴：底长=，高为对应点横坐标绝对值， 典例示范：直线交x轴于，交y轴于，求。 解： 通法2：割补法（适配不规则斜图形） 适用场景：三角形三边均倾斜、无横平竖直边，普通四边形等不规则图形。分为分割法和补形法两类。 分割法：过关键点作竖直或水平辅助线，将原不规则图形分割为多个直角三角形、梯形等规则图形，总面积为各部分面积之和。 补形法：将倾斜三角形包裹在最小矩形内，用矩形总面积减去四周多余的直角三角形面积，得到原图形面积。 通法3：铅垂高水平宽法（压轴万能首选法） 适用场景：所有斜三角形、动点面积问题、多直线相交面积计算，是考试最优解法，计算量最小。 核心公式： 水平宽：三角形最左侧、最右侧两个顶点的横坐标差值的绝对值（） 铅垂高：中间顶点作竖直直线，被三角形截取的竖直线段长度（） 核心优势：无需求斜边长度、无需找传统高，已知三点坐标可直接计算，完美适配动点动态面积问题。 通法4：等积转化法（面积找点专用） 核心原理：两条平行线之间，同底的三角形面积恒相等。 适用场景：已知三角形面积，寻找平面内、直线上满足条件的动点坐标；面积相等的存在性问题。 若直线，以固定线段为底，两条直线上任意一点与构成的三角形面积均相等。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与坐标轴围成三角形面积（基础必考） 【典例1】．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【典例2】．一次函数的图象与y轴、x轴形成的三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型模版 题型特征：单一一次函数直线，求其与x轴、y轴围成的三角形面积；或已知面积，反求解析式参数k、b。 【变式1-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于______． 【变式1-2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为_________． 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 1 3 (1)求和的值； (2)求该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积． 题型二、两直线相交构成三角形面积（中档核心） 【典例3】．（2024八年级上·安徽·期末）直线与直线以及轴围成的三角形面积是______． 题型模版 1.题型特征：两条一次函数直线相交于一点，分别与坐标轴相交，求三点构成的三角形面积，是期末高频大题。 2.解题思路：联立两直线解析式，求出交点坐标；提取两直线与坐标轴的交点坐标；优先使用铅垂高水平宽法计算，计算简便、准确率高。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线与轴、轴分别交于点，． （1）直线一定经过的点的坐标为______； （2）若直线将的面积分为两部分，则的值为______． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为______； (2)求直线与x轴围成的三角形的面积； (3)过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 题型三、任意三点坐标求斜三角形面积（无规则图形） 【典例4】．如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴交于点与AB交于点，连结，则的面积为（    ）    A．4 B． C． D． 题型模版 题型特征：三角形三个顶点为任意坐标，三边均不平行于坐标轴，无横平竖直边，无法用基础公式。 【变式3-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线，且与x轴交于点D，与y轴交于点B．直线经过点，直线，交于点C． (1)求k的值和点C的坐标，并填空：当______时，； (2)求的面积． 【变式3-2】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知直线：，且与轴交于点，与轴交于点．直线：经过点，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【变式3-3】．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 题型四、动点面积存在性问题（期末压轴） 【典例5】．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【典例6】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 题型模版 题型特征：动点在固定一次函数直线上运动，已知三角形面积为定值，求动点坐标，是试卷压轴高频考点。 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且． (1)分别求出直线与的表达式． (2)已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a． ①用含a的式子表示的面积； ②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型五、面积比例与四边形面积综合（拔高题型） 【典例7】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为________； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为________． 【典例8】．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 【典例9】．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 题型模版 1.题型特征：直线分割三角形、四边形，将图形分为面积比例为1:2、1:1等两部分，求分割点坐标；或求不规则四边形面积。 2.解题思路： 1. 面积比例转化为线段比例，通过线段长度求解点坐标； 2. 所有四边形统一分割为两个三角形，分别计算面积后求和，规避复杂公式。 【变式5-1】．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． (2)直接写出时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 【变式5-2】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 【变式5-3】．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象一定经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像不经过第二象限 B．随的增大而增大 C．图像与两坐标轴围成的三角形的面积为4 D．该函数图像的与y轴的交点坐标为（0，-2） 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 5．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 二、填空题 6．若一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为 ___． 7．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 8．已知二元一次方程组的解为，则图中三角形ABC的面积为_______． 9．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知直线：和直线：相交于点P． （1）设和分别与x轴交于A，B两点，则的面积为_______． （2）已知直线分别与，相交于C，D两点，若线段长为3，则a的值为_______． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与直线交于点A，已知点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)求两直线与x轴围成的三角形的面积． 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知直线与，求： (1)这两条直线的交点坐标： (2)这两条直线与轴围成的三角形的面积， 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)分别求出与的表达式； (2)已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 14．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴相交于，两点，且的面积为． (1)求一次函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度，分别交轴，轴于点，，求四边形的面积． 15．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求、的值； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标． 16．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线：与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)若点P在直线上，且，求点P的横坐标． (2)根据图象，求出当时，x的取值范围是什么？ 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)求出的面积． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 19．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，与x轴相交于点D．求四边形的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 20．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)求，的值； (2)直接写出方程组的解为__________； (3)求的面积． 21．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)判断的形状； (3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 22．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，直线交x轴于点C，且与直线交于点，． (1)不等式的解集为________． (2)求直线的表达式． (3)若点D是直线上一动点，过点D作轴交直线于点E，，求点D的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数与图形面积综合 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与坐标轴围成三角形面积（基础必考） 题型二、两直线相交构成三角形面积（中档核心） 题型三、任意三点坐标求斜三角形面积（无规则图形） 题型四、动点面积存在性问题（期末压轴） 题型五、面积比例与四边形面积综合（拔高题型） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：直接公式法（适配坐标轴/平行坐标轴图形） 适用场景：三角形、四边形有边落在x轴、y轴，或边与坐标轴平行，属于基础规则图形。 核心公式： 底边在x轴：底长=，高为对应点纵坐标绝对值， 底边在y轴：底长=，高为对应点横坐标绝对值， 典例示范：直线交x轴于，交y轴于，求。 解： 通法2：割补法（适配不规则斜图形） 适用场景：三角形三边均倾斜、无横平竖直边，普通四边形等不规则图形。分为分割法和补形法两类。 分割法：过关键点作竖直或水平辅助线，将原不规则图形分割为多个直角三角形、梯形等规则图形，总面积为各部分面积之和。 补形法：将倾斜三角形包裹在最小矩形内，用矩形总面积减去四周多余的直角三角形面积，得到原图形面积。 通法3：铅垂高水平宽法（压轴万能首选法） 适用场景：所有斜三角形、动点面积问题、多直线相交面积计算，是考试最优解法，计算量最小。 核心公式： 水平宽：三角形最左侧、最右侧两个顶点的横坐标差值的绝对值（） 铅垂高：中间顶点作竖直直线，被三角形截取的竖直线段长度（） 核心优势：无需求斜边长度、无需找传统高，已知三点坐标可直接计算，完美适配动点动态面积问题。 通法4：等积转化法（面积找点专用） 核心原理：两条平行线之间，同底的三角形面积恒相等。 适用场景：已知三角形面积，寻找平面内、直线上满足条件的动点坐标；面积相等的存在性问题。 若直线，以固定线段为底，两条直线上任意一点与构成的三角形面积均相等。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与坐标轴围成三角形面积（基础必考） 【典例1】．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出答案． 【详解】解：∵当x＝0时，y＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与y轴交于点（0，4）， ∵当y＝0时，即−x＋4＝0， 解得：x＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与x轴交于点（4，0）， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为：×4×4＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【典例2】．一次函数的图象与y轴、x轴形成的三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】分别令即可求得一次函数的图象与y轴、x轴的交点，进而即可求解． 【详解】由，当时，， 当时，， ∴一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为(-2，0)(0，1)， 则一次函数的图象与y轴、x轴形成的三角形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，求得一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 题型模版 题型特征：单一一次函数直线，求其与x轴、y轴围成的三角形面积；或已知面积，反求解析式参数k、b。 【变式1-1】．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于______． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】当时，，所以与轴交点为， 当时，，解得，所以与轴交点为， 三角形的两条直角边长度分别为和， ∴， 所以， 经检验， 符合题意． 故答案为：． 【变式1-2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为_________． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：如图， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 1 3 (1)求和的值； (2)求该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查一次函数解析式、与坐标轴的三角形面积问题，熟练掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出和的值即可； （2）由（1）可得一次函数，求出与轴、轴的交点坐标，进而得到该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：将和代入一次函数得， ， 解得； （2）解：由（1）可得一次函数， 令得，，令得，即， 则该一次函数的图象与轴、轴的交点坐标分别为、， 该一次函数的图象与轴、轴围成的三角形的面积为：． 题型二、两直线相交构成三角形面积（中档核心） 【典例3】．（2024八年级上·安徽·期末）直线与直线以及轴围成的三角形面积是______． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查直线与直线，直线与坐标轴交点问题，掌握两直线的交点坐标的求解是解题的关键． 根据题意，求出直线与直线的交点坐标及与轴的交点坐标，再求三角形面积即可． 【详解】解：联立， 解得， 所以直线与直线的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 所以直线与直线以及轴围成的三角形面积， 故答案为：． 题型模版 1.题型特征：两条一次函数直线相交于一点，分别与坐标轴相交，求三点构成的三角形面积，是期末高频大题。 2.解题思路：联立两直线解析式，求出交点坐标；提取两直线与坐标轴的交点坐标；优先使用铅垂高水平宽法计算，计算简便、准确率高。 【变式2-1】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线与轴、轴分别交于点，． （1）直线一定经过的点的坐标为______； （2）若直线将的面积分为两部分，则的值为______． 【答案】 或－ 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）通过重新整理直线方程，提取参数a，发现当时y恒为3，然后问题可求解； （2）先求的面积，再根据直线与坐标轴的交点位置分两种情况讨论，利用三角形面积公式列出方程求解a的值． 【详解】解：（1）直线方程可化为， 当时，，与a的取值无关， ∴该函数一定经过点； 故答案为； （2）令时，则有，解得：， ∴， 令时，则有，即， ∴， ∴的面积为， 当时，， ∴直线与直线交于点， 情况一：直线与x轴交于点A在线段上，如图所示： 当时，则有，即；当时，则有，即； ∴当直线与x轴交于点A在线段上时，则a的取值范围为或， 令时，则有，解得：， ∴点A坐标为，即， ∴， ∴， ∵直线将的面积分为两部分， ∴或， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 情况二：直线与y轴交于点B在线段上，如图所示： 同理可得此时， 由可知：与y轴的交点B坐标为， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上，a的值为或－． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为______； (2)求直线与x轴围成的三角形的面积； (3)过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键． （1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可； 【详解】（1）解：将点代入得，, 解得， ∴直线：， ∵直线：和直线：相交于点． ∴方程组的解是． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：． （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， 设过点P且把的面积两等分的直线的表达式为． 把点，代入，得解得 ∴这条直线的表达式为． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 题型三、任意三点坐标求斜三角形面积（无规则图形） 【典例4】．如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴交于点与AB交于点，连结，则的面积为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】由得，，可知，，由得，再根据的面积为即可求解． 【详解】解：对于，当时，，得，当时，， ∴，，即：，， ∵，，则，， ∴的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与三角形面积，利用的面积为是解决问题的关键． 题型模版 题型特征：三角形三个顶点为任意坐标，三边均不平行于坐标轴，无横平竖直边，无法用基础公式。 【变式3-1】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线，且与x轴交于点D，与y轴交于点B．直线经过点，直线，交于点C． (1)求k的值和点C的坐标，并填空：当______时，； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)9 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，两条直线相交的问题，以及利用坐标求图形的面积，数形结合，解决问题． （1）直接把点代入求得答案即可求出，利用直线求得点坐标，进一步与直线建立方程组求得、的数值得出点的坐标，再根据图像可得答案； （2）利用点的坐标求得，根据三角形的面积计算公式求得答案即可． 【详解】（1）解：直线经过点， ，即； 直线与轴交于点，根据在轴上的点纵坐标，在轴上的点横坐标． ，解得．点坐标为． 由于两直线交于点，所以有 ， 解得． 点坐标为． 由函数图像可得，当时，， （2）解：当时，， ∴． 答：的面积为9． 【变式3-2】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知直线：，且与轴交于点，与轴交于点．直线：经过点，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)9 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与方程组，求出直线的交点坐标是关键． （1）将代入得，联立方程即可求解； （2）解方程组求直线交点坐标，再根据可求三角形面积． 【详解】（1）解：将代入得， 解方程组，得， ∴点的坐标是； （2）当时，由得， ， 当时，由得，，， ， ． 【变式3-3】．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 题型四、动点面积存在性问题（期末压轴） 【典例5】．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． (1)求出点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时， (3)点坐标为或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 【典例6】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 题型模版 题型特征：动点在固定一次函数直线上运动，已知三角形面积为定值，求动点坐标，是试卷压轴高频考点。 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴正半轴交于点B，与y轴交于点，直线与轴负半轴交于点D，与y轴交于点E，且． (1)分别求出直线与的表达式． (2)已知P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a． ①用含a的式子表示的面积； ②是否存在点P恰好使得?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，直线的表达式为； (2)①；②点P的坐标为或． 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式． （1）先求出点B，D的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）①由题意求得点P的纵坐标，再利用三角形面积公式求解即可； ②先求得，再利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵P是直线上位于轴上方的一个动点，设点P的横坐标为a且， ∴点P的纵坐标为， ∴的面积； ②令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，根据两条直线的交点坐标求出不等式的解集，根据轴对称求出线段和最小， 对于（1），根据直线在直线上方时，自变量的取值即可不等式的解集解答； 对于（2），先求出点，再求出直线的关系式，然后求出点最后根据面积公式可得答案； 对于（3），作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点，再求出直线的表达式，然后令，求得，可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，当时，， ∴不等式的解集是． 故答案为：； （2）解：将点代入中，得：， ． 代入中， 得：， 解得：， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点， 设的表达式为，代入点、，得： ， 直线的表达式为． 令，求得， 点的坐标为． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型五、面积比例与四边形面积综合（拔高题型） 【典例7】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为________； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为________． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）根据即可解答； （2）根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积，可设直线的解析式为，即可求出直线的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为，求出直线的解析式为，则直线与直线的交点坐标为，再由过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴， 即， （2）∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积， 如图， l直线l与x轴的交点为点，直线l与直线的交点为点， ∴可设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴直线l与x轴的交点坐标为， ∴， ∵点坐标为，点D坐标为， ∴直线的解析式为， ∵当时，直线与直线平行，此时直线不可能平分四边形的面积 ∴联立， 解得， ∴直线l与直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， ∴， 解并检验得或（舍去）， ∴直线l的解析式为 ， 故答案为：（1）24；（2）． 【典例8】．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出，，，利用即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴； 故答案为：； （2）解：当时，代入， 得， 解得． ∴． 当时，代入，， 得，， ∴，． ∴． ∴ ； （3）解：由（2）知，，则的中点坐标为． 设该直线的表达式为，代入，，得 ，解得． ∴该直线的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键． 【典例9】．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为10； (3)． 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键． （1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论； （2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论； （3）利用图象直接得出结论． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：把代入，得： ，解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 过P点作轴于H，如下图所示： ∴四边形的面积为 ； （3）解：∵， ∴由图象知：不等式的解集为． 题型模版 1.题型特征：直线分割三角形、四边形，将图形分为面积比例为1:2、1:1等两部分，求分割点坐标；或求不规则四边形面积。 2.解题思路： 1. 面积比例转化为线段比例，通过线段长度求解点坐标； 2. 所有四边形统一分割为两个三角形，分别计算面积后求和，规避复杂公式。 【变式5-1】．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． (2)直接写出时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再利用点的坐标和点的坐标可求直线的解析式； （2）根据不等式的解集为直线在直线的下方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据可得结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的表达式； （2）由函数图象可知：当时，直线在直线的下方， ∴时，的取值范围为； （3）∵直线与轴相交于点，与轴相交于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积．利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式5-2】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)9 (3)点的坐标为或 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合运用， （1）把点在直线上，可得，在运用待定系数法，将，代入直线的表达式为，即可求解； （2）由（1）可得，，，则，根据，代入求值即可； （3）设，根据，，且，分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴．即， 设直线的表达式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：由（1）可得，， 直线，令，可得， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴． 解得或11， ∴点的坐标为或． 【变式5-3】．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用： （1）把代入，可求出n，再把点，代入，求出k，b的值； （2）由（1）得：直线的解析式为，令，即可求解； （3）联立两函数解析式，可求出点D的坐标为，再求出点A的坐标为，然后根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点D的坐标为， 把点，代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：联立得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵，点C的坐标为， ∴，， ∴四边形的面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值． 【详解】解：已知和， ． ， ， ， 当时，， 解得． ， ， 即； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 2．对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象一定经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行求解． 【详解】解：对于A：∵当时，，∴图象经过点，正确； 对于B：∵，∴y随x的增大而减小，正确； 对于C：∵，解得，∴当时，，故错误； 对于D：当时，则有；当时，则有，即， ∴与x轴交点为，与y轴交点为， ∴三角形面积，正确； 故选C． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像不经过第二象限 B．随的增大而增大 C．图像与两坐标轴围成的三角形的面积为4 D．该函数图像的与y轴的交点坐标为（0，-2） 【答案】D 【分析】根据一次函数图像的性质、一次函数图像与两坐标轴的交点以及三角形面积公式进行分析判断即可． 【详解】解：A. 由于一次函数中，，，所以该函数图像经过二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； B. 由于一次函数中，，所以随的增大而减小，故选项B错误，不符合题意； C.对于直线，令可得，令可得，即图像与两坐标轴的交点为和，则图像与两坐标轴围成的三角形的面积为，故选项C错误，不符合题意； D. 该函数图像与y轴的交点坐标为（0，-2），说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征以及一次函数的图像与性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点等知识是解题关键． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 5．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 二、填空题 6．若一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为 ___． 【答案】y=2x+6或y=2x-6 【分析】根据两条直线平行k相同，得到k=2，然后求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=2x+1平行， ∴k=2， 当x=0时，y=b， 当y=0时，x=， ∴直线y=2x+b与坐标轴的交点为（0，b）、（，0）， ∵直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积为9， ∴， ∴b=±6， ∴一次函数为y=2x+6或y=2x-6， 故答案为：y=2x+6或y=2x-6． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、两条直线平行k相同等知识，正确利用点的坐标表示三角形的面积是关键． 7．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 求出一次函数与坐标轴交点的坐标，再利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：根据作出简图得： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 8．已知二元一次方程组的解为，则图中三角形ABC的面积为_______． 【答案】24 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的结合，先将变形为得到一次函数和的交点为A（2，6），将A（2，6）分别代入到和，求出一次函数表达式，再令y=0，得到B，C两点的坐标，从而求得三角形的面积即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， ∴一次函数和的交点为A（2，6）． 将A（2，6）代入得6=2k+4，解得k=1， ∴y=x+4， 令y=0，即x+4=0，解得x=-4， ∴B（-4，0）， 将A（2，6）代入得6=-3×2+b，解得b=12， ∴y=-3x+12 令y=0，即-3x+12=0，解得x=4， ∴C（4，0）， ∴BC=8， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一次函数的结合，二元一次方程组的解就是两条一次函数的交点，还考查了待定系数法求解析式、求与坐标轴的交点坐标以及求三角形的面积． 9．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知直线：和直线：相交于点P． （1）设和分别与x轴交于A，B两点，则的面积为_______． （2）已知直线分别与，相交于C，D两点，若线段长为3，则a的值为_______． 【答案】 // 5或1/1或5 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，两直线的交点： （1）先求得直线和与x轴的交点坐标，再联立两个解析式求出交点P的坐标，即可求解； （2）先利用含a的代数式表示出C，D两点的横坐标，结合列方程求解即可． 【详解】解：（1）直线：，令，得，解得， 直线：，令，得，解得， ，， 联立，解得， ， ； （2）直线分别与，相交于C，D两点， 解，得， 解，得， ，， ，即， ， 解得或， a的值为5或1． 故答案为：；5或1． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与直线交于点A，已知点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)求两直线与x轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)两直线与x轴围成的三角形的面积为． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再代入即可求解； （2）先求得两直线与x轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入得，， 解得； （2）解：如图，直线l：与x轴交于点B，直线与x轴交于点C， 令，则，解得， 令，则，解得， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知直线与，求： (1)这两条直线的交点坐标： (2)这两条直线与轴围成的三角形的面积， 【答案】(1)这两条直线的交点坐标； (2) 【分析】本题考查了两直线交点问题，直线与坐标轴交点问题； （1）利用两直线相交的问题，解方程组即可得到两直线的交点坐标； （2）先求出两直线与轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：联立方程组， 解得， ∴这两条直线的交点坐标； （2）解：如图所示，设两直线交点为，与轴交于点，    ∵，当时，，则 ∵过原点，则， 由（1）可得两条直线的交点坐标； ∴两条直线与轴围成的三角形的面积为 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)分别求出与的表达式； (2)已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线： (2)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、直线构成的三角形面积等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，将代入直线：求解即可得到；进而得到直线与轴交点，再由待定系数法求直线表达式即可得到答案； （2）由（1）知，、、，在平面直角坐标系中表示出，由建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线：与直线：交于点， 点在直线：上， 则； ， 直线：与x轴正半轴交于点， 当时，，解得，即， ， ，即， 直线：过点、， ，解得， 直线：； （2）解：由（1）知，、、， ， 则， 即， ， 则，解得， 是直线：上， 当时，，即； 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或． 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得 （2）由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ①将代入，得， 所以点的坐标为； ②将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 14．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴相交于，两点，且的面积为． (1)求一次函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度，分别交轴，轴于点，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可求解； （2）由一次函数图象的平移可知平移后的函数解析式为，则有，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 的面积为， ，即， ， ， 把点的坐标代入，得， ， 一次函数的表达式为． （2）解：由（1）可知：将直线向下平移个单位长度，得到直线， 令，则；令，则，解得， ，， ， 四边形的面积为． 15．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求、的值； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法，直线围成的图形的面积； （1）当时，得点的坐标为，将、代入，即可求解； （2）设点的坐标为，由面积关系得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 将、代入， 得：， 解得：，； （2）（2）由（1）得， 当时，有， 解得：， 点的坐标为． 设点的坐标为， ， 即， 解得：， 点的坐标为或． 16．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线：与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)若点P在直线上，且，求点P的横坐标． (2)根据图象，求出当时，x的取值范围是什么？ 【答案】(1)点P的横坐标为6或2 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据三角形的面积求点的坐标，一次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）先根据函数解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，设，根据三角形面积关系列出方程，然后进行求解即可； （2）联立解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∴； 设， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的横坐标为6或2； （2）解：联立解析式得， 解得：， ， 由图象得：时，直线：的图象在直线：的图象上方， ∴． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的结合，求一次函数的解析式，求直线围成的三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）联立解析式求出交点坐标，然后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：将和代入得， ， 解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：联立解析式得， ， 解得 ∴点C的坐标是， ∵， ∴， ∴的面积． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6，②存在，点P的坐标为或 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和两直线交点的坐标等知识 （1）利用待定系数法求出直线l的表达式即可； （2）①联立两直线得到方程组，求出点C的坐标，即可求出答案； ②的面积是面积的3倍得到，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：把A，D两点代入：       解得： （2）①     解得         ②的面积是面积的3倍 设     或      点P的坐标为或 19．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，与x轴相交于点D．求四边形的面积； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）联立两条直线，求出交点坐标，根据计算即可； （3）根据图象解题即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图像可知，的解集为：． 20．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)求，的值； (2)直接写出方程组的解为__________； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，直线交点与二元一次方程组的关系，坐标与图形性质等知识，熟知函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． （1）根据一次函数交点情况，将交点代入解析式，先求出，的值，进而求出的值，再将代入求解，即可求出的值； （2）直接根据（1）中求出的两直线交点坐标求解，即可解题； （3）根据一次函数与轴交点情况求出点，进而得到，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线与坐标轴交于， ， 解得， 与直线交于点， ，即， ， 解得， 直线， 直线过点， ， 解得； （2）解：由（1）知两直线交点为， 方程组的解为； 故答案为：． （3）解：当时，有，解得， 点坐标为， ， ， 则的面积为． 21．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)判断的形状； (3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)等腰直角三角形； (3)或 【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，即得，同理得，即得，即可求解； （）求出点坐标，即得，即得到，设，再分点在轴下方和上方两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定，掌握一次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为直线上一点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，得；令，得， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理在直线：中，可得， ∴ ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵直线与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， 设， ①当点在轴下方时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上，当的面积等于面积两倍时，点的坐标为或． 22．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，直线交x轴于点C，且与直线交于点，． (1)不等式的解集为________． (2)求直线的表达式． (3)若点D是直线上一动点，过点D作轴交直线于点E，，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）利用一次函数与不等式的关系可观察图象得出结果；（2）把代入中，求得的值，再根据求出的长，进而知道C点坐标，再根据点P，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式；（3）设，由轴，则有，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由函数图像知，在交点的右侧，直线在直线的下方， ∴的解集为， 故答案为：； （2）解：将代入中，得，． ， ，即， ， ． 将，分别代入中，得 ，解得 直线的表达式为． （3）解：如图， 设， 轴， ， ， 解得或， 或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了两直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与不等式的关系，熟知这些知识是解题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $