圆的切线讨论讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京）

该高中数学“切线讨论”单元复习讲义通过分类框架系统梳理知识体系，从切线判定、方程求解到切线长、切点弦等核心模块，用列表归纳几何与代数判定方法，以步骤模板呈现三类切线方程公式，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分类+标准模板”设计，如过圆外一点求切线的“四步判定法”，结合切线长最值题培养数学思维，通过易错点分析与分层练习帮助学生精准突破，支持教师实施个性化教学，提升学生问题解决与逻辑推理能力。

切线讨论（解析版） 一、北京高考 / 高二考纲考察要求 1. 基础判定：掌握直线与圆相切的几何判定（）、代数判别式判定（），牢记切线核心性质：圆心与切点连线垂直切线。 2. 切线方程求解 过圆上一点求切线（1 条）； 过圆外一点求两条切线（必须讨论斜率不存在竖直线）； 3.已知斜率求圆切线： 4.已知定点 / 倾斜角求切线，结合参数求值。 5.切线长核心考点：切线长公式、切线长最值（直线上动点引切线最小长度）、切线夹角计算。 6.切点弦（极线）：圆外两点切点弦方程求法、切点弦过定点综合大题（北京期末解答高频）。 7.综合题型：切线与充要条件、切线结合光线反射、切线与弦长联立、隐圆切线最值。 8.能力要求：分类讨论斜率存在 / 不存在、几何优先减少联立计算、直角三角形勾股模型快速求值。 二、基础核心知识点 （一）切线判定与核心性质 设圆，圆心，半径r，直线 1. 相切判定两种方法 ①几何法（考场首选）：圆心到直线距离； ②代数法：直线与圆联立消元，一元二次方程； 2. 切线三大性质 ① （M为切点，半径垂直切线）； ② 过切点、垂直切线的直线必过圆心； ③ 过圆心、垂直切线的直线必过切点。 （二）三类切线方程公式 1. 点在圆上（切点） 标准圆 切线：； 圆心在原点 切线：。 2. 已知斜率k的切线 原点圆切线：； 通用思路：设，由解m。 3. 过圆外一点 设，利用列方程求k； 必须检验竖直线是否为切线。 （三）切线长定理（必考直角模型） P为圆外一点，PA、PB为切线，A、B切点： 1. 切线长公式：； 2. 几何直角：均为直角三角形； 3. 夹角关系：PC平分； 4. 最值结论：直线上动点引切线，最小时切线长最短（PC为圆心到直线垂线段）。 （四）切点弦（两切点连线）通用解法 1. 原理：A、B同时在原圆、以PC为直径的圆上； 2. 操作：两圆一般方程直接相减，所得一次直线即为切点弦AB； 3. 定点题型：切点弦含参数时，分离参数求恒过定点。 （五）重要二级结论 1. 直线平分圆直线过圆心； 2. 光线反射切线：对称点代入切线方程； 3. 型斜率最值：原点与圆上点连线，切线为边界； 4. 充要条件：直线相切参数多解，充分不必要常见陷阱。 三、六大题型分类 + 标准作答模板、解题技巧 题型一：过圆上一点求切线方程 题型特征 已知点在圆上，验证点坐标满足圆方程，仅 1 条切线。 标准作答步骤 方法 1（斜率垂直法） 1. 求圆心C，计算； 2. 切线斜率（垂直斜率乘积）； 3. 点斜式写切线，化为一般式。 方法 2（替换速算） 直接套用切点切线公式，无需算斜率。 解题技巧 坐标轴特殊切点（如），切线为竖直线，口算秒解。 易错点 垂直斜率分母为 0（），切线竖直；不存在，切线水平。 题型二：过圆外一点求两条切线（北京必考） 题型特征 点代入圆方程左侧，存在 2 条切线，极易漏竖直线。 固定四步模板 1. 判定点在圆外； 2. 分类①斜率不存在：直线，计算d验证是否等于r，符合直接保留； 3. 分类②斜率存在：设，整理一般式； 4. 由列绝对值方程，解k，写出两条切线。 答题关键技巧 解方程只得到 1 个k时，另一条切线一定是竖直线，切勿遗漏。 题型三：已知斜率 / 倾斜角求圆切线 题型特征 给出k或倾斜角，求切线解析式。 作答步骤 1. 设切线； 2. 圆心到直线距离，列方程解m（一般两解，两条平行切线）； 3. 整理直线一般式。 技巧 倾斜角单独讨论竖直线。 题型四：切线长计算与切线长最值（选择填空高频） 细分考法 1 定点引切线，求切线长 步骤： 1. 算定点到圆心距离； 2. 代入公式，勾股一步算出。 细分考 2 直线上动点切线长最小值 核心逻辑：，r固定，最小则切线最小； 圆心到这条直线垂线段长度。 细分考 3 两条切线夹角计算 1. 在求； 2. 夹角，结合三角二倍角求值。 题型五：切点弦（两切点连线）大题 通用两种解法 解法 1（两圆相减法，推荐） 1. 写出原圆标准 / 一般方程； 2. 以PC为直径构造新圆； 3. 两圆方程相减，消去二次项，结果即为切点弦AB。 解法 2（极点公式） 直接用切点弦直线结论，适合小题速算。 衍生考法：切点弦恒过定点 1. 求出切点弦含参数直线； 2. 分离参数，令参数系数、常数项均为 0，解定点坐标。 题型六：切线综合（参数范围、充要条件、几何最值） 考法 1 直线相切求参数\(k、m、a\) 步骤： 1. 化直线一般式，写出圆心半径； 2. 列绝对值等式，平方解方程； 3. 检验解是否符合题意。 考法 2 切线相关充分必要条件 技巧：先求出全部相切参数，对比题干范围判断充分 / 不必要。 考法 3 斜率最值（原点切线模型） 代表与原点连线斜率，两条切线斜率为最大、最小值。 考法 4 光线反射 + 切线综合 1. 作定点关于坐标轴 / 直线对称点； 2. 反射直线与圆相切，利用求参数。 四、全模块高频易错扣分点（北京阅卷标准） 1. 过圆外一点求切线，遗漏斜率不存在竖直线，少一组解直接丢分； 2. 切线垂直斜率计算错误，忽略竖横直线特殊情况； 3. 切线长公式搞反，不用，错误用； 4. 切点弦联立忘记两圆相减，硬求切点计算繁琐、易算错； 5. 切线长最值逻辑颠倒，误以为动点离圆近切线最短； 6. 判别式法计算量大，优先几何简化运算； 7. 充要条件只单向推导，不列举反例； 8. 替换切点切线公式符号写错，圆心符号混淆。 五、应试答题技巧 1. 选择填空全程几何法（、勾股切线长），不联立韦达； 2. 过定点切线先检验竖直线，再设斜率； 3. 切线长、夹角题直接构造直角三角形，数形结合口算； 4. 切点弦大题固定模板：构造直径圆→两圆相减，步骤清晰分步给分； 5. 最值类切线问题，抓住 “圆心到直线垂线段最短” 核心； 6. 含参数切线方程，分离参数可快速判断定点； 7. 大题书写必标注：切线、、等几何依据； 8. 斜率不存在单独写一段，分类讨论格式规范不扣分。 六、题型专练 题型一：求过圆上一点的切线方程 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 将三点坐标代入得，， 即，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 2．（24-25高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 3．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 4．（25-26高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】. 【分析】先判断在圆上，再结合，求出，利用点斜式写出直线方程，找到与坐标轴的交点，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】由题知：圆C的圆心，半径，     易知点满足圆的方程，故在圆上， 因为过点的直线与圆C相切， 故圆心与点所连直线与直线垂直， 故有，而，解得， 根据直线的点斜式可写直线方程为：， 写成一般式为：. 则直线与坐标轴的交点为和， 所以与坐标轴围成的三角形面积. 故答案为：. 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程_________． 【答案】 【分析】由题可知切线的斜率存在，设出切线方程利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线方程. 【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即， ，解得，所以切线方程为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程. 【详解】的圆心为，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，故不是圆的切线， 当过的直线斜率存在时，设直线方程为， 则，解得， 则直线方程为，化为一般式为. 故选：A 7．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. (1)求圆的方程； (2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程. （2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程. 【详解】（1）如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点， 根据点点到直线距离公式：，， 根据勾股定理：， 得圆的方程： （2）选①： 由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程； 若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式， 因为直线与圆相切，则，解得， 直线的方程为：， 综上所述过点与圆相切的直线的方程为或. 选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为， 则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为 根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式. 8．（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程是__________． 【答案】 【分析】根据切线的性质结合条件即得. 【详解】∵点在圆上，且， ∴过点的且切线斜率不存在，故切线方程是：． 故答案为：． 9．（24-25高二·江苏南通·阶段检测）已知过点的直线与圆相切，则直线方程为__________. 【答案】 【分析】设出直线方程，利用直线与圆相切得到k值，从而得到直线的方程. 【详解】由题意易知所求直线的斜率存在，设直线方程： 即 又直线与圆相切 ∴ ∴ ∴直线方程为 【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 题型二：求过圆外一点圆的切线方程 1．（23-24高二上·北京通州·期中）过点且与圆相切的一条直线方程为______. 【答案】或 【分析】先根据斜率是否存在设直线方程再结合点到直线距离求参即可. 【详解】由知在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 故答案为：或. 2．（24-25高二上·北京通州·期中）过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设切点为、，求出圆的半径，根据锐角三角函数可得，进而可得 . 【详解】过点作圆的两条切线，设切点为、， 而圆，即，则圆的半径为2，圆心, , 故，故，进而可得， 故选：C． 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知圆，点． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求过P点的圆C的切线方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心和半径； （2）先考虑切线斜率不存在，直接分析即可；再考虑切线斜率存在，根据圆心到直线的距离等于半径可求结果. 【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程可得：， 所以圆心坐标为，半径为. （2）当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，不符合题意； 当切线斜率存在时，设过P点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为，即， 综上所述，过P点的圆C的切线方程为或． 4．（23-24高二上·山西吕梁·阶段检测）过点与圆相切的直线方程为____________． 【答案】或 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 5．（23-24高二上·北京·阶段检测）过点的圆的切线方程为 _________________． 【答案】或 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 6．（24-25高二上·天津西青·期末）圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长. （3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方程. 【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2， 则圆的方程为； （2）由（1）可知：圆的半径， 设圆心 到的距离为，则， 所以. （3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即 ，解得 综上所述：切线的方程为和. 7．（24-25高二上·北京东城·期末）已知圆，圆及点. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)求经过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)相交 (2)或 【分析】（1）根据两圆方程可确定圆心和半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可确定两圆位置关系； （2）易知切线斜率存在，则可设其为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，进而得到切线方程. 【详解】（1）圆方程可整理为：，则圆心，半径； 由圆方程可知：圆心，半径； ，，，， 圆和圆相交. （2）当过的直线斜率不存在，即为时，其与圆不相切， 可设所求切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，即， 解得：或， 切线方程为：或，即或. 8．（24-25高二上·北京房山·期末）过定点作圆的切线．则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求得切线方程， 【详解】依题意可知，切线的斜率存在， 设切线方程为，即， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得或， 所以切线方程为或， 即或. 故选：C 9．（24-25高二上·北京·期末）过点作圆的切线，则切线方程为__________. 【答案】或 【分析】当斜率不存在时，检验即可；当斜率存在时，设出直线，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径 过点的直线， 当斜率不存在时，直线方程为，符合与圆相切； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为. 故答案为：或. 10．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知圆，点. (1)判断点与圆的位置关系； (2)求过点的切线方程； 【答案】(1)点在圆外； (2)或 【分析】（1）配方法确定圆心和半径，然后计算出的值，与半径的进行比较可确定位置关系；（2）设出直线的点斜式方程，相切说明圆心到直线的距离等于半径，可解得斜率，进而得到切线方程. 【详解】（1）将配方得圆心为 点在圆外； （2）当切线斜率不存在时，满足相切； 当切线的斜率存在时 综上所述：切线方程为：或 11．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知实数和满足，则的范围是______. 【答案】 【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案. 【详解】由，即，则可表示与连线的斜率，作图如下： 则与连线与圆相切时，取得最值， 设，则代入，整理可得， 由直线与圆相切，则，即，解得， 故. 故答案为：. 12．（24-25高二上·北京·阶段检测）半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过圆心在直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程. （2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程. 【详解】（1）设圆心为，则， 解得，则圆的方程为. 故答案为：. （2）点在圆外， ①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为,满足条件. ②切线斜率存在时，设切线，即, 则圆心到切线的距离，解得， 则切线的方程为：. 故答案为：或. 13．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________. 【答案】或 【分析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆心到直线的距离，求出斜率，由此能出直线的方程． 【详解】直线过点且与圆相切， 圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 故答案为：或． 14．（北京市西城外国语学校2022-2023学年高二上学期期中考试（11月）数学试题）已知圆点 (1)试判断点P与圆C的位置关系，并说明理由： (2)若过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 【答案】(1) 点在圆外,理由如下： 由已知得圆的圆心为，半径， 因为，所以 因为，所以点在圆外； (2)或 【分析】（1）根据可得结果； （2）分类讨论斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程 【详解】（1）略 （2）①当直线的斜率不存在，方程为，圆心到直线的距离为2， 所以直线是圆的切线； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意有，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，过点与圆相切的直线方程为或 15．（24-25高二上·北京东城·期中）（1）已知圆心在轴上且过点的圆与轴相切，求该圆的方程； （2）过点作圆：的切线，求方程. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）令圆心为，写出圆的方程，根据点在圆上求参数m，即可得方程； （2）讨论切线的斜率，结合点线距离公式，分别求出圆的切线方程即可. 【详解】（1）由题设，令圆心为，则圆的方程为， 又在圆上，故，可得， 所以圆的方程为. （2）圆：的圆心为，半径为2， 当切线斜率不存在时有，显然与：相切，满足要求； 当切线斜率存在时，设切线为，即， 由切线与圆心距离等于半径，则，可得， 所以切线方程为，即， 综上，切线方程为或. 16．（23-24高二上·天津河北·期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可. 【详解】圆的圆心为原点，半径为1， 当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即 所以，解得或 所以切线的方程为或 故选：C 题型三：切线长求解 1．（25-26高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先确定圆心和半径，利用切线长公式可求答案. 【详解】化为标准型为，圆心为，半径为； 由题意可知与圆相切，所以， 故选：D 2．（23-24高二上·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是___________；若与圆相切，则___________. 【答案】 【分析】利用两点间距离公式计算求得,进而可得的取值范围；若与圆相切，利用勾股定理计算即可求得的值. 【详解】圆标准化为，圆心，半径，， 则，所以的取值范围是， 当与圆相切时，可知. 故答案为：； 3．（23-24高二上·北京·期中）过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【详解】设圆心为半径为， 所以, 故， 故选：C 4．（24-25高二上·北京·阶段检测）过点向圆作切线，则切线长为（    ） A． B．5 C． D．24 【答案】A 【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 作出图形，连接，易知， 因为到的距离为， 所以切线长为. 故选：A. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      题型四：切线长最值问题 1．（23-24高二上·天津和平·期中）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可. 【详解】由题可知圆的圆心，半径 ， 设直线的动点为，切点为 则切线长 所以要使切线长最小，则最小； 显然的最小值为到直线的距离为 所以此时切线长. 故选：A 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 3．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离结合直线与圆的位置关系转化问题计算即可. 【详解】 如图所示，直线上一点A作圆的两条切线，过C作， 则切线长为， 显然，当且仅当重合时取得最小值，此时， 所以切线长最小值为. 故选：B 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______． 【答案】 【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值. 【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·北京·期中）已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为____________；当最大时，____________. 【答案】 【分析】先求出直线AB的方程，由圆心到直线的距离加上半径可得最大值；找到当最大时P点所在的位置，再结合勾股定理可得的值. 【详解】由题意可得AB的直线方程为，即， 圆的圆心坐标为 (5,5)，半径为4， 圆心(5,5)到直线AB的距离为， 所以点P到直线AB的距离的最大值为， 如图：    当最大或最小时，直线PB与圆相切，上图的P点位置满足最大的情况， ，，所以， 故答案为：；. 7．（23-24高二上·北京通州·期中）过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点的连线垂直于直线，利用这一关系即可求得切线段的长. 【详解】如图所示，圆心,连接, 因为直线，关于直线对称， 所以垂直于直线， 故 而, 则, 故选： 8．（23-24高二上·北京房山·期中）设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可. 【详解】圆心为，半径为，设切点为， 要使得切线长最小，则最小，此时， 所以，所以， 故选：B 9．（24-25高二上·北京·期中）由直线上一点P向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须直线上一点P到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可． 【详解】∵圆， ∴圆心C（4，0），半径r＝1． 由题意可知， 直线上的点P到圆的切线长最小时， CP⊥直线． ∵圆心到直线的距离， ∴切线长的最小值为． 故选：A． 10．（24-25高二上·北京·期中）若圆被直线平分，由点向圆作切线，切点为，则的最小值是（    ） A．4 B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据圆被直线平分，得到直线过圆的圆心，代入圆心坐标的，即可得到点的轨迹方程为，然后根据相切得到，利用勾股定理得到，然后求的最小值即可. 【详解】因为圆被直线平分，所以直线过圆的圆心， 由圆的方程得圆心 ，代入直线得，整理得， 因为点，所以为直线上一动点， 因为与圆相切，所以，，所以最小时，也最小，，所以. 故选：A. 11．（23-24高二上·北京·期中）点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的切线性质，结合已知有和圆心的距离恒为，设即可写出的轨迹方程． 【详解】∵， ∴点和圆心的距离恒为，又圆心，设， ∴由两点间的距离公式，得． 故选：B 12．（23-24高二上·北京海淀·期中）若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则取得最小值时，点的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据题意，可知，设点，结合勾股定理与一元二次函数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，设，圆的圆心，半径. 因过点的直线与曲线只有一个公共点，所以直线与曲线相切， 因此，故， 因此当时，取得最小值1，此时点的坐标为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·北京·期中）已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短为__________． 【答案】3 【分析】根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 过点P作圆C的切线PA，A为切点，连接PC，AC，如图：    显然，在中，， 因此，要切线长PA最短，当且仅当线段PC长最短即可，而线段PC长是定点C与直线l上任意一点P间距离， 于是得线段PC长的最小值是点C到直线l的距离d，而，因此，， 所以切线长最短为3. 故答案为：3 14．（24-25高二上·北京朝阳·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______________． 【答案】 【分析】要使切线长最小，必须使直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离，求出，由勾股定理可求切线长的最小值． 【详解】记直线上的点到圆心的距离为，圆半径为，由直线与圆相切知道：切线长，，要使切线长最小，必须使直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得， 由勾股定理求得切线长的最小值为． 故答案为：． 15．（23-24高二上·北京·期末）已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求得圆的圆心，半径，根据，得到，结合点到直线的距离公式，求得的最小值，进而求得的最小值. 【详解】如图所示，化简圆的方程为，可得圆心，半径， 因为为圆的切线且为切点，所以， 由勾股定理可得， 所以当最小时，取得最小值， 因为， 所以，即的最小值为. 故选：D.    16．（2022·湖北·高考真题）由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得， 圆心到直线的距离为， 圆的半径为1， 故切线长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题． 题型五：切点弦及其方程 1．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知圆和点， （1）判断点与圆的位置关系 （2）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （3）过点作圆的切线，切点为，求所在的直线方程. 【答案】（1）点在圆外；（2）或；（3）. 【解析】（1）将点坐标代入圆方程与0比较，可得点在圆外. （2）斜率存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由垂径定理可得，得直线方程，检验直线斜率不存在时，弦长为4，符合题意； （3）求出以为直径的圆的方程，此圆与圆的交线即为弦所在直线．两圆方程相减得即． 【详解】（1）点坐标代入圆方程得：，所以点在圆外. （2）圆，则圆心，半径， ①若直线的斜率存在，设直线， 即 此时，直线方程为； ②若直线的斜率不存在，则直线，代入得， 此时，合乎题意. 综上所求直线的方程为：或； （3） ，则中点坐标，，所以为直径的圆的方程，即①； 又圆②. ①-②得，因此，直线的方程为. 【点睛】易错点睛：本题考查直线与圆的问题，直线方程有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式的直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为0；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化成一般式. 3．（24-25高二·全国·单元测试）已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的圆心为原点且与直线相切即得圆的方程，又，是它的切线，可知，一定在以为直径为圆心的圆上，即为两圆的公共弦，即可求出直线的方程，进而找到定点 【详解】依题意知，圆的半径且圆心为 ∴圆的方程为 ∵，是圆的两条切线 ∴，，即，在以为直径的圆上 若设点的坐标为，，则线段的中点坐标为 ∴以为直径的圆的方程为，，化简得， ∵为两圆的公共弦 ∴直线的方程为，，即 ∴直线恒过定点 故选：A 【点睛】本题考查了圆的切点弦过定点问题，首先根据已知条件求出两圆方程，由两圆过相同的两点，即有公共直线求出切点弦的直线方程，进而确定定点 4．（24-25高二上·四川宜宾·周测）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过圆外一点引圆的两条切线，则两个切点在以为直径的圆上，圆的方程为， 则由两圆作差可得经过两切点的直线方程为. 故选：． 题型六：与切线相关的参数讨论 1.（23-24高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ____________________． 【答案】或 【分析】根据已知条件，先设出直线m的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【详解】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 故答案为：或. 2．（23-24高二上·北京海淀·期中）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即，， 故前者能推出后者，后者无法推出前者， 故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若定点，点在圆上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法设得圆 ，再根据题意得到关于的方程，进而求得，由此得到圆的方程； （2）利用定点到圆上动点的最小距离的求法求解即可. 【详解】（1）设圆为，则，半径为， 因为圆心在直线上，所以， 因为直线与圆相切于点，所以直线与直线垂直， 所以，即，则，解得，则， 所以， 故圆为. （2）因为，所以点在圆外， 因为， 所以，即的最小值为. 4．（24-25高二上·北京通州·期中）已知圆与直线相切，则（    ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】A 【分析】由直线与圆相切，根据即可求得，要注意斜率为0的情况. 【详解】将化为标准形式为，所以圆心，半径，因为与直线相切，当时，不合题意；当时，由得，. 故选：A 5．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则的值是（    ） A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12 【答案】C 【分析】解方程即得解. 【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1， 所以或. 故选：C 6．（24-25高二上·四川成都·阶段检测）“”是“直线与圆相切”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与圆相切，则 或 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件． 故选:A． 7．（2022·北京·高考真题）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为． 【详解】圆（x-5）2+（y-1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0， 它与y=x 的交点N（3，3）， N到（5，1）距离是2，圆的半径为，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为． 故选C． 8．（2022-2023学年北京师大附中高二上学期期中考试数学）给定一点及两条直线，则过点且与两直线都相切的圆的方程是_______________． 【答案】或 【详解】因为直线，所以与两直线都相切的圆的圆心在与平行且到的距离相等的直线上，而圆半径等于距离的一半即为．设圆心坐标为，因为圆过点，所以，解得或，则圆心坐标为或，故圆方程为或 9．（24-25高二上·四川成都·期末）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得. 【详解】因圆与直线只有一个公共点， 则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1， 即，而，则有， 所以的值为2. 故选：C 10．（25-26高二上·北京延庆·阶段检测）已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用圆心到直线距离与半径联立勾股定理求弦长即可； （2）利用直线与圆的位置关系中的相交情况解决问题； （3）利用直线与圆的位置关系中的相切情况解决问题. 【详解】（1）由题得，圆心，半径， 圆心到直线的距离，则有弦长为. 故直线被圆所截得的弦长为. （2）由题得圆心到直线的距离，且直线， 则有，解得， 故实数的取值范围是. （3）由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离， 则有，解得或， 故直线的方程为或. 11．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（六））若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用圆切线的性质求得，再由点的唯一性得到直线与直线垂直，从而利用点线距离公式即可得解. 【详解】依题意，记为坐标原点，连接，如图， 因为圆的圆心为，半径为，则， 又，所以， 因为点唯一，使得，所以直线与直线垂直， 所以，即. 故选：B． 12．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则______ 【答案】 【分析】求出反射光线所在直线的方程，利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式可求出正数的值. 【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切， 且圆心为，半径为，可得，由于，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一上·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由直线与圆相切则圆心到直线的距离为圆的半径建立关系式， 求出即可. 【详解】由圆知，圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为圆的半径即： ， 所以， 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 切线讨论（原卷版） 一、北京高考 / 高二考纲考察要求 1. 基础判定：掌握直线与圆相切的几何判定（）、代数判别式判定（），牢记切线核心性质：圆心与切点连线垂直切线。 2. 切线方程求解 过圆上一点求切线（1 条）； 过圆外一点求两条切线（必须讨论斜率不存在竖直线）； 3.已知斜率求圆切线： 4.已知定点 / 倾斜角求切线，结合参数求值。 5.切线长核心考点：切线长公式、切线长最值（直线上动点引切线最小长度）、切线夹角计算。 6.切点弦（极线）：圆外两点切点弦方程求法、切点弦过定点综合大题（北京期末解答高频）。 7.综合题型：切线与充要条件、切线结合光线反射、切线与弦长联立、隐圆切线最值。 8.能力要求：分类讨论斜率存在 / 不存在、几何优先减少联立计算、直角三角形勾股模型快速求值。 二、基础核心知识点 （一）切线判定与核心性质 设圆，圆心，半径r，直线 1. 相切判定两种方法 ①几何法（考场首选）：圆心到直线距离； ②代数法：直线与圆联立消元，一元二次方程； 2. 切线三大性质 ① （M为切点，半径垂直切线）； ② 过切点、垂直切线的直线必过圆心； ③ 过圆心、垂直切线的直线必过切点。 （二）三类切线方程公式 1. 点在圆上（切点） 标准圆 切线：； 圆心在原点 切线：。 2. 已知斜率k的切线 原点圆切线：； 通用思路：设，由解m。 3. 过圆外一点 设，利用列方程求k； 必须检验竖直线是否为切线。 （三）切线长定理（必考直角模型） P为圆外一点，PA、PB为切线，A、B切点： 1. 切线长公式：； 2. 几何直角：均为直角三角形； 3. 夹角关系：PC平分； 4. 最值结论：直线上动点引切线，最小时切线长最短（PC为圆心到直线垂线段）。 （四）切点弦（两切点连线）通用解法 1. 原理：A、B同时在原圆、以PC为直径的圆上； 2. 操作：两圆一般方程直接相减，所得一次直线即为切点弦AB； 3. 定点题型：切点弦含参数时，分离参数求恒过定点。 （五）重要二级结论 1. 直线平分圆直线过圆心； 2. 光线反射切线：对称点代入切线方程； 3. 型斜率最值：原点与圆上点连线，切线为边界； 4. 充要条件：直线相切参数多解，充分不必要常见陷阱。 三、六大题型分类 + 标准作答模板、解题技巧 题型一：过圆上一点求切线方程 题型特征 已知点在圆上，验证点坐标满足圆方程，仅 1 条切线。 标准作答步骤 方法 1（斜率垂直法） 1. 求圆心C，计算； 2. 切线斜率（垂直斜率乘积）； 3. 点斜式写切线，化为一般式。 方法 2（替换速算） 直接套用切点切线公式，无需算斜率。 解题技巧 坐标轴特殊切点（如），切线为竖直线，口算秒解。 易错点 垂直斜率分母为 0（），切线竖直；不存在，切线水平。 题型二：过圆外一点求两条切线（北京必考） 题型特征 点代入圆方程左侧，存在 2 条切线，极易漏竖直线。 固定四步模板 1. 判定点在圆外； 2. 分类①斜率不存在：直线，计算d验证是否等于r，符合直接保留； 3. 分类②斜率存在：设，整理一般式； 4. 由列绝对值方程，解k，写出两条切线。 答题关键技巧 解方程只得到 1 个k时，另一条切线一定是竖直线，切勿遗漏。 题型三：已知斜率 / 倾斜角求圆切线 题型特征 给出k或倾斜角，求切线解析式。 作答步骤 1. 设切线； 2. 圆心到直线距离，列方程解m（一般两解，两条平行切线）； 3. 整理直线一般式。 技巧 倾斜角单独讨论竖直线。 题型四：切线长计算与切线长最值（选择填空高频） 细分考法 1 定点引切线，求切线长 步骤： 1. 算定点到圆心距离； 2. 代入公式，勾股一步算出。 细分考 2 直线上动点切线长最小值 核心逻辑：，r固定，最小则切线最小； 圆心到这条直线垂线段长度。 细分考 3 两条切线夹角计算 1. 在求； 2. 夹角，结合三角二倍角求值。 题型五：切点弦（两切点连线）大题 通用两种解法 解法 1（两圆相减法，推荐） 1. 写出原圆标准 / 一般方程； 2. 以PC为直径构造新圆； 3. 两圆方程相减，消去二次项，结果即为切点弦AB。 解法 2（极点公式） 直接用切点弦直线结论，适合小题速算。 衍生考法：切点弦恒过定点 1. 求出切点弦含参数直线； 2. 分离参数，令参数系数、常数项均为 0，解定点坐标。 题型六：切线综合（参数范围、充要条件、几何最值） 考法 1 直线相切求参数\(k、m、a\) 步骤： 1. 化直线一般式，写出圆心半径； 2. 列绝对值等式，平方解方程； 3. 检验解是否符合题意。 考法 2 切线相关充分必要条件 技巧：先求出全部相切参数，对比题干范围判断充分 / 不必要。 考法 3 斜率最值（原点切线模型） 代表与原点连线斜率，两条切线斜率为最大、最小值。 考法 4 光线反射 + 切线综合 1. 作定点关于坐标轴 / 直线对称点； 2. 反射直线与圆相切，利用求参数。 四、全模块高频易错扣分点（北京阅卷标准） 1. 过圆外一点求切线，遗漏斜率不存在竖直线，少一组解直接丢分； 2. 切线垂直斜率计算错误，忽略竖横直线特殊情况； 3. 切线长公式搞反，不用，错误用； 4. 切点弦联立忘记两圆相减，硬求切点计算繁琐、易算错； 5. 切线长最值逻辑颠倒，误以为动点离圆近切线最短； 6. 判别式法计算量大，优先几何简化运算； 7. 充要条件只单向推导，不列举反例； 8. 替换切点切线公式符号写错，圆心符号混淆。 五、应试答题技巧 1. 选择填空全程几何法（、勾股切线长），不联立韦达； 2. 过定点切线先检验竖直线，再设斜率； 3. 切线长、夹角题直接构造直角三角形，数形结合口算； 4. 切点弦大题固定模板：构造直径圆→两圆相减，步骤清晰分步给分； 5. 最值类切线问题，抓住 “圆心到直线垂线段最短” 核心； 6. 含参数切线方程，分离参数可快速判断定点； 7. 大题书写必标注：切线、、等几何依据； 8. 斜率不存在单独写一段，分类讨论格式规范不扣分。 六、题型专练 题型一：求过圆上一点的切线方程 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 2．（24-25高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 3．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为______． 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程_________． 6．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为 A． B． C． D． 7．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. (1)求圆的方程； (2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 8．（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程是__________． 9．（24-25高二·江苏南通·阶段检测）已知过点的直线与圆相切，则直线方程为__________. 题型二：求过圆外一点圆的切线方程 1．（23-24高二上·北京通州·期中）过点且与圆相切的一条直线方程为______. 2．（24-25高二上·北京通州·期中）过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知圆，点． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求过P点的圆C的切线方程． 4．（23-24高二上·山西吕梁·阶段检测）过点与圆相切的直线方程为____________． 5．（23-24高二上·北京·阶段检测）过点的圆的切线方程为 _________________． 6．（24-25高二上·天津西青·期末）圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； (3)过点引圆的切线，求切线的方程. 7．（24-25高二上·北京东城·期末）已知圆，圆及点. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)求经过点且与圆相切的直线方程. 8．（24-25高二上·北京房山·期末）过定点作圆的切线．则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25高二上·北京·期末）过点作圆的切线，则切线方程为__________. 10．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知圆，点. (1)判断点与圆的位置关系； (2)求过点的切线方程； 11．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知实数和满足，则的范围是______. 12．（24-25高二上·北京·阶段检测）半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 13．（24-25高二上·天津滨海新区·期中）直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________. 14．（北京市西城外国语学校2022-2023学年高二上学期期中考试（11月）数学试题）已知圆点 (1)试判断点P与圆C的位置关系，并说明理由： (2)若过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 15．（24-25高二上·北京东城·期中）（1）已知圆心在轴上且过点的圆与轴相切，求该圆的方程； （2）过点作圆：的切线，求方程. 16．（23-24高二上·天津河北·期末）过点作圆的切线，则切线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型三：切线长求解 1．（25-26高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知点，点在圆上，则的取值范围是___________；若与圆相切，则___________. 3．（23-24高二上·北京·期中）过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 4．（24-25高二上·北京·阶段检测）过点向圆作切线，则切线长为（    ） A． B．5 C． D．24 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 题型四：切线长最值问题 1．（23-24高二上·天津和平·期中）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高二上·北京·期中）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知点在圆上，点、，则点到直线的距离的最大值为____________；当最大时，____________. 7．（23-24高二上·北京通州·期中）过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ） A．4 B． C． D．2 8．（23-24高二上·北京房山·期中）设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（24-25高二上·北京·期中）由直线上一点P向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．2 D．4 10．（24-25高二上·北京·期中）若圆被直线平分，由点向圆作切线，切点为，则的最小值是（    ） A．4 B． C．3 D．6 11．（23-24高二上·北京·期中）点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·北京海淀·期中）若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则取得最小值时，点的坐标为___________. 13．（24-25高二上·北京·期中）已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短为__________． 14．（24-25高二上·北京朝阳·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______________． 15．（23-24高二上·北京·期末）已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 16．（2022·湖北·高考真题）由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 题型五：切点弦及其方程 1．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知圆和点， （1）判断点与圆的位置关系 （2）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （3）过点作圆的切线，切点为，求所在的直线方程. 3．（24-25高二·全国·单元测试）已知圆的圆心为原点，且与直线相切.点在直线上，过点引圆的两条切线，，切点分别为，，如图所示，则直线恒过定点的坐标为 A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川宜宾·周测）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是． A． B． C． D． 题型六：与切线相关的参数讨论 1.（23-24高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ____________________． 2．（23-24高二上·北京海淀·期中）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若定点，点在圆上，求的最小值. 4．（24-25高二上·北京通州·期中）已知圆与直线相切，则（    ） A． B． C．，或 D．，或 5．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则的值是（    ） A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12 6．（24-25高二上·四川成都·阶段检测）“”是“直线与圆相切”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2022·北京·高考真题）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．（2022-2023学年北京师大附中高二上学期期中考试数学）给定一点及两条直线，则过点且与两直线都相切的圆的方程是_______________． 9．（24-25高二上·四川成都·期末）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．（25-26高二上·北京延庆·阶段检测）已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 11．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（六））若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 12．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则______ 13．（24-25高一上·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $