考点培优练02 三角函数的图象与性质10大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练02 三角函数的图象与性质10大考点 考点预览 目录 考点01 五点法作图 1 考点02 解正、余弦不等式 9 考点03 三角函数定义域、值域(最值)问题 17 考点04 三角函数的值域（最值）求参数 26 考点05 三角函数的周期问题 32 考点06 三角函数的单调区间 38 考点07 比较三角函数值的大小 45 考点08 三角函数的奇偶性问题 49 考点09 三角函数的对称性问题 57 考点10 三角函数的零点问题 66 考点通关 考点01 五点作图法 “五点法”作函数的图象的步骤： ①列表.令,依次得出相应的值；②描点；③连线得函数在一个周期内的图象；④左右平移得到的图象. 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 【典例1】（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，其最大值为2. (1)求a的值及f(x)的最小正周期； (2)画出f(x)在[0，π]上的图象. 【答案】(1)a=-1，最小正周期π； (2)由（1）知，列表： x 0 π π 2π 1 2 0 -2 0 1 画图如下： 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得出最大值，继而求出，再根据最小正周期公式求出即可； （2）用五点作图法作图. 【详解】（1） ， 其最大值为2， 所以a=-1，最小正周期. （2）略 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象的画法，属于基础题. 【跟踪训练】1．（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【详解】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 2．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数，对，，且当，为函数的两个不同的零点时，. (1)求出的解析式，并利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)说明函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到. 【答案】(1)， (2)函数的图象可由的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到. 【分析】（1）由“函数，对，”，求出，由“当，为函数的两个不同的零点时，”求出最小正周期，进而求得，得到的解析式，根据正弦函数五点特征，结合周期，列表、描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）根据由的图象到的图象的变换法则可得. 【详解】（1）由“函数，对，”，得，即，所以； 由“当，为函数的两个不同的零点时，”，得函数的最小正周期，即，所以. 所以的解析式为. 0 1 在坐标系内描点，连线可得函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: （2）函数的图象可由的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到. 3．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，将表格补充完整，并作出在区间的图象. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】根据三角恒等变换化简解析式，利用正弦型三角函数的单调性求解； 根据“五点法”列表作图即可得解. 【详解】（1）由题意得 ， 令，则， 故的单调递增区间为； （2）由（1）得， 由得，即， 则或，解得或， 又，所以，故，令 如图， 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数. (1)作出在上的图象（要列表）； (2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】(1)列表见解析，作图见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由五点作图法列出表格，然后即可画出函数图像； （2）根据题意，由三角函数的图像变换，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以. 列表如下： x 0 1 2 0 0 1 描点、连线得图象. （2）将的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 再将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象， 再将上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）， 得的图象. 5．（上海市上海交通大学附属中学嘉定分校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的最小正周期； (3)求的单调递增区间． 【答案】(1)列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示． (2)． (3)， 【分析】（1）直接用“五点法”作出函数图像； （2）直接用周期的公式计算最小正周期； （3）根据正弦函数的单调区间来计算的单调区间 【详解】（1）略 （2）由，所以函数的最小正周期为 （3）由， 因为的单调递增区间为，所以令， 解得，所以的单调递增区间为，． 考点02 解正、余弦不等式 用三角函数图象解三角不等式的步骤： ①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解集 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数. (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1)函数的最小值为，此时 (2)的取值集合为 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，根据正弦型函数的性质，即可得出答案； （2）根据正弦函数的图象性质解三角不等式即可得的取值集合． 【详解】（1） 因为，所以， 当，即时，函数取到最小值为， 即当时，函数的最小值为，此时； （2）若，则， 所以，解得， 故的取值集合为. 【跟踪训练】1．（2025·山东·三模）(多选)将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】通过图像变换得到的解析式，再分别分析其周期、对称轴、不等式解集及方程根的分布情况. 【详解】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得. 选项A：的最小正周期，正确. 选项B：对称轴满足（），不满足，错误. 选项C：， 解得（），正确. 选项D：当时，， 令（）， 在递增、递减，，. 所以，当时，有两个不等实根，正确. 故选：ACD. 2．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知函数在上单调递增，在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调区间以及正弦函数性质得出，可求得函数解析式； （2）将不等式化简可得，利用换元法以及二倍角公式并结合三角函数值的符号可解得不等式的解集为. 【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以是的最大值点， 根据正弦函数的性质，可得，即； 又因函数在上单调递增，在上单调递减， 所以,可得, 又,可得，解得 结合，取得, 所以的解析式为; （2）易知, 不等式即, 令,又，则, 不等式化为，即，， 因为,,可得,即, 结合,解得, 代入,可得,解得, 所以不等式的解集为. 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. 【详解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 4．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）设向量，函数 (1)求函数的最大值与最小正周期； (2)求使不等式成立的x的取值集合及函数的对称中心. 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）将利用数量积和三角函数的公式整理为，利用正弦函数的图像求出的最大值和最小正周期. （2）由（1）知，由和得到，即，结合正弦函数的图像求出此不等式的解就是的解，令从中解出，即可得到的对称中心. 【详解】（1）由题意知， ， 即， 当，即时，， 故的最大值为，最小正周期. （2）由（1）知，， ，，即， ， 解得， 即成立的的取值集合是. 令，则， 的对称中心. 5．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数的最大值为1． (1)求函数的对称中心； (2)求使成立的x的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式对函数解析式进行化简，然后根据最大值求出，进而根据正弦函数的性质求出对称中心. （2）化简不等式，然后根据正弦函数的性质求出解集即可. 【详解】（1）化简函数. 因为其最大值为1，而的最大值为1，所以. 解得，所以. 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）令，即， 由，解得， 所以使成立的的集合为. 6．（25-26高三上·吉林·阶段检测）函数在上的最大值为． (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调增区间． (3)当时，求使不等式成立的的取值集合． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）本题首先可根据二倍角公式将函数解析式转化为，然后根据得出，再然后结合正弦函数性质得出当时函数在上取最大值，最后根据计算可得，根据周期公式计算可得最小正周期； （2）根据正弦函数性质列不等式计算即可求解； （3）本题首先可将不等式转化为，然后结合正弦函数性质得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）由题意得 ， 当时，， 结合正弦函数性质易知，当， 即时，函数在上取最大值， 因为函数在上的最大值为， 所以， 解得，， 所以函数的最小正周期为; （2）令，解得， 所以函数的单调增区间为； （3）由题意得，即，， 结合正弦函数性质易知，即， 解得， 故的取值集合为. 考点03 三角函数的定义域、值域（最值）问题 三角函数的值域求法 （1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 （2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． （3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题 （4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法 【典例3】（2026·上海浦东新·三模）设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）使用换元法转化为一元二次函数的最值问题求解； （2）使用三角形的面积公式求解. 【详解】（1）由题意得 ， 令，，． 对于，开口向下，对称轴． 由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处： 当（即）时：； 当（即）时：． 故最小值为4（当时取得）． （2）由，设， 则，得到， 而在内无解．或． 若（此时超出三角形内角和，舍去）． ， 由知为等腰三角形，，． ． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·湖北·阶段检测）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 2．（25-26高三·全国·学业考试模拟）已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由，解出即可求解. 【详解】由，得到，， 即， 所以函数的定义域为，， 故选：A． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当，即时，函数取得最大值. 4．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【答案】C 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）(多选)已知函数 ，，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．当时，若函数在区间 内恰有个零点，则 【答案】ABD 【分析】利用余弦函数和正弦函数的周期性可判断选项；利用二次函数的值域可判断选项；利用复合函数的单调性可判断选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断选项． 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为 ， 函数的最小正周期为 ， 当时，的周期应为两个周期的最小公倍数，故函数的最小正周期为， 验证： ，故A正确； 对于B选项，当时， ， 令，则，， 当时，； 当时， ；当时，所以，， 所以，当时，函数的值域为 ，故B正确； 对于C选项，当时， ， 则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，函数为增函数， 所以， ； 当时，则内层函数单调递减时，函数为增函数， 所以， ． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， ，故C错误； 对于D选项，当时， ， 可得或， 由于函数的最小正周期为，且 ， 现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或， 所以，函数在上的零点个数为， 因为，故 ，故D正确． 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 6．（2026·安徽合肥·二模）(多选)已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D． 【答案】BD 【分析】根据正弦函数和对数函数的性质，结合奇偶性的定义逐项判断. 【详解】函数， 令，得， 所以函数定义域为， 由于定义域关于原点不对称，则函数不具有奇偶性，A错误； ，， 则是周期函数，B正确； 由于，， 所以，故C错误，D正确. 7．（2026·湖南·二模）(多选)关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 【答案】AD 【详解】分母不为0，，解得，A正确． 定义域关于原点对称， ，满足奇函数定义，不是偶函数，B错误． ，不是的一个零点，C错误． 因为，所以是的一个周期，D正确． 8．（2026高三下·山东·竞赛）函数的值域为______________. 【答案】 【分析】法一：设，利用辅助角公式转化为求解；法二：由，转化为点到单位圆上一点连线的斜率求解. 【详解】法一：设，则， 由辅助角公式得， 所以. 解得. 法二：函数， 函数值等价于点到单位圆上一点连线的斜率， 如图所示： 设直线方程为：，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 故. 9．（25-26高三上·重庆·期末）函数在上的值域为________． 【答案】 【详解】设，利用角的范围和三角恒等变换求出的范围，将原函数转化成关于的函数，通过求导判断函数单调性求出其极值，比较端点函数值即得原函数的值域. 【分析】设， 由可得，则． 因为， 所以，． 求导得， 当或时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 又，，，， 所以在上的值域为， 即在上的值域为． 故答案为：. 10．（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角余弦公式得，令，则，利用二次函数性质求解最大值即可. 【详解】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 故答案为： 11．（25-26高三上·四川成都·期末）（1）求 最小值 （2）判断 有无最值，说明理由. （3）判断 有无最值，说明理由. 【答案】（1），（2）当时，若，则此时最大值为0，最小值也为0；若，无最值；当时，无最值．（3）当时，则此时最大值为0，最小值也为0；当且时，则无最值；当且时，若，则最大值，无最小值；若，则最小值，无最大值；当且时，当，则取得最大值，无最小值；当时，取得最小值，无最大值． 【分析】（1）由辅助角公式求解； （2）对分类讨论结合正弦函数的性质进行求解； （3）对分类讨论结合正弦型函数的性质进行求解． 【详解】（1），其中， 则的最小值为． （2）当时，若， 则，此时最大值为0，最小值也为0； 若，则，定义域为 则取不到最大值，也取不到最小值， 故无最值； 当时，的值域为，故无最值． （3）当时，则，此时最大值为0，最小值也为0； 当且时，则在上无最值； 当且时，， 若，则在上有最大值，无最小值； 若，则在上有最小值，无最大值； 当且时， ，其中， 当时，不妨设， 因为，所以， 而，故取得最大值，无最小值； 当时，不妨设， 因为，所以， 而，故取得最小值，无最大值； 考点04 三角函数的值域（最值）求参数 函数与的性质 （1） 最小正周期：. （2） 定义域与值域：，的定义域为，值域为. （3） 最值（假设）： ① 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. ② 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. 【典例4】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【详解】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 【跟踪训练】1．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】先利用已知点求出，再代入点 得到的表达式，最后结合 “无极点” 的条件确定的值. 【详解】函数 ，代入点，得：. 解得 或 . 若，则，解得，即, 若，则，解得，即, 极值点出现在处,当时，, 当，时，，此区间内无，满足无极值点条件, 当，时，，此区间内存在，有极值点, 其他选项验证均不满足条件. 综上，. 2．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】通过换元转化为正弦函数的区间值域问题，采用选项代入验证法，直接检验各选项对应的区间内正弦函数的取值范围，快速筛选出符合条件的值. 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 3．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】首先根据辅助角公式，确定函数的最值，再结合条件确定函数的最小正周期，即可求解. 【详解】，函数的最大值为，最小值为， 若，则都为最大值点，或都为最小值点， 所以是函数的最小正周期，所以，得. 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦函数图象的性质即可求解. 【详解】已知函数（，）， 因为，所以的图象关于点中心对称， 则有， 又因为，所以的图象关于直线对称， 则有， 因此，化简得， 则是一个奇数， 又因为在上单调，所以，解得， 根据选项，的可能取值为， ①当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在不单调，因此不符合题意， ②当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在单调递增，因此符合题意， 因此，则的最大值为，故D正确. 5．（2026·安徽合肥·三模）将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数平移变换得的解析式，再根据正弦函数性质列不等式计算求解； 【详解】函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，得， 再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象，所以， 当时，， 要使函数在上有最小值，没有最大值， 则，解得， 所以的取值范围是. 6．（2026·湖北武汉·三模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则满足条件的的取值个数为（    ） A．3个 B．5个 C．7个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】首先求出，然后化简后代入不等式，令可得，必为整数，对任意整数，有恒等式求解即可. 【详解】因为不等式对任意恒成立，令，此时右边， 故恒成立。 取得，结合，得， 代入得： ， 原不等式化为对任意恒成立， 令，代入得，因此，故必为整数（）. 对任意整数，有恒等式： 若：，满足不等式， 符合条件的整数为：，共5个； 若：存在使得， （例如，取，可得，不满足），舍去. 综上，满足条件的的取值个数为5个. 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若存在实数使得的值为2，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式来处理，得到等号成立时需要满足的条件，进而求得其最小值. 【详解】因为， 所以，而， 故等号成立当且仅当，所以又因为， 所以的最小值为. 8．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得， 所以. 9．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，求得或，取或，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为函数的图象经过点， 可得，解得或， 取，可得或， 当时，因为，可得， 因为函数在内没有零点且，则满足，解得， 若的最大值为，则 ， 由，可得，此时在内没有零点，符合题意； 当时，因为，可得， 因为函数在内没有零点且，则满足，解得， 若的最大值为，则 ， 由，可得，此时在内没有零点，符合题意， 综上可得，实数的最大值为. 考点05 三角函数的周期问题 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）有下列四个命题：①函数的最小值是；②函数的最小正周期是π；③已知函数，则是奇函数；④函数的定义域是，其中正确命题的序号为________． 【答案】②④ 【分析】①通过正余弦平方间的关系化简成求解二次函数最小值问题.②通过两角和与差的正弦公式化简求最小正周期.③表示出后通过奇函数的性质求证.④，通过正切函数定义域性质求解. 【详解】①，因为，所以时，，错误. ②，最小正周期，正确. ③因为，所以，定义域为R， 由，即为偶函数，错误. ④因为，根据正切函数的定义域性质可知，，解得，正确. 【跟踪训练】1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】 . ，. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为， 所以，解得，于是． 当时，． 余弦函数在该区间内单调递减，所以在上单调递增， 所以． 3．（2026·贵州毕节·三模）函数，满足，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由正弦函数的性质可知：任意两个相邻零点之间的距离为半个周期，即：，解得：. 4．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】首先根据辅助角公式，确定函数的最值，再结合条件确定函数的最小正周期，即可求解. 【详解】，函数的最大值为，最小值为， 若，则都为最大值点，或都为最小值点， 所以是函数的最小正周期，所以，得. 5．（2026·海南海口·模拟预测）(多选)已知点，是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为8 B． C．的图像关于点中心对称 D．在区间内的零点个数为1 【答案】BD 【详解】对于A，由题可知该函数的最小正周期，A错误； 对于B，因为，所以， 将代入得， 而，B正确； 对于C，由B选项可知， 所以的图象不关于点中心对称，C错误； 对于D，由题可知，，因为，所以， 所以，则， 令，则，即， 所以，所以， 因，则，即得函数在区间内的零点只有2， 故在区间内的零点个数为1，D正确. 6．（2026·山东济南·模拟预测）(多选)已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 【答案】BC 【分析】由奇偶性与周期性的定义计算可判断A；利用二倍角的余弦与换元法求得的值域判断B；由题意得，结合余弦函数的牟称性可判断C；结合C选项求得判断D. 【详解】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 7．（2026高三·全国·专题练习）给出下列四个命题： ①存在，使函数是奇函数； ②要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形． 其中，真命题的序号是_______．（写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【分析】利用三角函数的性质对四个命题，分别进行判断，即可得出结论. 【详解】命题①：当时，，是奇函数，因此①是真命题； 命题②：将向右平移个单位，得到的是，不是目标函数，因此②是假命题； 命题③：化简：当时，；当时，， 所以的最小正周期与函数的最小正周期相同，为，③是真命题； 命题④：是中心对称图形（对称中心为），但不是轴对称图形，不存在对称轴，因此④是假命题. 综上，真命题的序号是①③. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 【答案】 / 【分析】根据函数的最小正周期得到，利用对称轴得到，然后代入计算即可求解. 【详解】函数的最小正周期为．解得， 又图象关于直线对称，则有． 解得． 因，则得或． 又由，． 9．（2026·湖北·三模）已知，为曲线（，）上的两点，则________． 【答案】 【分析】根据解析式及过点坐标，可得周期表达式，根据周期公式，可得的表达式，赋值，可得的值，代入点坐标，结合正弦函数的图象与性质，可得的表达式，赋值，可得值. 【详解】因为的最大值为，最小值为，且，， 所以，k为非负整数，解得，k为非负整数， 又，，所以，k为非负整数， 令，得，符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意， 则，因为过点， 所以，解得， 令，得符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，故. 考点06 三角函数的单调区间 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．余弦和正切类似处理. 【典例6】（2026·湖北武汉·三模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）， 而，又得：． （2）由（1）知：，，由得： 得，， ，或， 解得：或，， 得：或，， 所以的解集为：. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】的图象关于点对称， 又当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，， 时，. 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 所以单调递减区间为，解得，. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【详解】 ，令，则， 选项A：当时，， 因为在上单调递增，故在该区间单调递增，A错误； 选项B：当时，， 因为在上不单调，所以在该区间不单调，B错误； 选项C：当时，， 因为在上单调递减，故在该区间单调递减，C正确； 选项D：当时，， 因为在上不单调，所以在该区间不单调，D错误. 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 5．（2026·河南·二模）(多选)将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象在处的切线斜率为1 【答案】ACD 【分析】由平移可得，结合奇偶性可得，，则最小值为2，，再逐项判断即可． 【详解】由题意将函数向左平移个单位得到的函数解析式为 ，若其为偶函数， 则，，解得，， 又因为，所以最小值为2，． 函数的最小正周期为，故A正确； 函数为非奇非偶函数，故B错误； ，又在上单调递增， 所以函数在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数在图象处的切线斜率为1，故D正确． 6．（2026·云南·模拟预测）(多选)已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为2 C．函数关于对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】化简得函数，即可得周期和最值，将代入函数判断C；由于，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】函数 ， 所以函数的最小正周期为，最大值为，A、B正确； 当时，， 不是最值，C错误； 当时，， 因为余弦函数在上单调递增，D正确. 7．（2026·四川眉山·模拟预测）(多选)已知，则下列说法正确的有（     ） A．为偶函数 B． C．在每个区间上单调递增 D．为了得到的图象，只需将的图象上每个点向左平移个单位长度 【答案】ABD 【详解】由题意可得 ， 所以为偶函数，选项A正确，选项B正确； 所以当函数单调递增时有，解得， 即的单调递增区间为，所以C错误； 将的图象上每个点向左平移个单位长度得 ，即的图象， 所以D正确. 8．（2026·山东济南·三模）(多选)已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】对A，根据相邻对称轴距离求出函数周期，计算得到ω；对B，利用奇函数定义判断；对C，换元判断函数单调性；对D，根据图象变换求解判断. 【详解】对于A：因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，即，所以， ，A正确； 对于B：由选项A分析可知，所以， 令，则定义域为，且，所以是奇函数， 所以为奇函数，B正确； 对于C：由，得，令， 因为在单调递减，在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：函数的图象向左平移个单位长度，得到，D正确. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，解得，. 所以函数. 根据正弦函数的单调递增区间可知，， 解得，. 所以所求的递减区间为. 10．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为______. 【答案】 【详解】 . 由，得， 所以函数的单调增区间为. 考点07 比较三角函数值的大小 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 【典例7】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）(多选)下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性判断A；利用对数函数的单调性与换底公式判断B；利用中间值“1”和指、对数函数的单调性判断C;利用诱导公式与同角三角函数关系，及三角函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 【跟踪训练】1．（数学终极押题猜想01（天津专用））已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算法则以及对数函数性质、正弦函数单调性分析即可. 【详解】由，， 又函数在上单调递增，， 所以，所以. 2．（2026·江苏南京·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断a，b的大小；通过正弦函数的取值范围，结合对数函数的单调性可判断三者的大小. 【详解】由a＝，b＝，指数函数为单调递减函数， 又，所以，即 因为上单调递增， ，所以， 又，在上，在上，，所以， 即， 故B选项正确. 3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式可得，，由对数的单调性求得，即可比较的大小. 【详解】， 因为，所以， 所以， ，， 因为，所以， 综上. 4．（2026·河北保定·二模），则（   ） A． B． C．b＜c＜a D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的值域性质，结合对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以. 所以，即， 所以，即，因此. 5．（2026·山西朔州·二模）已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性和偶函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 6．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数以及余弦函数的单调性分析可知. 【详解】，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 7．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的运算性质、余弦函数性质结合中间值判断即可. 【详解】， 因为， 所以. 8．（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【详解】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D 9．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以，故B错误； 对于C：，， 又在上单调递减，所以，即，故C错误； 对于D：，， 又在上单调递增，所以，所以，故D正确. 故选：D. 考点08 三角函数的奇偶性问题 1、判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 2、对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)． 【典例8】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象经过，且当时，取得最大值 (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象按向量平移后，得到一个奇函数的图象，求向量． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，化简函数的解析式为，结合正弦型函数的图象与性质，即可求解； （2）由三角函数的图象变换，求得平移后的解析式为， 结合是奇函数，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）因为函数的图象经过和， 可得，且，所以， 化简函数的解析式为， 因为，可得，则， 当时，的最大值为，解得； 当时，的最大值为1，不符合题意， 当时，的最大值为，不符题意， 所以函数的解析式为. （2）将函数的图象按向量平移后，得到， 因为函数是奇函数，则满足且，且， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由函数为偶函数，得，而， 则，所以的值为. 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（    ） A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求出的取值，再根据充分、必要条件求解即可. 【详解】由是偶函数得，， 得， 由是奇函数得，， 得， 若甲条件成立，取甲条件中，得， 代入乙条件验证，所以不是整数，不满足乙，即甲推不出乙； 若乙条件成立，，代入甲条件得， 所以满足时，乙可以推出甲； 所以甲是乙的必要不充分条件. 3．（2026·重庆·三模）已知函数的图象是由函数的图象向左移动个单位长度得到，则下列命题正确的是（     ） A． B．是的一条对称轴 C．在单调递增 D．是奇函数 【答案】D 【分析】A选项，利用“左加右减”进行计算； B选项，利用余弦函数的对称轴进行求解； C选项，将区间代入函数，看是否满足递增区间的需求； D选项，先判断定义域是否关于原点对称，再利用，验证奇偶性. 【详解】函数的图象向左移动个单位长度， 得到新的函数为：. A选项，，所以A选项错误； B选项，，令，得：，其中， 所以不是的一条对称轴，所以B选项错误； C选项， ，则， 在该区间上不单调，所以C选项错误； D选项，， 对函数而言，， 且， 所以是奇函数，所以D选项正确. 4．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 5．（2026·湖南浙江·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的定义计算判断A；举例说明判断BCD. 【详解】由函数的定义域为，由为奇函数，得， 则，由为偶函数，得，因此，A正确； 取上的函数，是偶函数，且， 则为奇函数，此时，因此BCD不一定成立. 6．（2026·湖南·三模）已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数图像向左平移个单位后得到函数. 由其图象关于原点对称可得. 所以. 由于，所以的最小值为. 7．（2026·江西九江·二模）(多选)已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】根据偶函数的定义判断A；根据周期的定义判断B；根据导数判断C；根据导数求最值判断D． 【详解】对于A，定义域为，，所以是偶函数，故A正确； 对于B，，所以的最小正周期不为，故B错误； 对于C，，当时，， 所以，则在上单调递增，故C正确； 对于D，设，，则， 所以在上单调递减，， 所以的最小值为0，故D正确． 8．（2026·四川资阳·三模）(多选)已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象，求函数的解析式，再根据函数的性质判断选项. 【详解】由图象可知，，得，函数的最小正周期为， 时，，得，，且， 所以，所以，C正确； 函数的最小正周期，A正确；，B错误； 将的图象向右平移个单位，得到函数，为偶函数，故D正确. 9．（2026·河南许昌·模拟预测）(多选)函数（，，）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B． C．函数为偶函数 D．在区间上，函数存在8个零点 【答案】BCD 【分析】利用图象可知，可判断AB，化简，根据余弦函数性质可判断C；令，计算可判断D. 【详解】对于A，易得，设最小正周期为，， 得，，A选项错误； 对于B，将代入，（）， 解得（），由于，所以，B选项正确； 对于C，因为 所以， 函数的定义域为R，满足，故为偶函数，C选项正确； 对于D，令（），解得（）， 令，解得，， 故可取到8个整数值，即函数存在8个零点，选项正确， 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 考点09 三角函数的对称性问题 （1） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （2） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （3） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （4） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （5）正切型函数只能是奇函数或非奇非偶函数，绝不可能为偶函数.当其为奇函数时，. 【典例9】（2026·浙江·二模）(多选)已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【详解】由题意得，即， 因为，所以，A错误； 因为，所以，即， 解得，因为，所以，B正确； 因为的最小正周期为，所以，又 即，解得，，C正确； 由上可得，令， 得，所以的对称中心为， 取即得的图象关于点对称，D正确. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】的图象关于点对称， 又当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，， 时，. 2．（2026高三·全国·专题练习）关于函数有下列命题（    ） ①其解析式可写为 ②直线是图象的一条对称轴； ③的图象可由的图象向右平移个单位得到； ④存在，使恒成立． 其中真命题为（    ） A．②③ B．①② C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据特殊值代入可判断①错误；利用代值检验法可知②正确；由平移法则可知③错误；根据函数的周期可知④正确． 【详解】对①，若，令，显然等式不成立，①错误； 对②，因为，所以直线是图象的一条对称轴，②正确； 对③，因为函数的图象向右平移个单位长度得到的图象解析式为，③错误； 对④，函数的最小正周期为，所以当时，等式成立，④正确． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的图象和性质，先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再由所得图象关于y轴对称即可求得. 【详解】由函数的最小正周期为π，得，所以， 将的图象向左平移个单位长度，得 ， 由于图象关于y轴对称，那么 , ,故的一个值是. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 5．（2026·重庆永川·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，，令， 得，则的对称中心为， 结合选项可知，图象的一个对称中心为，其它选项不满足. 6．（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断. 【详解】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 7．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据最小正周期求出，然后根据正切函数的性质求出对称中心. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 8．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【详解】， ， 当时，，A满足； 当时，，B满足； 当时，，C满足； 当时，，D不满足． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期，即可得，再利用可求出，结合函数对称性即可得解. 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得， 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）(多选)已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【详解】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 11．（2026·重庆·模拟预测）(多选)已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式可判断A；根据余弦函数的对称轴可判断B；根据积化和差结合余弦函数的周期性可判断C；根据和差化积结合余弦函数的最值可判断D. 【详解】由题知 ， 对于A选项， ，所以A正确； 对于B选项，将代入，则， 这是函数的对称轴需要满足的条件，所以B正确； 对于C选项， ， 所以最小正周期为，所以C错误； 对于D选项， ， 所以该函数的最大值为 ，解得，所以D正确. 12．（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数图象关于直线对称 B．函数的最小正周期为 C．函数图象可看作是把函数的图象向左平移个单位而得到 D．函数在区间的最大值为2 【答案】ABD 【分析】通过代入特殊值验证对称轴，计算周期，分析平移变换，结合定义域求最值，逐一判断选项正误. 【详解】 ，故A正确. ，故B正确. 向左平移个单位，得，故C错误. 当时，，，故 ，D正确. 13．（2026·河南安阳·模拟预测）(多选)对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 【答案】ABC 【分析】对于选项A分别求出与的最小正周期；化简可得与关于轴对称，可判断选项B、C；分别求出与的单调递增区间可判断选项D. 【详解】周期，周期， 所以与有相同的最小正周期， 选项A正确； ， 与关于轴对称， 所以与有相同的零点，图象有相同的对称轴， 选项B、C正确； 令，， 所以的单调递增区间为， 令，， 所以的单调递增区间为， 与的单调递增区间不同， 选项D错误. 考点10 三角函数的零点问题 巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)的问题 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．　 【典例10】（2026·福建·二模）已知函数． (1)若是奇函数，求； (2)当时，的所有正零点从小到大排列构成数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用奇函数的定义得出恒成立，则，由此可得出的取值；解法二：利用奇函数的性质得出，可得出的取值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）解法一：由，得，可得出或， 解出的表达式，令，，可得出，结合等差数列的求和公式可求得结果； 解法二：由，可得，所以或，解出的表达式，令，，可得出，结合等差数列的求和公式可求得结果； 解法三：分析可知是的一个周期，由，可得，求出该方程在的解，，则是以为首项，为公差的等差数列，可得出，结合等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】（1）解法一：因为为奇函数，所以， 即恒成立． 得恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以，解得． 解法二：因为为上的奇函数，所以， 所以，解得， 经检验，是奇函数，所以． （2）解法一：因为，所以， 令，则， 所以或， 解得或， 令，， 所以，， 又因为，故， 所以， 所以． 解法二：因为，所以， 令，则， 所以，所以或， 所以或， 解得或， 令，， 所以，， 又因为，故， 所以， 所以． 解法三：因为，所以， 因为，所以是的一个周期， 当时，令，则， 所以，所以或， 当时，解得， 所以在区间的零点之和为， 令， ， 所以， 且， 则是以为首项，为公差的等差数列， 所以． 【跟踪训练】1．（2026·天津西青·三模）数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，求出解析式，然后逐项分析函数性质即可. 【详解】由图象可知，最大值为，因此，周期，因此， 代入最大值点，有，解得， 结合，则， 因此，函数表达式为， 对于①，由图象可知，故①正确； 对于②，当时，有，在上不单调， 因此在区间上不单调，故②错误； 对于③，解方程，解得，在区间内满足条件的， 对应零点，共个，故③正确； 对于④，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到， 是偶函数，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个. 2．（2026·江苏·二模）设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由是函数的零点得出的值，再由导数求得函数在区间内所有极值点即可求解． 【详解】因为是函数的一个零点， 所以，即， 不妨取，则， 令，， 因为，所以可取， 所以函数在区间内所有极值点之和为． 3．（2026·河南安阳·模拟预测）(多选)对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 【答案】ABC 【分析】对于选项A分别求出与的最小正周期；化简可得与关于轴对称，可判断选项B、C；分别求出与的单调递增区间可判断选项D. 【详解】周期，周期， 所以与有相同的最小正周期， 选项A正确； ， 与关于轴对称， 所以与有相同的零点，图象有相同的对称轴， 选项B、C正确； 令，， 所以的单调递增区间为， 令，， 所以的单调递增区间为， 与的单调递增区间不同， 选项D错误. 4．（2026·重庆江津·三模）(多选)已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是 D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 【答案】AD 【分析】根据函数图象确定函数表达式，再结合正弦函数的图象与性质，涉及函数的对称性，单调性，零点以及函数图象的平移变换. 【详解】由图象可知，，根据，则，故，得，A正确； 此时，将代入可得，得， 则，因为，所以， 则， 因为，所以B错误； 因为，所以，因为在上有4个零点， 所以，解得，C错误； ，向右平移个单位长度后，得到，D正确. 5．（2026·甘肃金昌·三模）(多选)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．函数在内有5个零点 【答案】AC 【分析】根据给定的变换求出的解析式，再利用余弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，当时，，而余弦函数 在上单调递减，因此在上单调递减，A正确； 对于B，，的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，，的图象关于点对称，C正确； 对于D，依题意，，而不成立， 则，解得， 由，得，则可取， 因此函数在内有4个零点，D错误. 6．（2026·四川达州·二模）(多选)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在处取得最大值 C．的图象关于直线对称 D．在上有2个零点 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，因，B错误； 对于C，因，C正确； 对于D，当时，，由，得， 解得，即在上有1个零点，D错误. 7．（2026·辽宁大连·一模）(多选)已知函数（，，）的图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则（    ） A． B． C．将的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象 D．当时，函数的值域为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合“五点法”作图求出函数，再逐项分析判断. 【详解】由函数的图象在y轴右侧的第一个最低点为，得， 又函数的图象过点，在y轴右侧的第一个零点为， 得此零点在的递减区间上，则周期， 对于A，，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，函数， ，此函数为偶函数，C正确； 对于D，当时，，， 因此函数的值域为，D错误. 8．（2026·陕西咸阳·二模）(多选)已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】先由函数的性质可得，，进而可得，从而判断各个选项可得. 【详解】因为的一个零点为，的图象关于点对称，且在上单调递增， 所以，所以，A正确； 由及，得，B错误； 所以，C正确； 因为时，不存在，因为， 所以函数在上单调递增，故D错误． 9．（2026·广东茂名·二模）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 由函数在区间上有且仅有3个零点， 所以， 所以的最小值为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 三角函数的图象与性质10大考点 考点预览 目录 考点01 五点法作图 1 考点02 解正、余弦不等式 4 考点03 三角函数定义域、值域(最值)问题 6 考点04 三角函数的值域（最值）求参数 8 考点05 三角函数的周期问题 10 考点06 三角函数的单调区间 11 考点07 比较三角函数值的大小 14 考点08 三角函数的奇偶性问题 15 考点09 三角函数的对称性问题 17 考点10 三角函数的零点问题 20 考点通关 考点01 五点作图法 “五点法”作函数的图象的步骤： ①列表.令,依次得出相应的值；②描点；③连线得函数在一个周期内的图象；④左右平移得到的图象. 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 【典例1】（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，其最大值为2. (1)求a的值及f(x)的最小正周期； (2)画出f(x)在[0，π]上的图象. 【跟踪训练】1．（2025·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数，对，，且当，为函数的两个不同的零点时，. (1)求出的解析式，并利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)说明函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到. 3．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，将表格补充完整，并作出在区间的图象. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数. (1)作出在上的图象（要列表）； (2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 5．（上海市上海交通大学附属中学嘉定分校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的最小正周期； (3)求的单调递增区间． 考点02 解正、余弦不等式 用三角函数图象解三角不等式的步骤： ①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解集 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数. (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)若，求的取值集合. 【跟踪训练】1．（2025·山东·三模）(多选)将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 2．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知函数在上单调递增，在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，解不等式． 3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 4．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）设向量，函数 (1)求函数的最大值与最小正周期； (2)求使不等式成立的x的取值集合及函数的对称中心. 5．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数的最大值为1． (1)求函数的对称中心； (2)求使成立的x的集合． 6．（25-26高三上·吉林·阶段检测）函数在上的最大值为． (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调增区间． (3)当时，求使不等式成立的的取值集合． 考点03 三角函数的定义域、值域（最值）问题 三角函数的值域求法 （1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 （2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． （3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题 （4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法 【典例3】（2026·上海浦东新·三模）设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·湖北·阶段检测）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·学业考试模拟）已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）(多选)已知函数 ，，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．当时，若函数在区间 内恰有个零点，则 6．（2026·安徽合肥·二模）(多选)已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D． 7．（2026·湖南·二模）(多选)关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 8．（2026高三下·山东·竞赛）函数的值域为______________. 9．（25-26高三上·重庆·期末）函数在上的值域为________． 10．（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是______． 11．（25-26高三上·四川成都·期末）（1）求 最小值 （2）判断 有无最值，说明理由. （3）判断 有无最值，说明理由. 考点04 三角函数的值域（最值）求参数 函数与的性质 （1） 最小正周期：. （2） 定义域与值域：，的定义域为，值域为. （3） 最值（假设）： ① 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. ② 对于，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. 【典例4】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【跟踪训练】1．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 3．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2. 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为 A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·三模）将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北武汉·三模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则满足条件的的取值个数为（    ） A．3个 B．5个 C．7个 D．无穷多个 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若存在实数使得的值为2，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________. 考点05 三角函数的周期问题 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）有下列四个命题：①函数的最小值是；②函数的最小正周期是π；③已知函数，则是奇函数；④函数的定义域是，其中正确命题的序号为________． 【跟踪训练】1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 3．（2026·贵州毕节·三模）函数，满足，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（2026·北京顺义·三模）已知函数，若两个不等的实数满足且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（2026·海南海口·模拟预测）(多选)已知点，是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为8 B． C．的图像关于点中心对称 D．在区间内的零点个数为1 6．（2026·山东济南·模拟预测）(多选)已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）给出下列四个命题： ①存在，使函数是奇函数； ②要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形． 其中，真命题的序号是_______．（写出所有真命题的序号） 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 9．（2026·湖北·三模）已知，为曲线（，）上的两点，则________ 考点06 三角函数的单调区间 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．余弦和正切类似处理. 【典例6】（2026·湖北武汉·三模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)将函数上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，最终得到的图象，求的解集． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·二模）(多选)将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象在处的切线斜率为1 6．（2026·云南·模拟预测）(多选)已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为2 C．函数关于对称 D．函数在区间上单调递增 7．（2026·四川眉山·模拟预测）(多选)已知，则下列说法正确的有（     ） A．为偶函数 B． C．在每个区间上单调递增 D．为了得到的图象，只需将的图象上每个点向左平移个单位长度 8．（2026·山东济南·三模）(多选)已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（   ） A． B．为奇函数 C．在上单调递减 D．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 10．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为______. 考点07 比较三角函数值的大小 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 【典例7】（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）(多选)下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（数学终极押题猜想01（天津专用））已知，，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北保定·二模），则（   ） A． B． C．b＜c＜a D． 5．（2026·山西朔州·二模）已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南·模拟预测）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点08 三角函数的奇偶性问题 1、判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 2、对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)． 【典例8】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象经过，且当时，取得最大值 (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象按向量平移后，得到一个奇函数的图象，求向量． 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（    ） A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．（2026·重庆·三模）已知函数的图象是由函数的图象向左移动个单位长度得到，则下列命题正确的是（     ） A． B．是的一条对称轴 C．在单调递增 D．是奇函数 4．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南浙江·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南·三模）已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江西九江·二模）(多选)已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小值为0 8．（2026·四川资阳·三模）(多选)已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数 9．（2026·河南许昌·模拟预测）(多选)函数（，，）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B． C．函数为偶函数 D．在区间上，函数存在8个零点 10．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 考点09 三角函数的对称性问题 （1） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （2） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （3） 若函数为奇函数，则其图象关于原点对称，此时. （4） 若函数为偶函数，则其图象关于轴对称，此时. （5）正切型函数只能是奇函数或非奇非偶函数，绝不可能为偶函数.当其为奇函数时，. 【典例9】（2026·浙江·二模）(多选)已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．， D．的图象关于点对称 【跟踪训练】1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）关于函数有下列命题（    ） ①其解析式可写为 ②直线是图象的一条对称轴； ③的图象可由的图象向右平移个单位得到； ④存在，使恒成立． 其中真命题为（    ） A．②③ B．①② C．②④ D．③④ 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·重庆永川·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津河东·三模）已知函数，则下列结论正确的个数是（   ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）(多选)已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 11．（2026·重庆·模拟预测）(多选)已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 12．（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数图象关于直线对称 B．函数的最小正周期为 C．函数图象可看作是把函数的图象向左平移个单位而得到 D．函数在区间的最大值为2 13．（2026·河南安阳·模拟预测）(多选)对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 考点10 三角函数的零点问题 巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)的问题 解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．　 【典例10】（2026·福建·二模）已知函数． (1)若是奇函数，求； (2)当时，的所有正零点从小到大排列构成数列，求的前项和． 【跟踪训练】1．（2026·天津西青·三模）数的部分图象如图所示，给出下列结论： ① ②在区间上单调递减 ③在区间上有且仅有个零点 ④把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 其中所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·二模）设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南安阳·模拟预测）(多选)对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 4．（2026·重庆江津·三模）(多选)已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在上有4个零点，则实数a的取值范围是 D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 5．（2026·甘肃金昌·三模）(多选)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．函数在内有5个零点 6．（2026·四川达州·二模）(多选)已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在处取得最大值 C．的图象关于直线对称 D．在上有2个零点 7．（2026·辽宁大连·一模）(多选)已知函数（，，）的图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则（    ） A． B． C．将的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象 D．当时，函数的值域为 8．（2026·陕西咸阳·二模）(多选)已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 9．（2026·广东茂名·二模）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $