第1章 反比例函数 单元复习小练 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 反比例函数单元巩固复习卷，通过基础辨析、情境应用及综合探究，覆盖定义、图像性质、实际问题等核心知识点，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|定义（第1题）、图像性质（第2题）、应用（第5题）|气体压强情境（第5题），辨析概念本质| |填空题|10题|解析式（第11题）、k值几何意义（第14题）|正方形与双曲线结合（第14题），考查直观想象| |解答题|6题|实际应用（第23题药熏消毒）、综合探究（第26题勾股四边形）|桔槔汲水文化情境（第24题），融合跨学科应用|

反比例函数单元巩固复习小练 一、单选题 1.有下列函数：Oy②y3x:图y2@2:回y乙：gy3 是x的反比例函数的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.关于反比例函数'=x的图象，下列说法中正确的是() A.点么-) 在它的图象上 B.图象位于第二、四象限 C.y随x的增大而增大 D.图象的两个分支关于原点对称 3已知反比例函数=生k去).当方时y=-2,则的值为《) 1 A.6 B.4 C.-4 D.6 4.若点(-2，)，()在双酯线yk<0)上，则，，的大小关系是() A.0<y<hB.0<%<y C.为<0< D.片<0<为 5.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体 对汽缸壁所产生的压强p(kPa)是汽缸内气体的体积V(mL)的反比例函数，p关于' 的函数图象如图2所示.若压强由40ka加压到100kPa,则气体体积压缩了() mL. p(kPa) 100 75 40 0 80 V(mL) 图1 图2 A.60 B.90 C.120 D.150 6 6.若b<0,则y=m与y=x在同一坐标系中的大致图象可能是（） :并 7.如图，A,B是反比例函数y= x图象上的两点，且AB过原点O,过点B作x轴的垂线。 垂足是C,连接AC.若△ABC的面积是4，则k的值是() A.2 B.-2 C.4 D.-4 8.如图，点A在y=〔x<0)的图象上，ABx转交反比例函数y(x>0)的图象于点 9 B,AC⊥x轴，垂足为点C,连接OB,四边形ACOB的面积等于2，则k的值为() A -2 B.-1 C.1 D.2 9.火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却 塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称 图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为'轴建立 如图2所示的平面直角坐标系，DE、CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知 AB=88m BC=20m EF=16m ,上口宽 ,则整个冷却塔高度为()米. 图1 图2 A.100 B.110 C.115 D.120 10,如图。在平面直角坐标系中，菱形ABCD的项点AD都在反比例函数y-冬 (x>0 )的图象上，对角线BD平行于x轴，坐标原点O为BC的中点，若菱形ABCD的面积为 40,则k的值为() A10 B.15 C.20 D.25 二、填空题 1山.如果反比例西数)=(m+(m是帝数)的图像在第二、四象限，那么m的值是 12.反比例函数y=过点A(2,3),若点B(a,6)在该图象上，则a= 13.在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为80，每分钟转20圈，如果小齿轮的齿 数为x,每分钟转y圈，那么y关于x的函数表达式为 14,如图，双曲线y=,经过正方形O4PB的项点p已知OA=V5,则k= k2+2k+2 y= 15.己知反比例函数 x (其中k是任意实数)图象上三点A(-3,a叫，B(1,b). C(2,c,则，b,C的大小关系是 (用“<”连接) b 16.如图，正比例函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=(伍≠0)图象交于点A、B,已知点 b A的横坐标为1，则关于x的不等式心-。>0的解集是 17.如图：点4，B分别为反比数y4x>0)与”=x<0)图象上的点，B镇。 点P在x轴上，连接PA、PB,则△PAB的面积为 9 B PO 18如图，4是西数yx<0叭的图家上一点，过点A作Bx曲：AB交面数 y=（x>0)的图象于点B,点C在x轴上，若。4BC的面积是2，则k的值是 19.如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B,C,D都在反比例函 数y-k>0)的图象上，且边BC经过原点O,若平行四边形ABCD的面积为18：则k= 20,如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的非负半拍上，两腰的交点在反比例函数士 的图象上，且它们的底边都相等.若 04B△A4B△4AB.△e4B“的面 积分别为， ,则 2026 的值 B B2 B3 A A3 A4 三、解答题 21.函数y=(m-)x 是反比例函数，点么4) 在该函数图像上. (1)求m,n的值； (2)若x<3,求的取值范围. 22如图，反比例函数y00的图象经过4,8丙点，连接O6B:过点分 作8C轴，交01于点C,若C为40的中点，且点C坐标为L2) D (1)求k的值： (2)连接AB并延长，交x轴于点D,求点D的坐标； (3)连接OB,求△AOB的面积. 23.为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，己知药物燃烧时，室内 每立方米空气中的含药量)（毫克）与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧后，y与x成反 比例（如图)，现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中 所提供的信息，回答下列问题 y(毫克) 10-- 0 x(分钟) (1)药物燃烧时，'关于x的函数关系式为一；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 (2)研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒 开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室： (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于25分钟时，才 能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 24.小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(0)的古代汲水工具（如图1)， 有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定 300N的物体，且OB=m.若图中人物竖直向下的拉力为F.当改变点A与点O的距离1 时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小F与的变化，如下表： 点A与点O 1 1.5 2 2.5 3 的距离l/m 拉力的大小 300 200 150 120 100 FIN 阳桔槔 AFN 300 墜 200 100 23 45l/m 图1 图2 (I)小益通过分析表格数据发现，F是1的函数.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表 中对应的点，并画出这个函数的图象： (2)根据以上数据和图象，直接写出F关于1的函数表达式（不要求写自变量1取值范围）， 并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由； (3)已知横杆总长为9m,小益想用40N的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由. 25.如图1，点A(m,),B(6,1)在反比例函数y=上，作直线AB:交坐标轴于点M N,连接OA、OB M M B 图1 图2 (I)直接写出直线AB解析式： (2)求△AOB的面积： (3)如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D,过点E作EF∥AD,交反比例函数 图象于点R,若即兮D,求出点的坐标、 26.定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形. (1)矩形 勾股四边形（填“是”或“不是”）· (②)如图在直角坐标系xOy中，直线y三一x+与双曲线y三相交于A,B两点，其中点 在第二象限，点B在第四象限.点 P(-3,0) 在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点. ①当四边形APOB是平行四边形时，请证明口APQB是勾股四边形. ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标. 答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 答案 B D A C B B D C B B 1.B 【详解】解：“反比例函数的定义为y=x(k为常数，k≠0)或可变形为该形式， ⑦y x,符合y= x（k=π≠0)，是反比例函数： ②yV3x ，是正比例函数，不是反比例函数： ®y=符合y-40)，是反比例数 @y=2可变形为y=2 ，符合少 x（k=-2≠0)，是反比例函数： ⑤y= x一1，分母为x-1不是x,不符合反比例函数定义，不是反比例函数： ⑥y=3,不是y文的形式，不是反比例函数： k ∴.是反比例函数的有①③④，共3个. 故选：B. 2.D 【详解】解：反比例函数” x> 当x=1时，y= 攻么 不在它的图象上， 故A错误； 1>0, 反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内)随x的增大反而减小， 故B错误，C错误： 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确， 3.A 1 【详解】解：∵x=2时，y=-2, k+5=(-2*2 k=6. 故选：A. 4.C 【详解】解：，k<0, ∴双曲线y=x的两支分别位于第二、第四象限， 点2 的横坐标2<0 “该点在第二象限，>0 :点)的横坐标>0， ·该点在第四象限，片<0 :h<0<y 5.B 【详解】解：设反比例函数解析式为：P= V, 80,75) 由图知点 在函数图像上， .k=80×75=6000. ·反比例解析式为：P=600 , 4当pP=40kP,时，V-600=150nL 40 当P=100kPa时，V=6000 100 60ml, ∴压强由40kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了：150-60=90mL, 故选：B 6.B 【详解】解：ab<0,∴分两种情况： ①当a>0,b<0时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限， 无此选项： ②当a<0,b>0时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 选项B符合， 7.D k 【详解】解：“4，B是反比例函数y=x图象上的两点，且B过原点O, A,B 根据反比例函数的对称性得：点 关于点O对称， ∴.OA=OB」 :△OBC的边OB上的高与△OAC的边OA上的高相同，△ABC的面积是4， iS.om-S.onc=S.amc-2 2 BC⊥x轴， :根据反比例函数比例系数的几何意义得：S败==2， ·k=4 该反比例函数的图象在第二、四象限， .k=-4 8.C 【详解】解：如图，设AB与y轴的交点为D, 0 4 点4在y= x上， .四边形ACOD的面积为4， 9 ·四边形ACOB的面积为2， 1 .aOBD的面积为2， 1 k=2×2=1 2 故选：C 9.B 【详解】解：由题可知，四边形ABCD是矩形，AB在x轴上，y轴垂直平分AB, .AB=88m, 根锅对称性可知：0B48×8=4回)。 2 .B(44,0) :BC=20m,且BC⊥AB, ÷C(420) 设C下所在的反比例函数解析式为y=《(k≠0)， 把C4.20)代入yk≠0)中，得20= 44 解得k=20×44=880. 880 ·C℉所在的反比例函数解析式为y= x, ,EF=16m,且图形关于y轴对称， 1 .xr=5EF=。xI6=8 2 2 880 ”点F在反比例函数y=x的图象上， 中，得=80=110 小把x=8代入y=80由 8 ,AB所在直线为x轴，即地面高度为0m, ∴.整个冷却塔的高度为110m. 10.B 【详解】解：过点D作DMLx轴于点M,记BD与y轴交于点F,CD与x轴交于点N, 连接OA,OD, 是 的中点，四边形 是菱形， .O BC ABCD .BC∥AD,BC=CD SCD7S菱形n=20 ,∠CBD=LCDB' :BD∥x轴，O为BC的中点， 六∠CoN=∠C8D:∠Cw0=∠CDB,0B=0c-BC=)cD 2 2 1 S.OBD=SAOCD= Sn=10, 2 .∠CON=∠CNo. OC=NC=。CD 点N是CD的中点， 1 .S.OND= S.ocD=5 2 S四边形08DN=S,0sD+S,00N=10+5=15 BD II MN ∠BDN=∠DNM, .'∠CBD=∠CDB .∠OBF=∠DNM, BDI MN,FO,DM均垂直x轴， ∴.∠OFD=∠FOM=∠OMD=90°， ∴.四边形OFDM是矩形， ∴.OF=DM,∠BFO=∠DMN=90°， :△FBO≌aMND(AAS) S.F8O=S.MND :.S.FB0+Sa网边形OFDN=S.MD+S.四边形OrDN S四边形BOND=S矩形OMD=15 k ·点D在反比例函数y=的图象上， ∴.S矩形rOMD=k .k=15 11.-3 【详解】解：：反比例函数的一般形式为'= ，其中0 0m-4=-1 ∴.可得m+1≠0，解得m=3且m≠-1： ,反比例函数的图像在第二、四象限， .m+1<0,解得m<1, ∴.m=-3 12.-1 k 【详解】解：…反比例函数y=的图象过点A(2,3小， x=2,y=3 =xy=2×3=6 将 代入解析式得 6 ∴反比例函数的解析式为y=兰 (a,6) 点 在该反比例函数图象上， 将x=a,y=6代入解析式得6=6 a 解得a=-1. 1600 13.y= (x>0) 【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：80×20=1600， 小齿轮每分钟转过的总齿数为y, 根据题意得：y=1600」 1600 整理得y= x 由齿数的实际意义可知x>0, 因此，y关于r的函数表达式为y=160(x>0) 14.3 【详解】解：，四边形OAPB是正方形， .OB=04- SE方形OAPR=OA:OB=3 k :点p在双曲线y=x上， k=3 又双曲线在第三象限， .k=3 15.c<a<b 【详解】解：~+2k+2=(k+1+1≥1 :反比例函数y= k2+2k+2 x (其中k是任意实数)的图象位于一、三象限，且在每个象限 内y随x的增大而减小， :点4-3,0，C(-2d在第三象限，点 B(1,6 在第一象限， .a<0,c<0,b>0, -3<-2, .c<a, ..c<a<b 16.-1<x<0或x>1 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点A、 B也关于原点对称. 已知点A横坐标为1，因此点B横坐标为-1. :x-。>0,即找正比例函数y=:值大于反比例函数)值时x的范围。 b 观察图象可得：当-1<x<0时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足心> x b 当x>1时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足心> 因此不等式的解集为1<x<0或x>1. 17.6.5 【详解】解：如图，连接OA,OB,设AB与y轴交于点C, B y= 轴， X.·AB‖x SAPAR=SAOAB AB⊥y 轴， 点4，B分别为反比例函数>0)与=’(：<0叭图象上的点。 1 S0c=5×4=2,S0c=7×9=4.5, 2 2 ..S.PAR=S.OuB =2+4.5=6.5 18.3 【详解】解：如图，连接OA、OB,设AB交y轴于点D, ,AB∥x轴，点C在x轴上， .AB∥OC, 点C、点O到直线AB的距离相等， S.ARC=S.408 S.ABc=2 ∴.S40B=2 ~点B在反比例函数y=一x的图象上，点4在反比例函数y=x的图象上，且图象在第三 象限， 2 ，2 由图可知 S.408=S.DmO+SAOD 1k=2 22 解得k=3」 19.6 k 【详解解设C. 其中b>0, 边BC经过原点O,且B,C在反比例函数y=图象上， ·点B与点C关于原点对称， 可月 且O为BC中点， :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC, 设(a0) 其中a<0。 :n-,=。-%-y=%-ya 。a=b-(创%0-会（制 2k p=a+2b:yo=b: :点D在反比例函数y=图象上， a+2训装-， k>0, ∴.2(a+2b)=b 2a=-36,即5=-号0 连接OD, VA D 四边形 是平行四边形 ABCD .AD∥BC,AD=BC 点O到AD的距离等于平行四边形ABCD边BC上的高，设为h, .S.w-AD-h-BC.h-S.uc 2 2 2 S3ABCD=18 .S.AOD=9 又：S,4om=2 -ak=9 b 将6=-子a代入上式得-名a :k=9 2 .k=6, 1 20.4051 B B2 B3 ..B 【详解】解：分别过点，， 8作x轴的垂线，垂足分别为G,G,G。 B B3 B4 OC&G6之 1） B m 设(m,则C(m,0),C(3m,0),C(5m,0）,…,C.(2mn-m,0) S=1x2mx1=1 1 2 m 1 11 8-2×2m×3 3m3, 11 5m5, 11 7m7’ …,依次类推， 1 1 1 8,-2×2m×7 (2n-1)m2n-1 1 1 .S20m6=2x2026-14051 21.(1)m=-3,n=-2 4 2y<-3或y>0 【详解】(1)解：，函数是反比例函数，n+1=-1,解得n=-2 系数m-1≠0， .m≠1 代入点亿4)：y=(m-)x1=m-1=-4 解得m=-3 经检验，m=-3≠1，符合要求 ∴.m=-3,n=-2 (2)由(1)得函数解析式为y=-4 x x<3且x≠0 当x<0时，少=-40 当0<x<3时，y=-4 0,且y随x的增大而增大， 4 当x=3时，y=-3 4 综上，y<3或y>0 22.(1)k=8 2D60y (3)6 【详解】(1)解：“点C为A0的中点，且点C坐标为 ,2) 点A的坐标为 2,4) 4 将(2,4)代入反比例函数解析式，可得2 解得k=8 （2)解：由(1)可知反比例函数解折式为y=8 BC∥x轴， ..yn=yc=2 8 令y=2,可得x= 2=4 2 ·点B的坐标为 4,2) 设直线AB的函数解析式为y=mr+n [2m+n=4 m=-1 根据题意，可得4m+n=2,解得n=6, AB y=-x+6 直线的函数解析式为 当y=0时，得-x+6=0,解得x=6, 点D的坐标为 6,0) (3)解：如图， VA D 2×6x4-1x 1 可知SoB=S,40n-S,00= ×6×2=12-6=6 2 5 80 23.(1)y 4x,y= x (2)即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室 (3)这次消毒有效 【详解】(1)解：药物燃烧时，0≤x≤8，y关于x的函数是正比例函数，设y=x, 代入®10)得10=8，解得k= 4 5 .y=4: 药物燃烧完后，x>8,y关于x的函数是反比例函数，设y- x 代入(8,10)得10=8，解得K=80 y=80 5 药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y=4;药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 80 y=9 5 80 故答案为：y=4x,y= x· (2)解：结合实际，令y-8 8 中y≤1.6，即 ≤1.6，结合x>8解得x≥50： 答：即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室； 5 5 (3)解：把y=25代入y=4x得y=4x=25,解得=2， 把y=25代入y=80复y=80 x得ys 2.5,解得x=32' .32-2=30>25 所以这次消毒有效。 24.(1) 解：根据表格，可得函数图象如图所示： AFN 300 200 100 2345m 图2 (2)P=300 ,当OA的长增大时，拉力F是减小， 根据图象可得F是I的反比例函数， 设反比例函数解析式为 Fs 1 把030 代入可得k=300, 所以解析式为F=30 当OA的长增大时，拉力F是减小.理由如下： :F1=300 F=300 1 :k>0. .在第一象限内，F随的增大而减小， 即当OA的长增大时，拉力F是减小： (3) 解：小益能成功，理由如下： 由题意得， OA的最大长度为OA=AB-OB=8m, 当1=8时，F-300=37.5w 8 用40N的拉力， .40>37.5, 小益能成功 25.(1)y=-x+7 、35 (2)2 (3)点E的坐标为 ,5)或B,4) 【详解】（1)解：“8(6)在反比例函数y= x上， .k=1×6=6. 6 反比例函数的表达式为y= x' 把1(m6 代入，得m=1, :4化6) 设直线AB的解析式为y=x+b, [6k+b=1 [k=-1 则k+b=6,解得b=7, .直线AB的解析式为y=-x+7: (2)由(1)可知：直线AB的解析式为y=-x+7: 当x=0时，y=7, ∴直线B与轴的交点山的坐标为0，)， 4,6)B(6,1) 六610B的面积=Suw-Sa,=分×7x6- 1 35 ×7×1= 2; 76】 m,- (3)设点E的坐标为m,-m+7),则点F的坐标为m1≤m≤6， :EF=-m+7-6 m 4,6),AD上轴于点D, .AD=6」 :EF=4D=2,即m+7-6-2, 3 m 解得：%=2，仍，=3 ÷点B的坐标为2,5)或B4) M B N 26 【详解】(I)解：~四边形ABCD是矩形， D B C:AD=BCAB=CD∠B=∠D=90° 在Rt△ABC和RtAADC中， AB=CD ∠B=∠D BC=AD' ∴.RtAABCS≌RtAADC(SAS) 矩形是勾股四边形， 故答案为：是： (2)证明：①略： ②解：由(2)可知， A(-2,3)B(3,-2）P(-3,0) 设点9的坐标为 x,y) ①如图，当RtAABPS≌RtAQBP时， AP=OB AP∥OB 3-(-2)=x-(-3) x=2 3-(-2)=0-y,解得： y=-5, ∴.2(2-5) ②t如图，当RtAABPS≌RtABAC犯时， AP=QBAP∥QB .∫x-(-2)=3-(-3) x=4 3-y=0-（-2),解得： y=1, ∴0(4,1) ③如图，当RtAABPS≌RtAABQ时，设直线AB与x轴交于点C,过点A作AE⊥x轴于点 B,作1Fx轴，过点Q作QFL4于点R,则F(,3) :∠BAP=∠BAQ AP=AQ AB:y=-x+1 直线 令y=0,则-x+1=0,解得：y=1, ∴.C1,0) :A(-2,3)AE1x轴， E(-2,0) AE=3,CE=3,PE=1, :∴△AEC是等腰直角三角形， ∠EAC=∠ACE=45°， :AF∥x轴， .∠BAF=∠ACE=45°， ∴.∠EAC=LBAF, ∴.∠BAP-∠EAC=LBAQ-∠BAF, :∠EAP=LFA0, 在△AEP和△AFD中， 「∠EAP=∠FAQ ∠AEP=∠AFQ=90° AP=AO ∴.△AEP2△AFQ(AAS) .AF=AE=3.OF=PE=1. ÷-(-2)=3 x=1 y-3=1,解得： y=4, ∴.91,4) ④如图，当RtAABP≌RtAPQA时， .ABI‖PQAB=PO :2-x=3-(3列 ∫x=-8 y-0=3-(-2),解：y=5, 2(-8,5) 综上所述，平面内还存在点Q,使得以A,B,P,Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点 的坐标为2-5》或4，或，4)或85)