第五单元 《平行四边形和梯形》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年四年级数学上册(人教版·新教材)

该小学数学《平行四边形和梯形》典例易错讲义通过知识框架图系统梳理了平行与垂直、平行四边形、梯形及四边形分类的知识体系，按“定义-性质-画法-易错点”分层展开，用从属关系图明确平行四边形、长方形、正方形的包含关系，突出垂直是相交的特殊情况等核心联系。 讲义的亮点在于“情境化问题+操作实践”的练习设计，如“田字格边框平行垂直判断”“梯形上底延长变正方形”等题型，培养几何直观和空间观念。专项精练涵盖选择、作图、解决问题等类型，易错提醒帮助学生规避“忽略同一平面”“混淆高与腰”等错误，教师可据此实施分层教学，支持学生自主复习与能力提升。

第五单元 《平行四边形和梯形》 典例易错讲义 知识点 1：平行与垂直 1. 同一平面内两条直线的位置关系 在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，其中垂直是相交的特殊情况。 相交：两条直线延伸后有且只有一个公共交点。 平行：两条直线无论怎样延长，都不会相交。 2. 平行线的定义与表示 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 表示方法：直线 a 与直线 b 平行，记作，读作 “a 平行于 b”。 核心前提：必须满足 “同一平面内”，不在同一平面内的两条直线，即使不相交也不叫平行线。 3. 垂直的定义与表示 定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 表示方法：直线 a 与直线 b 垂直，记作，读作 “a 垂直于 b”。 关键特征：垂直的本质是相交成 90° 直角，判断两条直线是否垂直，关键看夹角是否为直角，与直线摆放方向无关。 4. 核心性质 垂线性质：过直线上一点或直线外一点，只能画出1 条已知直线的垂线。 垂线段最短：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 平行线性质：两条平行线之间的距离处处相等；平行线间的垂线段长度都相等。 平行线传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 5. 标准画法 （1）画垂线（三角尺法） 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 沿着直线平移三角尺，使三角尺的直角顶点与指定点重合； 从直角顶点出发，沿另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后标上直角符号。 （2）画平行线（平移法） 放：把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 靠：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边； 移：固定直尺，平移三角尺到指定位置； 画：沿三角尺的直角边画出另一条直线，即为已知直线的平行线。 6. 易错提醒 忽略 “同一平面内” 的前提，错误认为不相交的两条直线一定平行。 把垂直当成与相交并列的位置关系，混淆 “垂直是特殊的相交” 这一逻辑。 误认为点到直线的距离是垂线段本身，距离指的是垂线段的长度，是数值不是图形。 画垂线时漏标直角符号，或画平行线时平移过程中三角尺偏移。 知识点 2：平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 2. 各部分名称 底：平行四边形的任意一条边都可以作为底。 高：从平行四边形一条边上的任意一点，向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。垂足所在的边，就是这条高对应的底。 对应关系：高和底是一一对应的，一条底对应无数条长度相等的高。 3. 核心性质 边的性质：两组对边分别平行，且长度相等。 角的性质：两组对角分别相等，相邻两个角的和为 180°。 稳定性：平行四边形具有不稳定性（易变形），生活中的伸缩门、升降架等都是利用这一特性设计的。 4. 高的规范画法 确定一条边作为底，在对边上任选一点； 用三角尺的直角边对齐底边，平移至选定点； 沿另一条直角边画虚线，连接底和对边； 标注直角符号，标明 “高” 和对应的 “底”。 注意：平行四边形有无数条高，按方向可分为两组不同长度的高。 5. 与长方形、正方形的关系 长方形和正方形都满足 “两组对边分别平行”，因此它们都是特殊的平行四边形。 正方形不仅满足长方形的所有特征，还具备四条边相等的特点，因此正方形是特殊的长方形。 从属关系：正方形 ⊂ 长方形 ⊂ 平行四边形 6. 易错提醒 误以为平行四边形只有两条高，忽略任意底上都能画无数条高。 画高时不使用虚线、漏标直角符号，或高与底不对应。 误认为平行四边形都是轴对称图形，普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形。 混淆平行四边形的特性，错误认为平行四边形具有稳定性。 知识点 3：梯形 1. 定义 只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 核心关键词：“只有一组”，这是梯形与平行四边形的本质区别 —— 平行四边形是两组对边分别平行，梯形仅有一组。 2. 各部分名称 上底和下底：互相平行的一组对边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 腰：梯形中不平行的一组对边叫做梯形的腰。 高：从上底的任意一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3. 两种特殊梯形 （1）等腰梯形 定义：两腰长度相等的梯形叫做等腰梯形。 性质：是轴对称图形，有 1 条对称轴；同一底上的两个角相等。 （2）直角梯形 定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 性质：有一条腰与上下底垂直，这条腰的长度就是梯形的高；直角梯形有两个直角。 4. 高的规范画法 在上底任选一点，将三角尺的直角边与下底重合； 平移三角尺使直角顶点与选定点对齐； 沿另一条直角边画虚线，连接上下底，标注直角符号与 “高”。 注意：梯形的高只能画在上下底之间，梯形有无数条高，所有高的长度都相等。 5. 易错提醒 定义理解偏差，认为 “有一组对边平行的四边形就是梯形”，忽略 “只有一组” 的限定。 把梯形的腰当成高，只有直角梯形的一条腰与高长度相等。 误以为梯形的高只有一条，忽略上下底间可以画无数条垂线段。 混淆等腰梯形的性质，误认为等腰梯形四个角都相等。 知识点 4：四边形的分类与从属关系 1. 四边形的分类框架 四边形根据对边平行的组数，可分为三大类： 两组对边都不平行：一般不规则四边形 只有一组对边平行：梯形（含等腰梯形、直角梯形） 两组对边分别平行：平行四边形（含长方形、正方形） 2. 从属关系逻辑 最大范围是四边形，包含所有由四条线段围成的封闭图形。 平行四边形和梯形是两类互不包含的特殊四边形。 长方形属于平行四边形的子类，正方形属于长方形的子类。 3. 易错提醒 错误认为梯形属于平行四边形，二者是并列关系，没有包含关系。 误认为正方形不属于长方形，忽略正方形满足长方形的全部特征。 分类时遗漏特殊类型，忽略等腰梯形、直角梯形都属于梯形。 常考易错 题型1：平行和垂直 【典例精讲1】垂直与平行的现象在生活中很常见，比如一个田字格，上下边框互相( )，相邻的两条边框互相( )；比如下面字母中的( )，它们的笔画中既有互相垂直又有互相平行的现象。 常考易错 题型2：平行四边形的概念及特点 【典例精讲2】一个梯形有( )组对边平行，一个平行四边形有( )组对边分别平行且相等。 常考易错 题型3：画平行四边形 【典例精讲3】把下面的图形分割成一个三角形和一个平行四边形。 常考易错 题型4：平行四边形的切拼 【典例精讲4】画一画，用两种不同的方法把平行四边形分成完全一样的两部分。（保留作图痕迹） 常考易错 题型5：梯形的概念及特点 【典例精讲5】一个梯形，上底是4厘米，如果上底延长3厘米，这个梯形就变成了正方形。这个梯形的下底是( )厘米。 常考易错 题型6：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲6】万泰小区规划了一个等腰梯形的花坛，周围扎了一圈39米的篱笆，篱笆上底长12米，下底长15米，腰长( )米。 常考易错 题型7：画梯形 【典例精讲7】在下面的方格纸上画一个等腰梯形，并在这个梯形中画一条线段，将这个梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 常考易错 题型8：四边形的分类及关系 【典例精讲8】如图是我们学过的一些平面图形，回忆它们的特征，思考它们之间的关系，把它们分类整理到如图的集合圈中。 常考易错 题型9：数图形 【典例精讲9】 数一数，下图中，三角形有( )个，梯形有( )个，平行四边形有( )个。 常考易错 题型10：莫比乌斯带的制作 【典例精讲10】一张长40厘米，宽10厘米的长方形纸条，把其中一边扭转180°两端粘上制成一个纸环，一只小蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是( )厘米。（接头处不计） 专项精练 1．同一平面内，与已知直线平行且相距5厘米的直线有（    ）条。 A．1 B．2 C．4 D．无数 2．在同一平面内，如果直线a与直线b平行，直线a与直线c垂直，那么直线b与直线c（    ）。 A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 3．下面的图形中，恰好有四组互相垂直的线段的是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长12cm就成为了一个平行四边形，这个梯形的下底是（       ）cm。 A．6 B．12 C．18 D．36 5．运动会中，乐乐的跳远成绩是290厘米，但裁判在测量时，没有将皮尺与起跳线垂直放置。乐乐的真实成绩可能是（    ）。 A．325厘米 B．368厘米 C．280厘米 D．209厘米 6．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B．垂线段最短。 C．两点之间，线段最短。 D．两点确定一条直线。 7．在同一平面内，两条不同的直线最多有（    ）个交点。 A．1 B．2 C．3 D．无数 8．沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷沙包，落地点到起掷线的距离为有效成绩。如图是三个同学投掷沙包轨迹和落地点示意图，（    ）的有效成绩最好。 A．小雨 B．小芳 C．小丽 D．无法确定 9．明明画了一个两组对边分别平行的四边形，琪琪画了一个只有一组对边平行的四边形。琪琪画的图形是( )。 10．一个正方形的对边互相( )，将这个正方形对折两次，两条折痕互相( )。 11．有一个直角梯形，下底是6厘米，上底延长2厘米后，变成了一个正方形，则原来梯形的上底是( )厘米，高是( )厘米。 12．字母A、C、E、H、T中，有互相垂直的线段的字母是( )。 13．下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 14．明明用下图所示的方法画了直线a和直线b，则直线a和直线b的位置关系是( )。（填“互相平行”或“互相垂直”） 15．实验小学的教学楼前有一块平行四边形的草坪，小亮沿它相邻的两条边一共走了112步，已知他一步的平均长度约是50厘米，那么这块草坪的周长约是( )米。 16．长方形的上、下两条边互相( )，相邻的两条边互相( )。 17．如图，小丽站在点处，她从点到点，走( )号路线最近，再从点到二手市场，走( )号路线最近。（填序号） 18．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的下底缩短8厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 19．过点分别画出直线的平行线和直线的垂线。 20．按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） (1)增加一个点D，连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 (2)画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 (3)在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 21．下图中，a∥b，请经过点E分别画出垂直于直线a、b的垂线，并测量a、b间的距离。直线a、b间的距离是（    ）厘米。 22．如图，一块三角形果园，面积是810平方米。 （1）要从点A安装一根水管到BC边，这根水管最短长多少米？ （2）如果1米水管要9元，安装这根水管最少要多少元？ 23．如图，从A，B两村各挖一条水渠与河连通。要使水渠最短，应怎样挖？在图中画出来。若这幅图的比例尺是1∶100000，那么从A，B两村修的水渠实际长度各是多少？ 24．如下图，木材加工厂要修一条水泥路与公路相连，你认为怎样修最省钱？在图中画出来，并说明你的理由。 25．任意画一条直线b，使它和下图中的直线a平行，再在直线b上任取一点B，并过B点画一条直线c和直线a垂直，垂足为A。判断c和b的位置关系。 26．一个梯形的下底长度是上底的4倍， 如果将梯形的上底延长12厘米，这个梯形就变成了平行四边形。这个梯形的上底、下底各是多少厘米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 《平行四边形和梯形》 典例易错讲义 知识点 1：平行与垂直 1. 同一平面内两条直线的位置关系 在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，其中垂直是相交的特殊情况。 相交：两条直线延伸后有且只有一个公共交点。 平行：两条直线无论怎样延长，都不会相交。 2. 平行线的定义与表示 定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 表示方法：直线 a 与直线 b 平行，记作，读作 “a 平行于 b”。 核心前提：必须满足 “同一平面内”，不在同一平面内的两条直线，即使不相交也不叫平行线。 3. 垂直的定义与表示 定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 表示方法：直线 a 与直线 b 垂直，记作，读作 “a 垂直于 b”。 关键特征：垂直的本质是相交成 90° 直角，判断两条直线是否垂直，关键看夹角是否为直角，与直线摆放方向无关。 4. 核心性质 垂线性质：过直线上一点或直线外一点，只能画出1 条已知直线的垂线。 垂线段最短：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 平行线性质：两条平行线之间的距离处处相等；平行线间的垂线段长度都相等。 平行线传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 5. 标准画法 （1）画垂线（三角尺法） 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 沿着直线平移三角尺，使三角尺的直角顶点与指定点重合； 从直角顶点出发，沿另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后标上直角符号。 （2）画平行线（平移法） 放：把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 靠：用直尺紧靠三角尺的另一条直角边； 移：固定直尺，平移三角尺到指定位置； 画：沿三角尺的直角边画出另一条直线，即为已知直线的平行线。 6. 易错提醒 忽略 “同一平面内” 的前提，错误认为不相交的两条直线一定平行。 把垂直当成与相交并列的位置关系，混淆 “垂直是特殊的相交” 这一逻辑。 误认为点到直线的距离是垂线段本身，距离指的是垂线段的长度，是数值不是图形。 画垂线时漏标直角符号，或画平行线时平移过程中三角尺偏移。 知识点 2：平行四边形 1. 定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 2. 各部分名称 底：平行四边形的任意一条边都可以作为底。 高：从平行四边形一条边上的任意一点，向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。垂足所在的边，就是这条高对应的底。 对应关系：高和底是一一对应的，一条底对应无数条长度相等的高。 3. 核心性质 边的性质：两组对边分别平行，且长度相等。 角的性质：两组对角分别相等，相邻两个角的和为 180°。 稳定性：平行四边形具有不稳定性（易变形），生活中的伸缩门、升降架等都是利用这一特性设计的。 4. 高的规范画法 确定一条边作为底，在对边上任选一点； 用三角尺的直角边对齐底边，平移至选定点； 沿另一条直角边画虚线，连接底和对边； 标注直角符号，标明 “高” 和对应的 “底”。 注意：平行四边形有无数条高，按方向可分为两组不同长度的高。 5. 与长方形、正方形的关系 长方形和正方形都满足 “两组对边分别平行”，因此它们都是特殊的平行四边形。 正方形不仅满足长方形的所有特征，还具备四条边相等的特点，因此正方形是特殊的长方形。 从属关系：正方形 ⊂ 长方形 ⊂ 平行四边形 6. 易错提醒 误以为平行四边形只有两条高，忽略任意底上都能画无数条高。 画高时不使用虚线、漏标直角符号，或高与底不对应。 误认为平行四边形都是轴对称图形，普通平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形。 混淆平行四边形的特性，错误认为平行四边形具有稳定性。 知识点 3：梯形 1. 定义 只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 核心关键词：“只有一组”，这是梯形与平行四边形的本质区别 —— 平行四边形是两组对边分别平行，梯形仅有一组。 2. 各部分名称 上底和下底：互相平行的一组对边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 腰：梯形中不平行的一组对边叫做梯形的腰。 高：从上底的任意一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3. 两种特殊梯形 （1）等腰梯形 定义：两腰长度相等的梯形叫做等腰梯形。 性质：是轴对称图形，有 1 条对称轴；同一底上的两个角相等。 （2）直角梯形 定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 性质：有一条腰与上下底垂直，这条腰的长度就是梯形的高；直角梯形有两个直角。 4. 高的规范画法 在上底任选一点，将三角尺的直角边与下底重合； 平移三角尺使直角顶点与选定点对齐； 沿另一条直角边画虚线，连接上下底，标注直角符号与 “高”。 注意：梯形的高只能画在上下底之间，梯形有无数条高，所有高的长度都相等。 5. 易错提醒 定义理解偏差，认为 “有一组对边平行的四边形就是梯形”，忽略 “只有一组” 的限定。 把梯形的腰当成高，只有直角梯形的一条腰与高长度相等。 误以为梯形的高只有一条，忽略上下底间可以画无数条垂线段。 混淆等腰梯形的性质，误认为等腰梯形四个角都相等。 知识点 4：四边形的分类与从属关系 1. 四边形的分类框架 四边形根据对边平行的组数，可分为三大类： 两组对边都不平行：一般不规则四边形 只有一组对边平行：梯形（含等腰梯形、直角梯形） 两组对边分别平行：平行四边形（含长方形、正方形） 2. 从属关系逻辑 最大范围是四边形，包含所有由四条线段围成的封闭图形。 平行四边形和梯形是两类互不包含的特殊四边形。 长方形属于平行四边形的子类，正方形属于长方形的子类。 3. 易错提醒 错误认为梯形属于平行四边形，二者是并列关系，没有包含关系。 误认为正方形不属于长方形，忽略正方形满足长方形的全部特征。 分类时遗漏特殊类型，忽略等腰梯形、直角梯形都属于梯形。 常考易错 题型1：平行和垂直 【典例精讲1】垂直与平行的现象在生活中很常见，比如一个田字格，上下边框互相( )，相邻的两条边框互相( )；比如下面字母中的( )，它们的笔画中既有互相垂直又有互相平行的现象。 【答案】 平行 垂直 E、F、H 【分析】互相平行：同一平面内不相交的两条直线； 互相垂直：两条直线相交成直角，据此解答。 【详解】上下边框互相平行，相邻的两条边框互相垂直；比如下面字母中的E、F、H，它们的笔画中既有互相垂直又有互相平行的现象。 常考易错 题型2：平行四边形的概念及特点 【典例精讲2】一个梯形有( )组对边平行，一个平行四边形有( )组对边分别平行且相等。 【答案】 一 两 【分析】平行四边形两组对边分别平行且相等；梯形只有一组对边平行，据此解答即可。 【详解】根据分析，一个梯形有一组对边平行，一个平行四边形有两组对边分别平行且相等。 常考易错 题型3：画平行四边形 【典例精讲3】把下面的图形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【分析】过梯形上面的一个顶点，向腰画平行线，则可以把这个梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 【详解】根据题干分析可得： 【点睛】熟记常见的这几种图形的定义以及它们的特点，即可解答此类问题。 常考易错 题型4：平行四边形的切拼 【典例精讲4】画一画，用两种不同的方法把平行四边形分成完全一样的两部分。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】先连接平行四边形的对角线，找到平行四边形的中心点，只要穿过中心点的直线，都可以将平行四边形分成完全一样的两部分。 【详解】 常考易错 题型5：梯形的概念及特点 【典例精讲5】一个梯形，上底是4厘米，如果上底延长3厘米，这个梯形就变成了正方形。这个梯形的下底是( )厘米。 【答案】7 【分析】梯形中只有一组对边平行，正方形的两组对边平行，4条边相等。将梯形的上底延长3厘米，变为厘米，这个梯形就变成正方形，则正方形的边长为7厘米。这个梯形的下底等于正方形的边长。 【详解】（厘米），则这个梯形的下底是7厘米。 常考易错 题型6：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲6】万泰小区规划了一个等腰梯形的花坛，周围扎了一圈39米的篱笆，篱笆上底长12米，下底长15米，腰长( )米。 【答案】6 【分析】等腰梯形的两腰相等，因此用它的周长减上底和下底的长度之和后，再除以2即可，依此计算。 【详解】39－（12＋15） ＝39－27 ＝12（米） 12÷2＝6（米） 常考易错 题型7：画梯形 【典例精讲7】在下面的方格纸上画一个等腰梯形，并在这个梯形中画一条线段，将这个梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 【答案】（答案不唯一） 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，如果梯形的两腰相等，这样的梯形就叫做等腰梯形；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。等腰梯形是只有一组对边平行（这组对边叫底），且两条腰长度相等的梯形，在方格上只要让上下底居中、左右腰占的格数对称，即可画出等腰梯形； 平行四边形的特点是 两组对边都互相平行； 利用等腰梯形原本上下底平行的特点，只要从梯形上底的一个点（不包括左右两个端点），作一条和梯形其中一条腰平行的线段，即可得到一个平行四边形和一个梯形。 【详解】图略 常考易错 题型8：四边形的分类及关系 【典例精讲8】如图是我们学过的一些平面图形，回忆它们的特征，思考它们之间的关系，把它们分类整理到如图的集合圈中。 【答案】见详解 【分析】平行四边形是两组对边平行且相等的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形。平行四边形和梯形都是特殊的四边形，但平行四边形不是特殊的梯形，梯形也不是特殊的平行四边形。长方形的两组对边平行且相等，有4个直角，则长方形是特殊的平行四边形。正方形的两组对边平行，有4个直角，4条边相等，则正方形是特殊的长方形。据此解答。 【详解】 常考易错 题型9：数图形 【典例精讲9】 数一数，下图中，三角形有( )个，梯形有( )个，平行四边形有( )个。 【答案】 2 2 2 【分析】三角形是由三条线段围成的封闭图形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此数出它们的个数即可。 【详解】图里左右两侧各有1个单独的小三角形，没有其他组合能形成新的三角形，共2个。 首先中间单独的图形是1个梯形，把左右两个小三角形和中间的图形合起来看，整个大图形也是1个梯形，共2个。 左边的小三角形和中间的梯形可以拼成1个平行四边形，右边的小三角形和中间的梯形可以拼成1个平行四边形，共2个。 常考易错 题型10：莫比乌斯带的制作 【典例精讲10】一张长40厘米，宽10厘米的长方形纸条，把其中一边扭转180°两端粘上制成一个纸环，一只小蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是( )厘米。（接头处不计） 【答案】80 【分析】根据图示可知，这张纸条做成的是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面。所以这只蚂蚁爬行的距离大约是两个长方形纸条的长。 【详解】40×2＝80（厘米） 它爬行的距离是80厘米。 专项精练 1．同一平面内，与已知直线平行且相距5厘米的直线有（    ）条。 A．1 B．2 C．4 D．无数 【答案】B 【分析】同一平面内，与已知直线平行且距离固定的直线共有2条，分别在已知直线的两侧。 【详解】已知直线的一侧可画1条符合要求的直线，另一侧也可画1条符合要求的直线，共两条。 2．在同一平面内，如果直线a与直线b平行，直线a与直线c垂直，那么直线b与直线c（    ）。 A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据平行和垂直的性质，如果一条直线与另一条直线平行，而这条平行的直线又与第三条直线垂直，那么第一条直线也与第三条直线垂直；也可画图解答。 【详解】根据分析可知，直线a、b、c在同一平面内，a∥b，a⊥c，那么b与c互相垂直；如下图： 所以，在同一平面内，如果直线a与直线b平行，直线a与直线c垂直，那么直线b与直线c垂直。 3．下面的图形中，恰好有四组互相垂直的线段的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条线段相交成直角，这两条线段互相垂直。我们逐个分析每个图形垂直线段组数。 【详解】A．普通平行四边形：没有直角，互相垂直的线段有0组。 B．正方形：四个角都是直角，恰好有4组互相垂直的线段。 C．直角梯形：只有2个直角，互相垂直的线段有2组。 D．直角三角形：只有1个直角，互相垂直的线段有1组。 4．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长12cm就成为了一个平行四边形，这个梯形的下底是（       ）cm。 A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】平行四边形对边长度相等，可知梯形下底比上底长12cm，下底是上底的3倍，多出的2倍对应12cm，用12除以2可得上底，再乘3即可得解。 【详解】 （cm） （cm） 5．运动会中，乐乐的跳远成绩是290厘米，但裁判在测量时，没有将皮尺与起跳线垂直放置。乐乐的真实成绩可能是（    ）。 A．325厘米 B．368厘米 C．280厘米 D．209厘米 【答案】C 【分析】点到直线的所有线段中，垂线段最短，斜着测量得到的数值比真实垂直成绩大，真实成绩应小于290厘米，且测量偏差不会过大。 【详解】由垂线段最短可知，真实成绩＜290厘米，真实成绩肯定比290厘米小，但又不会比290厘米小太多。 A．325厘米大于290厘米，不符合题意。 B．368厘米大于290厘米，不符合题意。 C．280厘米小于290厘米，符合题意。 D．209厘米与290厘米相差过大，不符合常规测量的偏差，不符合题意。 6．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路。小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 B．垂线段最短。 C．两点之间，线段最短。 D．两点确定一条直线。 【答案】B 【分析】根据“点到直线的距离，垂线段最短”进行解答即可。 【详解】小丽觉得行人沿垂直方向行走时距离最短，这一想法体现的数学依据是垂线段最短。 7．在同一平面内，两条不同的直线最多有（    ）个交点。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】A 【分析】同一平面内，两条直线的位置关系是：相交或者平行，若两条直线平行，则不可能有交点，当两条直线相交时，最多只有1个交点。 【详解】在同一平面内，两条不同的直线最多有1个交点。 故答案为：A 8．沙包投掷练习时，同学们站在起掷线后原地投掷沙包，落地点到起掷线的距离为有效成绩。如图是三个同学投掷沙包轨迹和落地点示意图，（    ）的有效成绩最好。 A．小雨 B．小芳 C．小丽 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意，因为规定是落地点到起掷线的距离为有效成绩，小雨和小丽的落地点都还在虚线的范围内，只有小芳已经过了虚线范围，所以小芳的有效成绩最好，据此解答。 【详解】由分析可知：小芳的有效成绩最好。 故答案为：B 9．明明画了一个两组对边分别平行的四边形，琪琪画了一个只有一组对边平行的四边形。琪琪画的图形是( )。 【答案】梯形 【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形。据此解答即可。 【详解】琪琪画了一个只有一组对边平行的四边形。琪琪画的图形是梯形。 10．一个正方形的对边互相( )，将这个正方形对折两次，两条折痕互相( )。 【答案】 平行 平行或垂直/垂直或平行 【分析】正方形是特殊的平行四边形，根据平行四边形的特征，两组对边分别平行，因此正方形的对边互相平行； 若两次对折方向相同：例如两次都沿水平方向对折，或两次都沿竖直方向对折，得到的两条折痕方向一致，互相平行。  若两次对折方向不同：例如第一次沿水平方向对折，第二次沿竖直方向对折，得到的两条折痕相交成直角，互相垂直。  因此对折两次后两条折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 【详解】由分析可知：一个正方形的对边互相平行，将这个正方形对折两次，两条折痕互相平行或垂直。 11．有一个直角梯形，下底是6厘米，上底延长2厘米后，变成了一个正方形，则原来梯形的上底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 4 6 【分析】根据正方形的特征可知，正方形的四条边都相等，一个直角梯形的下底是6厘米，如果上底增加2厘米，那么它就变成了一个正方形，则这个梯形的上底是（6－2）厘米，直角梯形的高等于正方形的边长，即6厘米；据此解答。 【详解】6－2＝4（厘米） 所以原来梯形的上底是4厘米，高是6厘米。 12．字母A、C、E、H、T中，有互相垂直的线段的字母是( )。 【答案】E、H、T 【分析】在同一平面内，两条线段有公共点叫相交，相交成直角时叫垂直。 【详解】A：两条斜线在顶端相交，中间一横与两条斜线相交，横线与两条斜线的夹角都不是直角，没有互相垂直的线段； C：没有线段，没有直角，没有互相垂直的线段； E：一条竖线和三条横线，竖线与每条横线都互相垂直，有互相垂直的线段； H：两条竖线和一条横线，横线与两条竖线都互相垂直，有互相垂直的线段； T：一条竖线和一条横线，竖线与横线互相垂直，有互相垂直的线段。 13．下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【答案】 5 3 【分析】平行四边形：两组对边分别平行；梯形：只有一组对边平行；按顺序数：先数单个小图形，再数2个组合，再数多个组合，不重复、不漏数。 【详解】数平行四边形：右上角的平行四边形1个；右下角的平行四边形1个；中间平行四边形1个；右上角的平行四边形＋右下角的平行四边形组合的大平行四边形1个；右上角的平行四边形＋右下角的平行四边形＋中间平行四边形组合的大平行四边形1个；1＋1＋1＋1＋1＝5（个），故一共有5个平行四边形。 数梯形：左边的小梯形1个；左边的小梯形＋中间平行四边形组合的梯形1个；整个大图形是1个梯形；1＋1＋1＝3（个），故一共有3个梯形。 14．明明用下图所示的方法画了直线a和直线b，则直线a和直线b的位置关系是( )。（填“互相平行”或“互相垂直”） 【答案】互相平行 【分析】三角尺沿着直尺平移，直线a、b是三角尺同一条边在不同位置画出的直线，图形平移后，对应直线互相平行。 【详解】三角尺平移画图，两条直线倾斜程度完全一致，所以直线a与直线b互相平行。 15．实验小学的教学楼前有一块平行四边形的草坪，小亮沿它相邻的两条边一共走了112步，已知他一步的平均长度约是50厘米，那么这块草坪的周长约是( )米。 【答案】112 【分析】由平行四边形的性质对边相等，平行四边形的周长等于四边之和。先用乘法算出相邻两边的总长度，再根据1米＝100厘米进行单位换算，最后再乘2即可。 【详解】112×50＝5600（厘米） 5600厘米＝56米 56×2＝112（米） 这块草坪的周长约是112米。 16．长方形的上、下两条边互相( )，相邻的两条边互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。根据长方形的特征：四个角都是直角，那么相邻两条边形成的角是直角，因此互相垂直；上下两条边是相对的两条边，永不相交，那么互相平行，据此解答。 【详解】长方形的上、下两条边互相平行，相邻的两条边互相垂直。 17．如图，小丽站在点处，她从点到点，走( )号路线最近，再从点到二手市场，走( )号路线最近。（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】从点A到点B，可以看作是两点之间的连线，根据两点之间的连线中，线段最短；①号路是曲线，②号路是线段，所以②号路最近。 从点B到二手市场，根据点到直线的距离，垂线段最短的原理，③号路线是垂线段，④号是斜线，所以走③号路线最近。据此解答。 【详解】小丽站在点A处，她从点A到点B，走②号路线最近，再从点B到二手市场，走③号路线最近。 18．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的下底缩短8厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 4 12 【分析】根据平行四边形的特征，对边相等。梯形下底缩短8厘米后变成平行四边形，说明此时下底长度等于上底长度。因此，缩短的8厘米即为原梯形下底与上底的差。因为下底是上底的3倍，所以下底比上底多（3－1）倍。上底的长度列式为8÷（3－1），计算即可。再用上底的长度乘3即可得下底的长度。 【详解】8÷（3－1） ＝8÷2 ＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 19．过点分别画出直线的平行线和直线的垂线。 【答案】 【分析】把三角板的直角边与直线CD重合，慢慢移动三角板，让三角板的另一条直角边刚好经过点P，沿着这条经过P的直角边画直线，并画上垂直符号即可； 用三角板的一条边与直线AB重合，再把直尺靠紧三角板的另一条边，固定住直尺不动，沿着直尺移动三角板，直到三角板原先贴AB的那条边刚好经过点P，沿着这条边画出直线，就是过P点的AB的平行线。 【详解】略 20．按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） (1)增加一个点D，连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 (2)画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 (3)在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）等腰梯形的特点：一组对边平行，另一组对边长度相等。已知AB为上底，长2厘米，要让CD作为下底并且AD＝BC。由图可知， C在B的左侧2格处，所以点D应在A的右侧2格处，与C在同水平一条直线上，连接ABCD就可得到等腰梯形ABCD；过B向下作垂线短交CD于点H， BH就是等腰梯形ABCD的高。 （2）平行四边形的特点：两组对边分别平行并且相等，先确定一点C向右数5个小格，画一条5厘米的线段作为底，端点为D。从C点向上数4个小格，向右偏移2个小格确定一个点B，再画出与底平行并且长度为5个小格的对边，端点为A，最后连接两边的端点BC、AD，形成平行四边形ABCD。（答案不唯一） （3）过平行四边形的一个端点D，向对边AB作垂线段，交AB于点E，这条线段会把平行四边形分成一个直角梯形和一个三角形。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21．下图中，a∥b，请经过点E分别画出垂直于直线a、b的垂线，并测量a、b间的距离。直线a、b间的距离是（    ）厘米。 【答案】图见详解；2 【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此点E画出直线a、b的垂线；再用直尺测量出a、b间的垂线段长度即为直线a、b间的距离。 【详解】 如图： 经测量直线a、b间的距离是2厘米。 22．如图，一块三角形果园，面积是810平方米。 （1）要从点A安装一根水管到BC边，这根水管最短长多少米？ （2）如果1米水管要9元，安装这根水管最少要多少元？ 【答案】（1）32.4米 （2）291.6元 【分析】（1）点到直线的距离垂直线段最短，这条垂直线段就是三角形的高，根据三角形的高＝面积×2÷底，求出三角形的高，就是水管的最短长度； （2）用水管的最短长度×每米要的钱数，即可求出安装这根水管的费用，据此列式解答。 【详解】（1）810×2÷50 ＝1620÷50 ＝32.4（米） 答：这根水管最短长32.4米。 （2）32.4×9＝291.6（元） 答：安装这根水管最少要291.6元。 23．如图，从A，B两村各挖一条水渠与河连通。要使水渠最短，应怎样挖？在图中画出来。若这幅图的比例尺是1∶100000，那么从A，B两村修的水渠实际长度各是多少？ 【答案】沿垂直线段挖；画图见详解；2500米；1200米 【分析】根据点到直线的距离垂直线段最短，分别从A，B两村向水渠做垂直线段，沿着垂直线段去挖，水渠最短。过直线外一点作作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 测量出垂直线段的长度，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。 【详解】 测量可知，A点到直线的图上距离2.5厘米，B点到直线的图上距离1.2厘米。 2.5÷＝2.5×100000＝250000（厘米）＝2500（米） 1.2÷＝1.2×100000＝120000（厘米）＝1200（米） 答：分别从A，B两村向水渠做垂直线段，沿着垂直线段去挖，水渠最短。从A，B两村修的水渠实际长度各是2500米、1200米。 24．如下图，木材加工厂要修一条水泥路与公路相连，你认为怎样修最省钱？在图中画出来，并说明你的理由。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过木材加工厂这点作公路这条直线的垂线段即可。 【详解】根据分析，过木材加工厂这点作公路这条直线的垂线段，如下： 理由：因为从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；所以这样修最省钱。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 25．任意画一条直线b，使它和下图中的直线a平行，再在直线b上任取一点B，并过B点画一条直线c和直线a垂直，垂足为A。判断c和b的位置关系。 【答案】见详解 【分析】（1）在直线a外任意画一个点，把三角尺的一条直角边与直线a重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出直线b即可。 （2）过B点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线a重合；沿着直线移动三角尺，使B点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是直线a的垂线c。 （3）根据垂直的性质可知，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。a∥b，a⊥c，则b⊥c。据此解答即可。 【详解】 c和b的位置关系是b⊥c。 【点睛】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 26．一个梯形的下底长度是上底的4倍， 如果将梯形的上底延长12厘米，这个梯形就变成了平行四边形。这个梯形的上底、下底各是多少厘米？ 【答案】上底：4厘米 下底：16厘米 【分析】由题意可知：梯形上底的（4－1）倍是12厘米，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答求出上底的长，进而求出下底的长。 【详解】12÷（4－1） ＝12÷3 ＝4（cm） 4×4＝16（cm） 答：这个梯形的上底4厘米，下底16厘米。 【点睛】解答此题的关键：根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答求出上底的长。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $