周周测05 3.1 函数及其表示（数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦函数概念核心，融合数学史（π的小数位函数）与生活情境（阶梯水价），梯度设计适配高一函数入门周测，检测数学眼光、思维与语言的综合发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数定义（第1题）、定义域（第6题）|基础概念辨析，如判断M到N的函数对应关系| |多选|3/18|同一函数判断（第9题）、函数性质（第11题）|结合数学史，如π的小数位函数值域分析| |填空|3/15|定义域（第12题）、函数值（第13题）|逆向思维，如已知值域求函数个数（第14题）| |解答|5/77|分段函数应用（第19题）、函数性质探究（第17题）|生活情境建模，如阶梯水价函数关系式构建，培养数学语言表达现实世界能力|

2026-2027学年高一上学期数学周周测 05 3.1 函数及其表示 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则当时，，故A错误； 对于B，若，则当时，，当时，，故B正确； 对于C，若，则当时，无意义，故C错误； 对于D，若，则当时，，故D错误； 故选：B. 2．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】按函数的定义结合图表计算即可 【详解】根据题意，可得，则， 故选：A. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，再逐一判断各选项即可. 【详解】由有意义，可得，即， 由，可得， 故，故A错误；B正确； ，故C错误； 显然不是集合的子集，故D错误. 故选：B. 4．已知函数，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用配凑法可求得，代入可构造方程求得结果. 【详解】，， ，解得：. 故选：D. 5．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D 【分析】由题意有，得，求值即可. 【详解】由，当时，有， 由，则有. 故选：D 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答. 【详解】由函数的定义域为，即，得， 因此由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．在下列四组函数中表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】BD 【分析】根据两个函数的定义域与对应法则均相同为同一函数判断.，逐一分析即可． 【详解】解：对于，函数的定义域为R，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于B，函数的定义域为R，的定义域为R，与的定义域相同， 对应关系相同，则与是同一函数； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为， 与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于D，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数． 故选：BD． 8．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数解析式可直接判断的值域，可判断A；利用基本不等式求得值域判断B；利用函数的单调性求得值域可判断C；根据函数解析式易求值域可判断D. 【详解】对于A，，由于，故，故A正确； 对于B, ， 当且仅当，即时，取等号，即值域为，故B正确； 对于C, 的定义域为， 易判断函数在上单调递增，当时，， 所以值域为，故C正确； 对于D，因为，即函数值域为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．函数的定义域是______________. 【答案】 【分析】由根式函数定义域的求法得到，求解即可得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，应满足， 所以，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 10．已知函数，则______． 【答案】4 【分析】根据分段函数解析式即得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)求下列函数的解析式. ①已知，求； ②已知，求； ③已知，求. (2)．已知函数，． ①在同一坐标系中画出函数的图象； ②定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【答案】(1)① ② ③ (2)①作图见解析 ②作图见解析，，的值域为 【分析】①利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； ②利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； ③用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. （2）①已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象. ②令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域. 【详解】（1）①令，则， 于是有， 所以. ②函数，又的值域为， . ③∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. （2）①已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图象如图所示． ②令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图象法表示的图象如图． 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 05 3.1 函数及其表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 2．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 5．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 8．已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在下列四组函数中表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D． 10．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 11．是第一个被证明的无理数，标志着数学从“整数比例”向更广泛的实数体系发展．记小数点后第位上的数字为，则是的函数，记为．设此函数的定义域为，值域为，则（    ） A． B． C． D．是的函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域是______________. 13．已知函数，则______． 14．已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 16．求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 17．已知函数. (1)求与，与的值； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 18．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 19．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 05 3.1 函数及其表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则当时，，故A错误； 对于B，若，则当时，，当时，，故B正确； 对于C，若，则当时，无意义，故C错误； 对于D，若，则当时，，故D错误； 故选：B. 2．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】按函数的定义结合图表计算即可 【详解】根据题意，可得，则， 故选：A. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，再逐一判断各选项即可. 【详解】由有意义，可得，即， 由，可得， 故，故A错误；B正确； ，故C错误； 显然不是集合的子集，故D错误. 故选：B. 4．已知函数，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用配凑法可求得，代入可构造方程求得结果. 【详解】，， ，解得：. 故选：D. 5．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D 【分析】由题意有，得，求值即可. 【详解】由，当时，有， 由，则有. 故选：D 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答. 【详解】由函数的定义域为，即，得， 因此由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 7．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 8．已知函数，则（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】由题意， . 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在下列四组函数中表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】BD 【分析】根据两个函数的定义域与对应法则均相同为同一函数判断.，逐一分析即可． 【详解】解：对于，函数的定义域为R，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于B，函数的定义域为R，的定义域为R，与的定义域相同， 对应关系相同，则与是同一函数； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为， 与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于D，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数． 故选：BD． 10．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数解析式可直接判断的值域，可判断A；利用基本不等式求得值域判断B；利用函数的单调性求得值域可判断C；根据函数解析式易求值域可判断D. 【详解】对于A，，由于，故，故A正确； 对于B, ， 当且仅当，即时，取等号，即值域为，故B正确； 对于C, 的定义域为， 易判断函数在上单调递增，当时，， 所以值域为，故C正确； 对于D，因为，即函数值域为，故D错误. 故选：ABC. 11．是第一个被证明的无理数，标志着数学从“整数比例”向更广泛的实数体系发展．记小数点后第位上的数字为，则是的函数，记为．设此函数的定义域为，值域为，则（    ） A． B． C． D．是的函数 【答案】AB 【分析】根据定义函数的定义域与值域逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，小数点后第5位是1，即，故A正确； 对于B，由题意可知为正整数，函数的值域是小数点后所有数字组成的集合.已知该集合包含0到9所有整数，所以定义域，故B正确； 对于C，由B分析，,但,故不包含于，故C错误； 对于D，由题意可知对应的不是唯一确定的，不是的函数，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域是______________. 【答案】 【分析】由根式函数定义域的求法得到，求解即可得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，应满足， 所以，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．已知函数，则______． 【答案】4 【分析】根据分段函数解析式即得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14．已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 【答案】9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)或； (3) 【分析】（1）将分别代入求解即可； （2）分、分别求解即可； （3）分、分别求解即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，，； （2）当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得． 所以的值为或； （3）当时，，所以； 当时，，所以． 所以的取值范围为. 16．求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； （2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； （3）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 17．已知函数. (1)求与，与的值； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 【答案】(1)，；，； (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接计算可得答案； （2）由（1）中求得的结果归纳推理可得，计算可得答案； （3）求出，利用可得答案. 【详解】（1），； ，； （2）由（1）中求得的结果，归纳推理可得. 证明：； （3）因为， 所以 . 18．已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，的值域为 【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象. （2）令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域. 【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图象如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图象法表示的图象如图． 由图象可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 19．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 【答案】(1) (2)该户居民所交水资源费为315元，污水处理费为294元 【分析】（1）根据水价表写出函数解析式即可； （2）由所交水费计算出用水量，再计算水资源费和污水处理费即可. 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，； 当时，. 所以用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式是 （2）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 所以. 所以水资源费为（元），污水处理费为（元）， 所以该户居民所交水资源费为315元，污水处理费为294元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 05 3.1 函数及其表示 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（   ） A． B． C． D． 2．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 5．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．在下列四组函数中表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D． 8．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．函数的定义域是______________. 10．已知函数，则______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)求下列函数的解析式. ①已知，求； ②已知，求； ③已知，求. (2)．已知函数，． ①在同一坐标系中画出函数的图象； ②定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $