专题1.2 常用逻辑用语（高效培优讲义，3知识9重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦常用逻辑用语核心知识点，系统梳理命题的概念、四种命题的等价关系，充分条件与必要条件的定义及集合法判断方法，反证法的标准步骤与反设技巧，形成从概念理解到判断应用再到证明实践的学习支架。 资料通过分层题型设计（典例、变式、综合检测）和易错点精准辨析（如否命题与命题的否定），培养学生逻辑推理的数学思维和规范表达的数学语言，结合“一屋不扫何以扫天下”等实例增强应用意识，课中助力教师系统授课，课后辅助学生通过即学即练查漏补缺。

专题1.2 常用逻辑用语 教学目标 1. 理解命题的概念，能准确区分命题、真命题、假命题，熟练掌握“若p，则q”命题结构，掌握四种命题的写法及等价关系。 2. 精准理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，掌握利用定义法、集合法判断条件关系的方法，能解决条件判断、参数求解、充要条件证明类问题。 3. 掌握反证法的定义、证明步骤及适用场景，能规范书写反证法证明过程，准确对含“至多、至少、唯一”等词汇的结论进行反面假设。 教学重难点 教学重点 1. 四种命题的书写及原命题与逆否命题的等价关系应用。 2. 充分条件、必要条件、充要条件的定义辨析与判断方法（定义法、集合法）。 3. 充要条件的证明规范步骤，利用条件关系求解参数范围。 4. 反证法的标准证明三步法，常规题型的规范解题书写。 教学难点 1. 区分否命题与命题的否定，规避命题真假判断易错点。 2. 熟练运用集合包含关系精准判断充分、必要条件，掌握“小范围推大范围”的核心逻辑。 3. 复杂命题中准确作出反面假设，尤其是“至多、至少、不都”等特殊词汇的否定形式。 4. 结合充分、必要条件求解含参不等式的参数取值范围，分类讨论与等价转化的综合应用。 知识点01 命题 1.命题的基本概念 在数学中，可以判断真假的陈述句叫做命题。 命题分为两类： 真命题：判断结果为正确的语句； 假命题：判断结果为错误的语句。 关键注意点：疑问句、祈使句、感叹句、无法判定真假的语句，均不是命题。 示例： 真命题：若x=2，则x²=4； 假命题：若x²=4，则x=2； 非命题：今天天气好吗？（疑问句）、请好好学习（祈使句）。 2.命题的标准形式 数学中绝大多数命题都可改写为标准形式：若p，则q。 其中：p为命题的条件，q为命题的结论。 3.四种命题及其关系 以原命题「若p，则q」为基础，可衍生出四种命题： 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p（交换原命题的条件和结论） 否命题：若¬p，则¬q（同时否定原命题的条件和结论） 逆否命题：若¬q，则¬p（交换条件结论后同时否定） 4.命题等价核心规律（必考） 原命题 ⇔ 逆否命题（同真同假，真假性完全一致） 逆命题 ⇔ 否命题（同真同假，真假性完全一致） 易错区分： 否命题：条件、结论同时否定； 命题的否定：只否定结论，不否定条件（二者完全不同，切勿混淆）。 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“若 ，则 ”为 ________命题．（填真、假） 知识点02 充分条件与必要条件 设两个命题p、q，基于推出关系p⇒q、q⇒p判断条件关系，是本章核心考点。 1.五种条件关系定义 充分不必要条件：p⇒q 且 q⇏p，即p能推出q，q不能推出p 必要不充分条件：p⇏q 且 q⇒p，即q能推出p，p不能推出q 充要条件（充分必要条件）：p⇔q，即p、q可以互相推出 既不充分也不必要条件：p⇏q 且 q⇏p，二者无推出关系 2.集合视角解题法（高频实用技巧） 设集合A={x | p(x)}，集合B={x | q(x)}，可用集合包含关系快速判断条件： A⊂B（A是B的真子集）：p是q的充分不必要条件 B⊂A（B是A的真子集）：p是q的必要不充分条件 A=B：p是q的充要条件 A、B互不包含：p是q的既不充分也不必要条件 万能口诀：小范围推大范围，大范围推不出小范围。 3.充要条件证明规范步骤 证明「p是q的充要条件」，必须分两步证明，缺一不可： 充分性：证明 p⇒q（由条件推结论） 必要性：证明 q⇒p（由结论推条件） 4.常见考点题型 直接判断两个命题的条件关系； 已知条件关系，求解参数取值范围（重难点）； 证明命题的充要条件。 【即学即练】 3．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．设集合A，B，求证：是的充要条件． 知识点03 反证法 1.定义 反证法是间接证明的核心方法，不直接证明原命题成立，而是先否定原命题的结论，通过合理推理导出矛盾，从而证明原命题正确。 2.标准解题三步法（考试满分格式） 针对命题「若p，则q」： 反设：假设原命题结论不成立，即假设¬q成立（只否定结论，不否定条件）； 归谬：结合题干已知条件、公理、定理、定义进行推理，推导出矛盾（与已知条件矛盾、与公理定理矛盾、自相矛盾均可）； 结论：由矛盾判定假设不成立，因此原命题成立。 3.适用题型（沪教版常考） 结论含限定词汇：至多、至少、唯一、存在、不可能、不都、互不相等； 正面证明情况复杂、分类讨论过多，反面情况单一简单； 否定型命题、唯一性命题、存在性命题的证明。 4.高频反设易错点（重点记忆） 至少有一个 → 一个都没有 至少有n个 → 至多有n-1个 至多有一个 → 至少有两个 全部都相等 → 不都相等（易错：不是都不相等） 存在任意一个满足 → 任意一个都不满足 【即学即练】 5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 题型01 命题的概念及真假判断 【典例1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【变式1-2】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是________. ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 题型02 已知命题的真假求参数 【典例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【变式2-2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 题型03 充分条件与必要条件辨析 【典例3-1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【典例3-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3-3】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【典例3-4】（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3-2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的_____________条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 题型04 根据充分不必要条件求参数 【典例4】（25-26高一上·上海·期中）设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围 是______． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数m的取值范围. 题型05 根据必要不充分条件求参数 【典例5】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式5-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知集合，集合 . (1)若，全集，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式5-3】已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型06 探求命题为真的充要条件 【典例6】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是____命题． 【变式6-3】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 题型07 充要条件的证明 【典例7】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)：，：； (2)：既是2的倍数又是5的倍数，：是10的倍数； (3)：是偶数，：是偶数． 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 题型08 反证法的概念辨析 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期中）用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（    ） A．中至多有两个能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．都不能被5整除 【典例8-2】（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【变式8-1】（25-26高一上·上海浦东新·期中）用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（   ） A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数 【变式8-2】（25-26高一上·上海·期中）用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 【变式8-3】（25-26高一上·上海·期中）已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 题型09 反证法证明 【典例9-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【典例9-2】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【变式9-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 【变式9-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【变式9-3】已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 1．（25-26高一上·上海·期末）“”是“”成立的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）命题“”是命题“”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3．（25-26高一上·上海·期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 4．（25-26高一上·上海虹口·期末）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 6．（25-26高一上·上海·期末）设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 7．（25-26高一上·上海徐汇·期末）陈述句“或”的否定形式为________． 8．（25-26高一上·上海·期中）“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知命题为“若，则”，若为真命题，则实数的取值范围是________． 10．（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 11．（25-26高一上·上海·期中）在用反证法证明某命题时，对结论“至少有一个为整数”的否定为___________. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 13．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若＂＂是＂＂成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 15．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·上海·期中）下列叙述正确的个数为（　　） ①对于任何一个集合，总有； ②，集合，则“”是“”的充要条件； ③设，关于的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 3．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 4．（25-26高一上·上海·期中）定义满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是___________ 5．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）设且互不相同，求证中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 7．（25-26高一上·上海·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 8．（24-25高一上·上海·阶段检测）记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 常用逻辑用语 教学目标 1. 理解命题的概念，能准确区分命题、真命题、假命题，熟练掌握“若p，则q”命题结构，掌握四种命题的写法及等价关系。 2. 精准理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，掌握利用定义法、集合法判断条件关系的方法，能解决条件判断、参数求解、充要条件证明类问题。 3. 掌握反证法的定义、证明步骤及适用场景，能规范书写反证法证明过程，准确对含“至多、至少、唯一”等词汇的结论进行反面假设。 教学重难点 教学重点 1. 四种命题的书写及原命题与逆否命题的等价关系应用。 2. 充分条件、必要条件、充要条件的定义辨析与判断方法（定义法、集合法）。 3. 充要条件的证明规范步骤，利用条件关系求解参数范围。 4. 反证法的标准证明三步法，常规题型的规范解题书写。 教学难点 1. 区分否命题与命题的否定，规避命题真假判断易错点。 2. 熟练运用集合包含关系精准判断充分、必要条件，掌握“小范围推大范围”的核心逻辑。 3. 复杂命题中准确作出反面假设，尤其是“至多、至少、不都”等特殊词汇的否定形式。 4. 结合充分、必要条件求解含参不等式的参数取值范围，分类讨论与等价转化的综合应用。 知识点01 命题 1.命题的基本概念 在数学中，可以判断真假的陈述句叫做命题。 命题分为两类： 真命题：判断结果为正确的语句； 假命题：判断结果为错误的语句。 关键注意点：疑问句、祈使句、感叹句、无法判定真假的语句，均不是命题。 示例： 真命题：若x=2，则x²=4； 假命题：若x²=4，则x=2； 非命题：今天天气好吗？（疑问句）、请好好学习（祈使句）。 2.命题的标准形式 数学中绝大多数命题都可改写为标准形式：若p，则q。 其中：p为命题的条件，q为命题的结论。 3.四种命题及其关系 以原命题「若p，则q」为基础，可衍生出四种命题： 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p（交换原命题的条件和结论） 否命题：若¬p，则¬q（同时否定原命题的条件和结论） 逆否命题：若¬q，则¬p（交换条件结论后同时否定） 4.命题等价核心规律（必考） 原命题 ⇔ 逆否命题（同真同假，真假性完全一致） 逆命题 ⇔ 否命题（同真同假，真假性完全一致） 易错区分： 否命题：条件、结论同时否定； 命题的否定：只否定结论，不否定条件（二者完全不同，切勿混淆）。 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【详解】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④ 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“若 ，则 ”为 ________命题．（填真、假） 【答案】真 【详解】由，等价于，由，等价于， 则命题“若 ，则 ”为真命题， 故答案为：真 知识点02 充分条件与必要条件 设两个命题p、q，基于推出关系p⇒q、q⇒p判断条件关系，是本章核心考点。 1.五种条件关系定义 充分不必要条件：p⇒q 且 q⇏p，即p能推出q，q不能推出p 必要不充分条件：p⇏q 且 q⇒p，即q能推出p，p不能推出q 充要条件（充分必要条件）：p⇔q，即p、q可以互相推出 既不充分也不必要条件：p⇏q 且 q⇏p，二者无推出关系 2.集合视角解题法（高频实用技巧） 设集合A={x | p(x)}，集合B={x | q(x)}，可用集合包含关系快速判断条件： A⊂B（A是B的真子集）：p是q的充分不必要条件 B⊂A（B是A的真子集）：p是q的必要不充分条件 A=B：p是q的充要条件 A、B互不包含：p是q的既不充分也不必要条件 万能口诀：小范围推大范围，大范围推不出小范围。 3.充要条件证明规范步骤 证明「p是q的充要条件」，必须分两步证明，缺一不可： 充分性：证明 p⇒q（由条件推结论） 必要性：证明 q⇒p（由结论推条件） 4.常见考点题型 直接判断两个命题的条件关系； 已知条件关系，求解参数取值范围（重难点）； 证明命题的充要条件。 【即学即练】 3．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 4．设集合A，B，求证：是的充要条件． 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 知识点03 反证法 1.定义 反证法是间接证明的核心方法，不直接证明原命题成立，而是先否定原命题的结论，通过合理推理导出矛盾，从而证明原命题正确。 2.标准解题三步法（考试满分格式） 针对命题「若p，则q」： 反设：假设原命题结论不成立，即假设¬q成立（只否定结论，不否定条件）； 归谬：结合题干已知条件、公理、定理、定义进行推理，推导出矛盾（与已知条件矛盾、与公理定理矛盾、自相矛盾均可）； 结论：由矛盾判定假设不成立，因此原命题成立。 3.适用题型（沪教版常考） 结论含限定词汇：至多、至少、唯一、存在、不可能、不都、互不相等； 正面证明情况复杂、分类讨论过多，反面情况单一简单； 否定型命题、唯一性命题、存在性命题的证明。 4.高频反设易错点（重点记忆） 至少有一个 → 一个都没有 至少有n个 → 至多有n-1个 至多有一个 → 至少有两个 全部都相等 → 不都相等（易错：不是都不相等） 存在任意一个满足 → 任意一个都不满足 【即学即练】 5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【详解】假设，，，由不等式的基本性质得，这与矛盾， 故假设不成立，故、、中至少有一个小. 题型01 命题的概念及真假判断 【典例1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 【答案】①②③ 【详解】对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于B，如果，则，是假命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：ABC. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）以某些整数为元素的集合具有以下两个性质：①中的元素有正整数，也有负整数；②若，，则，在下列两个命题中，判断正确的是（    ） 命题：若，则，其中为正整数；命题：0一定属于集合． A．命题为真命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题为假命题，命题为真命题 D．命题为假命题，命题为假命题 【答案】A 【详解】对任意正整数，因为，则有，，，，所以命题为真命题， 由命题为真命题，可设，且，， 因为，为正整数，所以，因为x为正整数，，所以，所以，命题为真命题． 故选：A． 【变式1-2】（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是________. ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 【变式1-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【答案】B 【详解】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有. 同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故. 这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等. 与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理. 同时，设，则，所以. 故，所以，同理. 有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②： 对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数. 所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取. 根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，. 再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，. 从而对任意整数，据，，有. 这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有. 由于是奇数，故不全是偶数，从而. 根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确； 对于②，设，，. 则满足全部条件，但两两不相等，故②错误. 故选：B. 题型02 已知命题的真假求参数 【典例2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得， 若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 题型03 充分条件与必要条件辨析 【典例3-1】（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【典例3-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】时满足，而时不一定有， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 【典例3-3】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 【典例3-4】（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 【变式3-2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】当时，，故“且”推不出“”； 当时，，但，故“”推不出“且”. 综上，“且”是“”的既非充分又非必要条件. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的_____________条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】必要非充分 【详解】由，解得或，即或； 所以由推不出，即充分性不成立；由推得出，即必要性成立； 所以是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 题型04 根据充分不必要条件求参数 【典例4】（25-26高一上·上海·期中）设命题，，如果是的充分非必要条件，则的取值范围 是______． 【答案】 【详解】命题，，由是的充分非必要条件，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·上海·期中）设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】利用充分性转化为子集关系来求解即可. 【详解】由α是β的充分条件，可得是的子集， 即， 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】设集合，集合， 由题意可知集合是集合的真子集， 所以，解得，得， 当时，，不满足题意，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，. (1)当时，求集合； (2)若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数m的取值范围. 【详解】（1）当时， 所以. （2）因为“”是“”成立的充分非必要条件，则，且， 易知 所以，解得，符合题意； 综上所述，m的取值范围为. 题型05 根据必要不充分条件求参数 【典例5】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件，所以是的非空真子集， 由于无解,则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 【变式5-2】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知集合，集合 . (1)若，全集，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）时，，故或， ， 故或； （2）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 【变式5-3】已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 题型06 探求命题为真的充要条件 【典例6】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，若，则，故A错误： 对B，若，则不能得到，故B错误； 对C，若，故C正确； 对D，，当是真子集时，不能得到，故D错误. 故选：C 【变式6-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【答案】 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是____命题． 【答案】假 【详解】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当时，满足,但此时，不满足， 所以“的充要条件是 是假命题， 故答案为：假. 【变式6-3】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【答案】 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 题型07 充要条件的证明 【典例7】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 【变式7-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)：，：； (2)：既是2的倍数又是5的倍数，：是10的倍数； (3)：是偶数，：是偶数． 【详解】（1）若，则，那么必有，∴； 反之，若，则，不能推出，综合得，． （2）“既是2的倍数又是5的倍数”，则有“是10的倍数”， 反之显然也成立．综合得，． （3）若是偶数，则、同为偶数或、同为奇数， 若、同为偶数，根据偶数的三次幂为偶数，且偶数与偶数的和为偶数， 可知也为偶数；同理，若与同为奇数，根据奇数的三次幂为奇数， 且奇数与奇数的和为偶数，可知也为偶数，∴； 反之，当是偶数时，有、同奇或同偶，∴与同奇或同偶． ∴为偶数，∴．综合得，． 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 【答案】(1)集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③， （ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时. 由于，中小于2的数只有1个，所以不能取2. 当时，，则，，所以，所以，不满足条件②； 当时，，因为中大于2的元素都是奇数，所以，所以，即，不满足③. 综上所述，可得集合不具有性质. (2) 集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质，证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，则且，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 由知. 令，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 题型08 反证法的概念辨析 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期中）用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（    ） A．中至多有两个能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【详解】“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”， 故选：D. 【典例8-2】（25-26高一上·上海松江·期中）用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【答案】且 【详解】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且 【变式8-1】（25-26高一上·上海浦东新·期中）用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（   ） A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数 【答案】B 【详解】因为 “、、至少有一个是正数”的否定为“、、都不是正数”， 由反证法的定义，故应假设：、、都不是正数. 故选：B 【变式8-2】（25-26高一上·上海·期中）用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 【答案】且 【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”. 故答案为：且. 【变式8-3】（25-26高一上·上海·期中）已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 【答案】且 【详解】由题意，应假设且， 故答案为：且 题型09 反证法证明 【典例9-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【详解】假设、、都小于0，即，则， 因为、、，且，，， 则， 当且仅当时，等号成立， 这与矛盾， 可知假设不成立，所以、、中至少有一个不小于0. 【典例9-2】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明：假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【变式9-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 【详解】（1）反证法：假设不能被3整除，则， 故，则不能被3整除， 与“能被3整除”矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被3整除，则也能被3整除； （2）反证：假设为有理数，即，（互质）， 则，即能被3整除， 故由（1）得，代回到得， 同理有，即均能被3整除，与“互质”矛盾， 故假设不成立，则是无理数； （3）反证：假设为有理数，则， 而，故， 又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾， 故假设不成立，则为无理数. 【变式9-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明：假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式9-3】已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故； （2）取，此时，符合； (3)当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 1．（25-26高一上·上海·期末）“”是“”成立的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”成立的充分非必要条件. 故选：A 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）命题“”是命题“”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】不等式可化为， 即，解得或， 因为是的真子集， 所以命题“”是命题“”的充分非必要条件. 故选：A. 3．（25-26高一上·上海·期中）若命题为“”，命题为“”，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【详解】充分性分析：，或，不一定有，则是的不充分条件； 必要性分析：由可以得到，则是的必要条件； 综上可知，是的必要不充分. 故选：B 4．（25-26高一上·上海虹口·期末）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，由 解得 或 ， 均不符合 ，故此情况下原等式不成立； 综上，或. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 5．（25-26高一上·上海·期中）若，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【详解】若，则可能的情况有，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立，所以是的必要不充分条件. 故选：B 6．（25-26高一上·上海·期末）设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 【答案】 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海徐汇·期末）陈述句“或”的否定形式为________． 【答案】“且” 【详解】陈述句“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且” 8．（25-26高一上·上海·期中）“”是“”的________ 条件（用“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填空）． 【答案】必要非充分 【详解】由，可得，所以是的必要非充分. 故答案为：必要非充分. 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知命题为“若，则”，若为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为命题“若，则”为真命题， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高一上·上海松江·期中）若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 11．（25-26高一上·上海·期中）在用反证法证明某命题时，对结论“至少有一个为整数”的否定为___________. 【答案】都不是整数 【详解】在用反证法证明某命题时，对结论“至少有一个为整数”的否定为都不是整数. 故答案为：都不是整数. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 13．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合． (1)若，求； (2)若＂＂是＂＂成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则或， 且，则或； （2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 15．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围 1．（25-26高一上·上海·期中）下列叙述正确的个数为（　　） ①对于任何一个集合，总有； ②，集合，则“”是“”的充要条件； ③设，关于的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，空集是任何集合的子集，则，①正确； 对于②，，，则， 反之，若，则，， 因此“”是“”的充要条件，②正确； 对于③，当时，方程的解集是，③错误； 对于④，设矩形的周长为，其长宽分别为，则， 矩形面积， 当且仅当时取等号，此时该矩形为正方形，④正确； 所以正确的个数为3. 故选：C 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 【答案】B 【详解】对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立； ， 则的元素个数等于的元素个数与的元素个数， 集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立. ①正确； 对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素， 可以推出，必要性成立. ②正确； ③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误； ④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误； 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海·期中）定义满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集，说明“是闭集”是假命题的一个反例可以是___________ 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【详解】满足“如果，那么，，且时，”的集合为闭集， 为整数集，例如，则， 但，可知“是闭集”是假命题. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 5．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 【答案】假设中至多有一个是偶数 【详解】由题意可得，应假设：中至多有一个是偶数. 故答案为：中至多有一个是偶数 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）设且互不相同，求证中至少有一个小于； （2）设，求证中至少有一个不小于． 【详解】解：（1）假设均大于等于， 则， 则， 且互不相同， ， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 这与均大于等于矛盾， 故假设不成立， 则且互不相同时， 中至少有一个小于． （2）， ， ， ， 则， 故， 假设中都小于， 即，，， 即与矛盾， 故中至少有一个不小于． 7．（25-26高一上·上海·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 【详解】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． （2）真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． 8．（24-25高一上·上海·阶段检测）记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. (1)求证：； (2)若，，求证：： (3)若u是非零有理数，且，求证：. 【答案】(1)令，则. (2)由（1）知， 若，令，，则， 若，令，，则. (3)由，则存在且，使得，其中， 于是， 假设，可设，，则，矛盾， 所以， 由，，可得. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $