《有趣的密铺》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年五年级数学上册(人教版·新教材)

该小学数学《有趣的密铺》典例易错讲义通过知识框架图系统梳理密铺的定义、特征、数学原理、单一及组合图形密铺规律和实际应用，用表格归纳正多边形密铺情况，思维导图呈现生活中的密铺现象，清晰展现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于“典例精讲+专项精练”的练习设计，如典例探究三角形与四边形密铺的内角关系，培养推理意识，专项精练通过判断正五边形不能密铺引导学生用数学思维分析内角和是否为360°。易错提醒帮助学生避免误区，支持不同层次学生掌握原理或深入设计，为教师精准教学提供有效工具。

《有趣的密铺》 典例易错讲义 知识点 1：密铺的定义与基本特征 1. 概念定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面，这种图形拼接方式叫做密铺，也称为平面镶嵌。 2. 核心特征 无空隙：相邻图形之间没有缝隙，不存在空白区域。 不重叠：图形之间没有互相覆盖、叠加的部分。 平面性：密铺是在同一平面内的拼接，不是立体堆砌。 重复性：通常由固定的一种或几种图形，按规律重复排列铺满平面。 3. 生活中的密铺现象 建筑场景：地面地砖、墙面瓷砖、蜂巢结构、马赛克拼图。 日常场景：拼图玩具、布料花纹、包装纸图案。 自然场景：蜂巢的正六边形巢室，是天然的最优密铺结构。 4. 易错提醒 误认为只要铺满就是密铺，忽略 “无空隙、不重叠” 两个同时满足的必备条件。 将立体堆叠当作密铺，密铺仅针对平面图形的平面拼接。 忽略 “图形大小完全相同” 的前提，大小不同的同类图形无法实现规则密铺。 知识点 2：密铺的数学原理（密铺的核心条件） 1. 核心原理：拼接点内角和为 360° 几个图形拼接在同一个公共顶点（拼接点）处时，所有围绕该点的内角加起来的和，必须刚好等于一个周角（360°）。这是平面图形能够实现无空隙、不重叠密铺的根本数学依据。 2. 辅助条件：拼接边长度相等 参与密铺的图形，相邻拼接的边长度必须相等，才能保证图形之间严丝合缝地对齐，既不出现空隙也不产生重叠。 单一图形密铺：图形完全相同，对应边自然相等，天然满足该条件。 组合图形密铺：不同图形的拼接边长度必须相等，才能组合密铺。 3. 验证方法 判断一种图形能否密铺，核心就是看它的内角能否通过组合凑出 360° 的周角；判断多种图形能否组合密铺，就看不同图形的内角搭配后，拼接点处的角度和能否恰好等于 360°。 4. 易错提醒 只看图形形状判断密铺，不从 “拼接点内角和” 的本质原理分析。 组合密铺时忽略边长相等的前提，仅角度满足无法实现实际拼接。 知识点 3：单一平面图形的密铺规律 1. 任意三角形都可以密铺 原理：三角形的内角和为 180°。在同一个拼接点处，放入 2 组三角形的全部内角（共 6 个角），角度和为 2×180° = 360°，刚好组成周角。 结论：只要是形状、大小完全相同的三角形，无论形状是否规则，都可以单独密铺。 正三角形（等边三角形）：每个内角 60°，6 个正三角形拼在一点，6×60°=360°，可以密铺。 2. 任意四边形都可以密铺 原理：四边形的内角和为 360°。在同一个拼接点处，将四边形的四个不同内角各放一个，角度和刚好为 360°，组成完整周角。 结论：只要是形状、大小完全相同的凸四边形，包括长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则四边形，都可以单独密铺。 正方形：每个内角 90°，4 个正方形拼在一点，4×90°=360°，可以密铺。 3. 正多边形的密铺情况 只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独密铺，其余正多边形均不能单独密铺。 正多边形 单个内角度数 拼接点所需数量 能否单独密铺 正三角形 60° 6 个（6×60°=360°） 能 正方形 90° 4 个（4×90°=360°） 能 正五边形 108° 3 个和为 324°（有空隙），4 个和为 432°（重叠） 不能 正六边形 120° 3 个（3×120°=360°） 能 边数＞6 的正多边形 内角＞120° 3 个内角和就超过 360° 不能 4. 典型的不能单独密铺的图形 圆：边缘是曲线，拼接时必然产生空隙，无法实现无空隙密铺。 正五边形、正七边形等：内角无法恰好凑出 360°，不能单独密铺。 普通的五边形、七边形等不规则多边形，多数也无法单独密铺。 5. 易错提醒 误认为只有正多边形才能密铺，忽略任意三角形、任意四边形都具备密铺能力。 误认为所有正多边形都能密铺，遗漏正五边形等无法单独密铺的类型。 误认为平行四边形不能密铺，平行四边形属于四边形，完全可以密铺。 知识点 4：组合图形的密铺 1. 组合密铺的定义 用两种或两种以上边长相等的正多边形（或平面图形）搭配起来，共同铺满平面，且满足无空隙、不重叠，叫做组合图形密铺。 2. 组合密铺的判断标准 在同一个拼接点处，几种图形的内角相加，和恰好等于 360°，且图形的拼接边长度相等，即可实现组合密铺。 3. 常见经典组合密铺 正三角形 + 正方形：拼接点处放 3 个正三角形和 2 个正方形，角度和 = 3×60° + 2×90° = 360°。 正三角形 + 正六边形：拼接点处放 2 个正三角形和 2 个正六边形，角度和 = 2×60° + 2×120° = 360°。 正方形 + 正八边形：拼接点处放 1 个正方形和 2 个正八边形，角度和 = 90° + 2×135° = 360°。 4. 易错提醒 只关注角度和为 360°，忽略不同图形的边长必须相等，实际无法拼接。 组合图形密铺时，拼接点处的图形搭配不固定，只要角度和达标即可，存在多种组合方式。 知识点 5：密铺的设计与实际应用 1. 密铺图案的设计方法 选基础图形：选择可以密铺的基本图形（如三角形、四边形、正六边形）作为原型。 图形变换：利用平移、旋转、轴对称等图形运动方式，对基础图形的边进行变形，设计出带有图案的新图形，保证变形后的图形依然满足密铺条件。 拼接验证：将设计好的图形进行拼接，确认无空隙、不重叠，形成完整的密铺图案。 2. 密铺的实际价值 建筑装饰：地砖、墙砖、吊顶的设计，利用密铺实现美观与材料高利用率。 工艺设计：布料花纹、包装纸、拼图、镶嵌艺术的创作。 工程优化：蜂巢的正六边形密铺结构，在相同面积下用料最省、结构最稳固，是自然界的最优密铺应用。 3. 易错提醒 设计密铺图案时，随意修改图形边长，导致拼接后出现空隙或重叠。 误认为密铺只能用规则图形，经过变形的不规则图形也可以实现密铺。 常考易错 题型1：图形的密铺 【典例精讲1】小丽在探究密铺时，选择了三角形与四边形进行研究，如下图： (1)在活动中，小丽认为密铺和图形的角有关系，你认为小丽的发现对吗？如果和角有关，应该是怎样的关系？ (2)所有的平面图形都能密铺吗？说明你的想法。 【答案】(1)小丽的发现是对的。密铺和图形的角有关，关系是：拼接在同一个点的各个角的度数之和正好等于360°，这样才能实现不留空隙、不重叠的密铺。 (2)不是所有的平面图形都能密铺。例如圆是平面图形，它的边是曲线，拼接时会产生空隙，无法满足拼接点处角的和为的要求，因此不能密铺。 【分析】（1）图中三个图形分别是将相同图形的角按序号标好，然后进行密铺。密铺后发现在公共顶点上几个角度数的和是360°。如：第一幅图中，中间有公共顶点的2个∠1、2个∠2和2个∠3拼在一起，因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以这6个角度数的和是360°。第二、三幅图中有公共顶点的∠1、∠2、∠3、∠4度数的和也是360°。由此可以发现，密铺后的图形在公共顶点上的几个角度数的和是360°。 （2）用举反例的方法，例如圆是平面图形，它的边是曲线，拼接时会产生空隙，无法满足拼接点处角的和为的要求，因此不能密铺。 【详解】（1）略 （2）略 专项精练 1．下列图形中，（    ）不能密铺。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图形能不能密铺，看几个相同的这种图形的角拼在一起时，能否刚好凑成360°不留空隙。 【详解】A．等边三角形，6个等边三角形的内角可以刚好拼成360°，能密铺。 B．等腰梯形，4个内角总和是360°，可以拼接成不留空隙的平面，能密铺。 C．正五边形，它的每个内角是108°，无论几个108°相加都没法刚好得到360°，拼接后会留空隙，不能密铺。 D．正六边形，它的每个内角是120°，3个正六边形的内角可以刚好拼成360°，能密铺。 2．用地砖铺设道路，只用一种地砖，不可以密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】密铺要求：把几个完全一样的图形铺在同一个点上，拼出来的角度加起来刚好是360°，没有空隙也不重叠。据此依次判断每个图形的内角是否满足密铺条件，找出不能满足的图形即可。 【详解】A．梯形内角和是360°，4个一样的梯形可以在一个点把内角凑出360°，能密铺。 B．正五边形它每个内角是108°，108°不管凑几个都没法刚好得到360°，没法不留空隙铺满地面，不能密铺。 C．正方形每个内角是90°，4个90°加起来刚好360°，能密铺。 D．等边三角形每个内角是60°，6个60°加起来刚好360°，能密铺。 3．下面图案是由三角形和正方形密铺得到的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方形和三角形密铺得到的图形，图中只会出现正方形和三角形。据此分析解答。 【详解】A．图中出现正方形和平行四边形，选项错误； B．图中出现三角形和六边形，选项错误； C．图中只有三角形，选项错误； D．图中有正方形和三角形，选项正确。 4．下面图形中可以单独进行密铺的有（    ）种。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，即图形的内角能整除360°或被360°整除，并使相等的边互相重合，据此解答即可。 【详解】长方形和平行四边形的内角和都是360°，能整除360°，可以密铺； 等边三角形的内角和是180°，能被360°整除，可以密铺； 正六边形的内角和是720°，能整除360°，可以密铺； 五边形的内角和是540°，不能整除360°，不可以密铺。 圆形与圆形之间有空隙，不能密铺。 图形中可以用来单独密铺的有4种。 5．装修工人要给客厅铺地砖，想只用一种形状的地砖铺满地面（地砖之间不留空隙、也不重叠），下面（    ）地砖不能选。 A．正三角形 B．正五边形 C．平行四边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】密铺的条件是拼接点处的几个角的和等于。正三角形、平行四边形、正六边形都能密铺，正五边形不能密铺，据此解答。 【详解】A．正三角形的每个内角是，，能密铺，可以选正三角形； B．正五边形的每个内角是，不能整除，拼接处会有空隙，不能密铺，不能选正五边形； C．平行四边形是四边形，任意四边形的内角和是，能密铺，可以选平行四边形； D．正六边形的每个内角是，，能密铺，可以选正六边形。 所以，不能选的地砖是正五边形。 6．为美化校园环境，学校工程队准备选用一种地砖对地面重新铺设（没有空隙且不重叠），如图几种地砖中，能选择的有（     ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】几何图形密铺只要形成一个周角就行，三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺；四边形的内角和是360°，能整除360°，可以密铺；五边形的内角和是540°，不能整除360°，不能密铺；圆不能密铺；据此即可解答。 【详解】 为美化校园环境，学校工程队准备选用一种地砖对地面重新铺设（没有空隙且不重叠），如图几种地砖中，能选择的有3种。 故答案为：C 7．李叔叔创办一个地砖厂。下面（    ）的地砖不适合设计生产，因为不能密铺。 A．长方形 B．平行四边形 C．正五边形 D．梯形 【答案】C 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断一种图形能否密铺，关键看围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角360°。 【详解】A．长方形的四个角都是直角，直角为90°，4个90°相加为90°×4＝360°，所以长方形可以密铺。 B．平行四边形的内角和是360°，可以通过将4个平行四边形的不同内角拼在一起组成360°，所以平行四边形可以密铺。 C．正五边形的每个内角是108°，因为360°不是108°的整数倍，所以正五边形不能密铺。 D．梯形的内角和是360°，可以通过将4个梯形的不同内角拼在一起组成360°，所以梯形可以密铺。 故答案为：C 8．为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到下面四种图案，以下四种图案中可以密铺的是（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】多边形的内角和是（边数－2）×180°，算出内角和。再根据正多边形的每个内角都相等，算出每个内角的度数。－种正多边形能密铺，关键在于每个顶点的角度之和必须是360°。据此选择。 【详解】正三角形的内角和是180°，所以它的每个内角是60°。6个这样的角可以拼成360°。可以密铺。 正方形的内角和是360°，所以它的每个内角是90°。4个这样的角可以拼成360°。可以密铺。 5－2＝3，3×180＝540°，正五边形的内角和是540°。540÷5＝108°，它的每个内角是108°，几个108°的角不能拼成360°，不可以密铺。 6－2＝4，4×180＝720°，正六边形的内角和是720°。720÷6＝120°，它的每个内角是120°，3个这样的角可以拼成360°。可以密铺。 则可以密铺的是①②④。 故答案为：C 9．下面四幅图中，可以看作是密铺的有( )，理由是( )。 【答案】 ①④ 图形之间没有空隙，也不重叠 【分析】密铺是指将一种或多种平面图形拼接在一起，使其不留空隙、不重叠，从而铺满整个平面。密铺的关键条件是在每个顶点处，拼接图形的内角之和必须等于360°，这样才能实现无缝衔接。 【详解】①是八边形和四边形密铺形成；②中图形有重叠，所以不是密铺；③中圆与圆中有空隙，不是密铺；④是梯形密铺形成。 因此，可以看作是密铺的有①④，理由是：图形之间没有空隙，也不重叠。 10．长方形、正方形、正六边形中，能单独密铺的有( )。 【答案】长方形、正方形、正六边形 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。据此解题即可。 【详解】长方形和正方形的每个内角都是90°，360°÷90°＝4，4个内角可拼接为周角，能单独密铺； 正六边形的每个内角是120°，360°÷120°＝3，3个内角可拼接为周角，能单独密铺； 所以，长方形、正方形、正六边形中，能单独密铺的有长方形、正方形、正六边形。 11．在铺设地砖时，一般选用可单独密铺的图形，请写出三种：( )、( )、( )。 【答案】 正方形 长方形 正六边形 【分析】图形密铺，拼接在同一个点的各个角相加等于360°，就可以单独密铺。 【详解】正方形每个内角90°，90°×4＝360°； 长方形每个内角90°，90°×4＝360°； 正六边形每个内角120°，120°×3＝360°。 它们在同一个顶点内角相加等于360°，没有空隙不重叠，可以单独密铺。 12．如图，在研究图形的密铺，观察可以发现，图形公共顶点处各个角的度数之和是( )时一定可以密铺。 【答案】360°/360度 【分析】观察题图中等边三角形、正方形、正六边形密铺的公共顶点：等边三角形6个60°、正方形4个90°、正六边形3个120°，在拼接的公共顶点处角度相加都等于360°；而正五边形每个内角108°，几个108°相加无法凑出360°，不能密铺。由此总结密铺规律：在图形拼接的公共顶点处，各个角的度数之和等于360°，就能够不留空隙、不重叠地密铺。 【详解】密铺要求拼接后既不留空隙，也不互相重叠。围绕同一个公共顶点一周形成一个周角，周角大小为360°。因此图形公共顶点处各个角的度数之和是360°时一定可以密铺。 13．下面是密铺的画“√”，不是的画“×”。 ( )      ( )      ( )     ( ) 【答案】 √ × √ × 【分析】图形的密铺是将形状、大小完全相同的一种或者几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。观察图形看哪个图形没有空隙 且不重叠，即能密铺，据此判断。 【详解】通过观察： 图①中的每个平行四边形之间没有空隙，又不重叠，是密铺； 图②中的五边形之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺； 图③中的每个三角形之间没有空隙，也不重叠，所以是密铺； 图④中的每个圆之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺。 所以①√；②×；③√；④× 14．仔细观察如图的图案，它是由( )、( )、( )拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？( )（填“能”或“否”） 【答案】 等边三角形 正方形 正六边形 能 【分析】等边三角形：三条边都相等，三个角都相等；正方形：四条边都相等，四个角都是直角；正六边形：六条边都相等，六个角都相等。图形之间没有缝隙也不重复，叫做密铺，依此解答。 【详解】仔细观察如图的图案，它是由等边三角形、正方形、正六边形拼接组成的（先后顺序不唯一）；它们组合到一起能否继续密铺下去？能。 15．写出能可以密铺的两个平面图形( )、( )。 【答案】 等边三角形 正方形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。 【详解】由分析知，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺，如等边三角形、正方形。（答案不唯一） 16．等边三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单独密铺。 【答案】 等边三角形 平行四边形 圆 【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，依此解答。 【详解】等边三角形的三个角的度数之和是180°，360°÷180°＝2，因此等边三角形可以单独进行密铺。 平行四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，因此平行四边形可以单独进行密铺。 圆是由一条封闭的曲线围成的，圆与圆之间有间隙，因此圆不能密铺。 由此可知，等边三角形、平行四边形和圆中，等边三角形和平行四边形能单独密铺，圆不能单独密铺。 17．密铺与图形的内角有关，只要图形的内角能组合成( )°，它就可以密铺。 【答案】360 【详解】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，多边形的内角和是360度的都可以密铺。 例如：四边形内角是360°，所以四边形可以密铺；三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和等于360°，所以三角形可以密铺。 18．如图所示为正六边形，它可看作是由________或________或者________密铺而成。 【答案】 三角形 平行四边形 菱形 【分析】用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，叫做平面图形的密铺，每个拼接点处，要刚好是360度才可以密铺。 【详解】它可看作是由6个三角形，或者3个平行四边形，或者3个菱形密铺而成。 【点睛】本题考查了平面密铺的条件。 19．请从下面图形中选择能密铺的图形铺满一个平面，画在右面的方框中。 【答案】见详解 【分析】根据平面图形密铺的条件，判断所给图形能否密铺，能密铺的图形在拼接时，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。所给的图形中，除了圆和正五边形不能密铺，其它的都可以。 【详解】画图如下： （画法不唯一） 20．用六个相同的三角形组成的图案铺设地面。请分别接着往后画一组。 【答案】 【分析】图案1是由6个相同的三角形组成的六边形进行铺设地面的；图案2是由6个相同的三角形组成的小船形状的图形进行铺设地面的；据此往后面用6个三角形组成的图案再画一组即可。 【详解】画图略 21．密铺中的奥秘。 (1)上面几个图形，不能密铺的是( )。（填序号） (2)为什么它不能密铺呢？写一写原因。 【答案】(1)③ (2) 图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 【分析】（1）密铺的要求是：把几个图形铺在同一个点上时，拼出的角加起来刚好是360°，既不留空隙也不重叠。 （2）图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 【详解】（1）①是三角形、②是平行四边形、④是正六边形，都满足密铺的角度要求，是可以密铺的。 不能密铺的是③。 （2）答：图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 22．你知道哪些图形可以密铺吗？请你在可以密铺的图形下面打上勾．   (    )      (    )        (    )          (    )         (    )      (    ) 【答案】根据密铺的图形的特征，圆和正五边形不能密铺，其余几个图形都可以密铺． 【详解】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠； （3）连续铺成一片． 23．有一个工厂的废料堆里，正堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是歪七歪八的四边形.如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你说行吗？ 【答案】行. 【详解】因为四边形的内角和是360°，按如图所示的拼法拼，就能填满整个平面，而且毫无缝隙.因此，凡是有着同样大小、同样形状的任意四边形木块，都可用来拼地板． 24．如图所示，将正方形中1的图案移到2的位置，3的图案移到4的位置得到一个新的图案，你认为由全等的新的图案能够进行平面密铺吗? 【答案】可以． 【详解】因为正方形是一种可以密铺的平面图形，而新的图案只是将原正方形的某些部分移动至另一位置，因而它也是可以密铺的． 25．小明家准备在客厅地面上铺上方砖。 （1）如果铺满客厅，这两种方砖分别需要多少块？ （2）选择哪种方砖便宜，便宜多少钱？ 【答案】（1）方砖一200块，方砖二800块 （2）选择方砖一便宜，便宜600元。 【分析】（1）先把客厅的长与宽换算成分米，用客厅的长与宽的长度分别乘方砖的边长，求出长、宽分别需要几块方砖，相乘，即可求出需要方砖的块数。 （2）方砖个数×方砖单价，求出铺两种方砖个需要多少钱，进而确定哪种便宜，最后相减即可。 【详解】（1）4m＝40dm 8m＝80dm 方砖一：40÷4＝10（块） 80÷4＝20（块） 10×20＝200（块） 方砖二：40÷2＝20（块） 80÷2＝40（块） 20×40＝800（块） 答：方砖一需要200块，方砖二需要800块。 （2）200×5＝1000（元） 800×2＝1600（元） 1600－1000＝600（元） 答：选择方砖一便宜，便宜600元。 【点睛】此题主要考查了有关长方形和正方形面积计算的实际应用。注意换算单位。 26．在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 【答案】行，理由见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺。据此解答。 【详解】 用这些木料来铺地板可行，因为四边形的内角和是360°，按如图所示的拼法拼，就能填满整个平面，而且毫无缝隙。因此，凡是有同样大小、同样形状的任意四边形木料，都可用来铺地板。 【点睛】本题考查了密铺的知识点，要明确能密铺的图形在一个拼接点处的特点。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《有趣的密铺》 典例易错讲义 知识点 1：密铺的定义与基本特征 1. 概念定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面，这种图形拼接方式叫做密铺，也称为平面镶嵌。 2. 核心特征 无空隙：相邻图形之间没有缝隙，不存在空白区域。 不重叠：图形之间没有互相覆盖、叠加的部分。 平面性：密铺是在同一平面内的拼接，不是立体堆砌。 重复性：通常由固定的一种或几种图形，按规律重复排列铺满平面。 3. 生活中的密铺现象 建筑场景：地面地砖、墙面瓷砖、蜂巢结构、马赛克拼图。 日常场景：拼图玩具、布料花纹、包装纸图案。 自然场景：蜂巢的正六边形巢室，是天然的最优密铺结构。 4. 易错提醒 误认为只要铺满就是密铺，忽略 “无空隙、不重叠” 两个同时满足的必备条件。 将立体堆叠当作密铺，密铺仅针对平面图形的平面拼接。 忽略 “图形大小完全相同” 的前提，大小不同的同类图形无法实现规则密铺。 知识点 2：密铺的数学原理（密铺的核心条件） 1. 核心原理：拼接点内角和为 360° 几个图形拼接在同一个公共顶点（拼接点）处时，所有围绕该点的内角加起来的和，必须刚好等于一个周角（360°）。这是平面图形能够实现无空隙、不重叠密铺的根本数学依据。 2. 辅助条件：拼接边长度相等 参与密铺的图形，相邻拼接的边长度必须相等，才能保证图形之间严丝合缝地对齐，既不出现空隙也不产生重叠。 单一图形密铺：图形完全相同，对应边自然相等，天然满足该条件。 组合图形密铺：不同图形的拼接边长度必须相等，才能组合密铺。 3. 验证方法 判断一种图形能否密铺，核心就是看它的内角能否通过组合凑出 360° 的周角；判断多种图形能否组合密铺，就看不同图形的内角搭配后，拼接点处的角度和能否恰好等于 360°。 4. 易错提醒 只看图形形状判断密铺，不从 “拼接点内角和” 的本质原理分析。 组合密铺时忽略边长相等的前提，仅角度满足无法实现实际拼接。 知识点 3：单一平面图形的密铺规律 1. 任意三角形都可以密铺 原理：三角形的内角和为 180°。在同一个拼接点处，放入 2 组三角形的全部内角（共 6 个角），角度和为 2×180° = 360°，刚好组成周角。 结论：只要是形状、大小完全相同的三角形，无论形状是否规则，都可以单独密铺。 正三角形（等边三角形）：每个内角 60°，6 个正三角形拼在一点，6×60°=360°，可以密铺。 2. 任意四边形都可以密铺 原理：四边形的内角和为 360°。在同一个拼接点处，将四边形的四个不同内角各放一个，角度和刚好为 360°，组成完整周角。 结论：只要是形状、大小完全相同的凸四边形，包括长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则四边形，都可以单独密铺。 正方形：每个内角 90°，4 个正方形拼在一点，4×90°=360°，可以密铺。 3. 正多边形的密铺情况 只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独密铺，其余正多边形均不能单独密铺。 正多边形 单个内角度数 拼接点所需数量 能否单独密铺 正三角形 60° 6 个（6×60°=360°） 能 正方形 90° 4 个（4×90°=360°） 能 正五边形 108° 3 个和为 324°（有空隙），4 个和为 432°（重叠） 不能 正六边形 120° 3 个（3×120°=360°） 能 边数＞6 的正多边形 内角＞120° 3 个内角和就超过 360° 不能 4. 典型的不能单独密铺的图形 圆：边缘是曲线，拼接时必然产生空隙，无法实现无空隙密铺。 正五边形、正七边形等：内角无法恰好凑出 360°，不能单独密铺。 普通的五边形、七边形等不规则多边形，多数也无法单独密铺。 5. 易错提醒 误认为只有正多边形才能密铺，忽略任意三角形、任意四边形都具备密铺能力。 误认为所有正多边形都能密铺，遗漏正五边形等无法单独密铺的类型。 误认为平行四边形不能密铺，平行四边形属于四边形，完全可以密铺。 知识点 4：组合图形的密铺 1. 组合密铺的定义 用两种或两种以上边长相等的正多边形（或平面图形）搭配起来，共同铺满平面，且满足无空隙、不重叠，叫做组合图形密铺。 2. 组合密铺的判断标准 在同一个拼接点处，几种图形的内角相加，和恰好等于 360°，且图形的拼接边长度相等，即可实现组合密铺。 3. 常见经典组合密铺 正三角形 + 正方形：拼接点处放 3 个正三角形和 2 个正方形，角度和 = 3×60° + 2×90° = 360°。 正三角形 + 正六边形：拼接点处放 2 个正三角形和 2 个正六边形，角度和 = 2×60° + 2×120° = 360°。 正方形 + 正八边形：拼接点处放 1 个正方形和 2 个正八边形，角度和 = 90° + 2×135° = 360°。 4. 易错提醒 只关注角度和为 360°，忽略不同图形的边长必须相等，实际无法拼接。 组合图形密铺时，拼接点处的图形搭配不固定，只要角度和达标即可，存在多种组合方式。 知识点 5：密铺的设计与实际应用 1. 密铺图案的设计方法 选基础图形：选择可以密铺的基本图形（如三角形、四边形、正六边形）作为原型。 图形变换：利用平移、旋转、轴对称等图形运动方式，对基础图形的边进行变形，设计出带有图案的新图形，保证变形后的图形依然满足密铺条件。 拼接验证：将设计好的图形进行拼接，确认无空隙、不重叠，形成完整的密铺图案。 2. 密铺的实际价值 建筑装饰：地砖、墙砖、吊顶的设计，利用密铺实现美观与材料高利用率。 工艺设计：布料花纹、包装纸、拼图、镶嵌艺术的创作。 工程优化：蜂巢的正六边形密铺结构，在相同面积下用料最省、结构最稳固，是自然界的最优密铺应用。 3. 易错提醒 设计密铺图案时，随意修改图形边长，导致拼接后出现空隙或重叠。 误认为密铺只能用规则图形，经过变形的不规则图形也可以实现密铺。 常考易错 题型1：图形的密铺 【典例精讲1】小丽在探究密铺时，选择了三角形与四边形进行研究，如下图： (1)在活动中，小丽认为密铺和图形的角有关系，你认为小丽的发现对吗？如果和角有关，应该是怎样的关系？ (2)所有的平面图形都能密铺吗？说明你的想法。 专项精练 1．下列图形中，（    ）不能密铺。 A． B． C． D． 2．用地砖铺设道路，只用一种地砖，不可以密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面图案是由三角形和正方形密铺得到的是（    ）。 A． B． C． D． 4．下面图形中可以单独进行密铺的有（    ）种。 A．6 B．5 C．4 D．3 5．装修工人要给客厅铺地砖，想只用一种形状的地砖铺满地面（地砖之间不留空隙、也不重叠），下面（    ）地砖不能选。 A．正三角形 B．正五边形 C．平行四边形 D．正六边形 6．为美化校园环境，学校工程队准备选用一种地砖对地面重新铺设（没有空隙且不重叠），如图几种地砖中，能选择的有（     ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．李叔叔创办一个地砖厂。下面（    ）的地砖不适合设计生产，因为不能密铺。 A．长方形 B．平行四边形 C．正五边形 D．梯形 8．为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到下面四种图案，以下四种图案中可以密铺的是（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 9．下面四幅图中，可以看作是密铺的有( )，理由是( )。 10．长方形、正方形、正六边形中，能单独密铺的有( )。 11．在铺设地砖时，一般选用可单独密铺的图形，请写出三种：( )、( )、( )。 12．如图，在研究图形的密铺，观察可以发现，图形公共顶点处各个角的度数之和是( )时一定可以密铺。 13．下面是密铺的画“√”，不是的画“×”。 ( )      ( )      ( )     ( ) 14．仔细观察如图的图案，它是由( )、( )、( )拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？( )（填“能”或“否”） 15．写出能可以密铺的两个平面图形( )、( )。 16．等边三角形、平行四边形和圆中，( )和( )能单独密铺，( )不能单独密铺。 17．密铺与图形的内角有关，只要图形的内角能组合成( )°，它就可以密铺。 18．如图所示为正六边形，它可看作是由________或________或者________密铺而成。 19．请从下面图形中选择能密铺的图形铺满一个平面，画在右面的方框中。 20．用六个相同的三角形组成的图案铺设地面。请分别接着往后画一组。 21．密铺中的奥秘。 (1)上面几个图形，不能密铺的是( )。（填序号） (2)为什么它不能密铺呢？写一写原因。 22．你知道哪些图形可以密铺吗？请你在可以密铺的图形下面打上勾．   (    )      (    )        (    )          (    )         (    )      (    ) 23．有一个工厂的废料堆里，正堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形，都是歪七歪八的四边形.如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你说行吗？ 24．如图所示，将正方形中1的图案移到2的位置，3的图案移到4的位置得到一个新的图案，你认为由全等的新的图案能够进行平面密铺吗? 25．小明家准备在客厅地面上铺上方砖。 （1）如果铺满客厅，这两种方砖分别需要多少块？ （2）选择哪种方砖便宜，便宜多少钱？ 26．在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $