有趣的密铺（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学《有趣的密铺》单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了密铺的定义、核心特征及数学原理，用对比表格清晰呈现可单独密铺（如三角形、四边形）与不可单独密铺（如正五边形、圆形）图形的判定依据，突出周角拼接规律这一重难点，构建从概念到应用的完整知识脉络。 讲义亮点在于生活情境化练习设计，如俄罗斯方块密铺图形选择、茶杯花边正六边形与三角形密铺计算等题型，培养学生几何直观与应用意识。易错指引归纳概念判定、原理理解等常见误区，分层例题覆盖基础填空到综合作图，助力不同层次学生掌握密铺规律，为教师实施精准复习提供有效支持。

有趣的密铺（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《有趣的密铺》是人教版五年级上册数学综合实践拓展单元，承接多边形认识、多边形内角和、图形的运动等基础知识点，属于几何图形应用与生活实践结合的核心内容。本单元跳出单纯的公式计算，侧重图形特征探究、规律归纳与生活应用，是小学阶段平面几何图形特征的总结性拓展内容，培养学生图形观察、规律推理、几何建模与审美应用能力，为初中平面镶嵌知识学习奠定前置基础。 2. 核心学习内容 掌握密铺的严格数学定义与三大核心特征；理解平面图形密铺的本质原理与周角拼接规律；系统区分可单独密铺、不可单独密铺的平面图形并掌握判定依据；认识组合密铺的概念与拼接特点；了解生活中的密铺应用场景；掌握密铺图形的规律特征与设计原则；梳理单元易混概念、核心规律与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 归纳推理思想：通过观察不同图形的拼接效果，归纳出密铺的通用数学规律；数形结合思想：结合图形内角度数与周角关系，解释密铺成立的本质原因；建模思想：建立图形密铺的判定模型，实现快速判断图形能否密铺；应用审美思想：将几何规律应用于生活图案设计，体会数学的实用性与美学价值。 二、密铺的基础概念与核心特征 1. 密铺的数学定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，能够铺满整个平面，且拼接处既不留空隙、也不互相重叠，这种平面铺设方式叫做密铺，也称为平面镶嵌。密铺是平面图形无限延展、规律拼接的特殊几何现象。 2. 密铺三大必备条件（缺一不可） 无空隙：图形与图形拼接的缝隙处没有任何空白区域，平面完全被图形覆盖；不重叠：所有图形独立平铺，不存在任何图形遮挡、重合、叠加的情况；可延展：拼接图案可以向四周无限延伸，完整铺满整片平面，不局限于固定区域。 3. 密铺的直观特点 密铺图案规整有序、重复性强，拼接节点统一，整体视觉均匀对称，是生活中装饰、铺装设计的常用几何模式，所有密铺图案均依托固定图形内角规律形成。 三、图形密铺的核心数学原理（重难点） 1. 核心判定依据 平面图形能够单独密铺的唯一核心条件：在同一个拼接顶点处，所有拼接图形的内角度数之和恰好等于360°（一个完整周角）。只有内角能够凑成完整周角，才能实现无空隙、不重叠的平整铺设。 2. 原理深层解读 平面内一个定点的周角度数固定为360°，若干个相同图形的内角围绕该顶点拼接，刚好填满360°时，拼接处无缝隙、无重叠；若内角和大于360°会出现图形重叠，内角和小于360°会出现空白空隙，均无法满足密铺要求。 3. 正多边形密铺专属规律 正多边形能否单独密铺，判定标准为：正多边形的单个内角度数能够整除360°。能够整除360°，即可实现均匀、规整的单独密铺；无法整除360°，则不能单独密铺。 四、可单独密铺的平面图形及原理 1. 任意三角形（所有三角形） 任意锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均可以单独密铺。核心原理：三角形内角和为180°，6个完全相同的三角形内角可以在拼接顶点处凑成360°，满足密铺角度要求，拼接后平整无空隙、无重叠。 2. 任意四边形（所有四边形） 长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则任意四边形，全部可以单独密铺。核心原理：四边形内角和为360°，4个完全相同的四边形内角可在拼接顶点处刚好凑成360°，完美适配周角密铺条件。 3. 特殊正多边形：正六边形 正六边形可以单独密铺。核心原理：正六边形每个内角为120°，3个120°内角相加恰好等于360°，能够整除周角，拼接规整稳定，是生活中最常见的自然密铺图形（蜂巢结构）。 五、不可单独密铺的平面图形及原因 1. 正五边形 正五边形无法单独密铺。核心原理：正五边形每个内角为108°，108°无法整除360°，3个内角和为324°（存在空隙），4个内角和为432°（出现重叠），无法满足周角密铺条件，因此不能单独密铺。 2. 圆形 圆形无法单独密铺。核心原因：圆形为纯曲线图形，没有内角、没有平直边，圆形与圆形拼接时必然出现固定空白空隙，无法实现全覆盖、无空隙的密铺要求。 3. 其他正多边形 边数大于6的正多边形（正七边形、正八边形等），单个内角度数过大，无法通过若干个内角拼接凑出精准360°周角，均不能单独进行密铺。 六、组合密铺拓展知识点 1. 组合密铺定义 用两种或两种以上不同形状的平面图形相互搭配、拼接，满足无空隙、不重叠、全覆盖的铺设要求，称为组合密铺。组合密铺突破了单一图形的密铺局限，图案更丰富多样。 2. 组合密铺核心原理 不同图形的内角相互搭配组合，在拼接顶点处，多个不同度数的内角相加总和恰好等于360°，即可实现组合密铺。部分无法单独密铺的图形，可搭配其他图形完成密铺拼接。 3. 常见组合密铺案例 正五边形搭配三角形、圆形搭配多边形、正方形搭配正八边形等，均可实现组合密铺。组合密铺无固定图形限制，只要满足顶点内角和为360°、无空隙无重叠即可成立。 七、生活中的密铺应用 密铺在生活中应用广泛，是几何规律服务生活的典型体现。常见场景有：室内地面瓷砖、墙面墙砖铺设、人行道地砖铺装、蜂巢天然结构、布艺花纹、地板拼接、艺术装饰图案、建筑外墙设计等。所有规整的平面铺装图案，基本都依托密铺几何规律设计，兼具实用性与美观性。 八、密铺图形的设计原则 设计密铺图案时，必须严格遵循三大原则：顶点拼接内角和为360°、整体无空隙、整体无重叠；优先选用可单独密铺的图形设计简约图案；创意图案可采用组合密铺方式，搭配不同图形；拼接图案需具备重复性、延展性，能够无限平铺拓展。 易错指引 1. 概念判定易错 误认为视觉整齐的图形拼接就是密铺，忽略无空隙、无重叠两大核心条件；混淆密铺与图形拼接，普通拼接不满足无限延展、全覆盖特征，不属于密铺。 2. 图形密铺规律易错 误认为只有规则图形可以密铺，忽略任意三角形、任意不规则四边形均可单独密铺；误认为正五边形可以密铺，记错内角度数与周角拼接规律；误认为圆形可以通过调整摆放实现密铺，忽略圆形无边角、必然留空隙的特征。 3. 原理理解易错 只记忆图形能否密铺，不理解360°周角拼接核心原理；混淆正多边形密铺判定规则，忘记“内角整除360°”的判定标准；组合密铺中，错误认为任意图形搭配都能密铺，忽略内角和必须等于360°的硬性条件。 4. 应用认知易错 误认为密铺只能用单一图形，不了解组合密铺的存在；混淆自然密铺与人工密铺的共性规律，无法用数学原理解释生活密铺现象；设计图案时出现局部重叠、空隙，违背密铺核心要求。 例题讲解 【例题】 1．三角形、平行四边形、梯形、正六边形能单独密铺，( )和( )不能单独密铺。 【例题】 2．请写出两种能单独密铺的图形是( )和( )；请写出一种不能单独密铺的图形是( )。 【例题】 3．俄罗斯方块游戏是用下面七种基本图形来密铺的。 下面是一个正在进行中的游戏，你希望接下来降落哪个图形？为什么？ 【例题】 4．下面的哪幅图形是密铺的？ 真题拔高 二、填空题 5．在①等边三角形、②正六边形、③正八边形、④长方形中，能密铺的图形有( )（填序号）。它们能密铺的原因是用若干个它们的内角能拼成( )°的角。 6．三角形、平行四边形、正五边形、正六边形中，不能单独密铺的图形有( )。 7．在长方形、正方形、等边三角形和正八边形中，( )不能密铺。 8．下面的图案是用哪些图形密铺的？( )、( )和( )。 9．在下列图形中，可以密铺的有( )个。 10．可以密铺的平面图形有( )（写出2个即可）。 11．密铺时拼接点处的各个角的度数之和等于( )°。 12．图形的密铺。 (1)经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )°。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等。 三、选择题 13．下面四种图形中，不能单独密铺地面的是（    ）。 A． B． C． D． 14．下面的图形中，不能密铺的是（    ）。 A．四边形 B．三角形 C．正六边形 D．正五边形 15．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 16．下面四种瓷砖中，可以用同一种瓷砖密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 17．下面说法错误的是（    ）。 A．正方形是特殊的长方形 B．等边三角形都是等腰三角形 C．等腰三角形都是锐角三角形 D．长方形、正方形都能密铺 四、判断题 18．形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。( ) 19．所有的三角形都可以密铺。( ) 20．密铺的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加起来等于360°。( ) 21．平行四边形、长方形和正方形都可以密铺。( ) 22．三角形能单独进行密铺。( ) 五、作图题 23．请从下面图形中选择能密铺的图形铺满一个平面，画在右面的方框中。 六、解答题 24．李想准备在茶杯外圈的底部贴一圈花边（如图①）。他打算用正六边形和正三角形按图②的样式进行密铺。照这样贴一圈，正六边形和正三角形的总个数正好是60，正六边形和正三角形分别用了多少个？ 25．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 26．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 27．俄罗斯方块游戏是用下面七种基本图形来密铺的。 下面是一个正在进行中的游戏，你希望接下来降落哪个图形？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 有趣的密铺（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《有趣的密铺》是人教版五年级上册数学综合实践拓展单元，承接多边形认识、多边形内角和、图形的运动等基础知识点，属于几何图形应用与生活实践结合的核心内容。本单元跳出单纯的公式计算，侧重图形特征探究、规律归纳与生活应用，是小学阶段平面几何图形特征的总结性拓展内容，培养学生图形观察、规律推理、几何建模与审美应用能力，为初中平面镶嵌知识学习奠定前置基础。 2. 核心学习内容 掌握密铺的严格数学定义与三大核心特征；理解平面图形密铺的本质原理与周角拼接规律；系统区分可单独密铺、不可单独密铺的平面图形并掌握判定依据；认识组合密铺的概念与拼接特点；了解生活中的密铺应用场景；掌握密铺图形的规律特征与设计原则；梳理单元易混概念、核心规律与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 归纳推理思想：通过观察不同图形的拼接效果，归纳出密铺的通用数学规律；数形结合思想：结合图形内角度数与周角关系，解释密铺成立的本质原因；建模思想：建立图形密铺的判定模型，实现快速判断图形能否密铺；应用审美思想：将几何规律应用于生活图案设计，体会数学的实用性与美学价值。 二、密铺的基础概念与核心特征 1. 密铺的数学定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，能够铺满整个平面，且拼接处既不留空隙、也不互相重叠，这种平面铺设方式叫做密铺，也称为平面镶嵌。密铺是平面图形无限延展、规律拼接的特殊几何现象。 2. 密铺三大必备条件（缺一不可） 无空隙：图形与图形拼接的缝隙处没有任何空白区域，平面完全被图形覆盖；不重叠：所有图形独立平铺，不存在任何图形遮挡、重合、叠加的情况；可延展：拼接图案可以向四周无限延伸，完整铺满整片平面，不局限于固定区域。 3. 密铺的直观特点 密铺图案规整有序、重复性强，拼接节点统一，整体视觉均匀对称，是生活中装饰、铺装设计的常用几何模式，所有密铺图案均依托固定图形内角规律形成。 三、图形密铺的核心数学原理（重难点） 1. 核心判定依据 平面图形能够单独密铺的唯一核心条件：在同一个拼接顶点处，所有拼接图形的内角度数之和恰好等于360°（一个完整周角）。只有内角能够凑成完整周角，才能实现无空隙、不重叠的平整铺设。 2. 原理深层解读 平面内一个定点的周角度数固定为360°，若干个相同图形的内角围绕该顶点拼接，刚好填满360°时，拼接处无缝隙、无重叠；若内角和大于360°会出现图形重叠，内角和小于360°会出现空白空隙，均无法满足密铺要求。 3. 正多边形密铺专属规律 正多边形能否单独密铺，判定标准为：正多边形的单个内角度数能够整除360°。能够整除360°，即可实现均匀、规整的单独密铺；无法整除360°，则不能单独密铺。 四、可单独密铺的平面图形及原理 1. 任意三角形（所有三角形） 任意锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均可以单独密铺。核心原理：三角形内角和为180°，6个完全相同的三角形内角可以在拼接顶点处凑成360°，满足密铺角度要求，拼接后平整无空隙、无重叠。 2. 任意四边形（所有四边形） 长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则任意四边形，全部可以单独密铺。核心原理：四边形内角和为360°，4个完全相同的四边形内角可在拼接顶点处刚好凑成360°，完美适配周角密铺条件。 3. 特殊正多边形：正六边形 正六边形可以单独密铺。核心原理：正六边形每个内角为120°，3个120°内角相加恰好等于360°，能够整除周角，拼接规整稳定，是生活中最常见的自然密铺图形（蜂巢结构）。 五、不可单独密铺的平面图形及原因 1. 正五边形 正五边形无法单独密铺。核心原理：正五边形每个内角为108°，108°无法整除360°，3个内角和为324°（存在空隙），4个内角和为432°（出现重叠），无法满足周角密铺条件，因此不能单独密铺。 2. 圆形 圆形无法单独密铺。核心原因：圆形为纯曲线图形，没有内角、没有平直边，圆形与圆形拼接时必然出现固定空白空隙，无法实现全覆盖、无空隙的密铺要求。 3. 其他正多边形 边数大于6的正多边形（正七边形、正八边形等），单个内角度数过大，无法通过若干个内角拼接凑出精准360°周角，均不能单独进行密铺。 六、组合密铺拓展知识点 1. 组合密铺定义 用两种或两种以上不同形状的平面图形相互搭配、拼接，满足无空隙、不重叠、全覆盖的铺设要求，称为组合密铺。组合密铺突破了单一图形的密铺局限，图案更丰富多样。 2. 组合密铺核心原理 不同图形的内角相互搭配组合，在拼接顶点处，多个不同度数的内角相加总和恰好等于360°，即可实现组合密铺。部分无法单独密铺的图形，可搭配其他图形完成密铺拼接。 3. 常见组合密铺案例 正五边形搭配三角形、圆形搭配多边形、正方形搭配正八边形等，均可实现组合密铺。组合密铺无固定图形限制，只要满足顶点内角和为360°、无空隙无重叠即可成立。 七、生活中的密铺应用 密铺在生活中应用广泛，是几何规律服务生活的典型体现。常见场景有：室内地面瓷砖、墙面墙砖铺设、人行道地砖铺装、蜂巢天然结构、布艺花纹、地板拼接、艺术装饰图案、建筑外墙设计等。所有规整的平面铺装图案，基本都依托密铺几何规律设计，兼具实用性与美观性。 八、密铺图形的设计原则 设计密铺图案时，必须严格遵循三大原则：顶点拼接内角和为360°、整体无空隙、整体无重叠；优先选用可单独密铺的图形设计简约图案；创意图案可采用组合密铺方式，搭配不同图形；拼接图案需具备重复性、延展性，能够无限平铺拓展。 易错指引 1. 概念判定易错 误认为视觉整齐的图形拼接就是密铺，忽略无空隙、无重叠两大核心条件；混淆密铺与图形拼接，普通拼接不满足无限延展、全覆盖特征，不属于密铺。 2. 图形密铺规律易错 误认为只有规则图形可以密铺，忽略任意三角形、任意不规则四边形均可单独密铺；误认为正五边形可以密铺，记错内角度数与周角拼接规律；误认为圆形可以通过调整摆放实现密铺，忽略圆形无边角、必然留空隙的特征。 3. 原理理解易错 只记忆图形能否密铺，不理解360°周角拼接核心原理；混淆正多边形密铺判定规则，忘记“内角整除360°”的判定标准；组合密铺中，错误认为任意图形搭配都能密铺，忽略内角和必须等于360°的硬性条件。 4. 应用认知易错 误认为密铺只能用单一图形，不了解组合密铺的存在；混淆自然密铺与人工密铺的共性规律，无法用数学原理解释生活密铺现象；设计图案时出现局部重叠、空隙，违背密铺核心要求。 例题讲解 【例题】 1．三角形、平行四边形、梯形、正六边形能单独密铺，( )和( )不能单独密铺。 【答案】 正五边形（答案不唯一） 圆（答案不唯一） 【分析】平面图形能单独密铺的特点：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，并使相等的边互相重合；能密铺的正多边形的内角能整除360°，不是正多边形的内角和能整除360°；有曲线的不能密铺；据此解答。 【详解】正五边形的一个内角是108°，360°÷108°＝3……36°；所以正五边形不能单独密铺； 圆有曲线，不能单独密铺； 所以正五边形和圆不能单独密铺。（答案不唯一） 【例题】 2．请写出两种能单独密铺的图形是( )和( )；请写出一种不能单独密铺的图形是( )。 【答案】 正三角形/等边三角形 正方形 正五边形 【分析】判断图形能否单独密铺的关键是：围绕一点拼合时，图形的内角能整除360°。例如，正三角形内角60°，360÷60＝6，6个角可拼合；正方形内角90°，360÷90＝4，4个角可拼合。正五边形内角108°，360÷108＝2……144，无法整除，故不能密铺（答案不唯一）。 【详解】请写出两种能单独密铺的图形是（正三角形）和（正方形）；请写出一种不能单独密铺的图形是（正五边形）（答案不唯一）。 【例题】 3．俄罗斯方块游戏是用下面七种基本图形来密铺的。 下面是一个正在进行中的游戏，你希望接下来降落哪个图形？为什么？ 【答案】图形5，原因见详解 【分析】密铺：图形的密铺是将形状、大小完全相同的一种或者几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片。 俄罗斯方块游戏规则：当水平方向一行满了，则这一行就会消除掉。观察图形可知底下两行各差2个正方形，据此结合所给图形进行选择即可。 【详解】希望降落下来图形5，因为底下两行各差2个正方形，降落图形5，这样最下面两行能密铺消除掉。 【例题】 4．下面的哪幅图形是密铺的？ 【答案】第一幅图 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的若干个平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。据此概念解题。 【详解】观察图形，第一幅图的各个基础图形之间没有空隙，也不重叠，是密铺。第二幅图的各个基础图形之间有空隙，不是密铺。 答：第一幅图是密铺的。 真题拔高 二、填空题 5．在①等边三角形、②正六边形、③正八边形、④长方形中，能密铺的图形有( )（填序号）。它们能密铺的原因是用若干个它们的内角能拼成( )°的角。 【答案】 ①②④ 360 【分析】需先分别计算各图形内角的度数，再判断内角能否拼成360°，能拼成360°的图形即可密铺。 据此解答。 【详解】①等边三角形的内角和为180°，每个内角为180°÷3＝60°。因为360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角可拼成360°，所以能密铺。 ②正六边形的内角和为（6－2）×180°＝4×180°＝720°，每个内角为720°÷6＝120°。因为360°÷120°＝3，即3个正六边形的内角可拼成360°，所以能密铺。 ③正八边形的内角和为（8－2）×180°＝6×180°＝1080°，每个内角为1080°÷8＝135°。因为360°÷135°≈2.67，不是整数，即若干个正八边形的内角不能拼成360°，所以不能密铺。 ④长方形的每个内角为90°。因为360°÷90°＝4，即4个长方形的内角可拼成360°，所以能密铺。 因此，在①等边三角形、②正六边形、③正八边形、④长方形中，能密铺的图形有①②④。它们能密铺的原因是用若干个它们的内角能拼成360°的角。 6．三角形、平行四边形、正五边形、正六边形中，不能单独密铺的图形有( )。 【答案】正五边形 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，判断一种图形能否密铺，关键看围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起是否组成一个周角360°，据此解答。 【详解】三角形：三角形的内角和是180°，用6个完全相同的三角形就可以在同一点处拼接成360°，所以三角形能密铺。 平行四边形：平行四边形的内角和是180°×2＝360°，4个这样的平行四边形铺在一起就可以密铺，所以平行四边形能密铺。 正五边形：正五边形内角和是180°×3＝540°，一个内角度数为540°÷5＝108°，几个正五边形拼在一起，无法组成一个360°的角，所以正五边形不能密铺。 正六边形：正六边形的每个内角是120°，3×120°＝360°，所以正六边形能密铺。 三角形、平行四边形、正五边形、正六边形中，不能单独密铺的图形有正五边形。 7．在长方形、正方形、等边三角形和正八边形中，( )不能密铺。 【答案】正八边形 【分析】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。几何图形密铺成平面的关键是，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起正好是360°，一种正多边形的密铺应符合一个内角的度数能整除360°；长方形、正方形的内角和是360°，长方形、正方形的每个内角都是360°÷4＝90°；等边三角形的内角和是180°，等边三角形的每个内角是180°÷3＝60°；正八边形的内角和是（8－2）×180°＝6×180°＝1080°，正八边形的每个内角是1080°÷8＝135°，据此解答。 【详解】长方形的每个内角是90°，360°÷90°＝4，所以长方形能密铺； 正方形的每个内角是90°，360°÷90°＝4，所以正方形能密铺； 等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，所以等边三角形能密铺； 正八边形的每个内角是135°，360°÷135°＝，135°不能整除360°，所以正八边形不能密铺。 综上所述，在长方形、正方形、等边三角形和正八边形中，正八边形不能密铺。 【点睛】本题主要考查图形的密铺，n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3），求出每个多边形的内角并判断是否能整除360°是解答题目的关键。 8．下面的图案是用哪些图形密铺的？( )、( )和( )。 【答案】 正方形 等边三角形 正六边形 【分析】根据密铺的意义，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺。 【详解】图案中用了正方形、等边三角形和正六边形来密铺。 9．在下列图形中，可以密铺的有( )个。 【答案】3 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角和除以360°没有余数或者360°除以一个多边形的内角和没有余数，这样的多边形能密铺。 【详解】四边形的内角和是360°，所以长方形、梯形可以密铺。 三角形内角和是180°，所以三角形可以密铺。 圆不能密铺。 正五边形的内角和是540°，正五边形不能密铺。 正六边形的内角和是720°，正六边形能密铺。 在下列图形中，可以密铺的有3个。 10．可以密铺的平面图形有( )（写出2个即可）。 【答案】三角形、正方形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。 【详解】由分析知，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺，如三角形、正方形、长方形等。 即可以密铺的平面图形有（三角形、正方形）（写出2个即可）。 （答案不唯一） 11．密铺时拼接点处的各个角的度数之和等于( )°。 【答案】360 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。正六边形的密铺如下图： 由图可知，拼接点处的各个角围成了一个周角，所以拼接点处的各个角的度数之和等于360°。 【详解】密铺时拼接点处的各个角的度数之和等于360°。 12．图形的密铺。 (1)经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )°。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等。 【答案】(1)360 (2) 梯形 长方形 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，否则不能密铺。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360°。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：梯形的内角和是：（4－2）×180°＝360°，梯形能密铺；长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成360度，能单独密铺。 【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360°。 （2）梯形：（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有梯形、长方形等。（答案不唯一） 三、选择题 13．下面四种图形中，不能单独密铺地面的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。据此选择即可。 【详解】A．正六边形：每个内角是120°，3个内角拼接刚好凑成360°，可以单独密铺 B．四边形的4个内角和是360°，可以单独密铺。 C．等腰梯形的四个内角和是360°，拼接时可以凑出360°不留空隙，能单独密铺。 D．圆形拼接时，图形之间一定会留下空隙，因此不能单独密铺地面。 14．下面的图形中，不能密铺的是（    ）。 A．四边形 B．三角形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】D 【分析】根据密铺的定义，几何图形密铺成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）。任意三角形的内角和是，任意四边形的内角和是，它们都能密铺；正六边形的每个内角是，也能密铺；而正五边形的每个内角是，不能密铺。据此逐项分析选项即可。 【详解】A．任意四边形的内角和是，，能密铺，此选项错误； B．任意三角形的内角和是，，能密铺，此选项错误； C．正六边形的每个内角是，，能密铺，此选项错误； D．正五边形是五边形的一种，每个内角是，不能整除，不能密铺，此选项正确。 15．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】D 【分析】根据题意可知，所选的地板砖能够密铺才行，图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，据此解答即可。 【详解】密铺的条件是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即。 A．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； B．四边形的内角和为360°，360°÷360°＝1，因此四边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； C．正六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； D．正五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，不能整除，因此正五边形不可以单独进行密铺；不能选，此选项正确。 16．下面四种瓷砖中，可以用同一种瓷砖密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】密铺指用同一种图形拼接时，拼接点处几个内角的和必须等于360°，不留空隙、不重叠。 正多边形密铺的判断方法：先算出正多边形每个内角的度数，再看360°能否被这个内角度数整除，能整除就可以密铺，不能整除就不可以。 【详解】先判断每个图形的类型和内角度数： 正三角形：每个内角是60°，360°÷60°＝6，能整除，可密铺。 正方形：每个内角是90°，360°÷90°＝4，能整除，可密铺。 正五边形：每个内角是108°，360°÷108°≈3.33，不能整除，不可密铺。 正六边形：每个内角是120°，360°÷120°＝3，能整除，可密铺。 所以能单独密铺的是①②④。 17．下面说法错误的是（    ）。 A．正方形是特殊的长方形 B．等边三角形都是等腰三角形 C．等腰三角形都是锐角三角形 D．长方形、正方形都能密铺 【答案】C 【分析】长方形的特征是四个角都是直角，对边平行且相等；正方形的特征是四个角都是直角，四条边都相等； 等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形；等边三角形是三条边都相等的三角形； 等腰三角形是按边的长度特征分类的，锐角三角形是按角的大小分类的； 密铺的定义：用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。 【详解】A．正方形具备长方形的所有特征，所以正方形是特殊的长方形，此选项正确； B．因为三条边相等满足至少两条边相等的条件，所以等边三角形都是等腰三角形，此选项正确； C．等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，例如，顶角是的等腰直角三角形，属于直角三角形，不是锐角三角形，此选项错误； D．长方形和正方形的四个角都是，拼接时个角能组成，符合密铺条件，所以长方形、正方形都能密铺，此选项正确。 四、判断题 18．形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。( ) 【答案】√ 【分析】密铺是指图形之间没有空隙也不重叠。判断一种图形能否密铺，关键看拼接点处的几个角之和是否为。平行四边形是四边形，四边形的内角和是，四个完全相同的平行四边形不同的四个角拼在一起正好是，所以可以密铺。 【详解】平行四边形属于四边形，任意四边形的内角和等于，所以形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。原题说法正确。 故答案为：√ 19．所有的三角形都可以密铺。( ) 【答案】 √ 【分析】平面密铺要求拼接点处的角度和为360°，任意三角形的内角和都是180°，2个三角形的内角和正好是360°，且三角形可以通过拼接做到不留空隙、不重叠地铺满平面。 【详解】180°×2＝360° 所有的三角形都可以密铺，原题说法正确。 故答案为：√ 20．密铺的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加起来等于360°。( ) 【答案】√ 【分析】密铺是指用一种或多种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙也不重叠。 【详解】密铺要求平面图形之间没有空隙也不重叠，所以围绕一点拼在一起的几个多边形的内角之和必须等于 360°。 故答案为：√ 21．平行四边形、长方形和正方形都可以密铺。( ) 【答案】√ 【分析】密铺的条件是图形内角在拼接点处能拼成360°。四边形内角和是360°，平行四边形、长方形和正方形都属于四边形，它们的内角在拼接点处均可拼成360°，因此可以密铺。 【详解】平行四边形、长方形和正方形都属于四边形，内角和是360°，通过平移和旋转，每个拼接点处的角度之和为360°，因此也可以密铺。 故答案为：√ 22．三角形能单独进行密铺。( ) 【答案】√ 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的单个内角的度数加在一起恰好组成一个周角。三角形的内角度数和能被360°整除，因此任意三角形都能密铺。 【详解】三角形的内角和是180°，周角是360°。180°×2＝360°，所以任意三角形都能单独进行密铺。故原题说法正确。 故答案为：√ 五、作图题 23．请从下面图形中选择能密铺的图形铺满一个平面，画在右面的方框中。 【答案】见详解 【分析】根据平面图形密铺的条件，判断所给图形能否密铺，能密铺的图形在拼接时，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。所给的图形中，除了圆和正五边形不能密铺，其它的都可以。 【详解】画图如下： （画法不唯一） 六、解答题 24．李想准备在茶杯外圈的底部贴一圈花边（如图①）。他打算用正六边形和正三角形按图②的样式进行密铺。照这样贴一圈，正六边形和正三角形的总个数正好是60，正六边形和正三角形分别用了多少个？ 【答案】20个；40个 【分析】读图可知，图②首尾相连，能够形围住底部外圈。图②中一个正六边形搭配2个正三角形，正三角形个数是正六边形个数的2倍，正六边形和正三角形一共有60个，把正六边形看成1份，正三角形看成2份，用总个数除以3，计算每份的个数，再分别乘正六边形和正三角形份数，即可算出正六边形、正三角形个数。据此解答。 【详解】2＋1＝3 60÷3＝20（个） 20×1＝20（个） 20×2＝40（个） 答：正六边形有20个，正三角形有40个。 25．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 【答案】 87米 【分析】根据题意，已知学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛，首先用3乘8，求出一个正八边形的周长，再乘4，就是4个正八边形的周长；多加了3个3米的边，就是3×3＝9（米），所以，再减去9，就是围成这个花坛一共需要篱笆的长度；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 3×8×4－（3×3） ＝24×4－9 ＝96－9 ＝87（米） 答：围成这个花坛一共需要篱笆87米。 26．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 【答案】（1）见详解 （2）③ （3）图见详解 【分析】（1）（2）从多边形的一个顶点作与不与它相邻顶点的连接线，将求多边形内角和变成几个三角形内角和的和，并找出求多边形内角和的规律，即可解答； （3）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，据此选择平行四边形并设计出密铺图案即可。 【详解】（1） 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 四边形中共画出1条线段，将其分成2个三角形， 180°×（2）＝（360°）。 五边形 五边形中共画出2条线段，将其分成3个三角形 180°×（3）＝（540°）。 六边形 六边形中共画出3条线段，将其分成4个三角形， 180°×（4）＝（720°）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可推导出n边形的内角和是180°×（n－2），这个多边形的内角和是③。 （3）360°÷360°＝1 27．俄罗斯方块游戏是用下面七种基本图形来密铺的。 下面是一个正在进行中的游戏，你希望接下来降落哪个图形？为什么？ 【答案】5号；理由见详解 【分析】如果降落1号或2号图形，通过变形可以把最底层密铺，即可以消除一层；如果降落3号或4号图形，变形后只能消除一行；如果降落5号图形，可以把最下面两层密铺，即可以消除两层；如果降落6号，变形后只能消除一行；如果降落7号图形，不能消除图形。所以希望接下来降落5号图形。 【详解】通过分析可得： 希望接下来降落5号图形。因为5号图形可以把最下面两层密铺，即可以消除两层。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $