1.2 集合间的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的包含、相等、真包含关系及空集概念，通过类比实数相等与大小关系导入，结合具体实例如班级学生组成、三角形类型等，搭建从实数关系到集合关系的认知支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于运用Venn图、对比表格等直观手段培养数学眼光，通过子集个数规律探究、参数问题分类讨论发展数学思维，以符号语言与图形语言结合强化数学语言表达。例如通过“元素个数与子集个数关系”表格总结规律，助力学生提升抽象能力与逻辑推理，教师可借助结构化内容与多样化例题提高教学效率。

1.2 集合间的基本关系 2019人教版 高中数学必修一 两个实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等， 两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 下面我们通过具体例子探究这个问题. 情境导入 观察以下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, D为这个班全体学生组成的集合; ③ E={x| x是两条边相等的三角形}, F={x | x是等腰三角形}; 在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素. 这时我们说 集合A包含于集合B，或集合B包含集合A. (2) (3)中的两个集合之间也有这种关系. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作 ： 读作：“A含于B” (或“B包含A”) 符号语言： B A 韦恩图（Venn图）：用平面上封闭 曲线的内部代表集合. 图形语言： 子集的概念 实数 集合 对比 （3）中集合E中的元素和集合F中的元素相同． 观察下列两个集合 ，并指出它们元素间的关系 （3）E＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝，F＝｛x｜x是等腰三角形｝. 一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何 一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. A(B) 若A⊆B且B⊇A，则A=B. 符号语言： 图形语言： 集合的相等 集合的相等 （1）A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}. 观察下列两个集合 ，并指出它们元素间的关系 1,2,3是集合A中的元素 4，5在集合中B，但不是集合A中的元素 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x ∉A, 就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). A B 符号语言： 图形语言： 真子集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ， 并规定：空集是任何集合的子集。 常用结论： ①空集是任何集合的子集 A ②空集是任何非空集合的真子集 A （A ≠ ） ③任何一个集合是它本身的子集，即 A A ④对于集合A，B，C，如果 A B, 且B C，则A C 空集 空集 都表示没有的意思 都是集合 都是集合 ∅是集合， 0是实数 ∅不含任何元 素，{0}含有 一个元素0 ∅不含任何元素，{∅}是一个集合，它是由集合组成的一个集合，含有一个元素，这个元素是∅ 0 ∉ ∅ ∅ ⫋ {0} ∅ ⫋ {∅} 或 ∅ ∈ {∅} 易错总结 例1 写出集合{a,b} 的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 集合 子集 真子集 {a} {a,b} {a,b,c} 观察与推理——元素个数与子集个数的关系 写有限集合的所有子集时,要注意以下四点:(1)掌握给定集合子集个数的规律.(2)写子集时要按照一定的顺序,一般可按照集合中元素的个数来分类写出,以防重复或遗漏.(3)注意两个比较特殊的集合:空集和集合本身.(4)若集合A含n个元素,则它子集的个数为2n;真子集的个数为2n-1;非空真子集的个数为2n-2. 子集个数方法总结 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1）A={1,2,3} ，B={x|x是8的约数}； （2）A={x|x是长方形} ，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 1. 写出集合{ a,b,c }的所有子集 2. 用适当的符号填空 (1) a ___ {a,b,c}； (2) 0 ___ {x 0}； (3) Ø___ {x +10}； (4) {0,1} ___ N； (5) {0} ___ {x x}； (6) {2,1} ___ {x } 按“没有元素”，“1个元素”，“2个元素”，“3个元素”的顺序写出： 元素与集合的关系 元素与集合的关系 方程没有实数解 集合间的关系 集合间的关系 集合间的关系 集合间的关系 练习 3. 判断下列两个集合之间的关系 (1) A{x x<0}，B{x∣x<1}； (2) A{x∣x3k,k∈N}，B{x∣x6z,z∈N}； (3) A{xN+ ∣x 是 4 与 10 的公倍数}，B{x∣x20m,m∈N+}。 1.理解集合之间包含与相等的含义. 2.能判断给定集合间的关系. 3.在具体情境中了解空集的含义. 4.掌握并能使用Venn图表达集合间的关系. 课堂小结 复习巩固 (2) 若集合 A {x 0}，则 = 1. 选用适当的符号填空 (1) 若集合 A={x|2x−3<3x}，B={x∣x≥2}，则 -4 ___ B，-3 ___ A，{2} ___ B，B ___ A； 1 ___ A，{-1} ___ A，Ø ___ A，{1,-1} ___ A； (3) {x∣x 是菱形} ___ {x ∣ x 是平行四边形}； {x∣x 是等腰三角形} ___ {x∣x 是等边三角形}。 2. 指出下列各集合之间的关系，并用 Venn 图表示 A={x∣x 是四边形}，B={x∣x 是平行四边形}，C={x∣x 是矩形}，D={x∣x 是正方形}。 课堂达标检测 3. 举出下列各集合的一个子集 (1) A={x∣x是立德中学的学生}； (2) B={x∣x是三角形}； (3) C={0}； (4) D={x∈Z∣3<x<30} 4. 在平面直角坐标系中，集合 C={(x,y)∣y=x }表示直线 y=x，从这个角度看， 集合 D= 表示什么？集合 C,D 之间有什么关系？ 综合运用 课堂达标检测 5.(1) 设 a,b∈R，P={1,a}，Q={−1,−b}，若 P=Q，求 a−b 的值； (2) 已知集合 A={x∣0<x<a}，B={x∣1<x<2}，若 B⊆A，求实数 a 的取值范围. 拓广探索 课堂达标检测 新知巩固提升——判断集合间的关系 析：x=3n+1，n∈N x=3k－2，k∈N+ x=3k－2=3(k－1)+1，k∈N+ n=0,1,2,3,… k－1=0,1,2,3,… = 析：x=3n+1，n∈N x=3k－2=3(k－1)+1，k∈Z n=0,1,2,3,… k=…,-2,-1,0,1,2,3,… 析：x=3k－2=3(k－1)+1, k∈Z y=3n+1, k∈Z z=6m+1=3·2m+1, m∈Z 关键：不同集合化为同一形式 课后思考巩固 关键：不同集合化为统一形式 新知巩固提升——由集合关系求参数 m≤-2 a+3=4时，2a－1=1，N={x|1<x<4}.   2a-1=﹣3时，a+3=2，N={x|﹣3<x<2}; 关键： 1.连续数集借助数轴分析 2.考虑真子集是否为空集 3.不等式左右端点值比较 4.判断临界情况是否符合 新知巩固提升——由集合关系求参数   关键：考虑子集为空集的情况 温故而知新 1.集合间的三种关系及性质：包含(子集)、相等、真包含(真子集) 2.考查集合关系的三种题型： 关键：不同集合化为统一形式 关键： 1.连续数集借助数轴分析 2.考虑真子集是否为空集 3.不等式左右端点值比较 4.判断临界情况是否符合 新知巩固提升——由集合关系求参数   关键：考虑子集为空集的情况 新知巩固提升——由集合关系求参数 析：∵A=B，∴ab=6且a=2，解得a=2，b=3. 5 3或0 $