2026年九年级数学秋季开学学情自测卷02（上海专用，测试范围：新教材沪教版五四制九上二次函数+八年级内容）

**基本信息** 2026年秋季九年级开学数学学情自测卷，聚焦沪教版八年级知识与九年级二次函数衔接，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查抽象能力、几何直观及模型意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|函数增减性、二次函数性质、图像平移|结合图像辨析考查抽象能力| |填空题|11/44|抛物线顶点坐标、多边形内角、菱形面积|通过几何图形性质考查空间观念| |解答题|7/82|反比例与正比例综合、二次函数喷水装置应用、平行四边形与菱形证明|23题二次函数与几何综合考查推理能力，22题行程问题培养模型意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 1 3 U 6 C C B A 二、填空题：本题共11小题，每题4分，共44分. 7.(4,3) 8.1或3 9.四 10.(0,-) 11.(2,1) 12.> 13.144° 14.45°145度 15.18V3 16.7.5 17.x≤-4或x≥-1 三、解答题：本题共7小题，第18-20题每题10分，第21-22题12分，第23-24题14分，共82分. 18.本题共10分 【详解】(1)解：y与x成反比例，z与y成正比例， 设少 x’z=y9 1 当x=8时，y=2 1 k 28 ∴.k=4, 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=4 1 当y3时，2=-2 -2=3, 1 .n=-6. .z=-6y, ,即2s、24 2=-6x4 .6分 （②)解：将r=16代入2=24 43 得z=16 2 …10分 19.本题共10分 【详解】(1)解：由题可得，点A的坐标为(0,2)，该抛物线的顶点为(4,3.6)， 设该抛物线的顶点式为y=a(x-4)2+3.6, 把点代入得2=16+36解a=0 该腿物线的面数表达式为y=k-+36=-012408x+2。…5分 (2)解：令y=0得0.1x2+0.8x+2=0 两边同时乘以-10得x2-8x-20=0, 因式分解得（x-10)(x+2)=0, 解得x=10,七3=-2， 点B的坐标为(10,0)， ∴.水柱落地点与雕塑OA的水平距离为10m.…10分 20.本题共10分 (1)3..3分 2 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 7分 (3)0<x<3..10分 21.本题共12分 (I)证明：如图所示，连接AC交BD于点O, A D E B P ,四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC. 又，AE=CE,OE=OE, :.△AOE≌aCOE(SSS), .∠AQE=∠CQE, .∠AOE+∠COE=180°， ∴.∠A0E=∠COE=90°， .AC⊥BD 平行四边形ABCD是菱形： (2)解：如图所示，连接AC交BD于点O, A D .6分 B P 由(1)得四边形ABCD是菱形， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C=AC=3.BC=AB=5.BD=20B.ACL .OB=BC2-OC2=4, BD=8: 设点A到BC的距离为h, S菱形HacD=BCh=7ACBD 1 .5h=5×6×8 2 :hs24 5 即6=方4-号0到.l2分 22.本题共12分 【详解】(1)解：由题意得，y=10x(x≥0)， 当x≥0.6时，2=25(x-0.6)=25x-15,4分 (2)解：由题意得10x=25x-15,解得x=1, .10x=10. 答：当乙追上甲时，他们离出发地的路程是10千米：…8分 1 (3)解：当乙车没有出发时，则10x=5,解得x= 2 当乙车出发，且两车没有相遇，则10x-(25x-15)=5,解得= 3 4 当乙车出发，且两车相遇后，则25x-15-10x=5:解得x=3, 2 4 综上所述，x=2或x=3或x=3, 2 4 答：当甲出发)小时或小时或3小时时，甲、乙两车相距5千米.…12分 23.本题共14分 【详解】(1)解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-l,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C(0,-3), 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+c=0 将点，点，点的坐标分别代入得： 9a+3b+c=0 AB C c=-3 a=1 解得： b=-2 c=-3 二次函数表达式为y=x2-2x-3;…4分 (2)解：如图，过点M作y轴的平行线交直线BC于点P,连接MC、MB, A A B M 「0=3k+t 设直线BC的解析式为y=+1,将点B'点c坐标分别代入，得(=-3， k=1 解得： t=-3 ·直线BC得解析式为y=x-3, 设M(m,m2-2m-3),P(m,m-3), 则PM=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m S.BMC =S.BMP+S.CMP -xPx(-xe) =2x←m2+3m）小x3 1 8 3 :2 <0 3 315 .当m= 27 时，aMBC面积有最大值8，此时点M的坐标为2一4： …8分 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：存在点M,使以B、CM、N为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：B(3,0),C(0,-3), 设M(m,m2-2m-3),N(m,0), 当BC为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， x8+xc=xM+xN 由中点坐标公式可得： yB+yc=yu +yN' [m+n=3 m2-2m-3=-3 m=0 [m=2 解得： n=3 (不合题意，舍去)或n=1· ∴点M的坐标为(2，-3)： X8+XM=xc+XN 当 为对角线时，同理可得： BM ya+yu =yc+yN' m+3=n m2-2m-3=-3' m=0 [m=2 解得： n=3 (不合题意，舍去)或n=5’ ∴点M的坐标为(2，-3)： XB+XN=Xc+XM ,为对角线时，同理可得： BN y8+yN=yc+yu' [3+n=m m2-2m-3-3=0 m=1+√7 m=1-√7 解得： m=-2+V万或1m=-2-万 ∴点M的坐标为1+V7,3)或1-V7,3: 综上所述，点M的坐标为(2，-3)或1+万，3列或-V7,3).…l4分 24.本题共14分 【详解】(1)解：四边形ABCD为矩形，AB=5,BC=4, .AD=BC=4,AB=CD=5,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠可知，BE=AB=5,AP=EP ∴在RtABCE中，CE=VBE2-BC2=V52-42=3, DE=CD-CE=5-3=2, 设AP=EP=x,则PD=AD-AP=4-x, 在Rt△PDE中，可得PD+DE2=PE2, 5 ∴(4-x}2+22=x2,解得x=2, 5 4P=2:4分 (2)证明：如下图，连接AE, H 由折叠可知，AP=EP,BA=BE ∴.BP垂直平分AE,即BP⊥AE, :G、H分别是边AB、BE的中点， ∴.GH为△ABE的中位线， GH,GH∥E, 同理可得W=54E,U∥AE, .GH=J,GH∥J. ∴四边形GHW为平行四边形， G、J分别是边ABPA的中点， ∴.GJ为△ABP的中位线， GH∥PB, GH∥AE,BP⊥AE, .GJ⊥GH, .∠JGH=90°， 四边形GHW是一个矩形：8分 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：分两种情况讨论： 情况1，当点F在AD下方时，如下图，连接PF, D B 由折叠可知，AP=PE,∠E=∠A=90°=∠D」 .AP=DF, ∴.PE=DF, 又，PF=FP, RtAPDFRtAFEP(HL). ∴PD=FE, 设AP=x,则DF=AP=x, .FE=PD=4-x,CF=5-x, .BF=BE-FE=5-(4-x)=x+1. 在Rt△BCF中，可得BC2+CF2=BF2 10 ÷4+5-x=(x+1,解得x=3: 10 二线段4p的长度为3：…分 情况2，当点F在AD上方时，如下图，连接PF, P D E B C 由折叠可知，AP=PE,∠PEB=∠A=90°， :.∠PEF=180°-∠PEB=90°，∠ADF=180°-∠ADC=180°-90°=90° ∴.∠PEF=∠ADF, 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP=DF, .'PE =DF, 又，PF=FP, .RtAPEF≌RtAFDP(HL), ∴.PD=FE, 设AP=y,则DF=AP=y, :.FE=PD=4-y,CF=CD+DF=5+y, :.BF=BE+FE=5+(4-y)=9-y, 在Rt△BCF中，可得BC2+CF2=BF2, 10 4+(5+y)=(9-y)2,解得y= 7 10 “线段4P的长度为7： 10.10 综上所述，线段4P的长度为3或7.…14分 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级全部内容+九年级上册第27章二次函数 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 2．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 3．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 4．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 5．已知点、、都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数所在象限和增减性，再结合的取值范围比较的大小即可． 【详解】解：∵中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， ∵在第一象限内随增大而减小，且， ∴， ∴． 6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、一次函数图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； B、一次函数图象过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象应过在二、四象限，故本选项不符合题意； C、一次函数图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； D、一次函数图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题：本题共11小题，每题4分，共44分． 7．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 8．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 9．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 10．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 11．点向右平移4个单位长度再向下平移2个单位长度后所对应的点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点的平移规律“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”计算即可． 【详解】解：点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后所得点的坐标是，即． 12．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 13．一个十边形的每一个外角都相等，那么它的一个内角的度数为_____________度． 【答案】144° 【分析】利用十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出每个内角的度数． 【详解】∵一个十边形的每个外角都相等， ∴十边形的一个外角为360÷10=36°． ∴每个内角的度数为 180°-36°=144°． 故答案为：144°． 【点睛】此题考查多边形的外角性质及内角与外角的关系．解题关键在于掌握多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角． 14．在平行四边形中，，则____________． 【答案】/度 【分析】利用平行四边形对边平行、对角相等的性质，结合已知角度比例关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由两直线平行，同旁内角互补，可得， ∵， 设，则， 可得方程 ， 解得， 即， 又∵， ∴． 15．如图，菱形ABCD中，，边，则菱形ABCD的面积是______． 【答案】 【分析】连接BD，过点D作DE⊥AB于点E，根据已知条件可得△ABD是等边三角形，在Rt△ADE中利用勾股定理，求出DE的长，利用菱形面积等于边长×边上的高求解． 【详解】解：连接BD，过点D作DE⊥AB于点E．如图所示， ∵四边形ABCD是菱形． ∴AD=AB=6． ∵∠A=60°． ∴△ABD是等边三角形． ∵DE⊥AB． ∴AE=AB=3． 在Rt△ADE中，DE=， ∴S菱形ABCD=AB•DE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与等边三角形的判定，掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 16．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段OB，垂足为点E，若，则AB=____________． 【答案】7.5 【分析】首先利用矩形的性质得到OA的长度，然后利用线段的垂直平分线的性质得到AB=OB=OA即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴AO=OB=OC=OD， ∵BD=15， ∴OB=OA=BD=7.5， ∵AE垂直平分线段OB， ∴AB=OA， ∴AB=OB=OA， ∴AB=7.5． 故答案为：7.5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 三、解答题：本题共7小题，第18-20题每题10分，第21-22题12分，第23-24题14分，共82分． 18．已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设把时，代入，求得的值；设，把，，代入计算求出的值，即可确定与的函数解析式；将代入，可求得与的函数解析式， （2）将代入（1）中的解析式再计算即可． 【详解】（1）解：∵y与x成反比例，z与y成正比例， ∴设，， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ，即. （2）解：将代入， 得． 19．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 20．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察表格中数据特点即可； （2）描点连线即可； （3）当时，即在上方的图像所对应的的取值． 【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同， ∴与时，的值相同为3， 故； （2）解：略； （3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围． 21．如图，在平行四边形中，P是边上的一点（点P不与B、C重合），连接，交对角线于点E，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，设长度为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)证明：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得到，证明，推出，据此可证明平行四边形是菱形； （2）连接交于点O，由菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长，得到的长，设点A到的距离为h，利用等面积法求出h的值，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接交于点O， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 设点A到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．甲骑自行车以的速度匀速行驶，后，乙骑摩托车从同一地点出发与甲同线路且同向匀速行驶，速度为．在甲、乙持续行驶的过程中，设甲出发后，甲离开出发地的路程为，乙离开出发地的路程为．甲、乙行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．试回答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)当乙追上甲时，他们离出发地的路程是多少千米？ (3)当甲出发多少小时时，甲、乙两车相距5千米？（请直接写出答案） 【答案】(1)， (2)10千米 (3)当甲出发小时或小时或小时时，甲、乙两车相距5千米 【分析】（1）根据路程速度时间列式求解即可； （2）令，解方程即可得到答案； （3）分三种情况：乙车没有出发、乙车出发，且两车没有相遇和乙车出发，且两车相遇后，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， （2）解：由题意得，解得， ∴， 答：当乙追上甲时，他们离出发地的路程是10千米； （3）解：当乙车没有出发时，则，解得， 当乙车出发，且两车没有相遇，则，解得， 当乙车出发，且两车相遇后，则，解得， 综上所述，或或， 答：当甲出发小时或小时或小时时，甲、乙两车相距5千米． 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有面积最大值，此时点的坐标为； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 24．如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如下图，连接， 由折叠可知，， ∴垂直平分，即， ∵G、H分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵G、J分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形； (3)存在，线段的长度为或 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，再由折叠可知，，在中，由勾股定理解得的长度，进而可得；设，则，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （2）连接，易得垂直平分，再根据三角形中位线的性质可得，进而证明四边形为平行四边形；再证明，即可证明结论； （3）分点在下方和点在上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴， 由折叠可知，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论： 情况1，当点在下方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为； 情况2，当点在上方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为． 综上所述，线段的长度为或． 试卷第2页，共21页 试卷第1页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材沪教版八年级全部内容+九年级上册第27章二次函数 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 3．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 5．已知点、、都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共11小题，每题4分，共44分． 7．抛物线的顶点坐标为_______ 8．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 9．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 10．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 11．点向右平移4个单位长度再向下平移2个单位长度后所对应的点的坐标是______． 12．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 13．一个十边形的每一个外角都相等，那么它的一个内角的度数为_____________度． 14．在平行四边形中，，则____________． 15．如图，菱形ABCD中，，边，则菱形ABCD的面积是______． 16．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段OB，垂足为点E，若，则AB=____________． 17．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 三、解答题：本题共7小题，第18-20题每题10分，第21-22题12分，第23-24题14分，共82分． 18．已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 19．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 20．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 21．如图，在平行四边形中，P是边上的一点（点P不与B、C重合），连接，交对角线于点E，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，设长度为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域． 22．甲骑自行车以的速度匀速行驶，后，乙骑摩托车从同一地点出发与甲同线路且同向匀速行驶，速度为．在甲、乙持续行驶的过程中，设甲出发后，甲离开出发地的路程为，乙离开出发地的路程为．甲、乙行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．试回答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)当乙追上甲时，他们离出发地的路程是多少千米？ (3)当甲出发多少小时时，甲、乙两车相距5千米？（请直接写出答案） 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 24．如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材沪教版八年级全部内容+九年级上册第27章二次函数 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1.给出下列函数：⊙=3，⊙y=3x+2,0y=是，。y=2x,其中符合条件当x>1时，函数值) 随自变量x增大而增大”的是() A.①@ B.②④ C.①④ D.②③ 2.对于二次函数y=-2(x-3)+1,下列说法中正确的是（) A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.当x<3时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线x=3 3.将抛物线y=x2+2x向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是() A.y=x2+1 B.y=(x-1) C.y=(x+3)2 D.y=(x+2)2+1 4.二次函数y=ax2+bx+c的a>0,b>0,c>0,那么其图象必过() A.第二、三、四象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二象限 D.第一、二、三象限 5.已知点A5,)、B(5,乃，)、C(x,y)都在反比例函数y=6的图象上，若x<0<,<3,则”为为的 大小关系是() A.y<y2<yB.4<y3< C.y3<2< D.y3<y<y2 6.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=心与一次函数y=-m的图象可能是() 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题：本题共11小题，每题4分，共44分： 7抛物线y=-4+3的项点坐标为一 8.抛物线y=x2+x+-2与x轴交于A,B两点，且AB=√5，则m的值为 9.若二次函数y=ax的图象开口向上，则直线y=r+a不经过第 象限， 10.将抛物线y=x2-2向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是 11.点A(-2,3)向右平移4个单位长度再向下平移2个单位长度后所对应的点的坐标是 12.已知点A(x1,),B(x2,)在抛物线y=-x2-1上，且x3>:>0,则4 乃（填><”或“=”）. 13.一个十边形的每一个外角都相等，那么它的一个内角的度数为 度 14.在平行四边形ABCD中，∠A:∠B=1:3,则∠C= 15.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，边AB=6,则菱形ABCD的面积是 D 16.如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE垂直平分线段OB,垂足为点E,若BD=15, 则AB= D 0 E B 17.如图，二次函数y=(x+2)+m的图像与y轴交于点C,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称 2/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴对称，一次函数y=kx+b的图像经过该二次函数图像上的点A(-1,0)及点B,则满足(x+2)+≥+b的 x的取值范围是 三、解答题：本题共7小题，第18-20题每题10分，第21-22题12分，第23-24题14分，共82分. 18、已知v与x成反比例，与y成正比例、又当x=8时，y=方：当y=写时，2=2. (1)求z关于x的函数表达式： (2)当x=16时，求z的值. 19.某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕塑OA的高度为2m,当喷 出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m.以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直 角坐标系（如图）： B主 (1)求水柱所在抛物线的函数表达式： (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离. 20.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的 探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： -2 -1 0 3 4 … -2 -1 0 1 2 3 4 为 P 3 0 -1 0 m P 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上述表格中：m= (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x,与x之间的关系.在同一平面直角坐标系xOy中，已经 画出y与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象； (3)通过观察图象可知，当4>y2时，x的取值范围 21.如图，在平行四边形ABCD中，P是边BC上的一点（点P不与B、C重合），连接AP,交对角线BD于 点E,连接CB,且AE=CE, D B P (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)连接AC,若AB=5,AC=6,设BP长度为x,△ABP的面积为y,求y关于x的函数表达式，并写出函 数的定义域 22.甲骑自行车以10a/h的速度匀速行驶，0.6h后，乙骑摩托车从同一地点出发与甲同线路且同向匀速行 驶，速度为25kmh.在甲、乙持续行驶的过程中，设甲出发后xh,甲离开出发地的路程为km,乙离开 出发地的路程为y,k.甲、乙行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示.试回答下列问题： ←y/km 10 8 00.20.40.60.81.0x/h 4/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)分别求出片、与x之间的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)当乙追上甲时，他们离出发地的路程是多少千米？ (3)当甲出发多少小时时，甲、乙两车相距5千米？（请直接写出答案） 23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=m2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴 交于点C(0,-3),M是抛物线上的一个动点。 备用图 (1)求该二次函数的解析式， (2)若点M在直线BC的下方，则当点M运动到什么位置时，△MBC的面积最大？请求出此时点M的坐标以 及△MBC的面积的最大值. (3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M,使以B、C、MN为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请 直接写出点M的坐标：若不存在，说明理由. 5/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.如图1，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点P是边AD上一动点，连接BP,将△ABP沿BP翻折， 点A落在点E处，直线BE与直线CD交于点F. A B 图1 图2 备用图 (I)当点E落在CD边上时，求AP的长度； (2)如图2，在四边形ABEP中，G、H、I、J分别是边AB、BE、EP、PA的中点，求证：四边形GIJ是一个 矩形： (3)点P在边AD上运动过程中，是否存在线段AP与线段DF相等的情况？若存在，请直接写出线段AP的 长度；若不存在，请说明理由. 6/6 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共11小题，每题4分，共44分． 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17. ___________________ 三、（本大题共7个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20．（10分） 21．（12分） 22．（12分） 23.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 24．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 % 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0]0] 0] [0] C0]0]C0] [01 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 C1] 1] 1]1] 1] C11 C1 1] 1 内作答，超出区域书写的答案无 [2 C2] [2 [2 C2] [2] C2] [2 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 [3 [3 [3 C3] [3 C3 3] C3] C3] [3] [4] [4 [41 4] [4 [4 [4] C41 4 [4] 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 [5J [51 [5 [5] [5 [5 [5 [5 5J [5 破。 [6] L61 6] [6 [6 C6- [6 5. 正确填涂 [7] C71 [7 C7 [7 C7] C7] L8] [8 C8] C8J [8 [8 [8 C8] [8] 缺考标记 [9] [9] [9] c9] L9] [9 9] 9] C9] [9] 一、 选择题（每小题4分，共24分） 1[A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 說 二、 填空题：本题共11小题， 每题4分，共44分. 9 10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 箭 三、（本大题共7个小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或 1 演算步骤) 18.(10分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) 21.(12分) A E B 22.(12分) y/km 10 8 6 2 00.20.40.60.81.0h 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) A B 备用图 24.(14分) O A D E F 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页）: 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 4.考试范围：新教材沪教版八年级全部内容+九年级上册第27章二次函数 : 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上， .: 1.给出下列函数： ①y=3x, ②y=-3x+2, =， ④y=2x2,其中符合条件“当x>1时，函数 值y随自变量x增大而增大”的是() : A.①③ B.②④ c.①④ D.②③ : ○ 2.对于二次函数y=-2(x-3)+1,下列说法中正确的是() : A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.当x<3时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴为直线x=3 3.将抛物线y=x2+2x向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是() : A.y=x2+1 B.y=(x-1)2 C.y=(x+3) D.y=(x+2)2+1 ·: : 4.二次函数y=2+bx+c的a>0,b>0,c>0,那么其图象必过() O O A,第二、三、四象限 B.第一、三、四象限 : C.第一、二象限 D.第一、二、三象限 5.已知点A,y)、B,)、C(飞，)都在反比例函数y=6的图象上，若x<0<x3<￥，则片⅓ 的大小关系是() A.<y2<yB.<3<y2 C.y3<y2< D.y3<<y2 6.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=业与一次函数y=x-m的图象可能是(） : : ○ : 试题第1页（共6页） .: : .: 6学科网·上好课 二、填空题：本题共11小题，每题4分，共44分. 7愁物线y北413的顶点坐标为 8.抛物线y=x2+x+-2与x轴交于A,B两点，且AB=√5，则m的值为 9.若二次函数y=ax的图象开口向上，则直线y=心+a不经过第象限. 10.将抛物线y=x2-2向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是一· 11.点A(-2,3)向右平移4个单位长度再向下平移2个单位长度后所对应的点的坐标是」 12.已知点A(x1,),B(x2,2)在抛物线y=-x2-1上，且x2>X>0,则4 y（填“”“<"或"="). 13.一个十边形的每一个外角都相等，那么它的一个内角的度数为 度 14.在平行四边形ABCD中，∠A:∠B=1:3,则∠C= 15.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，边AB=6,则菱形ABCD的面积是 16.如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE垂直平分线段OB,垂足为点E,若BD=15, 则AB=」 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 0 B 17.如图，二次函数y=(x+2)}+m的图像与y轴交于点C,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对 称轴对称，一次函数y=+b的图像经过该二次函数图像上的点A(-1,0)及点B,则满足(x+2)+m≥+b 的x的取值范围是 B 三、解答题：本题共7小题，第18-20题每题10分，第21-22题12分，第23-24题14分，共82分. 18.已知y与x成反比例，：与y成正比例，又当x=8时，y方：当y专时，=-2 (1)求z关于x的函数表达式： (2)当x=16时，求z的值. 19.某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕塑OA的高度为2m,当 喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m,以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面 直角坐标系（如图） B主 (1)求水柱所在抛物线的函数表达式： (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离. 试题第3页（共6页） 20.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的 探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： -2 0 2 4 子 -2 0 2 4 卡 y2 8 0 ~1 0 m 上述表格中：m= 张 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x,为与x之间的关系.在同一平面直角坐标系xOy中，己经 画出为与x的函数图象，请画出乃与x的函数图象： 了 游 (3)通过观察图象可知，当头>y2时，x的取值范围 21.如图，在平行四边形ABCD中，P是边BC上的一点（点P不与B、C重合），连接AP,交对角线BD 于点E,连接CE,且AE=CE. 些 B (1)求证：四边形ABCD是菱形： 席 (2)连接AC,若AB=5,AC=6,设BP长度为x,△ABP的面积为y,求y关于x的函数表达式，并写出 函数的定义域， 试题第4页（共6页) : : 22.甲骑自行车以10ah的速度匀速行驶，0.6h后，乙骑摩托车从同一地点出发与甲同线路且同向匀速行 驶，速度为25kmh.在甲、乙持续行驶的过程中，设甲出发后xh,甲离开出发地的路程为y,km,乙离开 出发地的路程为ykm,甲、乙行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示.试回答下列问题： ◆y/km 10H O 8 6 0.20.40.60.81.0h (1)分别求出、，与x之间的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围： (2)当乙追上甲时，他们离出发地的路程是多少千米？ (3)当甲出发多少小时时，甲、乙两车相距5千米？（请直接写出答案） O : 23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y … 轴交于点C(0,-3),M是抛物线上的一个动点. : O 备用图 (1)求该二次函数的解析式. (2)若点M在直线BC的下方，则当点M运动到什么位置时，△MBC的面积最大？请求出此时点M的坐标 以及△MBC的面积的最大值. (3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M,使以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在， O O : 请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由. 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 24.如图1，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点P是边AD上一动点，连接BP,将△ABP沿BP翻折， 点A落在点E处，直线BE与直线CD交于点F. 图1 图2 备用图 (1)当点E落在CD边上时，求AP的长度： (2)如图2，在四边形ABEP中，G、H、IJ分别是边AB、BE、EP、PA的中点，求证：四边形GIJ是一 个矩形： (3)点P在边AD上运动过程中，是否存在线段AP与线段DF相等的情况？若存在，请直接写出线段AP的 长度；若不存在，请说明理由. 试题第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材沪教版八年级全部内容+九年级上册第27章二次函数 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 3．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 5．已知点、、都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共11小题，每题4分，共44分． 7．抛物线的顶点坐标为_______ 8．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 9．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 10．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 11．点向右平移4个单位长度再向下平移2个单位长度后所对应的点的坐标是______． 12．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 13．一个十边形的每一个外角都相等，那么它的一个内角的度数为_____________度． 14．在平行四边形中，，则____________． 15．如图，菱形ABCD中，，边，则菱形ABCD的面积是______． 16．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段OB，垂足为点E，若，则AB=____________． 17．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 三、解答题：本题共7小题，第18-20题每题10分，第21-22题12分，第23-24题14分，共82分． 18．已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 19．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 20．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 21．如图，在平行四边形中，P是边上的一点（点P不与B、C重合），连接，交对角线于点E，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，设长度为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出函数的定义域． 22．甲骑自行车以的速度匀速行驶，后，乙骑摩托车从同一地点出发与甲同线路且同向匀速行驶，速度为．在甲、乙持续行驶的过程中，设甲出发后，甲离开出发地的路程为，乙离开出发地的路程为．甲、乙行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．试回答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)当乙追上甲时，他们离出发地的路程是多少千米？ (3)当甲出发多少小时时，甲、乙两车相距5千米？（请直接写出答案） 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 24．如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $