2026年九年级数学秋季开学·学情自测卷01（上海专用，沪教版新教材九上第27～28章二次函数+相似三角形）

**基本信息** 聚焦相似与二次函数核心知识，通过铅球运动、垃圾分类利润等实际情境及出入相补原理探究题，检测暑期学习效果，衔接九年级开学学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/24分|相似图形判定（正五边形）、二次函数定义与平移|融入出入相补原理命题判断（第5题），考查推理意识| |填空题|12题/48分|比例尺计算、位似面积比、黄金分割、拱桥水面宽度|设置“再生二次函数过定点”（第17题），培养抽象能力| |解答题|7题/78分|位似图形计算、利润最大化、调和平均线证明、四边形综合探究|创新“派生点/直线”新定义（第24题），结合几何直观与模型意识|

2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．下列各选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、两个直角三角形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个矩形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个等腰梯形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个正五边形所有内角均为，对应角相等；所有边成比例，故一定相似，该选项符合题意； 故选：D． 2．如果，那么 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，利用比例性质，设参数表示a和b，再计算． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选C． 3．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移，抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律是：左加右减、上加下减，按照“左加右减、上加下减，根据抛物线平移的方向和距离，可以得到平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 得到的二次函数的解析式是， 整理得：． 故选： D． 5．以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键 根据矩形的性质以及题干结论得出矩形与矩形对应边成比例，从而得到两个矩形相似；假设的值，根据相似三角形的性质，列出，，的数量关系，从而得到，与的数量关系，然后根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 6．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，， ∴， ∴结论②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴结论③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴结论④正确， ∴正确结论的个数是． 故选：C． 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 【答案】400 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比例尺是解题的关键；根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例，通过比例关系计算实际距离，然后进行单位换算． 【详解】解：设这两地的实际距离是，根据题意得， 解得， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为400． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 10．已知四边形与四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点，其中、、，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键是确定对应边的比例关系．由相似得到对应边成比例，即可求得的长度． 【详解】解：∵四边形与四边形相似， 且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点， ∴， ∵、、， ∴， 即． 故答案为： ． 11．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 12．如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 13．在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线之间距离处处相等，先理解，，以及三角形面积公式，得出，再证明，故，然后结合和共顶点，底边、在同一直线上，高相同，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵，和的高都等于梯形的高（两平行线间距离相等），且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵和共顶点，底边、在同一直线上，高相同， 因此面积比等于底边长的比，即， 故答案为：． 14．若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 15．如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点I， 矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上， ， ， 矩形的长是宽的2倍， ， 是的高， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 的长度是， 故答案为：． 16．已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数表达式是解题的关键． 依题意，设该抛物线表达式为，代入，从而得到抛物线的表达式，根据水面上升3米，则，求得此时对应的横坐标，从而得到此时的水面宽度，进而求得答案． 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 17．对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 【答案】和 【分析】先对抛物线E进行化简得，再令即可求解． 【详解】解： ， 令，解得：或， 当时，，时，， 则抛物线E总过定点和． 18．如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据相似可知三角形重心满足，再根据菱形对角线性质，，进而可知，再根据相似三角形即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接与交于点，则点G为重心， 在菱形中，连接， ∴为的中点， ∴点在的线段上， ∴，, ∴,，， ∴，是的中点， ， ∴， ∴， ∵关于的对称点是, ∴， ∴， ∵菱形的面积为18， ∴， ∵， ∴,， ∴， ， ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，， ，求的长． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ，……（4分） ， ∵，， ∴， ； 的长是．……（10分） 20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【详解】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为：……（5分） （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为……（10分） 21．（10分）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套， ∵， ∴， ∴， 解得：， 答：该超市定制了这款垃圾桶套．……（5分） （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元， ∴， ， ∵且， ∴当时，有最大值， 答：售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．……（10分） 22．（10分）已知，如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，过O作直线，分别交、于点E、F，且． (1)求证：； (2)在统计中，如果三个非零正数a、b、c满足，，那么称c是数a、b的调和平均数．如果三条线段a、b、c．满足，我们不妨称线段c是线段a、b的“调和平均线”，求证：是、的“调和平均线”． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴；……（5分） （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是、的“调和平均线”．……（10分） 23．（12分）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， 在与中，， ， ， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即．……（6分） (2)解：延长交于点，如图所示： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 在与中，， ， ， 即． ∴．……（12分） 24．（12分）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为．……（4分） （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上．……（12分） 25．（14分）在四边形中，点在边上，，点在边上． (1)如图1，若四边形为矩形，且，连接， 求证：； (2)如图2，若四边形为等腰梯形，．请连接并延长，交的延长线于点，连接，如果，求的长； (3)如图3，若四边形为平行四边形，点是中点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，求值． 【详解】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴；……（4分） （2）解：取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∵四边形为等腰梯形，， ∴；……（10分） （3）解：延长，交于点，连接， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．……（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•考试版 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．下列各选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正五边形 2．如果，那么 （    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 5．以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 6．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 9．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 10．已知四边形与四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点，其中、、，那么______． 11．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 12．如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 13．在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 14．若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 15．如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 16．已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 17．对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 18．如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，， ，求的长． 20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 21．（10分）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 22．（10分）已知，如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，过O作直线，分别交、于点E、F，且． (1)求证：； (2)在统计中，如果三个非零正数a、b、c满足，，那么称c是数a、b的调和平均数．如果三条线段a、b、c．满足，我们不妨称线段c是线段a、b的“调和平均线”，求证：是、的“调和平均线”． 23．（12分）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 24．（12分）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 25．（14分）在四边形中，点在边上，，点在边上． (1)如图1，若四边形为矩形，且，连接， 求证：； (2)如图2，若四边形为等腰梯形，．请连接并延长，交的延长线于点，连接，如果，求的长； (3)如图3，若四边形为平行四边形，点是中点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，求值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季八年级开学·学情自测卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1 3 4 6 D C C D C 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 64 7.400 8.(0,-5) 9.19 10.3 11.15-5W5/-55+15 12.2 13.2:3 14.-2 15.24cm 16.4 17.(2,0知1,6) 18.4 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分) 【详解】解：：四边形ABCD与四边形AB'CD'位似， ∴.四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',AB‖AB', .AOAB△OAB,…(4分) ∴OA:OA=AB:AB, :0A=0A,AB=5, 0:04-:4B A"B=23 3: 25 AB的长是3.…(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：若m=n, 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A1,mB(3,n 则 是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：x= 1+3=2 2 故答案为：x=2.…(5分) （2)解：点1m小B(6m在=-上， .m=1-1=0,n=3-1=2. .A1,0八、B(3,2) 将40小B(63,2代入y=a+br+2得： a+b+2=0, 9a+3b+2=2. a=1, 解得b=-3. y=r-x2--- 3_1 故顶点坐标为24…(10分) 21.(10分) 【详解】(1)设该超市定制了这款垃圾桶x套， 56<60 .x>200 .60×200+60×(x-200)×80%=56x 解得：x=300, 答：该超市定制了这款垃圾桶300套.…(5分) (2)设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为'元， :y=(80-56-m)(20+2m） 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-2m2+48m+480=-2(m-7)2+578 .-2<0且0<m<24, 当m=7时，y有最大值， 答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大.…(10分) 22.(10分) 【详解】(1)证明：，EF∥AD,AD川BC, .EF∥AD∥BC ∴△AEOAABC,△DOFADBC,△AODACOB, EO AO FO DO AO DO ∴BCAC,BCDB,COBO' A0 DO AC=BD OE OF BCBC, .E0=F0,…(5分) (2)证明：EF∥AD∥BC, ∴.△BEO∽BAD、 OE BE :.AD AB' .△AEO△ABC, OE AE .BC AB, OEOE_AE BE-AE +BE-1 .AD BC ABAB AB 11 OE OE AD+BC AE+BE=1 即 AB 11 1 OE AD*BC, ..EO=FO. 12 ∴EF=20E,即OEEF, 3/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=1+1 ·EF AD BC, ∴.EF是AD、BC的“调和平均线”，…(10分) 23.(12分) 【答案】(1)证明：AD.BC=BECD, AD CD BE BC 、在RtA4DC与RIBECE中，ZE=∠A=9oC-P,】 ∴.△ADC∽△BEC, .∠ACD=∠BCE,∠ADC=∠EBC 又∠ADC=∠EDB, ∴.∠EDB=∠EBC, 在△EBD与△ECB中，∠EDB=∠EBC,∠E是公共角， ,∴.AEBD∽AECB ED BE BE EC 即BE2=ED·EC.…(6分) (2)解：延长CA、BE交于点H,如图所示： H D B C∠BEC=90° ∴.∠CEH=180°-90°=90° ∴.∠CBH+∠BCE=∠ACD+∠H=90°， .∠ACD=∠BCE. ,∠EBC=∠H, :BC=CH, 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACD=∠BCE, .BH =2BE =2EH, 在RtABH与Rt△BEC中，∠BEC=∠BAH=9O°，∠EBC=∠H, .RtAABH∽RtABEC, AB BH CE BC 即AB·BC=BH·CE=2BE·CE m=3+1 .…(12分) 24.(12分) b 【详解】(1)解：己知函数y=2x2+3,可得a=2,b=0,二次函数对称轴为x= 2a =0，对称轴与x 轴交点4坐标为 0,0) 将A向右平移1个单位得到B, B的横坐标为0+1=1， 根据定义，C横坐标为1，纵坐标为2a=4.即 C(1,4) 设派生直线AC解析式为y=x, 代入C14)得=4. 因此该函数的派生直线解析式为y=4x.…(4分) (2)解：由题意，A是派生直线y=2x-6与x轴的交点，A纵坐标为0， 将y=0代入y=2x-6得0=2x-6, 解得x=3,因此13,0)， 根据定义，B横坐标为3+1=4，因此C横坐标为4， 将x=4代入y=2x-6得y=2, 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此C42) 将Pm代入=2x-6得 m=-4,即P(1,4) 将27，m代入=2x-6得1=8，即(7,8， .PC=V4-)'+(2-(4=35,c0=7-42+8-2y=35 PC_35 C0351 由定义，抛物线对称轴为x=3, C纵坐标为2a=2,得 a=1, 设抛物线解析式为'=-3刃+k P4 在抛物线上，代入得4=1-3)+长 解得k=-8, 抛物线解析式为'=(-3》-8=2-6r+1 将七= 代入抛物线解析式得》=72-6x7+1=8上9。 ，与的纵坐标相等， 因此点Q在抛物线上.…(12分) 25.(14分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为矩形， .AB=CD,BC=AD,BCI‖AD,∠B=∠D=90°， .∠BCA=∠CAD. .BE=3AE,BF=3CF, 6/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE BF ·ABBC ∠B=∠B, ,△BEF∽aBAC, ∴.∠BFE=LBCA, .∠BFE=∠CAD, 又：∠B=∠D=90° △BEFADCA;…(4分) （2)解：取AB的中点H,连接HG,则H=BH= GA D E H .BG⊥DG, :GH-方A8==B别， ∴.∠BGH=∠ABG. ∴.∠AHG=∠ABG+∠BGH=2∠ABG, .∠BFE=2∠ABG, .∠AHG=∠BFE, .AD lI BC, ∴.∠BFG=∠AGE, ∴.∠AHG=∠AGE, 又.∠GAE=∠GAH, .△AGEAAHG, AG AH AE AG' AG2=AE·AH, AG-I AB.AE 2 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 设AB=x' 则6=E, AE=22 BE=3AE. AB=4AE' 即xs4.72 解得*12V2 (负值舍去)， AB=12√2 :四边形ABCD为等腰梯形，AD‖BC, CD=AB=12√2 …(10分) (3)解：延长CB,DE,交于点H,连接AC, B ·平行四边形ABCD ADI‖BC,AD=BC, .△DAEAHBE,△AKDAFKH, AD AE 1 AK AD BH BE-3 FK HF .BH =3AD, ,F为BC的中点， :BF=)BC=D】 2 1 7 HF=34D+4D-24D. AK AD 2 FKHF7 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.AKC AK_2 S.cr&FK 7, .AM∥CK, S.ACK =S.MCK S.KMC S.KFC=2:7 …(14分) 9/9 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂☐ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1[A][B][c][D] 3 [A][B][c][D] 5[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 4 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. 8. 9. 10. 11 12 13 16 18. 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题 12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) A D E E E F B F 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: : 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 O O 数学考试版 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分） : .: 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置 : 上】 1.下列各选项中的两个图形一定相似的是() A.两个直角三角形 B.两个矩形 : C.两个等腰梯形 D.两个正五边形 2.如果a:b=3:4,那么(a+b):a=() A.3:4 B.7:4 C.7:3 D.3:7 % 3.下列函数中，二次函数是() : 尽 B.y-x 1 C.y=x(2x-1) D.y=(x+4)2-x2 : : 4.将二次函数y=(c+1)2-2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析 : 式是() A.y=(x-10)2-5B.y=(x-1)2+1 C.y=(x+3)2+1D.y=(x+3)2-5 5.以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形ABCD对角线AC上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线PO,直线PQ分别与 边ADBC交于点P、Q,直线SR分别与边AB、DC交于点R、S,那么由矩形与矩形RBOO的面积相等可 斟 : PO RO 以得到：POOS=RO.OQ,这个结论通常表示为 000S : D : O O ○ A R : 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 8 命题甲：矩形OQCS与矩形AROP相似. : 命题乙：如果将矩形POSD、矩形OCS、矩形AROP的面积依次记为S、S2、S,那么S,是S,和S的 : 比例中项. : ○ 关于这两个命题，下列判断正确的是() : 试题第1页（共6页） : : ⊙学科网·上好课 A.命题甲是真命题，命题乙是假命题B.命题甲是假命题，命题乙是真命题 C.命题甲、命题乙都是真命题 D.命题甲、命题乙都是假命题 6.如图，已知开口向下的抛物线y=ax+b.x+c与x轴交于点(6,0)，对称轴为直线x=2.则下列结论： ①abc<0:②a-b+c>0:③4c>b:④抛物线上有两点P(s,y)和2(3，y2),若x<2<x2且+x2>4, 则>乃，其中正确结论的个数是（) 6 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.在比例尺为1：5000000的地图上量得两地的距离是8cm,那么这两地的实际距离是 km. 8.二次函数y=-(x-2)-1的图像与y轴的交点坐标为 9.如图，在平面直角坐标系中，把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的面积比为 4 2 A B D 10.己知四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形，并且点A与点E、点B与点F、点C与点G、点D 与点H分别是对应点，其中AB=12cm、CD=16cm、EF=16c,那么GH=cm, 11.点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP且AB=10c,那么BP= cm. 12.如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为 y=- x?+bx+c,如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最 8 高大约为 米 y(米)A Cx(来) 试题第2页（共6页） 学科网·上好课 13.在梯形ABCD中，AD‖BC,对角线相交于点O,如果SBcD=2SAsD,则SBc:SBCD= 14.若将抛物线y=2(x+m)+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m 的值为 15.如图，长方形EDFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上.已知△ABC的边BC 长120cm,高AH为40cm,且长方形DEFG的长DG是宽的2倍，那么DE的长度是 H 16.已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米.如图建立平面直角坐标系xOy, 如果水面上升3米，那么水面宽度减少米 4m -8m 17.对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4,把y=t(x2-3x+2+(1-t)(-2x+4)称为这两个函 数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E,对于t取任何不为零的实数，抛物线 E总过定点 18.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将菱形ABCD沿着EF翻折，使点B恰好与 △ACD的重心G重合.若菱形ABCD的面积为18，则△BEF的面积为 A B 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤) 试题第3页（共6页） 19.（10分)如图，四边形ABCD与四边形AB'C"D是位似图形，点O是位似中心，OA= 0A,4B=5, 求AB的长 年 张 河 游 20.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,m)、B(3,n)在抛物线y=ax2+bx+2上. (1)如果m=n,那么抛物线的对称轴为直线； (2)如果点A、B在直线y=x-1上，求抛物线的表达式和顶点坐标. 封 世 试题第4页（共6页） 21.(10分)垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力.洛阳市某超市计 划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时.每 套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠.己知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套 : : (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套：售价每降低1元.平 均每天可多售出2套，售价下降多少元时.可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ : .… 声 22.(10分)已知，如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC、BD相交于点O,过O作直线EF, 分别交AB、CD于点E、F,且EF∥AD. .: : .: (1)求证：E0=F0; : 2在统计中，如果三个非零正数a、b、c满足，名。+分那么称c是数a6的调和平均数，如果三 袋段a6,满足是台行，我们不防称线度c是线复a的调和平均我，求证，BF是A、BC的 “调和平均线”. : : 试题第5页（共6页） ⊙学科网·上好课 23.(12分)已知：如图，△ABC中，∠A=90°，点D是AB边上一点，过点B作BE⊥CD交CD延长线于 点E,AD·BC=BE.CD E D B (1)求证：BE2=ED.EC; (2)求证：AB·BC=2CE·BE. 试题第6页（共6页） 学科网·上好课 24.(12分)对于函数y=r2+bx+c(a≠0)，对称轴与x轴交于点A,将点A向右平移一个单位得到点B, 使点C与点B的横坐标相等，且点C的纵坐标为2α，则称点C为抛物线的“派生点”，并且将直线AC称为 抛物线的“派生直线”. (1)已知函数y=2x2+3,求该函数的“派生直线”解析式： (2)已知点C为某抛物线的“派生点”，点P(1,m)和2(7，n)在其“派生直线”y=2x-6上，且点P是该抛物线 其派生直线的交点，求的值，并判断点巴是否在抛物多 试题第7页（共6页） 25.(14分)在四边形ABCD中，点E在边AB上，BE=3AE,点F在边BC上. A D A D A D F C 图1 图2 图3 (1)如图1，若四边形ABCD为矩形，且BF=3CF,连接EF、AC, 兵 求证：△BEFP△DCA: (2)如图2，若四边形ABCD为等腰梯形，AD‖BC.请连接FE并延长，交DA的延长线于点G,连接BG, 如果BG⊥GD,∠EFB=2∠GBA,AG=6,求CD的长； 张 (3)如图3，若四边形ABCD为平行四边形，点F是BC中点，连接DB、AF交于点K,连接CK,过点A作 AM∥CK交DK于点M,连接CM,求Sauc:Sk值. 河 游 斑 性 .................O 试题第8页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学·学情自测卷 数学•考试版 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上】 1．下列各选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正五边形 2．如果，那么 （    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（   ） A． B． C． D． 5．以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 6．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 8．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 9．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 10．已知四边形与四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点，其中、、，那么______． 11．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 12．如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 13．在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 14．若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 15．如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 16．已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 17．对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 18．如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，， ，求的长． 20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 21．（10分）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 22．（10分）已知，如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，过O作直线，分别交、于点E、F，且． (1)求证：； (2)在统计中，如果三个非零正数a、b、c满足，，那么称c是数a、b的调和平均数．如果三条线段a、b、c．满足，我们不妨称线段c是线段a、b的“调和平均线”，求证：是、的“调和平均线”． 23．（12分）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 24．（12分）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 25．（14分）在四边形中，点在边上，，点在边上． (1)如图1，若四边形为矩形，且，连接， 求证：； (2)如图2，若四边形为等腰梯形，．请连接并延长，交的延长线于点，连接，如果，求的长； (3)如图3，若四边形为平行四边形，点是中点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，求值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $