第四单元 《加法模型和乘法模型》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年四年级数学上册(人教版·新教材)

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理了加法模型和乘法模型的知识体系，将加法总量模型、乘法单价数量总价模型、速度时间路程模型按“概念-关系-应用”层级呈现，并用对比表格归纳两类模型的核心区别与通用规律。 讲义亮点在于“模型辨析+分层练习”设计，如典例精讲1通过“买两个书包每个52元带100元还差多少钱”问题融合乘法与减法，培养模型意识和运算能力。专项精练涵盖选择、填空、解决问题，易错提醒帮助学生规避混淆部分量与总量等问题，教师可据此实施分层教学，助力不同学生提升应用能力。

第四单元 《加法模型和乘法模型》 典例易错讲义 知识点 1：加法数量关系模型（总量模型） 1. 模型本质 加法模型核心是 “合并求和”：将两个或多个独立的部分量合并，得到对应的总数量，是 “部分与整体” 关系的数学表达。 2. 核心关系式 基础公式：部分量 + 部分量 = 总量 变式公式： 总量 - 一个部分量 = 另一个部分量 总量 - 多个部分量 = 剩余部分量 较小数 + 相差数 = 较大数（相差类延伸） 3. 常见应用场景 合计类：两个班级人数求和、两次购物金额求和、两段路程总长、两天工作量总和等。 剩余类：已知总数量和用掉的数量，求剩下的数量；已知总金额和花掉的金额，求找回的金额。 相差类：已知较小数和两个量的差值，求较大的数量。 4. 典型示例 示例 1：文具店上午卖出文具 120 件，下午卖出 180 件，全天一共卖出多少件？ 分析：两个部分量求和，（件） 示例 2：图书馆共有图书 850 本，借出 320 本，还剩多少本？ 分析：已知总量和一个部分量，求另一部分，（本） 5. 易错提醒 混淆部分量与总量，该用加法时用减法，该用减法时用加法。 多个部分量求和时，漏加其中某个部分，导致结果偏小。 解决相差问题时，搞不清较大数和较小数，加减方向搞反。 知识点 2：乘法模型一：单价、数量与总价 1. 基本概念 单价：每件商品的价格，即单个物品的价钱，单位常为 “元 / 个”“元 / 千克” 等复合单位。 数量：购买商品的多少，即物品的个数、重量、件数等。 总价：购买所有商品的总金额，也就是一共花的总钱数。 2. 核心关系式 基础公式： 变式公式： 总价 ÷ 单价 = 数量 总价 ÷ 数量 = 单价 3. 常见应用场景 购物结算：已知单价和购买数量，计算总花费。 采购预算：已知总预算和商品单价，计算可购买的最大数量。 单价对比：已知总价和数量，计算单价后比较哪种商品更划算。 4. 典型示例 示例 1：每本笔记本 8 元，买 25 本需要多少钱？ 列式：（元） 示例 2：妈妈买 3 千克苹果花了 36 元，每千克苹果多少元？ 列式：（元 / 千克） 5. 易错提醒 概念混淆：误将总价当作单价，或数量与单位不匹配（如单价按每千克标注，数量按克计算）。 变式应用错误：已知总价和数量求单价，误用乘法计算。 单位不统一：单价单位与数量单位不对应，直接计算导致结果错误。 知识点 3：乘法模型二：速度、时间与路程 1. 基本概念 路程：一共行驶或行走的总长度，常用单位为米、千米等。 时间：行驶或行走所用的时长，常用单位为秒、分、时等。 速度：单位时间内行驶的路程，表示运动的快慢，是复合单位，如 “千米 / 时” 读作千米每时，“米 / 秒” 读作米每秒。 2. 核心关系式 基础公式： 变式公式： 路程 ÷ 速度 = 时间 路程 ÷ 时间 = 速度 3. 常见应用场景 普通行程：已知行驶速度和时间，求两地之间的总路程。 时间计算：已知路程和速度，求行驶全程需要的时间。 快慢比较：已知路程和时间，计算速度后比较不同交通工具的快慢。 4. 典型示例 示例 1：一辆汽车每小时行驶 80 千米，从甲地到乙地行驶了 3 小时，甲乙两地相距多少千米？ 列式：（千米） 示例 2：小明步行 15 分钟走了 900 米，他平均每分钟走多少米？ 列式：（米 / 分） 5. 易错提醒 速度的复合单位写错或读错，误将速度单位写成普通长度单位。 时间单位不统一：速度是 “千米 / 时”，时间却按分钟计算，未先换算单位。 变式公式用错：已知路程和时间求速度，误用乘法计算。 混淆路程与速度的概念，误将路程长短直接当作速度快慢。 知识点 4：两类模型的辨析与通用规律 1. 乘法模型的通用结构 两类乘法模型本质完全一致，都可以归纳为“每份数 × 份数 = 总数” 的通用模型： 单价对应 “每份的价钱”，数量对应 “份数”，总价对应 “总钱数”； 速度对应 “每单位时间的路程”，时间对应 “份数”，路程对应 “总路程”。 2. 加法模型与乘法模型的核心区别 加法模型：合并的是不同的部分量，各部分大小可以不同，核心是 “合起来”。 乘法模型：累加的是相同的每份数，每份大小一致，核心是 “几个几”，是相同加数求和的简便运算。 3. 方法选择判断技巧 求 “几和几合起来一共是多少”，用加法模型； 求 “几个几一共是多少”，用乘法模型。 4. 易错提醒 看到 “一共” 就用加法，忽略 “几个相同数量求和” 应该用乘法。 混淆每份数和份数，导致乘法算式中因数位置颠倒（虽结果不变，但不利于模型理解）。 知识点 5：模型的综合应用与拓展题型 1. 两步计算复合问题 解题思路：先利用对应模型求出中间量，再通过加法或减法求出最终结果。 示例：商店运来 12 箱苹果，每箱 30 元；还运来 8 箱梨，每箱 25 元。这批水果一共价值多少钱？ 解题步骤：先分别算出苹果总价和梨的总价，再用加法求和。 2. 归一问题（基础版） 题型特征：先求出单一量（如单价、速度、每小时工作量），再求对应数量的总量。 解题关键：先用除法求出每份数，再用乘法计算几份的总数。 示例：3 支钢笔 27 元，买 8 支同样的钢笔需要多少钱？ 先求单价：（元），再求总价：（元） 3. 归总问题（基础版） 题型特征：已知总量，改变每份数的大小，求对应的新份数。 解题关键：先用乘法求出不变的总量，再用除法计算新的份数。 示例：每本书 6 元，正好可以买 4 本；如果每本 8 元，可以买几本？ 先求总钱数：（元），再求数量：（本） 4. 易错提醒 复合问题中数量关系混乱，搞不清先算什么、后算什么。 归一问题中求错单一量，导致后续全部计算错误。 归总问题中总量计算错误，最终份数结果偏差。 常考易错 题型1：总量与分量之间的关系 【典例精讲1】新学期开始了，小华想为困难同学买学习用品，小华想买两个书包，每个书包52元，小华带了100元，还差多少钱？ 【答案】 4元 【分析】先用52加上52，求两个书包的总价钱，再用总价钱减去小华带的钱数，得到还差的钱数。 【详解】（元） （元） 答：还差4元。 常考易错 题型2：经济问题 【典例精讲2】小李来到商场的二楼儿童玩具区，从玩具店老板处了解到：近期批发回了450辆遥控汽车，已经卖出了320辆。 (1)已经卖出的遥控汽车每辆35元，共收入多少元？ (2)剩下的遥控汽车每辆卖25元，还能收入多少元？ (3)如果每辆遥控汽车的成本是30元，那么玩具店是赚了还是亏了？ 【答案】(1)11200元 (2) 3250元 (3) 赚了 【分析】（1）已知卖出的遥控汽车的单价35元、数量320辆，用单价乘数量即可求解； （2）先用批发回的汽车总数减去卖掉的数量，得到剩余的数量，再用剩余的数量乘单价25元，即可求解； （3）可以先计算成本总价，用成本价30元乘总数450辆计算得到，再将已经卖出的320辆遥控汽车的总价与剩下准备25元卖出的遥控汽车总价相加，最后两个价格相比较，若成本总价低，则赚了，若成本总价高，则亏了。 【详解】（1）（元） 答：共收入11200元。 （2）（辆） （元） 答：还能收入3250元。 （3）（元） （元） 答：那么玩具店是赚了。 常考易错 题型3：基础行程问题 【典例精讲3】甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的少60千米。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】 90千米 【分析】已知总路程和剩下路程与已行路程的差，用总路程加差得到已行路程的倍，先求出已行路程，再除以行驶时间即可算出平均速度。 【详解】 ＝ 540÷2÷3 ＝270÷3 ＝ 90（千米/小时） 答：这辆汽车平均每小时行驶千米。 专项精练 1．一辆汽车和一列动车同时从甲地开往乙地，知道下面条件中的（    ）就可以求“甲、乙两地相距多少千米”。 ①汽车每小时行90千米 ②距离乙地还剩148千米 ③动车的速度是汽车速度的2倍 ④汽车已经行了3小时 A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】要算甲乙两地的总距离，根据小学路程公式：总路程＝已经行驶的路程＋剩下没走的路程。 我们看条件：用①汽车每小时行90千米、④汽车已经行了3小时，就能算出汽车已经走的路程：90×3＝270千米；再加上②距离乙地还剩148千米，把两部分加起来270＋148＝418千米，就得到甲乙两地总距离了。据此判断所需条件。 【详解】已行驶路程：（千米） 总路程：（千米） 条件中的①②④，就可以求“甲、乙两地相距多少千米”。 2．超市运来一批大米，卖了180千克，还剩240千克。这批大米原来一共有多少千克？正确的算式是（    ）。 A．240－180 B．180＋240 C．240－180＋240 D．240×180 【答案】B 【分析】求大米原来的总质量，就是把卖出的质量和剩下的质量两部分合起来，用加法计算。 【详解】超市运来一批大米，卖了180千克，还剩240千克。这批大米原来一共有多少千克？正确的算式是。 3．100元买了5个同样的文具盒，每个文具盒多少元？求的是（    ）。 A．单价 B．数量 C．总价 D．速度 【答案】A 【分析】一共花费的总钱数是总价，购买的物品个数是数量，单个物品的价格是单价，本题已知总价和数量，所求为单价。 【详解】已知总价为100元，购买数量为5个，根据单价＝总价÷数量的关系，求每个文具盒的价格就是求单价。 4．在100米赛跑中，小刚的成绩是15秒，小玉的成绩是16秒，小俊的成绩是13秒，（    ）跑得快。 A．小刚 B．小玉 C．小俊 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据：速度×时间＝路程，可得：路程一定时，谁用的时间越短，则谁跑得越快，据此判断即可。 【详解】因为13＜15＜16，所以同样的路程，小俊用的时间最短，所以小俊跑得快。 答：小俊跑得快。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系，解答此题要明白，相同距离内，时间越短，跑得越快。 5．如图所示，A点是甲乙两地的中点。一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，这辆汽车的平均速度是（    ）千米/时。 A．70 B．80 C．155 D．145 【答案】B 【分析】根据图意，要求汽车的平均速度，根据速度＝路程÷时间，甲汽车行驶的路程为两地距离的一半多15千米，时间为3小时，代入数据计算即可解答。 【详解】450÷2＋15 ＝225＋15 ＝240（千米） 240÷3＝80（千米/时） 【点睛】解决此题的关键是理解题意求出已行的路程，利用好路程、速度和时间三者间的关系。 6．白菜2元一斤，菜心3元一斤，小亮有10元钱，则他可以买（　　） A．1斤白菜3斤菜心 B．2斤白菜2斤菜心 C．2斤白菜3斤菜心 D．4斤白菜1斤菜心 【答案】B 【详解】2×2＋3×2 ＝4＋6 ＝10（元） 答：他可以买2斤白菜2斤菜心。 故答案为：B 【点睛】用两种菜的单价乘斤数再加起来即可得出答案。 7．一列火车平均每小时行驶95千米，从8时到17时一共行驶（　　）千米。 A．855 B．760 C．665 D．570 【答案】A 【详解】95×（17﹣8） ＝95×9 ＝855（千米） 答：从8时到17时一共行驶855千米。 故答案为：A 8．如图是某日人民币兑换各国货币的情况，妈妈用500元人民币可兑换多少港币？下面的计算方法正确的是（  ） A．500÷6.94 B．500÷0.89 C．500×0.89 D．500÷100×6.19 【答案】B 【详解】500÷0.89＝561.80（港币） 答：500元人民币可兑换561.8港币。 故答案为：B 9．每个篮球70元，买8个篮球，总价是( )元。 【答案】560 【分析】根据总价＝单价×数量，用每个篮球的价钱乘买篮球的个数，即可求出总价是多少元。 【详解】70×8＝560（元） 即总价是560元。 10．李阿姨去水果超市买水果，原价48元/千克的樱桃，现在降到32元/千克出售，现在买16千克樱桃比原来省( )元。 【答案】256 【分析】根据总价＝单价×数量，分别求出原价和现价购买16千克樱桃需要的钱数，再作差，即可求出现在买16千克樱桃比原来省多少元。 【详解】48×16－32×16 ＝768－512 ＝256（元） 即现在买16千克樱桃比原来省256元。 11．一本笔记本5元，40元可以买( )本，这是已知( )和( )，求( )。 【答案】 8 单价 总价 数量 【分析】数量＝总价÷单价；单价：一件商品的价钱；总价：一共花的钱；数量：买了多少个，据此解答。 【详解】40÷5＝8（本） 这是已知总价和单价，求数量。 12．影响实际出行时间的常见因素有( )、( )、( )、( )等。 【答案】 红绿灯等待 交通拥堵 中途停留 天气变化 【分析】根据路程÷速度＝时间，用这个公式算出来的，是理想时间，也就是一路顺畅、不停车、速度不变的情况下用的时间。但是我们平时出门，路上会遇到各种情况，真实用的时间会和算出来的时间不一样。遇到交通拥堵，车子开得慢，时间就会变多；碰到红绿灯，要停下来等，会多花时间；天气变化，比如下雨、起雾，车子要开慢一点；中途停留，上下人、临时停车，也要占用时间。 【详解】实际出行时间的常见因素有红绿灯等待、交通拥堵、中途停留、天气变化等。（答案不唯一） 13．《安徒生童话》共580页，小华周末看了236页，还剩( )页没看完。在这个问题中( )是总量，( )和( )是分量，解决这个问题用到的数量关系式是( )。 【答案】 344 总页数 看了的页数 剩下的页数 总量分量＝另一分量 【分析】已知总量和其中一个分量，求另一个分量，用减法计算。在数量关系中，全书的总页数是总量，看了的页数和剩下的页数是分量。解题时先计算剩余页数，再根据题意分析各数量的角色及它们之间的关系式。 【详解】（页） 因此，还剩344页没看完。 在这个问题中，全书的“总页数”是总量。“看了的页数”和“剩下的页数”是总量分成的两个部分，即分量。求剩下的页数，是用总量减去其中一个分量，得到另一个分量。所以用到的数量关系式是：总量分量＝另一分量。 14．某校为奖励阅读时长靠前的学生，准备定制印章给学生。已知“书”印章有129枚，“香”印章有321枚。该校一共定制了多少枚印章？这个问题中总量是( )，分量分别是( )和( )。 【答案】 “书”印章和“香”印章的总数量 “书”印章的数量 “香”印章的数量 【分析】总量是所求的两类印章的总数量，分量是构成总量的两个独立部分，即“书”印章的数量和“香”印章的数量。 【详解】这个问题中总量是“书”印章和“香”印章的总数量，分量分别是“书”印章的数量和“香”印章的数量。 15．彩虹超市搞促销活动，某品牌饮料原价每瓶6元，现在买二送一。妈妈买了6瓶这种饮料，实际应付( )元，相当于每瓶便宜了( )元。 【答案】 24 2 【分析】买二送一就是每买2瓶送1瓶，即3瓶为一组，只需付2瓶的钱。先算6瓶能分几组，再算实际应付多少元。用实际总价除以瓶数得到实际每瓶价格，再用原价减去实际每瓶价格就是每瓶便宜的钱数。 【详解】买二送一，即每3瓶为一组，只需付2瓶的钱。 实际付的瓶数： 2×（6÷3） ＝2×2 ＝4（瓶） 4×6＝24（元） 每瓶便宜的钱数： 6－（24÷6） ＝6－4 ＝2（元） 所以实际应付24元，相当于每瓶便宜了2元。 16．一辆汽车从甲城市开往乙城市，前3小时行了195千米，照这样的速度，到达乙城市一共需要6小时。两个城市相距( )千米。 【答案】390 【分析】先算出汽车每小时行驶的速度，用195千米除以3小时，再用速度乘全程总时长，就能得到甲乙两城的距离。 【详解】 （千米） 17．一辆洒水车，每分钟行驶200米，洒水的宽度是10米，这辆洒水车行驶3分钟，给地面洒水的面积是( )。 【答案】6000平方米 【分析】洒水的面积可以看作一个长方形，先用每分钟行驶的距离200米乘3分钟求出一共行驶的距离作为长方形的长，洒水的宽度作为长方形的宽，根据长方形的面积＝长×宽，将数据代入计算即可。 【详解】（米） （平方米） 18．A城到B城距离460千米，货车计划行驶6小时从A城到达B城。货车出发后以每小时70千米的速度行驶了2小时，这时货车距离B城还有( )千米。如果货车要按原计划到达B城，后面平均每小时需要行驶( )千米。 【答案】 320 80 【分析】根据路程＝速度×时间，先计算出货车2小时行驶的路程，再用总路程减去行驶的路程，即可得到剩余路程，也就是距离B城的路程。然后用总时间减去行驶的时间，计算出剩余时间，最后用剩余路程除以剩余时间，即可计算出后面平均每小时需要行驶的距离。 【详解】 所以这时货车距离B城还有320千米，后面平均每小时需要行驶80千米。 19．欢欢从超市第一次买了5个兔子挂件与4个熊猫挂件共花150元，第二次买了4个兔子挂件与8个熊猫挂件共花240元，每个兔子挂件与每个熊猫挂件各是多少元？ 【答案】每个兔子挂件10元；每个熊猫挂件25元 【分析】第一次购买：5个兔子挂件＋4个熊猫挂件＝150元；第二次购买：4个兔子挂件＋8个熊猫挂件＝240元；把第一次购买的这两种挂件的数量都乘2，则金额也要乘2，即10个兔子挂件＋8个熊猫挂件＝2×150元＝300元；观察发现，第一次购买的两种挂件的数量翻倍后的熊猫挂件的数量与第二次购买的数量相同，差价全来自多买的兔子挂件，用差价除以多出来的兔子挂件数量，即可求出1个兔子挂件的价钱；再用第一次购买的总金额减去5个兔子挂件的金额，再除以4，即求出熊猫挂件的单价。 【详解】1个兔子挂件： （150×2－240）÷（5×2－4） =（300－240）÷（10－4） ＝60÷6 ＝10（元） 1个熊猫挂件： （150－10×5）÷4 ＝（150－50）÷4 ＝100÷4 ＝25（元） 答：每个兔子挂件10元，每个熊猫挂件25元。 20．甲乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时每小时行85千米，剩下的路程要在2小时内走完，平均每小时需要行驶多少千米？ 【答案】 95千米 【分析】根据路程＝速度×时间，先算出前2小时行驶的路程，再用总路程减去已行驶路程得到剩下的路程，最后除以剩下的行驶时间，即可求出结果。 【详解】（千米） （千米） （千米） 答：平均每小时需要行驶95千米。 21．南京博物院馆藏文物丰富，历史内涵深厚，一直为世人所瞩目。小兰和爸爸妈妈自驾去南京参观南京博物院，他们从家开车到苏州用了2小时。用同样的速度，再过3小时，他们能到南京吗？ 【答案】 能 【分析】先根据家到苏州路程和时间求出车速，再算出3小时能行驶的路程，和苏州到南京距离比较，判断能否到达。 【详解】142÷2＝71（千米/时） 71×3＝213（千米） 213＝213 答：他们能到南京。 22．学校为运动会采购奖品，买了25个笔记本和15支钢笔。每个笔记本4元，每支钢笔8元。采购人员带了300元现金去支付。 (1)购买这些奖品一共需要多少元？ (2)采购人员带的现金够不够？如果够，还剩多少元？如果不够，还差多少元？ 【答案】(1)220元 (2)够支付；剩余80元 【分析】（1）求奖品总价，要先分别算出笔记本总价和钢笔总价，根据：总价＝单价×数量，再把两样物品的价钱相加，求出一共需要的钱数。 （2）把携带的300元与采购总花费做大小比较，钱数大于花费则够用，用带的钱减去总花费即可求出剩余钱数。 【详解】（1）笔记本总价：25×4＝100（元） 钢笔总价：15×8＝120（元） 一共：100＋120＝220（元） 答：一共需要220元。 （2）300＞220，现金够用。 剩余：300－220＝80（元） 答：带的现金够，还剩80元。 23．乐乐一家开车到沧州观看舞狮表演，平均每小时行90千米，4小时到达。返回时只用了3小时，返回时汽车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】120千米 【分析】往返的路程不变，先根据去时的速度×时间＝总路程，再根据总路程÷返回的时间＝返回的速度就能得到返回时的平均速度。 【详解】90×4÷3 ＝360÷3 ＝120（千米） 答：返回时汽车平均每小时行驶120千米。 24．周末，刘伯伯从家骑车去露营。他每分钟骑316米，骑了55分钟后，距离露营地还有650米。他家距离露营地多少米？ 【答案】18030米 【分析】根据“路程＝速度×时间”先求出已骑行的路程，再加上距离露营地的剩余路程，即可得到总距离。 【详解】 （米） 答：他家距离露营地米。 25．苏宁家电商场昨天上午卖出3台电风扇，下午又卖出同样的5台电风扇。下午卖出的电风扇比上午多收入860元，每台电风扇是多少元？ 【答案】430元 【分析】先算出下午比上午多卖的电风扇台数，多收入的860元就是多卖台数的总价，根据：单价＝总价÷数量的关系计算单价。 【详解】860÷（5－3） ＝860÷2 ＝430（元） 答：每台电风扇是430元。 26．赣西野生动物王国里，威风凛凛的东北虎、优雅的长颈鹿和活泼的小浣熊们，正等待着和小朋友们打招呼呢！下面是园区推出的两种门票价格方案。 方案一 成人：160元/人 儿童：80元/人 方案二 团体10人以上（包括10人）， 每人100元 成人3人，儿童7人，选哪种方案合算？请计算说明。 【答案】 选方案二合算。说明：方案一总费用为1040元，方案二总费用为1000元，，因此方案二更合算。 【分析】要判断哪种方案合算，需分别计算两种方案的总费用，再比较总费用的高低，总费用低的方案更合算。 【详解】 （元） （人） 10＝10 （元） 答：选方案二合算。说明：方案一总费用为1040元，方案二总费用为1000元，，因此方案二更合算。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 《加法模型和乘法模型》 典例易错讲义 知识点 1：加法数量关系模型（总量模型） 1. 模型本质 加法模型核心是 “合并求和”：将两个或多个独立的部分量合并，得到对应的总数量，是 “部分与整体” 关系的数学表达。 2. 核心关系式 基础公式：部分量 + 部分量 = 总量 变式公式： 总量 - 一个部分量 = 另一个部分量 总量 - 多个部分量 = 剩余部分量 较小数 + 相差数 = 较大数（相差类延伸） 3. 常见应用场景 合计类：两个班级人数求和、两次购物金额求和、两段路程总长、两天工作量总和等。 剩余类：已知总数量和用掉的数量，求剩下的数量；已知总金额和花掉的金额，求找回的金额。 相差类：已知较小数和两个量的差值，求较大的数量。 4. 典型示例 示例 1：文具店上午卖出文具 120 件，下午卖出 180 件，全天一共卖出多少件？ 分析：两个部分量求和，（件） 示例 2：图书馆共有图书 850 本，借出 320 本，还剩多少本？ 分析：已知总量和一个部分量，求另一部分，（本） 5. 易错提醒 混淆部分量与总量，该用加法时用减法，该用减法时用加法。 多个部分量求和时，漏加其中某个部分，导致结果偏小。 解决相差问题时，搞不清较大数和较小数，加减方向搞反。 知识点 2：乘法模型一：单价、数量与总价 1. 基本概念 单价：每件商品的价格，即单个物品的价钱，单位常为 “元 / 个”“元 / 千克” 等复合单位。 数量：购买商品的多少，即物品的个数、重量、件数等。 总价：购买所有商品的总金额，也就是一共花的总钱数。 2. 核心关系式 基础公式： 变式公式： 总价 ÷ 单价 = 数量 总价 ÷ 数量 = 单价 3. 常见应用场景 购物结算：已知单价和购买数量，计算总花费。 采购预算：已知总预算和商品单价，计算可购买的最大数量。 单价对比：已知总价和数量，计算单价后比较哪种商品更划算。 4. 典型示例 示例 1：每本笔记本 8 元，买 25 本需要多少钱？ 列式：（元） 示例 2：妈妈买 3 千克苹果花了 36 元，每千克苹果多少元？ 列式：（元 / 千克） 5. 易错提醒 概念混淆：误将总价当作单价，或数量与单位不匹配（如单价按每千克标注，数量按克计算）。 变式应用错误：已知总价和数量求单价，误用乘法计算。 单位不统一：单价单位与数量单位不对应，直接计算导致结果错误。 知识点 3：乘法模型二：速度、时间与路程 1. 基本概念 路程：一共行驶或行走的总长度，常用单位为米、千米等。 时间：行驶或行走所用的时长，常用单位为秒、分、时等。 速度：单位时间内行驶的路程，表示运动的快慢，是复合单位，如 “千米 / 时” 读作千米每时，“米 / 秒” 读作米每秒。 2. 核心关系式 基础公式： 变式公式： 路程 ÷ 速度 = 时间 路程 ÷ 时间 = 速度 3. 常见应用场景 普通行程：已知行驶速度和时间，求两地之间的总路程。 时间计算：已知路程和速度，求行驶全程需要的时间。 快慢比较：已知路程和时间，计算速度后比较不同交通工具的快慢。 4. 典型示例 示例 1：一辆汽车每小时行驶 80 千米，从甲地到乙地行驶了 3 小时，甲乙两地相距多少千米？ 列式：（千米） 示例 2：小明步行 15 分钟走了 900 米，他平均每分钟走多少米？ 列式：（米 / 分） 5. 易错提醒 速度的复合单位写错或读错，误将速度单位写成普通长度单位。 时间单位不统一：速度是 “千米 / 时”，时间却按分钟计算，未先换算单位。 变式公式用错：已知路程和时间求速度，误用乘法计算。 混淆路程与速度的概念，误将路程长短直接当作速度快慢。 知识点 4：两类模型的辨析与通用规律 1. 乘法模型的通用结构 两类乘法模型本质完全一致，都可以归纳为“每份数 × 份数 = 总数” 的通用模型： 单价对应 “每份的价钱”，数量对应 “份数”，总价对应 “总钱数”； 速度对应 “每单位时间的路程”，时间对应 “份数”，路程对应 “总路程”。 2. 加法模型与乘法模型的核心区别 加法模型：合并的是不同的部分量，各部分大小可以不同，核心是 “合起来”。 乘法模型：累加的是相同的每份数，每份大小一致，核心是 “几个几”，是相同加数求和的简便运算。 3. 方法选择判断技巧 求 “几和几合起来一共是多少”，用加法模型； 求 “几个几一共是多少”，用乘法模型。 4. 易错提醒 看到 “一共” 就用加法，忽略 “几个相同数量求和” 应该用乘法。 混淆每份数和份数，导致乘法算式中因数位置颠倒（虽结果不变，但不利于模型理解）。 知识点 5：模型的综合应用与拓展题型 1. 两步计算复合问题 解题思路：先利用对应模型求出中间量，再通过加法或减法求出最终结果。 示例：商店运来 12 箱苹果，每箱 30 元；还运来 8 箱梨，每箱 25 元。这批水果一共价值多少钱？ 解题步骤：先分别算出苹果总价和梨的总价，再用加法求和。 2. 归一问题（基础版） 题型特征：先求出单一量（如单价、速度、每小时工作量），再求对应数量的总量。 解题关键：先用除法求出每份数，再用乘法计算几份的总数。 示例：3 支钢笔 27 元，买 8 支同样的钢笔需要多少钱？ 先求单价：（元），再求总价：（元） 3. 归总问题（基础版） 题型特征：已知总量，改变每份数的大小，求对应的新份数。 解题关键：先用乘法求出不变的总量，再用除法计算新的份数。 示例：每本书 6 元，正好可以买 4 本；如果每本 8 元，可以买几本？ 先求总钱数：（元），再求数量：（本） 4. 易错提醒 复合问题中数量关系混乱，搞不清先算什么、后算什么。 归一问题中求错单一量，导致后续全部计算错误。 归总问题中总量计算错误，最终份数结果偏差。 常考易错 题型1：总量与分量之间的关系 【典例精讲1】新学期开始了，小华想为困难同学买学习用品，小华想买两个书包，每个书包52元，小华带了100元，还差多少钱？ 常考易错 题型2：经济问题 【典例精讲2】小李来到商场的二楼儿童玩具区，从玩具店老板处了解到：近期批发回了450辆遥控汽车，已经卖出了320辆。 (1)已经卖出的遥控汽车每辆35元，共收入多少元？ (2)剩下的遥控汽车每辆卖25元，还能收入多少元？ (3)如果每辆遥控汽车的成本是30元，那么玩具店是赚了还是亏了？ 常考易错 题型3：基础行程问题 【典例精讲3】甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已行的少60千米。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 专项精练 1．一辆汽车和一列动车同时从甲地开往乙地，知道下面条件中的（    ）就可以求“甲、乙两地相距多少千米”。 ①汽车每小时行90千米 ②距离乙地还剩148千米 ③动车的速度是汽车速度的2倍 ④汽车已经行了3小时 A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③ 2．超市运来一批大米，卖了180千克，还剩240千克。这批大米原来一共有多少千克？正确的算式是（    ）。 A．240－180 B．180＋240 C．240－180＋240 D．240×180 3．100元买了5个同样的文具盒，每个文具盒多少元？求的是（    ）。 A．单价 B．数量 C．总价 D．速度 4．在100米赛跑中，小刚的成绩是15秒，小玉的成绩是16秒，小俊的成绩是13秒，（    ）跑得快。 A．小刚 B．小玉 C．小俊 D．无法比较 5．如图所示，A点是甲乙两地的中点。一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，这辆汽车的平均速度是（    ）千米/时。 A．70 B．80 C．155 D．145 6．白菜2元一斤，菜心3元一斤，小亮有10元钱，则他可以买（　　） A．1斤白菜3斤菜心 B．2斤白菜2斤菜心 C．2斤白菜3斤菜心 D．4斤白菜1斤菜心 7．一列火车平均每小时行驶95千米，从8时到17时一共行驶（　　）千米。 A．855 B．760 C．665 D．570 8．如图是某日人民币兑换各国货币的情况，妈妈用500元人民币可兑换多少港币？下面的计算方法正确的是（  ） A．500÷6.94 B．500÷0.89 C．500×0.89 D．500÷100×6.19 9．每个篮球70元，买8个篮球，总价是( )元。 10．李阿姨去水果超市买水果，原价48元/千克的樱桃，现在降到32元/千克出售，现在买16千克樱桃比原来省( )元。 11．一本笔记本5元，40元可以买( )本，这是已知( )和( )，求( )。 12．影响实际出行时间的常见因素有( )、( )、( )、( )等。 13．《安徒生童话》共580页，小华周末看了236页，还剩( )页没看完。在这个问题中( )是总量，( )和( )是分量，解决这个问题用到的数量关系式是( )。 14．某校为奖励阅读时长靠前的学生，准备定制印章给学生。已知“书”印章有129枚，“香”印章有321枚。该校一共定制了多少枚印章？这个问题中总量是( )，分量分别是( )和( )。 15．彩虹超市搞促销活动，某品牌饮料原价每瓶6元，现在买二送一。妈妈买了6瓶这种饮料，实际应付( )元，相当于每瓶便宜了( )元。 16．一辆汽车从甲城市开往乙城市，前3小时行了195千米，照这样的速度，到达乙城市一共需要6小时。两个城市相距( )千米。 17．一辆洒水车，每分钟行驶200米，洒水的宽度是10米，这辆洒水车行驶3分钟，给地面洒水的面积是( )。 18．A城到B城距离460千米，货车计划行驶6小时从A城到达B城。货车出发后以每小时70千米的速度行驶了2小时，这时货车距离B城还有( )千米。如果货车要按原计划到达B城，后面平均每小时需要行驶( )千米。 19．欢欢从超市第一次买了5个兔子挂件与4个熊猫挂件共花150元，第二次买了4个兔子挂件与8个熊猫挂件共花240元，每个兔子挂件与每个熊猫挂件各是多少元？ 20．甲乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时每小时行85千米，剩下的路程要在2小时内走完，平均每小时需要行驶多少千米？ 21．南京博物院馆藏文物丰富，历史内涵深厚，一直为世人所瞩目。小兰和爸爸妈妈自驾去南京参观南京博物院，他们从家开车到苏州用了2小时。用同样的速度，再过3小时，他们能到南京吗？ 22．学校为运动会采购奖品，买了25个笔记本和15支钢笔。每个笔记本4元，每支钢笔8元。采购人员带了300元现金去支付。 (1)购买这些奖品一共需要多少元？ (2)采购人员带的现金够不够？如果够，还剩多少元？如果不够，还差多少元？ 23．乐乐一家开车到沧州观看舞狮表演，平均每小时行90千米，4小时到达。返回时只用了3小时，返回时汽车平均每小时行驶多少千米？ 24．周末，刘伯伯从家骑车去露营。他每分钟骑316米，骑了55分钟后，距离露营地还有650米。他家距离露营地多少米？ 25．苏宁家电商场昨天上午卖出3台电风扇，下午又卖出同样的5台电风扇。下午卖出的电风扇比上午多收入860元，每台电风扇是多少元？ 26．赣西野生动物王国里，威风凛凛的东北虎、优雅的长颈鹿和活泼的小浣熊们，正等待着和小朋友们打招呼呢！下面是园区推出的两种门票价格方案。 方案一 成人：160元/人 儿童：80元/人 方案二 团体10人以上（包括10人）， 每人100元 成人3人，儿童7人，选哪种方案合算？请计算说明。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $