数学广角 《鸡兔同笼》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年四年级数学上册(人教版·新教材)

该小学数学《鸡兔同笼》典例易错讲义以“问题起源-基本模型-解法分类-变式应用”为逻辑框架构建知识体系，通过核心量与隐含条件梳理表呈现基础关系，用对比框架图归纳列表法（逐一、跳跃、取中）、假设法、抬脚法的原理与步骤，结合变式题型对应关系表（龟鹤、租船等）揭示知识内在联系。 讲义亮点在于“分层递进”的练习设计，如典例精讲1用列表法解决购票问题培养数据意识，典例精讲2用假设法解售票问题发展推理意识，变式题型（如答题得分、硬币问题）强化模型意识。专项精练覆盖选择、填空、解答，基础生可掌握列表法，进阶生能深化假设法应用，助力教师实施精准分层教学。

数学广角 《鸡兔同笼》 典例易错讲义 知识点 1：问题起源与基本模型 1. 问题起源 出自我国古代数学名著《孙子算经》，原题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 是中国古代经典数学趣题的代表，也是小学阶段培养逻辑推理的典型素材。 2. 基本问题模型 已知笼子里鸡和兔的总头数、总脚数，分别求出鸡和兔的各自数量。 3. 核心量与隐含条件 总头数：鸡的数量 + 兔的数量 = 总头数（每只动物对应 1 个头） 总脚数：鸡的总脚数 + 兔的总脚数 = 总脚数 单位量：每只鸡有 2 只脚，每只兔有 4 只脚，单只兔比单只鸡多 2 只脚。 4. 易错提醒 记错鸡和兔的脚的数量，混淆单位差的数值。 忽略 “总头数对应动物总数量” 的隐含逻辑，找不到数量关联。 知识点 2：基础解法 —— 列表法（枚举法） 1. 方法原理 通过有序列举鸡和兔的可能数量，逐一计算对应总脚数，直到计算结果与题目总脚数完全匹配，即可得到正确答案。 2. 三种常用列表方式 逐一列表法：从鸡 0 只、兔 = 总头数开始，依次增加鸡的数量，逐个计算总脚数。适合数据极小的题目，准确率高但效率低。 跳跃列表法：根据脚数的差距，跳过部分数量区间，缩小枚举范围，提升解题速度。 取中列表法：先假设鸡和兔数量各占一半，再根据实际脚数的多少调整增减方向，是效率最高的列表方式。 3. 典型示例 题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有 8 个头，从下面数有 26 只脚。鸡和兔各有几只？ 采用取中列表法： 鸡 4 只、兔 4 只，总脚数：4×2 + 4×4 = 24 只，比 26 只少，说明需要增加兔的数量； 鸡 3 只、兔 5 只，总脚数：3×2 + 5×4 = 26 只，与题目条件一致。 结论：鸡有 3 只，兔有 5 只。 4. 方法特点 优点：直观易懂，符合小学生思维习惯，步骤清晰不易出错。 缺点：数据较大时计算繁琐，解题效率低，仅适合小数据题目。 5. 易错提醒 列表时顺序混乱，出现数量重复或遗漏。 计算单种动物总脚数时出错，导致总脚数匹配错误。 知识点 3：核心解法 —— 假设法 1. 方法原理 先假设笼子里全是同一种动物，计算出假设后的总脚数，与实际总脚数对比求出差值，再根据每只动物的脚数差，推算出另一种动物的数量，是解决鸡兔同笼问题最通用的方法。 2. 标准解题步骤（以假设全是鸡为例） 算假设总脚数：假设所有动物都是鸡，总脚数 = 总头数 × 2； 算总脚数差：实际总脚数 - 假设总脚数（实际更多，因为兔的脚更多）； 算单只脚数差：每只兔比每只鸡多 4 - 2 = 2 只脚，即每把 1 只兔当成鸡，就会少算 2 只脚； 求兔的数量：总脚数差 ÷ 单只脚数差 = 兔的数量； 求鸡的数量：总头数 - 兔的数量 = 鸡的数量。 3. 两类基础公式 假设全是鸡： 兔的只数 = (总脚数 - 总头数 × 2) ÷ (4 - 2) 鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数 假设全是兔： 鸡的只数 = (总头数 × 4 - 总脚数) ÷ (4 - 2) 兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数 4. 典型示例 题目：笼子里有 8 个头，26 只脚，鸡和兔各有几只？ 解：假设全是鸡。 假设总脚数：8 × 2 = 16（只） 总脚数差：26 - 16 = 10（只） 单只脚数差：4 - 2 = 2（只） 兔的数量：10 ÷ 2 = 5（只） 鸡的数量：8 - 5 = 3（只） 答：鸡有 3 只，兔有 5 只。 5. 易错提醒 搞反动物对应关系：算出的结果是 “被假设成另一种的动物数量”，容易混淆鸡和兔的结果。 脚数差计算错误，或单只脚数差的数值记错。 假设全是兔时，加减方向搞反，导致总脚数差计算为负数。 知识点 4：趣味解法 —— 抬脚法（抬腿法） 1. 方法一：统一抬起 2 只脚 原理：让鸡和兔都抬起 2 只脚，鸡会完全坐在地上没有脚落地，剩下的落地脚全部是兔的脚，且每只兔还剩 2 只脚落地。 解题步骤： 总抬脚数：总头数 × 2 剩余落地脚数：总脚数 - 总抬脚数 兔的数量：剩余落地脚数 ÷ 2 鸡的数量：总头数 - 兔的数量 示例：8 头 26 脚，剩余脚数 26-16=10 只，兔有 10÷2=5 只，鸡有 3 只。 2. 方法二：各抬一半脚 原理：鸡抬起 1 只脚，兔抬起 2 只脚，总落地脚数变为原来的一半。此时 1 只鸡对应 1 只脚 1 个头，1 只兔对应 2 只脚 1 个头，脚数比头数多的部分就是兔的数量。 解题步骤： 半脚数：总脚数 ÷ 2 兔的数量：半脚数 - 总头数 鸡的数量：总头数 - 兔的数量 3. 易错提醒 抬脚法仅适用于基础鸡兔同笼模型，复杂变式题需要先转化模型再使用。 计算剩余脚数时出错，导致兔的数量计算偏差。 知识点 5：常见变式题型与对应模型 鸡兔同笼的核心特征是 “两类事物、两个总量、两个单位量”，生活中大量题型都可以转化为该模型求解。 1. 龟鹤问题 对应关系：鹤对应鸡（2 条腿），龟对应兔（4 条腿）；总只数对应总头数，总腿数对应总脚数。 典型题：龟鹤共 40 只，腿共 112 条，龟和鹤各有多少只？ 2. 租船 / 租车问题 对应关系：小船 / 小车对应鸡（单位承载量少），大船 / 大车对应兔（单位承载量多）；总船数 / 车辆数对应总头数，总人数对应总脚数。 典型题：32 名同学划船，共租 6 条船，大船坐 6 人，小船坐 4 人，大小船各租了几条？ 3. 答题得分问题 对应关系：答对对应兔（得正分），答错 / 不答对应鸡（扣负分）；总题数对应总头数，总得分对应总脚数。 注意要点：单位差为 “答对得分 + 答错扣分”，因为答错不仅不得分还会扣分，实际差值是两者之和。 典型题：数学竞赛共 20 题，答对一题得 5 分，答错一题扣 1 分，小明最终得 76 分，他答对和答错各几题？ 4. 硬币 / 人民币问题 对应关系：小面值对应鸡，大面值对应兔；总枚数对应总头数，总钱数对应总脚数。 典型题：5 角和 1 元的硬币共 15 枚，总面值 10 元，两种硬币各有多少枚？ 5. 生产合格问题 对应关系：合格产品对应兔（得工钱），不合格产品对应鸡（扣工钱）；总产品数对应总头数，总工钱对应总脚数。 易错提醒 无法准确对应鸡兔模型，找不到题目中的两个总量和两个单位量。 扣分、扣钱类变式题，单位差计算错误，误按减法计算，实际应为两者之和。 常考易错 题型1：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲1】圳圳和他的亲朋好友共10人组团在上周日一起参观了深圳小梅沙海洋世界。成人票为每人200元，儿童票为每人100元，圳圳一行人购票共计花费1400元。请你利用下表，算一算一共有多少位成人和多少位儿童？ 有几位成人 有几位儿童 门票花费 【答案】如图： 有几位成年 有几位儿童 门票花费 成人：位；儿童：位 【分析】（）两个关键等量关系：成人数量儿童数量，成人购票总费用儿童购票总费用元。 （）用列表法，先假设成人人数和儿童人数同样多，计算门票花费并和实际花费比较，结合差额，再根据总费用调整人数，不断试算，找到总费用等于元的组合即可。 【详解】如图： 有几位成人 有几位儿童 门票花费 ①假设，人中有位成年人，需要买成人票，位儿童，需要买儿童票， （位） （元） （元） （元） 减少购买成人票数量，增加儿童票数量。即减少成人数量，增加儿童数量。 ②假设：人中有位成年人需要买成人票，位儿童需要买儿童票。 （位） （元） （元） （元） 符合人购票总额。 答：一共有位成人，有位儿童。 常考易错 题型2：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲2】岳飞纪念馆是全国重点文物保护单位，是中小学生研学实践教育基地。老师带同学们开展“学习岳飞精神，厚植家国情怀”主题活动。在纪念馆售票窗口，小小观察员发现：上午9：00－9：30共售出98张票，收入4460元。成人票票价每张50元，儿童票票价每张30元。你知道这半小时内售出成人票和儿童票各多少张？ 【答案】76张；22张 【分析】属于鸡兔同笼的题型，从题干所给的信息可知：一共售出张票，总票价是元，每张成人票是元，每张儿童票是元，假设售出的全是成人票，计算出全是成人票的总票价；把1张儿童票看作成人票多了元，用计算出的总票价与题干所给的总票价的差值除以单张成人票和儿童票的差价，可求得儿童票的张数，然后再计算出成人票张数。 【详解】假设全是成人票，总收入为： （元） 比实际收入多的钱数： （元） 每张成人票比儿童票贵： （元） 儿童票张数： （张） 成人票张数： （张） 答：成人票有张，儿童票有张。 常考易错 题型3：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲3】某物流公司使用两种无人机进行快递配送，小型无人机每次可配送2个包裹，大型无人机每次可配送4个包裹，某天监控系统显示两种无人机共执行了18次配送任务，共配送了50个包裹。这天小型无人机和大型无人机分别执行了多少次配送任务？ 【答案】小型无人机：11次，大型无人机：7次 【分析】应用“鸡兔同笼”模型，执行任务次数相当于鸡和兔的头的数量，每次配送包裹数相当于鸡和兔的脚的数量，可以用假设法解决；小型无人机执行任务次数＝（任务总次数×4－实际配送包裹数）÷（大型无人机每次配送包裹数－小型无人机每次配送包裹数）。 【详解】假设18次都是大型无人机执行任务，即18次任务全部按每次配送4个包裹核算，则共可配送18×4＝72个包裹，实际配送50个，多了22个，因为小型无人机每次配送2个，假设中是4个，每次任务多算了2个，则22里边有几个2，小型无人机就执行了多少次任务。 小型无人机执行任务次数： （18×4－50）÷（4－2） ＝（72－50）÷2 ＝22÷2 ＝11（次） 大型无人机执行任务次数： 18－11＝7（次） 答：小型无人机执行了11次配送任务，大型无人机执行了7次配送任务。 专项精练 1．玲玲用同样长的107根小棒拼成独立的三角形和五边形共35个，且没有剩余的小棒。玲玲拼的三角形与五边形的个数分别是（    ）。 A．1，34 B．34，1 C．30，5 D．5，30 【答案】B 【分析】运用鸡兔同笼问题的假设法求解，先假设所有图形都是三角形，算出需要的小棒数量，通过小棒数量差，再用总差值除以一个五边形和一个三角形的小棒差值，推算五边形和三角形的个数。 【详解】假设个全是三角形，所需小棒总数：（根） 比实际少的小棒数量：（根） 每个五边形比三角形多用的小棒数：（根） 五边形的个数：（个） 三角形的个数：（个） 玲玲拼的三角形与五边形的个数分别是个和个。 2．“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，《孙子算经》中记载的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，同学们，你得出的这个古代名题的结果是（    ）。 A．鸡23只兔12只 B．鸡12只兔23只 C．鸡14只兔21只 D．鸡22只兔12只 【答案】A 【详解】用假设法来解决鸡兔同笼问题，先假设全是鸡或全是兔，再根据脚的数量差异来计算鸡和兔的数量。 【解答】假设全是鸡，则脚的总数为：35×2＝70（只） 94－70＝24（只） 每把一只兔看成鸡，脚就少算了：4－2＝2（只） 兔的数量：24÷2＝12（只） 鸡的数量：35－12＝23（只） 鸡23只兔12只。 3．小华用240元买了两种笔记本，A种每本15元，B种每本20元，一共买了14本，其中A种笔记本买了（    ）本。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】采用假设法求解，先假设购买的全是B种笔记本，根据总花费的差值和两种笔记本的单价差即可算出A种笔记本的数量。 【详解】假设14本全是B种笔记本。 （元） （元） （元） A种笔记本的数量：（本） 4．鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数，有22只脚，则笼子里有（    ）只兔子。 A．6 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【分析】用假设法解题，假设全是鸡，先求出全是鸡的总脚数，它和实际总脚数的差值是因为每只兔子比鸡多2只脚，用差值除以2即可得到兔子的数量。 【详解】求全是鸡的总脚数： （只） 假设的总脚数与实际的总脚数相差： （只） 一只兔子比一只鸡多的脚数： （只） 兔子有： （只） 则笼子里有3只兔子。 5．共享车为人们出行带来了很多便利，停车场有共享电动汽车和电动自行车共10辆，一共有32个轮子，那么停车场一共有（    ）辆共享自行车。 A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】A 【分析】用鸡兔同笼的假设法解题，先假设全是共享电动汽车，根据轮子总数的差值和两种车的轮子数量差，计算电动自行车的数量。 【详解】假设10辆车全是共享电动汽车，总轮子数为： （个） 比实际多的轮子数： （个） 每辆共享电动汽车比电动自行车多的轮子数： （个） 电动自行车数量： （辆） 因此，停车场一共有4辆共享自行车。 6．“水上世界”野生动物园有乌龟和灰鹤共16只，它们一共有52只脚。乌龟和灰鹤的数量分别是（    ）。 A．8只，8只 B．6只，10只 C．10只，8只 D．10只，6只 【答案】D 【分析】如果用假设法，可先假设全是灰鹤，计算出假设情况下的总脚数，因为实际总脚数比假设的多，所以用差值除以单只乌龟和灰鹤的脚数差，就能得到乌龟的数量，再用总只数减去乌龟数量得到灰鹤数量。 【详解】假设16只全是灰鹤，总脚数为：（只）， 比实际少的脚数：（只）， 每只乌龟比灰鹤多的脚数：（只）， 乌龟的数量：（只）， 灰鹤的数量：（只）。 7．栋栋的储蓄罐里有1元的和5角的硬币共20枚，一共是16元，栋栋的储蓄罐里有5角的硬币（    ）枚。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】明确1元＝10角，用假设法解题，先假设所有硬币都是1元的，算出比实际多的钱数，再除以把1枚5角硬币当作1元硬币多算的钱数，即可得到5角硬币的数量。 【详解】（元） （元） 1元＝10角 4元＝40角 （角） （枚） 栋栋的储蓄罐里有5角的硬币8枚。 8．麻城龟峰山风景区为庆祝杜鹃花节，定制了100只印有龟峰山图案的陶罐作为纪念品。快递公司负责运送，规定每只运费1元，如果损坏，那么每打破一只不仅不给运费，还要赔偿1元，结果快递站共得运费92元。搬运过程中共打破了（    ）只陶罐。 A．8 B．4 C．2 D．6 【答案】B 【分析】先假设100只陶罐全部完好，算出应得运费与实际运费的差额，再明确每打破1只陶罐会少收入的金额，用总差额除以每只的差额就能得到打破的陶罐数。 【详解】假设100只陶罐全部完好可得运费：（元） 少收入的总金额：（元） 每打破1只少收入的金额：（元） 打破的陶罐数：（只） 搬运过程中共打破了4只陶罐。 9．明明的存钱盒里有50元和20元两种人民币共25张，价值950元。50元的人民币有( )张，20元的人民币有( )张。 【答案】 15 10 【分析】假设都是20元的，则应有25×20＝500元，比实际少了（950－500＝450）元，少的钱数是将每张50元的看成20元，每张少算（50－20＝30）元，所以50元的有（450÷30＝15）张，20元的有（25－15＝10）张；据此解答。 【详解】假设都是20元的，那么50元的人民币有： （950－25×20）÷（50－20） ＝（950－500）÷30 ＝450÷30 ＝15（张） 25－15＝10（张） 所以，50元的人民币有15张，20元的人民币有10张。 10．李叔叔买了牛肉串和羊肉串共10串，花了44元，其中牛肉串3元一串，羊肉串5元一串，李叔叔买了( )串牛肉串，( )串羊肉串。 【答案】 3 7 【分析】这是鸡兔同笼问题。先设牛肉串有x串，则羊肉串有（10－x）串，再根据“牛肉串总价＋羊肉串总价＝44元”列出方程，最后解方程求出未知数。 【详解】解：设牛肉串有x串，羊肉串有（10－x）串。 3x＋5（10－x）＝44 3x＋50－5x＝44 50－5x＋3x＝44 50－（5x－3x）＝44 50－2x＝44 2x＝50－44 2x＝6 x＝3 10－3＝7（串） 因此，牛肉串3串，羊肉串7串。 11．端午节是我国四大传统节日之一，班级组织包粽子活动。第一小组10位同学一共包了42个粽子，女生每人包了5个，男生每人包了3个，第一小组男生有( )人，女生有( )人。 【答案】 4 6 【分析】假设10人全是男生，算出总共包粽子数量，对比实际总数求出差值；女生每人比男生多包（5－3）个粽子，用总差值除以每人相差数量得到女生人数，再用总人数减去女生人数算出男生人数。 【详解】假设全部是男生，则女生的人数有： （42－3×10）÷（5－3） ＝（42－30）÷2 ＝12÷2 ＝6（人） 男生人数：10－6＝4（人） 12．芳芳家有兔和鸭若干只，从上面数有10个头，从下面数有28只脚，兔有( )只，鸭有( )只。 【答案】 4 6 【分析】假设全部是兔，则脚有10×4＝40（只），比实际多了40－28＝12（只），一只鸭看作兔增加4－2＝2（只）脚，比实际多出的脚的只数除以2即等于鸭的只数，头的个数减去鸭的只数等于兔的只数。 【详解】鸭：（10×4－28）÷（4－2） ＝（40－28）÷（4－2） ＝12÷2 ＝6（只） 兔：10－6＝4（只） 13．一次智力测试有10道判断题，每答对一道得3分，每答错一道扣2分，小红答完10道题，只得了20分，她答对了( )道题，答错了( )道题。 【答案】 8 2 【分析】假设全答对，10道题应得10×3＝30（分），比实际多30－20＝10（分），把答错一道看作答对一道增加3＋2＝5（分），比实际多的分除以5等于答错的道数，全部试题道数减去答错的道数等于答对的道数。 【详解】答错：（10×3－20）÷（3＋2） ＝（30－20）÷5 ＝10÷5 ＝2（道） 答对：10－2＝8（道） 14．某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人有( )台，智能配送机器人有( )台。 【答案】 8 7 【分析】假设15台全部是智能清扫机器人，即3×15＝45（个），比实际少了52－45＝7（个）轮子，智能配送机器人比智能清扫机器人每台多：4－3＝1（个）轮子，即智能配送机器人的台数是：7÷1＝7（台），智能清扫机器人台数是：15－7＝8（台） 【详解】52－3×15 ＝52－45 ＝7（个） 7÷（4－3） ＝7÷1＝7（台） 15－7＝8（台） 智能清扫机器人有8台，智能配送机器人有7台。 15．中国电动自行车的生产和出口量都位居世界前列。小明观察某小区停车棚，发现有三轮电动车和两轮电动车共23辆，小明数了车轮共60个。请你算出三轮电动车有( )辆，两轮电动车有( )辆。 【答案】 14 9 【分析】解题时可采用假设法，假设全是两轮电动车，计算出车轮总数，与实际车轮总数进行比较，求出差值，再根据每辆三轮电动车比两轮电动车多的车轮数，求出三轮电动车的数量，进而求出两轮电动车的数量。 【详解】（60－23×2）÷（3－2） ＝（60－46）÷1 ＝14÷1 ＝14（辆） 23－14＝9（辆） 三轮电动车有14辆，两轮电动车有9辆。 16．为强化安全意识，学校组织同学们参加防溺水知识竞赛，共20题，每答对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，小华最终得了76分，小华答对了( )道题。 【答案】16 【分析】假设20道题全部答对，用5乘20，计算出总共得分100分，但是实际得分76分，用100分减去76分，得到一个分数差，这个分数差是由于将答错的题看成答对的题引起的；由于答错要扣1分，答对得5分，两者分差6分，用假设得分与实际得分的分数差除以6，即可算出小华答错了几题，再用总题数减去答错题数，即可算出小华答对了几题。据此解答。 【详解】假设全部答对，则： 5×20＝100（分） 100－76＝24（分） 答对一题与答错一题分数差：6分 答错：24÷6＝4（题） 答对：20－4＝16（题） 小华答对了16道题。 17．四年级两个班共45名学生参加校园植树活动，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树。全部种完后统计，男生一共比女生多种了35棵树。那么参加活动的男生有( )人，女生有( )人。 【答案】 25 20 【分析】首先明确已知的总人数45名，男生每人植树3棵，女生每人植树2棵，男生比女生多种35棵，这些是关键条件，可采用鸡兔同笼法去解答本题，假设45名都是男生，求得一共植树多少棵，此时女生植树0棵，求得此时男生比女生多植的棵数，把1名女生看作男生，男生比女生多植的树就会增加（3＋2）棵，那么用求得此时男生比女生多植的棵数除以（3＋2），即可求得女生的人数；用总人数减去女生人数，求得男生人数； 【详解】（棵） （棵） （棵） （名） （名） 所以男生有25名，女生有20名。 18．诗词是中华文化的瑰宝。五言绝句、七言绝句都各有4句，五言每句5个字，七言每句7个字。弟弟收藏的两类绝句共10首，总字数256个（不含题目），其中五言绝句有( )首，七言绝句有( )首。 【答案】 3 7 【分析】每首五言绝句有5×4＝20（个）字，每首七言绝句有7×4＝28（个）字，假设10首都是七言绝句则应该有28×10＝280（个）字，比实际多了280－256＝24（个）字，一首五言绝句看作七言绝句会多28－20＝8（个）字，用比实际多的字的个数除以8，即等于五言绝句的首数，10首减去五言绝句的首数等于七言绝句的首数。 【详解】5×4＝20（个） 7×4＝28（个） 五言绝句：（28×10－256）÷（28－20） ＝（280－256）÷8 ＝24÷8 ＝3（首） 七言绝句：10－3＝7（首） 19．育才小学四年级两个班的同学参加趣味知识大赛，每人平均得89分，总分是6675分。其中四（1）班参赛同学平均得分是92分，四（2）班参赛同学平均得分是87分，那么四（1）班和四（2）班各有多少人参加比赛？ 【答案】四（1）班30人；四（2）班45人 【分析】本题属于鸡兔同笼问题。首先根据总分数÷全体平均分求出参赛总人数，再运用假设法进行求解。 先假设全部是四（1）班参赛学生，求出假设总分与实际总分的差值，结合两个班级平均分的差值，算出四（2）班人数，最后求出四（1）班人数。 【详解】（人）    （分） （分）    （人） （人） 答：四（1）班有30人参加比赛，四（2）班有45人参加比赛。 20．商店里的大盒能装6块月饼，小盒能装4块月饼，130块月饼正好装满大盒和小盒共25个。大盒、小盒各有多少个？ 【答案】 大盒15个，小盒10个 【分析】用假设法解题，先假设25个全是大盒，算出能装的月饼总数，求出与实际月饼数的差值，再用差值除以每个大盒比小盒多装的月饼数，得到小盒的数量，最后算出大盒的数量。 【详解】假设25个全是大盒。 （块） （块） （块） 小盒：（个） 大盒：（个） 答：大盒有15个、小盒有10个。 21．眉山三苏祠是全国重点文物保护单位。它位于东坡区纱縠行南段，始建于北宋，现为清康熙四年（1665年）重建遗存，占地面积106亩，是北宋文学家苏洵、苏轼、苏辙父子三人的故居及祠堂。某小学六年级师生共398名，组织到三苏祠研学，共租用10辆车，每辆大客车坐50人，每辆中巴车坐17人，都坐上车还空3个座位，则租用的大客车有几辆？ 【答案】7辆 【分析】根据题意，总座位数是398＋3＝401（个），假设10辆车全是中巴车，先求出10辆车的总座位数，再计算比实际总座位数少的数量和单辆车的座位差，最后用座位总差除以单辆车的座位差求出大客车数量。 【详解】（个） （个） （个） （个） （辆） 答：租用的大客车有7辆。 22．五（2）班25名同学参加植树活动，共植树95棵。男生每人植5棵，女生每人植3棵。参加植树活动的男、女生各有多少人？（请列表解答） 【答案】 男生/人 女生/人 植树/棵 13 12 101 12 13 99 11 14 97 10 15 95 男生10人，女生15人 【分析】男、女生人数的和是25人。25÷2＝12（人）……1（人），所以先把25人尽量平均分成男生13人、女生12人作为列表起点。列表时保持总人数不变，每把1名男生换成1名女生，植树总棵数就减少5－3＝2（棵）；逐组计算，直到植树总棵数为95棵。 【详解】表略 25÷2＝12（人）……1（人），先列表假设男生13人、女生12人。 13＋12＝25，13×5＋12×3＝65＋36＝101（棵） 12＋13＝25，12×5＋13×3＝60＋39＝99（棵） 11＋14＝25，11×5＋14×3＝55＋42＝97（棵） 10＋15＝25，10×5＋15×3＝50＋45＝95（棵） 答：男生有10人，女生有15人。 23．2025春晚上的机器人表演引发科技热浪。某机器人店某天卖出2足机器人和4足机器人共8台，共有26只足。这天卖了2足机器人和4足机器人各几台？ 【答案】2足机器人3台，4足机器人5台。 【分析】假设卖出的8台都是4足机器人，算出假设的总足数与实际总足数的差；每把1台2足机器人看成4足机器人会多算2只足，用总差除以每台多算的足数，得到2足机器人的台数，再用总台数减去2足机器人的台数，得到4足机器人的台数。 【详解】根据分析，解答如下： （足） （足） （足） （台） （台） 答：这天卖了2足机器人3台，4足机器人5台。 24．爱好诗词的小明每次看到喜欢的古诗，都抄写在专门的笔记本上。本学期他已经抄写了8首古诗，这些古诗不是绝句就是律诗，一共有52句。其中有几首绝句？几首律诗？ 一首绝句有4句， 一首律诗有8句。 【答案】 3首绝句；5首律诗 【分析】这是鸡兔同笼类问题，采用假设法，先假设全是绝句，根据实际句数与假设句数的差推算律诗数量，再求绝句数量。 【详解】假设8首全是绝句：（句） （句） （句） 律诗：（首） 绝句：（首） 答：其中有3首绝句，5首律诗。 25．四年级举行以“只有一个地球”为主题的环保知识竞赛，共有20道题。做对一道题得5分，做错或不做一道题都倒扣3分，聪聪得了52分，聪聪做对了多少道题？ 【答案】 14道 【分析】用假设法解题，先算全做对的总分与实际得分的差，再除以每道错题与对题的分数差得错题数，进而求出对题数。 【详解】假设全部做对。 （道） （道） 答：聪聪做对了14道题。 26．黔西南州生态环境优越，气候适宜，为发展特色农业提供了得天独厚的条件。笑笑家去年一共收了95kg花椒，用大、小两种规格的包装袋刚好装满25袋，每个大包装袋装5千克，每个小包装袋装2千克。大、小包装袋各有多少袋？ 【答案】大包装袋有15袋，小包装袋有10袋 【分析】本题属于鸡兔同笼问题的应用，假设全是大包装袋，根据已知条件求出与实际花椒重量的差值，再结合大、小包装袋每袋装花椒的重量差，因为把小包装袋当成大包装袋来计算时，每袋多算了3千克，总共多算了30千克，从而求出小包装袋的数量，进而求出大包装袋的数量。 【详解】假设全是大包装袋时 25×5＝125（千克） 125−95＝30（千克） 5−2＝3（千克） 30÷3＝10（袋） 25−10＝15（袋） 答：大包装袋有15袋，小包装袋有10袋。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学广角 《鸡兔同笼》 典例易错讲义 知识点 1：问题起源与基本模型 1. 问题起源 出自我国古代数学名著《孙子算经》，原题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 是中国古代经典数学趣题的代表，也是小学阶段培养逻辑推理的典型素材。 2. 基本问题模型 已知笼子里鸡和兔的总头数、总脚数，分别求出鸡和兔的各自数量。 3. 核心量与隐含条件 总头数：鸡的数量 + 兔的数量 = 总头数（每只动物对应 1 个头） 总脚数：鸡的总脚数 + 兔的总脚数 = 总脚数 单位量：每只鸡有 2 只脚，每只兔有 4 只脚，单只兔比单只鸡多 2 只脚。 4. 易错提醒 记错鸡和兔的脚的数量，混淆单位差的数值。 忽略 “总头数对应动物总数量” 的隐含逻辑，找不到数量关联。 知识点 2：基础解法 —— 列表法（枚举法） 1. 方法原理 通过有序列举鸡和兔的可能数量，逐一计算对应总脚数，直到计算结果与题目总脚数完全匹配，即可得到正确答案。 2. 三种常用列表方式 逐一列表法：从鸡 0 只、兔 = 总头数开始，依次增加鸡的数量，逐个计算总脚数。适合数据极小的题目，准确率高但效率低。 跳跃列表法：根据脚数的差距，跳过部分数量区间，缩小枚举范围，提升解题速度。 取中列表法：先假设鸡和兔数量各占一半，再根据实际脚数的多少调整增减方向，是效率最高的列表方式。 3. 典型示例 题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有 8 个头，从下面数有 26 只脚。鸡和兔各有几只？ 采用取中列表法： 鸡 4 只、兔 4 只，总脚数：4×2 + 4×4 = 24 只，比 26 只少，说明需要增加兔的数量； 鸡 3 只、兔 5 只，总脚数：3×2 + 5×4 = 26 只，与题目条件一致。 结论：鸡有 3 只，兔有 5 只。 4. 方法特点 优点：直观易懂，符合小学生思维习惯，步骤清晰不易出错。 缺点：数据较大时计算繁琐，解题效率低，仅适合小数据题目。 5. 易错提醒 列表时顺序混乱，出现数量重复或遗漏。 计算单种动物总脚数时出错，导致总脚数匹配错误。 知识点 3：核心解法 —— 假设法 1. 方法原理 先假设笼子里全是同一种动物，计算出假设后的总脚数，与实际总脚数对比求出差值，再根据每只动物的脚数差，推算出另一种动物的数量，是解决鸡兔同笼问题最通用的方法。 2. 标准解题步骤（以假设全是鸡为例） 算假设总脚数：假设所有动物都是鸡，总脚数 = 总头数 × 2； 算总脚数差：实际总脚数 - 假设总脚数（实际更多，因为兔的脚更多）； 算单只脚数差：每只兔比每只鸡多 4 - 2 = 2 只脚，即每把 1 只兔当成鸡，就会少算 2 只脚； 求兔的数量：总脚数差 ÷ 单只脚数差 = 兔的数量； 求鸡的数量：总头数 - 兔的数量 = 鸡的数量。 3. 两类基础公式 假设全是鸡： 兔的只数 = (总脚数 - 总头数 × 2) ÷ (4 - 2) 鸡的只数 = 总头数 - 兔的只数 假设全是兔： 鸡的只数 = (总头数 × 4 - 总脚数) ÷ (4 - 2) 兔的只数 = 总头数 - 鸡的只数 4. 典型示例 题目：笼子里有 8 个头，26 只脚，鸡和兔各有几只？ 解：假设全是鸡。 假设总脚数：8 × 2 = 16（只） 总脚数差：26 - 16 = 10（只） 单只脚数差：4 - 2 = 2（只） 兔的数量：10 ÷ 2 = 5（只） 鸡的数量：8 - 5 = 3（只） 答：鸡有 3 只，兔有 5 只。 5. 易错提醒 搞反动物对应关系：算出的结果是 “被假设成另一种的动物数量”，容易混淆鸡和兔的结果。 脚数差计算错误，或单只脚数差的数值记错。 假设全是兔时，加减方向搞反，导致总脚数差计算为负数。 知识点 4：趣味解法 —— 抬脚法（抬腿法） 1. 方法一：统一抬起 2 只脚 原理：让鸡和兔都抬起 2 只脚，鸡会完全坐在地上没有脚落地，剩下的落地脚全部是兔的脚，且每只兔还剩 2 只脚落地。 解题步骤： 总抬脚数：总头数 × 2 剩余落地脚数：总脚数 - 总抬脚数 兔的数量：剩余落地脚数 ÷ 2 鸡的数量：总头数 - 兔的数量 示例：8 头 26 脚，剩余脚数 26-16=10 只，兔有 10÷2=5 只，鸡有 3 只。 2. 方法二：各抬一半脚 原理：鸡抬起 1 只脚，兔抬起 2 只脚，总落地脚数变为原来的一半。此时 1 只鸡对应 1 只脚 1 个头，1 只兔对应 2 只脚 1 个头，脚数比头数多的部分就是兔的数量。 解题步骤： 半脚数：总脚数 ÷ 2 兔的数量：半脚数 - 总头数 鸡的数量：总头数 - 兔的数量 3. 易错提醒 抬脚法仅适用于基础鸡兔同笼模型，复杂变式题需要先转化模型再使用。 计算剩余脚数时出错，导致兔的数量计算偏差。 知识点 5：常见变式题型与对应模型 鸡兔同笼的核心特征是 “两类事物、两个总量、两个单位量”，生活中大量题型都可以转化为该模型求解。 1. 龟鹤问题 对应关系：鹤对应鸡（2 条腿），龟对应兔（4 条腿）；总只数对应总头数，总腿数对应总脚数。 典型题：龟鹤共 40 只，腿共 112 条，龟和鹤各有多少只？ 2. 租船 / 租车问题 对应关系：小船 / 小车对应鸡（单位承载量少），大船 / 大车对应兔（单位承载量多）；总船数 / 车辆数对应总头数，总人数对应总脚数。 典型题：32 名同学划船，共租 6 条船，大船坐 6 人，小船坐 4 人，大小船各租了几条？ 3. 答题得分问题 对应关系：答对对应兔（得正分），答错 / 不答对应鸡（扣负分）；总题数对应总头数，总得分对应总脚数。 注意要点：单位差为 “答对得分 + 答错扣分”，因为答错不仅不得分还会扣分，实际差值是两者之和。 典型题：数学竞赛共 20 题，答对一题得 5 分，答错一题扣 1 分，小明最终得 76 分，他答对和答错各几题？ 4. 硬币 / 人民币问题 对应关系：小面值对应鸡，大面值对应兔；总枚数对应总头数，总钱数对应总脚数。 典型题：5 角和 1 元的硬币共 15 枚，总面值 10 元，两种硬币各有多少枚？ 5. 生产合格问题 对应关系：合格产品对应兔（得工钱），不合格产品对应鸡（扣工钱）；总产品数对应总头数，总工钱对应总脚数。 易错提醒 无法准确对应鸡兔模型，找不到题目中的两个总量和两个单位量。 扣分、扣钱类变式题，单位差计算错误，误按减法计算，实际应为两者之和。 常考易错 题型1：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲1】圳圳和他的亲朋好友共10人组团在上周日一起参观了深圳小梅沙海洋世界。成人票为每人200元，儿童票为每人100元，圳圳一行人购票共计花费1400元。请你利用下表，算一算一共有多少位成人和多少位儿童？ 有几位成人 有几位儿童 门票花费 常考易错 题型2：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲2】岳飞纪念馆是全国重点文物保护单位，是中小学生研学实践教育基地。老师带同学们开展“学习岳飞精神，厚植家国情怀”主题活动。在纪念馆售票窗口，小小观察员发现：上午9：00－9：30共售出98张票，收入4460元。成人票票价每张50元，儿童票票价每张30元。你知道这半小时内售出成人票和儿童票各多少张？ 常考易错 题型3：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲3】某物流公司使用两种无人机进行快递配送，小型无人机每次可配送2个包裹，大型无人机每次可配送4个包裹，某天监控系统显示两种无人机共执行了18次配送任务，共配送了50个包裹。这天小型无人机和大型无人机分别执行了多少次配送任务？ 专项精练 1．玲玲用同样长的107根小棒拼成独立的三角形和五边形共35个，且没有剩余的小棒。玲玲拼的三角形与五边形的个数分别是（    ）。 A．1，34 B．34，1 C．30，5 D．5，30 2．“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，《孙子算经》中记载的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，同学们，你得出的这个古代名题的结果是（    ）。 A．鸡23只兔12只 B．鸡12只兔23只 C．鸡14只兔21只 D．鸡22只兔12只 3．小华用240元买了两种笔记本，A种每本15元，B种每本20元，一共买了14本，其中A种笔记本买了（    ）本。 A．4 B．6 C．8 D．10 4．鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数，有22只脚，则笼子里有（    ）只兔子。 A．6 B．3 C．5 D．10 5．共享车为人们出行带来了很多便利，停车场有共享电动汽车和电动自行车共10辆，一共有32个轮子，那么停车场一共有（    ）辆共享自行车。 A．4 B．6 C．2 D．8 6．“水上世界”野生动物园有乌龟和灰鹤共16只，它们一共有52只脚。乌龟和灰鹤的数量分别是（    ）。 A．8只，8只 B．6只，10只 C．10只，8只 D．10只，6只 7．栋栋的储蓄罐里有1元的和5角的硬币共20枚，一共是16元，栋栋的储蓄罐里有5角的硬币（    ）枚。 A．4 B．6 C．8 D．12 8．麻城龟峰山风景区为庆祝杜鹃花节，定制了100只印有龟峰山图案的陶罐作为纪念品。快递公司负责运送，规定每只运费1元，如果损坏，那么每打破一只不仅不给运费，还要赔偿1元，结果快递站共得运费92元。搬运过程中共打破了（    ）只陶罐。 A．8 B．4 C．2 D．6 9．明明的存钱盒里有50元和20元两种人民币共25张，价值950元。50元的人民币有( )张，20元的人民币有( )张。 10．李叔叔买了牛肉串和羊肉串共10串，花了44元，其中牛肉串3元一串，羊肉串5元一串，李叔叔买了( )串牛肉串，( )串羊肉串。 11．端午节是我国四大传统节日之一，班级组织包粽子活动。第一小组10位同学一共包了42个粽子，女生每人包了5个，男生每人包了3个，第一小组男生有( )人，女生有( )人。 12．芳芳家有兔和鸭若干只，从上面数有10个头，从下面数有28只脚，兔有( )只，鸭有( )只。 13．一次智力测试有10道判断题，每答对一道得3分，每答错一道扣2分，小红答完10道题，只得了20分，她答对了( )道题，答错了( )道题。 14．某科技公司生产智能清扫机器人和智能配送机器人，清扫机器人有3个轮子，配送机器人有4个轮子。仓库里这两种机器人一共有15台，轮子总数是52个。请问智能清扫机器人有( )台，智能配送机器人有( )台。 15．中国电动自行车的生产和出口量都位居世界前列。小明观察某小区停车棚，发现有三轮电动车和两轮电动车共23辆，小明数了车轮共60个。请你算出三轮电动车有( )辆，两轮电动车有( )辆。 16．为强化安全意识，学校组织同学们参加防溺水知识竞赛，共20题，每答对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，小华最终得了76分，小华答对了( )道题。 17．四年级两个班共45名学生参加校园植树活动，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树。全部种完后统计，男生一共比女生多种了35棵树。那么参加活动的男生有( )人，女生有( )人。 18．诗词是中华文化的瑰宝。五言绝句、七言绝句都各有4句，五言每句5个字，七言每句7个字。弟弟收藏的两类绝句共10首，总字数256个（不含题目），其中五言绝句有( )首，七言绝句有( )首。 19．育才小学四年级两个班的同学参加趣味知识大赛，每人平均得89分，总分是6675分。其中四（1）班参赛同学平均得分是92分，四（2）班参赛同学平均得分是87分，那么四（1）班和四（2）班各有多少人参加比赛？ 20．商店里的大盒能装6块月饼，小盒能装4块月饼，130块月饼正好装满大盒和小盒共25个。大盒、小盒各有多少个？ 21．眉山三苏祠是全国重点文物保护单位。它位于东坡区纱縠行南段，始建于北宋，现为清康熙四年（1665年）重建遗存，占地面积106亩，是北宋文学家苏洵、苏轼、苏辙父子三人的故居及祠堂。某小学六年级师生共398名，组织到三苏祠研学，共租用10辆车，每辆大客车坐50人，每辆中巴车坐17人，都坐上车还空3个座位，则租用的大客车有几辆？ 22．五（2）班25名同学参加植树活动，共植树95棵。男生每人植5棵，女生每人植3棵。参加植树活动的男、女生各有多少人？（请列表解答） 23．2025春晚上的机器人表演引发科技热浪。某机器人店某天卖出2足机器人和4足机器人共8台，共有26只足。这天卖了2足机器人和4足机器人各几台？ 24．爱好诗词的小明每次看到喜欢的古诗，都抄写在专门的笔记本上。本学期他已经抄写了8首古诗，这些古诗不是绝句就是律诗，一共有52句。其中有几首绝句？几首律诗？ 一首绝句有4句， 一首律诗有8句。 25．四年级举行以“只有一个地球”为主题的环保知识竞赛，共有20道题。做对一道题得5分，做错或不做一道题都倒扣3分，聪聪得了52分，聪聪做对了多少道题？ 26．黔西南州生态环境优越，气候适宜，为发展特色农业提供了得天独厚的条件。笑笑家去年一共收了95kg花椒，用大、小两种规格的包装袋刚好装满25袋，每个大包装袋装5千克，每个小包装袋装2千克。大、小包装袋各有多少袋？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $