2.1 第2课时　等式性质与不等式性质 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，通过糖水变甜的生活情境导入，引导学生抽象浓度不等式问题，衔接等式性质（对称性、传递性等），过渡到不等式性质（对称性、传递性、可加性等），并设自我诊断题夯实基础，构建从生活到数学、旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，典型例题分题型（判断真假、证明、求范围）并总结通性通法，如“特殊值法判断命题真假”培养数学思维，知能演练分层设计强化应用。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助清晰结构与分层训练提高教学效率。

第2课时　 等式性质与不等式性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表 示这一现象. 【问题】　你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ ⁠ 目录 数学·必修第一册   b ＝ a 　 a ＝ c 　 a ± c ＝ b ± c 　 ac ＝ bc 　 ＝ 　 目录 数学·必修第一册 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a ＞ b ⇔ b a 可逆 2 传递性 a ＞ b ， b ＞ c ⇒ a ＞ c 不可逆 3 可加性 a ＞ b ⇔ a ＋ c b ＋ c 可逆 ＜　 ＞　 目录 数学·必修第一册 性质 别名 性质内容 注意 4 可乘性 c 的 符号 5 同向可加性 同向 ＞　 ＜　 ＞　 目录 数学·必修第一册 性质 别名 性质内容 注意 6 同向同正 可乘性 同向 同正 7 可乘方性 a ＞ b ＞0⇒ an bn （ n ∈N， n ≥2） 同正 ＞　 ＞　 提醒　（1）若 a ＞ b ＞0，则0＜ ＜ ；若 a ＜ b ＜0，则0＞ ＞ ； （2）不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算. 目录 数学·必修第一册 1. （多选）已知 a ＜ b ，那么下列式子中，正确的是（　　） A. 4 a ＜4 b B. －4 a ＜－4 b C. a ＋4＜ b ＋4 D. a －4＜ b －4 目录 数学·必修第一册 2. 已知 a ＞ b ， c ＞ d ，且 c ， d 均不为0，那么下列不等式一定成立的 是（　　） A. ad ＞ bc B. ac ＞ bd C. a － c ＞ b － d D. a ＋ c ＞ b ＋ d 解析： 　令 a ＝2， b ＝－2， c ＝3， d ＝－6，可排除A、B、C. 由不等式的性质5知，D一定成立. 目录 数学·必修第一册 3. 利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数. （1）若2 x －3＝－5，则2 x ＝ ， x ＝ ⁠； 解析： 根据等式的性质3，等式两边同加3，得2 x ＝－ 2.再根据等式的性质5，等式两边同除以2，得 x ＝－1. （2）若5 x ＋2＝2 x －4，则3 x ＝ ， x ＝ ⁠. 解析： 根据等式的性质3，等式两边同减（2 x ＋2）， 得3 x ＝－6.再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得 x ＝ －2. －2　 －1　 －6　 －2　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用不等式的性质判断命题的真假 【例1】　（多选）下列命题中为真命题的是（　　） A. 0＞ a ＞ b ⇒ a2＞ b2 B. a2＞ b2⇒ a ＞ b ＞0 C. 若 a ＜ b ＜0，则 a2＞ ab ＞ b2 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，由0＞ a ＞ b 可知，0＜－ a ＜－ b ，则由性质7可 知，（－ b ）2＞（－ a ）2，即 b2＞ a2，故A为假命题；对于B，性质7 不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得 a2＞ ab .因为 所以 ab ＞ b2，从而有 a2＞ ab ＞ b2，故C为真命题；对于D， 由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为 a ＞ b ，所以 b － a ＜0，于是 ab ＜0.又因为 a ＞ b ，所以 a ＞0， b ＜0，故D为真命题. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用不等式的性质判断命题真假的2种方法 （1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性 质证明；对于假命题只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条 件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代 表性. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 下列命题中，正确的是（　　） A. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 ac ＞ bd B. 若 ac ＞ bc ，则 a ＜ b C. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 a － c ＞ b － d 目录 数学·必修第一册 解析： 　选项A中，当 a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0时， ac ＞ bd 成立，但 是当 a ， c 均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当 c ＜0时， ac ＞ bc 可推出 a ＜ b .当 c ＞0时， ac ＞ bc 可推出 a ＞ b ，故B不正 确；选项C中，由 a ＞ b ， c ＞ d ，可得 a － d ＞ b － c ，故C不正 确；选项D中，式子 ＜ 成立，显然 c ≠0，所以 c2＞0，根据不 等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与 原不等式的不等号同向，显然有 a ＜ b 成立，故D正确.故选D. 目录 数学·必修第一册 2. （多选）已知 ＜ ＜0，则下列结论正确的是（　　） A. a ＜ b B. ab ＞ a ＋ b C. ｜ a ｜＜｜ b ｜ D. ab ＞ b2 解析： 　由 ＜ ＜0可得 b ＜ a ＜0，显然选项A不正确；因为 b ＜ a ＜0，所以 ab ＞0， a ＋ b ＜0，所以 ab ＞ a ＋ b ，故选项B正 确；因为 b ＜ a ＜0，所以｜ b ｜＞｜ a ｜，故选项C正确；因为 b ＜ a ＜0，所以 b ＜0， a － b ＞0，可得 ab － b2＝ b （ a － b ）＜0，即 ab ＜ b2，故选项D不正确.故选B、C. 目录 数学·必修第一册 题型二 利用不等式的性质证明不等式 【例2】　已知 c ＞ a ＞ b ＞0，求证： ＞ . 证明：因为 a ＞ b ＞0⇒－ a ＜－ b ⇒ c － a ＜ c － b . 因为 c ＞ a ＞ b ＞0，所以0＜ c － a ＜ c － b . 上式两边同乘 ，得 ＞ ＞0. 又因为 a ＞ b ＞0，所以 ＞ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 （1）利用不等式的性质可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在 理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确 地加以应用； （2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与 法则. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知 a ＞ b ＞0，求证： ＞ . 证明：∵ a ＞ b ＞0，∴ ＞ ＞0. ① 又∵ a ＞ b ＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0. ② 由①②得 ＞ . 目录 数学·必修第一册 题型三 利用不等式的性质求范围 【例3】　已知1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，试求2 a ＋3 b 与 a － b 的取值 范围. 解：∵1＜ a ＜4，2＜ b ＜8，∴2＜2 a ＜8，6＜3 b ＜24. ∴8＜2 a ＋3 b ＜32.∵2＜ b ＜8，∴－8＜－ b ＜－2. 又∵1＜ a ＜4，∴1＋（－8）＜ a ＋（－ b ）＜4＋（－2）， 即－7＜ a － b ＜2. 故2 a ＋3 b 的取值范围是{2 a ＋3 b ｜8＜2 a ＋3 b ＜32}， a － b 的取值 范围是{ a － b ｜－7＜ a － b ＜2}. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 （变设问）在本例条件下，求 的取值范围. 解：∵2＜ b ＜8， ∴ ＜ ＜ ，而1＜ a ＜4， ∴1× ＜ a · ＜4× ，即 ＜ ＜2. 故 的取值范围是{ ｜ ＜ ＜2}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用不等式的性质求范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等 式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是 等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩 大其范围. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知－2＜ a ≤3，1≤ b ＜2，求下列代数式的取值范围： （1） a ＋ b ； 解： 由－2＜ a ≤3，1≤ b ＜2，得－1＜ a ＋ b ＜5. 所以 a ＋ b 的取值范围是{ a ＋ b ｜－1＜ a ＋ b ＜5}. 目录 数学·必修第一册 （2）2 a －3 b . 解： 由－2＜ a ≤3，得－4＜2 a ≤6. ① 由1≤ b ＜2得，－6＜－3 b ≤－3. ② 由①＋②得，－10＜2 a －3 b ≤3. 所以2 a －3 b 的取值范围是{2 a －3 b ｜－10＜2 a －3 b ≤3}. 目录 数学·必修第一册 1. 与 a ＞ b 等价的不等式是（　　） A. ｜ a ｜＞｜ b ｜ B. a2＞ b2 D. a3＞ b3 解析： 　可利用赋值法.令 a ＝1， b ＝－2，满足 a ＞ b ，但｜ a ｜ ＜｜ b ｜， a2＜ b2， ＝－ ＜1，故A、B、C都不正确. 目录 数学·必修第一册 2. 已知 a ， b ， c ∈R，则下列命题正确的是（　　） 解析： 　当 c ＝0时，A不成立；当 c ＜0时，B不成立； ab ＜ 0， a ＞ b ⇒ ＜ ，即 ＞ ，C成立；当 a ＞ b ＞0时， ＜ ，D不成立. 目录 数学·必修第一册 3. 若2＜ a ＜5，3＜ b ＜10，则 a －2 b 的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由3＜ b ＜10得－20＜－2 b ＜－6，又因为2＜ a ＜5，所以－ 18＜ a －2 b ＜－1. { a －2 b ｜－18 ＜ a －2 b ＜－1}　 目录 数学·必修第一册 4. （1）已知 a ＞ b ， c ＜ d ，求证： a － c ＞ b － d ； 证明：因为 a ＞ b ， c ＜ d ，所以 a ＞ b ，－ c ＞－ d .则 a － c ＞ b － d . （2）已知 a ＞ b ， ab ＞0，求证： ＜ . 证明：因为 ab ＞0，所以 ＞0. 又因为 a ＞ b ，所以 a · ＞ b · ， 即 ＞ ，因此 ＜ . 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 如果 a ＜0， b ＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） C. a2＜ b2 D. ｜ a ｜＞｜ b ｜ 解析： 　∵ a ＜0， b ＞0，∴ ＜0， ＞0，∴ ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 设 a ， b ∈R，若 a ＋｜ b ｜＜0，则下列不等式中正确的是（　　） A. a － b ＞0 B. a3＋ b3＞0 C. a2－ b2＜0 D. a ＋ b ＜0 解析： 　本题可采用特殊值法，取 a ＝－2， b ＝1，则 a － b ＜ 0， a3＋ b3＜0， a2－ b2＞0， a ＋ b ＝－1＜0.故A、B、C错误，D 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 若 a ， b ， m 都是正数，则不等式 ＞ 成立的条件是（　　） A. a ＞ b B. b ＞ a C. a ＞ m D. m ＞ b 解析： 　 ＞ ⇒ － ＞0⇒ － ＝ ＞0，因为 a ， b ， m 都是正数，所以要想使不等式成 立，只需 b － a ＞0，即 b ＞ a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 不等式 a ＞ b 和 ＞ 同时成立的条件是 ⁠. 解析：若 a ， b 同号，则 a ＞ b ⇒ ＜ ，故需 a ， b 异号且 a ＞ b . a ＞0＞ b 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 若 a ， b ， c ∈R且 a ＞ b ＞ c ，则下列不等式一定成立的是 （　　） A. ac2＞ bc2 B. a2＞ b2＞ c2 D. a ＋ b ＞2 c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，当 c2＝0时，可得 ac2＝ bc2，所以 ac2＞ bc2不一 定成立；对于B，例如 a ＝1， b ＝－2， c ＝－3，此时 a2＜ b2＜ c2，所以 a2＞ b2＞ c2不一定成立；对于C，例如 a ＝1， b ＝－2 时，可得 ＞ ，所以 ＜ 不一定成立；对于D，由 a ＞ c ， b ＞ c ，根据不等式的性质，可得 a ＋ b ＞2 c ，所以不等式 a ＋ b ＞2 c 一定成立.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 已知：3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，求下列各式的取值范围： （1） a ； 解： ∵3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0， ∴2＜ a ＋ b ＋（－ b ）＜4，即2＜ a ＜4. ∴ a 的取值范围是{ a ｜2＜ a ＜4}. 解： ∵0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0. 又∵2＜ a ＜4，∴1＜ a － b ＜4. ∴ a － b 的取值范围是{ a － b ｜1＜ a － b ＜4}. （2） a － b ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解： ∵0＜ b ＜1，∴ ＞1， 又∵2＜ a ＜4，∴ ＞2. ∴ 的取值范围是{ ｜ ＞2}. （3） . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 已知三个不等式：① ab ＞0；② ＞ ；③ bc ＞ ad .若以其中 的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 ⁠个 正确命题. 解析：①②⇒③，③①⇒②，②③⇒①.由②得 ＞0，又由③ 得 bc － ad ＞0，所以 ab ＞0⇒①.同理可证①②⇒③成立；③①⇒ ②成立.所以可以组成3个正确命题. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $