2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，通过“实际问题→不等关系（数学抽象）→不等式→不等式性质”流程导入，先梳理等式性质，再类比探究不等式八大基本性质，以等式性质为学习支架构建知识脉络。 其亮点在于采用类比推理与严谨证明结合，如通过作差法证明不等式性质，例1用性质法和作差法论证，培养逻辑推理与数学运算核心素养。题型分类清晰，含证明、判断不等关系及求代数式范围，课堂小结系统梳理性质，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学。

第一章 集合与常用逻辑用语 2.1等式性质与不等式性质 2.1等式性质与不等式性质（第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 梳理等式的基本性质，掌握不等式的八大基本性质，能利用不等式性质比较代数式大小、进行简单变形，培育数学运算核心素养. 通过类比等式性质探究不等式性质，学会作差比较法判断两式大小，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力. 感受等式与不等式知识的内在关联，体会数学知识的系统性，养成严谨规范的代数变形习惯，体会不等关系在现实生活中的广泛应用. 新课引入 新课引入 问题1：你能回忆起等式的基本性质并归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 提示：运算中的不变性就是性质. 等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) 如果，那么； 性质2(传递性) 如果，,那么； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么； 性质5(可除性) 如果，那么 思考：类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质并加以证明吗？ 探究一：不等式的性质 新知探究 性质1（对称性） 如果，那么；如果，那么 即 证明：由，得 因为正数的相反数是负数， 所以,即 所以 分析 要证 ，只要证. 探究一：不等式的性质 新知探究 性质2（传递性） 如果，,那么即， 证明: 所以 即 故 分析 要证，只要证 探究一：不等式的性质 新知探究 性质3（可加性） 如果，那么 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，移动后两点左右位置关系不会改变. 问题2：从形的角度我们已经证明了性质3，你能从数的角度再证明它吗？ 探究一：不等式的性质 新知探究 性质3（可加性） 如果，那么 证明: 即 . 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 分析 要证，只要证，即. 探究一：不等式的性质 新知探究 性质4（可乘性） 如果，那么如果，那么 证明:因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 同理，因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 小技巧： 本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变 探究一：不等式的性质 新知探究 性质5（同向可加性） 如果，那么 证明:因为由性质3(可加性)，得 ； 由由性质3(可加性)，得 . 再根据性质2(传递性)，即得 小技巧：本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向. 探究一：不等式的性质 新知探究 性质6（同向同正可乘性） 如果，那么 性质7（同乘方性） 如果，那么 同样的，利用性质4(可乘性)和性质2(传递性)可以推出： 小技巧：性质6告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。 探究一：不等式的性质 新知探究 如果，那么，即⇔ 可加性 如果那么 可乘性 如果那么，如果那么 同向可加性 如果那么 同向同正可乘性 如果那么 同正可乘方性 如果那么 对称性 如果，那么，如果，那么，即⇔ 传递性 即时训练 辨析1.求解不等式，并用不等式的性质说明理由。 解：不等式两边同乘以，得 . （不等式性质） 两边同加上，得. （不等式性质） 即 两边同乘以，得 （不等式性质） 典例精讲 例1：已知，，求证： 【分析】利用不等式性质证明不等式时，可从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的。 证明：方法一（作差法）： ∵ ， 所以， 又因为，所以， 所以 典例精讲 例1：已知，，求证： 证明：方法二（性质法）： ∵ ∴ 于是，即 由得. 比较大小的方法 技巧点拨 特殊值法：可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立． 性质法：应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质 成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构 造性质与法则. 作差法：作差并与比较． 作商法：作商并与比较，注意作商法需先判正负． 即时训练 题型1 证明不等式 1、已知，，求证： 证明：方法一（作差法）： ∵ 由，得；由，得 因为， 所以. 方法二（性质法）： 因为，所以. 又因为，所以 即 即时训练 题型2 判断不等关系 1、用不等号“＞或“＜”填空： （1）如果，,那么____ （2）如果，，那么____ （3）如果，那么______ （4）如果，那么______ 利用不等式性质判断不等式是否成立的方法 技巧点拨 (1)运用不等式的性质判断： 要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质. (2)特殊值法： 取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算 即时训练 题型2 判断不等关系 2、已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. 如果，那么 如果，那么 如果，那么 如果，那么 【答案】 即时训练 题型2 判断不等关系 3、给出下列结论： ①若ac>bc，则a>b； ②若a<b，则ac2<bc2； ③若<0，则a>b； ④若a>b，c>d，则a－c>b－d； ⑤若a>b，c>d，则ac>bd. 其中正确结论的序号是______. 【答案】③ 即时训练 题型3 求代数式范围 1、已知，试求与的取值范围. 解： ∵，所以 ∴， ∴，即， 又∵， 所以即 利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题 技巧点拨 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由及，推不出；由，推不出等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误． 即时训练 题型3 求代数式范围 2、已知，，求4的取值范围。 解：（法一）设，得，， ∴ ， ∴ 则，即 故4的取值范围为 即时训练 题型3 求代数式范围 2、已知，，求4的取值范围。 解：（法二）令， ∴ ∴ ，∴，∴ 又 ，∴ 故4的取值范围为 即时训练 题型3 求代数式范围 3、已知,, 求的取值范围. 解：令 所以，得 课堂小结 感谢聆听! $