第30章投影与视图 学情自测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 聚焦投影与视图单元核心知识，通过“墙来了”节目、路灯影子、太阳能路灯等生活情境，融合空间观念与几何直观，适配初中数学单元复习学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行投影判断、三视图识别、几何体旋转|结合“凿壁偷光”文化素材，考查概念辨析| |填空题|6/18|投影面积比较、小正方体组合、三棱柱视图|三阶魔方转动表面积计算，培养空间想象| |解答题|8/72|三视图绘制、中心投影应用、太阳能路灯问题|24题分层次解决影子长度与高度，体现模型意识与应用能力|

第30章投影与视图学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】太阳光线是平行光线，属于平行投影，根据平行投影的特点判断即可． 【详解】解：∵太阳光是平行投影，长方形卡纸的两组对边互相平行， ∴平行直线在平行投影下得到的投影仍然互相平行， 因此长方形影子的两组对边依然分别平行，影子一定是对边平行的平行四边形，矩形，正方形都是特殊的平行四边形，都可以形成， 梯形只有一组对边平行，不可能满足两组对边分别平行的特点，因此不可能得到梯形的影子． 2．下列描述正确的是（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．正三棱柱的俯视图为等边三角形 【答案】D 【分析】本题为概念辨析题，考查菱形判定、投影分类、黄金分割定义和几何体三视图的基础概念，逐一辨析选项即可得到结果． 【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线垂直的任意四边形不一定是菱形，故A错误； ∵灯光属于点光源，点光源下的影子是中心投影，平行投影由平行光线形成，故B错误； ∵点C是线段的黄金分割点，题目未说明是较长线段，因此有两种情况，即或，故C错误； ∵正三棱柱上下底面为等边三角形，其俯视图为等边三角形，描述正确，故D正确， 综上，描述正确的是D． 3．将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何体的旋转与俯视图，掌握直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，圆锥的俯视图是圆是解题的关键． 先确定直角三角形绕直角边旋转一周所得的几何体，再分析该几何体的俯视图形状，进而判断选项． 【详解】解：绕直角边旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的俯视图是一个圆． A、是圆且含圆心，符合圆锥俯视图的形状，符合题意； B、是直角三角形，不符合题意； C、是正方形，不符合题意； D、是三角形，不符合题意． 故选：A． 4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图特点可得答案． 【详解】解：A、三视图分别为长方形，三角形，圆，故A选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形，长方形，故C选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，长方形及对角线，故D选项不符合题意． 故选：A． 5．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 6．若一个几何体的主视图、俯视图如图所示，那么它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由俯视图是带对角线的正方形，可知该几何体是正四棱锥；结合主视图是带中线的等腰三角形，可知棱锥的一条侧棱在正面可见，因此左视图也应为带中线的等腰三角形． 【详解】解：由主视图和俯视图可知，该几何体为正四棱锥，其底面为正方形，顶点在底面的投影为正方形中心． 左视图为等腰三角形，且中间有一条可见的棱（实线）． A、三角形无中线，此选项不符合题意； B、三角形有中线，此选项符合题意； C、为矩形，此选项不符合题意； D、为矩形，此选项不符合题意． 7．仓库里有一堆相同的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图． 这堆纸箱可能有（     ） A．7或8 B．8或9 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】根据从正面和左面看到的平面图形，结合从上面看到的图形，可进行求解． 【详解】解：第一种情况：如图所示： （箱）， 第二种情况：如图所示： （箱）， ∴这堆货物可能有10箱或9箱． 8．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质，掌握中心投影的概念找出相似比是解题关键． 分别求出、、，再依据中心投影的概念，根据距离相等推出相似比为，利用相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， ，， 由题意，得，，， 由中心投影的性质，可知，相似比为， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，，故C、D选项错误， 故选：B． 9．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 10．以下说法错误的是（   ） A．三角形的外心到三角形各边的距离相等 B．由平行光线形成的投影叫做平行投影 C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【答案】A 【分析】本题考查三角形外心性质、平行投影与中心投影的定义、切线长定理，需逐一辨析各选项的正误 【详解】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，到各边距离相等的是三角形的内心（角平分线交点），选项A说法错误； B．平行投影的定义是由平行光线形成的投影，选项B说法正确； C．中心投影的定义是由同一点发出的光线形成的投影，选项C说法正确； D．根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，选项D说法正确． 故选A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 12．一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是．这样的立体图形最少需要( )个小正方体，最多可以有( )个小正方体． 【答案】 5 7 【分析】利用从上面看几何体分别画出最少和最多时的正方形的个数，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 最少需要的小正方体：（个） 最多需要的小正方体：（个） 因此这样的立体图形最少需要5个小正方体，最多可以有7个小正方体． 13．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 14．如图，小张、婷婷之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小张、婷婷的身高分别为，，则路灯的高为______． 【答案】 【分析】本题考查中心投影，等腰直角三角形性质，解题的关键是掌握等腰直角三角形性质． 根据人的身高和影长一样长，得到等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质列式求出路灯的高，即可解题． 【详解】解：如图，由题知，在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路灯的高为． 故答案为：． 15．一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面积S是________（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题需要先根据三视图判断出立体图形的形状为半圆柱，然后分别计算半圆柱的各个面的面积，最后将它们相加得到表面积． 【详解】由三视图可知，该立体图形是底面半径为，高为的半圆柱。 计算半圆柱的侧面积：圆柱侧面积公式为（为底面半径，为高），半圆柱侧面积为 这里，所以侧面积为 计算两个半圆的面积：圆的面积公式为，两个半圆可组成一个整圆，面积为 计算矩形的面积：矩形的长为，宽为，面积为 计算表面积：将上述各部分面积相加，可得表面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断立体图形以及立体图形表面积的计算，掌握根据三视图确定立体图形的形状，再分别计算各部分的面积并求和是解题的关键． 16．如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 【答案】 【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而求出答案． 本题主要考查几何体的表面积． 【详解】解：转动了之后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形， 设直角边为x，则斜边为， 则有 ， 得到 由几何关系得：阴影部分的面积为 所以增加的面积为 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 如图所示，即为所求作； 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．分别利用小立方块的个数得出其形状，进而画出从正面和左面看到的形状图即可． 【详解】略 18．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 19．如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体．          (1)在网格中画出这个几何体从三个方向看到的形状图； (2)这个几何体的表面积是________． 【答案】(1) 解：根据题意所作图形如下： (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积，熟练掌握从不同方向看几何体得到的图形的画法是解题的关键． （1）根据从不同方向看得到的形状图的方法进行求解即可； （2）表面积就是从正面、左面、上面看到的图形面积的2倍与几何体中间凹进去的两个面的面积之和． 【详解】（1）略 （2）解：一个小方格的面积为：， 这个几何体的表面积为：． 故答案为：． 20．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从三个方向看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看形状不变，最多可以再添加 个小正方体． 【答案】(1) 下图依次是从正面、左面、上面所看到的形状图， (2)3 【分析】本题考查了三视图，掌握三视图的概念，由三视图还原几何体，是解题的关键． （1）利用三视图的画法在网格中画图即可； （2）把视图还原几何体，再确定能够添加的位置和数量． 【详解】（1）略 （2）解：主视图需满足的几何体是2层4列，左视图需满足的几何体是2层2排，最上层只有2个立方体，保持从正面和从左面看到的形状图不变，即几何体有2层4列2排，最上层只有2个立方体，因此可以添加的是下层前排右边的空缺位置，即最多可以再添加3块小正方体． 如图，在位置1，位置2，位置3，各添加1个小正方体，从正面看和从左面看形状不变，∴最多可以再添加3个小正方体， 故答案为：3 21．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； (2) 【分析】（1）连接，延长交于点P，连接，延长交于点，点P，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 22．综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，； (2)①如图，灯泡P即为所求； ② 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【详解】（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 23．空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 【答案】(1)点到水平地面的距离的长约为173.6cm (2)在水平地面上的正投影的长约为128.5cm 【分析】本题考查了正投影，解直角三角形的应用--仰角和俯角问题，熟悉仰角和俯角的概念，构造出直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点．构造，利用三角函数求出的长，进而求出的长； （2）由图形可知在地面的正投影长即的长，所以求出问题得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 24．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30章投影与视图学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．一张长方形卡纸在太阳光的照射下落在地面上的影子的形状不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 2．下列描述正确的是（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C．若点C是线段的黄金分割点，，则 D．正三棱柱的俯视图为等边三角形 3．将如图所示的绕直角边AC旋转一周，所得几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 5．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．若一个几何体的主视图、俯视图如图所示，那么它的左视图为（    ） A． B． C． D． 7．仓库里有一堆相同的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图． 这堆纸箱可能有（     ） A．7或8 B．8或9 C．9或10 D．10或11 8．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 9．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 10．以下说法错误的是（   ） A．三角形的外心到三角形各边的距离相等 B．由平行光线形成的投影叫做平行投影 C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    12．一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是．这样的立体图形最少需要( )个小正方体，最多可以有( )个小正方体． 13．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 14．如图，小张、婷婷之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小张、婷婷的身高分别为，，则路灯的高为______． 15．一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面积S是________（结果保留π）． 16．如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图是由小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 18．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 19．如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体．          (1)在网格中画出这个几何体从三个方向看到的形状图； (2)这个几何体的表面积是________． 20．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从三个方向看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看形状不变，最多可以再添加 个小正方体． 21．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 22．综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 23．空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 24．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $