专题06 反比例函数中的综合压轴问题（解答题）（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数综合压轴问题，系统梳理基础图象、k的几何意义、增减性等核心知识，衔接一次函数与特殊三角形、四边形的结合应用，构建从基础到存在性问题、面积最值的学习支架。 资料以典例带变式，通过新定义题型培养抽象能力，借助分类讨论、数形结合发展推理意识，坐标法解题强化模型观念。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题06 反比例函数中的综合压轴问题（解答题） 1、吃透反比例函数基础图象、k的几何意义、增减性、对称性，能快速由点求k、由k求面积； 2、掌握反比例与一次函数、几何图形（特殊三角形、特殊四边形等）结合的常规压轴模型； 3、一次函数与反比例交点、线段比例、定点定值、线段最值（将军饮马、垂线段最短）； 4、熟练两类核心题型：面积定值/面积最值、存在性问题（等腰、直角、特殊四边形、全等）； 5、掌握坐标法解题思路：设点坐标→表示线段长度→列方程 / 不等式求解； 6、规范压轴答题步骤，会分类讨论、数形结合、转化几何条件为代数方程。 反比例函数与几何的综合压轴问题，苏科版考查的热点，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、一元二次方程（苏科版九上第2章内容）等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 1. 特殊三角形：等腰、直角、等腰直角三角形存在性问题： 分类讨论：直角顶点分三种情况；等腰顶点分三种； 难点：垂直k的乘积=-1、两点距离公式计算量大，容易算错、漏情况。 2. 特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形顶点在双曲线上： 平行四边形：对角线中点坐标相同（中点公式）；矩形：邻边垂直/对角线相等；正方形：邻边垂直且相等； 多动点多解，分类讨论极易遗漏。 3.动点、最值、存在性问题 线段最值 将军饮马：双曲线上动点，两定点到坐标轴上一点距离和最小；垂线段最短：动点到定直线距离最小； 面积最值 直线与双曲线围成三角形，动点在双曲线上，用参数表示面积配方法求最值； 存在性问题（最难）：是否存在点使图形为等腰/直角三角形、平行四边形、全等三角形； 核心难点：分类讨论不重不漏、计算繁琐、方程无解要舍去。 4.图像变换与多k综合:双曲线平移、对称（关于 x/y 轴、原点、直线对称）求新解析式； 题型01 反比例函数与整点问题综合 【典例】（25-26九年级上·广东·校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为，双曲线经过的中点，交于点．(1)求的值及点的坐标；(2)已知双曲线．①若与矩形只有一个交点，求的值；②在①的条件下，作直线轴，分别交，于点，，连接，，判断的面积是否为定值，并说明理由；③若将与矩形围成的阴影区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标均是整数）个数分成，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，(2)①②的面积是定值，理由见解析③ 【详解】（1）解：∵矩形的顶点与坐标原点重合， 又∵顶点的坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为， ∴的中点的坐标为，将，，代入双曲线得， ，即，∴，令，则，解得，，∴点的坐标为， （2）①∵与矩形只有一个交点，∴过点， 将，，代入得，，即； ②的面积是定值，理由如下：设直线为， ∵作直线，分别交，于点，，∴点坐标为，点坐标为， ∴，为定值； ③设点为阴影区域内任意一个整点，由题意可知，、都是整数，且，，， 当时，；当时，；当时，；当时，； 当时，；一共13个整点，将这13个整点的横、纵坐标的乘积从小到大排列得， ，将阴影区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标均是整数）个数分成， 数列的第6个数和第7个数都是4，第8个数是5，∴． 【变式1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式；(2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为．①当时，区域内的有整点_______个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为(2)①4；②或 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，∴；∴； （2）①当时，如图，有，共4个整点； ②当直线在上方时，如图： 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 当直线在下方时，如图： 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 故当时，满足题意；综上：或． 【变式2】（24-25九年级下·河南开封·期末）如图，已知点，，的边与y轴交于点，且E为的中点，反比例函数的图象同时经过C、D两点． (1)求k的值和点C的坐标；(2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线交于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为W．①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，(2)①2；②或 【详解】（1）解：设点的坐标为，点， ∵E为AD的中点，，∴，，解得：，，∴， ∵四边形是平行四边形，∴可用平移得到， ∵，，∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∵，∴，∵点在反比例函数的图象上， ∴，∴反比例函数的解析式为； （2）①当时，设直线的解析式为， ∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为， 当时，，，而，∴是在区域W内的整点， 同理可得是在区域W内的整点，共2个； ②当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 综上所述，当或时，恰好区域W内的整点恰好为2个． 题型02 反比例函数与新定义综合 【典例】（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． (1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性；(2)已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，见解析 【详解】（1）证明：设反比例函数，分同一象限（即同号）的情况讨论： 取自变量，且，对应的函数值为，． ，由，得； 又∵同号（同一象限），∴，∴． 当时，，即，． 结论：在每个象限内，随的增大而减小． 当时，，即，． 结论：在每个象限内，随的增大而增大． （2）解：，理由：已知反比例函数，其中． 由（1）的结论：当时，在每个象限内，随的增大而减小． 又，∴，两点在第一象限（同一象限），∴． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）【概念感知】定义：已知是关于自变量x的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”；函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”． 【概念理解】（1）求函数的“倍差函数”的函数表达式；（2）在（1）的条件下，求函数的等距点的坐标； 【概念应用】（3）如图1，点，在反比例函数和的“倍差函数”上，点C是函数的“等距点”，直线交坐标轴于点M、N．连接．①求函数和的函数表达式；②求的面积；③如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）函数的等距点的坐标为；（3）①，；②；③点E的坐标为或． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）由题意得，，解得，∴函数的等距点的坐标为； （3）①∵的“倍差函数”为，∴， ∵点，在反比例函数和的“倍差函数”上， ∴，∴，，即， 解得或（舍去），∴点，，∴； ②∵直线的解析式为，∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积； ③设点E的坐标为，则点F的坐标为，∴， ∵，则当时，∴， 解这个方程，得：，∴点E的坐标为或． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： (1)点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； (2)点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值；(3)点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点．①设点，求关于的函数关系式；②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 【答案】(1)；(2)a的值为5或3；(3)①；②m的值为或或4 【详解】（1）解：根据题意点的5阶映射变换对应点为，即， 将代入得，，解得； （2）解：当，即时，点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 当，即时，点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得；综上所述，a的值为5或3； （3）解：①点C是点D的1阶映射变换对应点，点，当时，， 将代入，得，； 当时，，将代入，得，； 综上所述，． ②当时，，，， ，，解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，，，不合题意，舍去； 当时，，，， ，，解得，（舍去）； 综上所述，m的值为或或4． 【变式3】（2025·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点； ∴，∴，∴，，∴，解得：，∴； （2）设直线交轴与点，∵，∴当时，，时，，∴， ∴， 设，∴， ∵，∴，∴，∴或，∴或； （3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵，∴，∴，∴， 设的解析式为：，则：，∴，∴， 联立，解得：或（舍去）；∴； ②当时，将绕点旋转90度得到， 连接交于点，则，， ∴，∴，同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或，∴； 综上：或． 题型03 反比例函数与特殊三角形的综合 【典例】（2026·四川成都·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当时，点，在反比例函数的图象上（点在点左侧），且射线，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，作，点为直线上一点，点在反比例函数在第一象限内的图象上，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点∴设点， ，，解得（负值已舍去），点 ，∴反比例函数的表达式为； （2）解：如解图①，过点作轴，过点作轴交于点， 射线，由反比例函数图象的对称性可知，点和关于直线对称，且点在射线上， 为等腰直角三角形．设点，则点 ，即，解得或（舍去），点的坐标为； （3）解：由（2）得点，，． 设直线的表达式为，将点代入，得，，直线的表达式为． ①如解图②，，， 过点作轴，过点分别作，垂足分别为点， ，． ，，． 设点，， 点，将点代入直线的表达式中， 得，点； ②如解图③，，过点作轴，过点分别作，垂足分别为点，由①同理，可得， 同理，设点，则点，， 点的纵坐标为11，点， 点的纵坐标为11，将点的纵坐标代入反比例函数中，得，即，点； ③，点在点的上方时，如解图④，过点作轴，过点分别作，垂足分别为，由①同理，可得， 同理，设点，则点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为，点． 将点代入直线的表达式中，得 （舍去），点； ④点在点的上方时，如解图⑤，过点作轴，过点分别作，垂足分别为，由①同理可得， 同理，设点，则点 ∴点的纵坐标为，点的横坐标为∴点， 将点代入直线的表达式中，得， （舍去），，点． 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式1】（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、． (1)四边形的面积为 ；(2)设点C的坐标为．① 当 时，四边形为正方形； ② 当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)5(2)①；②的值为 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得：．故答案为：5． （2）解：∵四边形为正方形，∴， ∴点的纵坐标为，把代入得，，∴，即点的横坐标为， ∵轴，∴点的横坐标为，即．故答案为：． ∵轴，，∴点，点， ∴，，， ∵是直角三角形，∴， 即，解得，∴的值为． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）【问题背景】在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】（1）如图1，若将矩形向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式．【深入探究】（2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点，．连接，①若，求的值．②若为等腰三角形，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②3或12 【详解】解：（1）∵矩形往右平移2个单位，，， ∴，，，， 对角线，相交于点，点为的中点，， 把代入，得．解得．故该反比例函数的解析式为：； （2）①∵四边形是矩形，，，， ，，， ，，由题设条件可知，则，， 反比例函数的图象经过点、， ，解得，，反比例函数解析式为， ∵，即，∴，∴，点横坐标为10， 当时，，，． ②解：为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时，四边形是矩形，，，， 将矩形向右平移个单位长度，， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：； 当时，此时点与点重合，， 将矩形向右平移个单位长度，， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：； 当时，设，将矩形向右平移个单位长度，，， ，，解得：，， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：， ，与题意不符，故舍去；综上所述，的值为3或12． 题型04 反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合 【典例】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点．(1)求反比例函数的表达式及点A的坐标；(2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积；(3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为，(2)(3)点坐标为或 【详解】（1）解：将点代入一次函数，解得，故． 将代入反比例函数，得，因此反比例函数为：， 联立一次函数与反比例函数，得 解方程组得，，故点坐标为. （2）解：如图，直线与y轴交于点H． ∵，，，∴， ∵，点在第三象限，∴，故 ∴直线解析式为：，∴点坐标为， ∴ （3）解：设点坐标为， ∵，，∴，，， 以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，分三种情况 ①当时，，， 解得：（不合题意舍去）；，，∴点坐标为， 将点向左平移1单位，上平移2单位得到点，∴点坐标为， ②当时，，， 解得：（不合题意舍去）；，∴点坐标为， 将点向右平移1单位，下平移2单位得到点，∴点坐标为， ③当时，，， 整理得：；解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 此时不存在满足条件的M， 综上所述：使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，点坐标为或． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图像上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，． (1)求，的值；(2)当的面积为6时，求点的坐标；(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当四边形为正方形时，求出点的坐标． 【答案】(1)，；(2)；(3)或或． 【详解】（1）解：∵直线过点，∴，∴， ∵直线过点，∴，∴，∴过点，∴． （2）设，则，∵，，∴． ∵，∴ 得：，，解得：，（舍）．∴； （3）①如图1，∵，，∴． 当是边，点在轴正半轴上，作于，作于， ∴，∴， ∵，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，（舍去），∴； ②如图2，当点在轴的负半轴上时，由上知：，∴，∴； ③如图3，当是对角线时，点在轴的负半轴上时， 可得：，，∴，∴，∴， ④如图，，， ∴，∴，（舍）， 当时，，∴． 综上所述：或或． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线交于、B两点，C为双曲线上的点．(1)求双曲线的表达式及点B的坐标；(2)连接，当的面积为5时，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，点C位于点A的右侧，点D为双曲线上一点，平面内是否存在点E，使四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的表达式为，点B的坐标为(2)点C的坐标为或． (3)E的坐标为或 【详解】（1）解：∵点在双曲线上，∴，解得，∴双曲线的表达式为． ∵点在直线上，∴，解得，∴直线的表达式为． ∵点B是直线与双曲线的交点， ∴联立方程，消去y得，两边同乘x整理，得，即， 因式分解，得，解得． ∵对应点A，∴当时，，∴点B的坐标为． （2）设点C的坐标为，过点C作轴交直线于点E， ∵点E在直线上且横坐标为t，∴点E的坐标为，∴． ①当点C在点B的左侧时，如图 或 ∴， ∴， 当时，整理得∵判别式，∴此方程无实数解． 当时，整理得，因式分解得，解得（舍去），． 当时，，∴点的坐标为． ②当点C在之间时，如图有， ∴， 整理得∵判别式，∴此方程无实数解． ③当点C在点的右侧时，如图 有，∴ ， 整理得，因式分解得，解得，（舍去）， 当时，，∴点的坐标为． 综上，点C的坐标为或． （3）如图：∵ ∴， 设∵四边形为菱形，∴的对角线， ∵菱形对角线互相平分， ∴的中点坐标与的中点坐标相同， 中点坐标为∴，即． 又∵菱形邻边相等，即，∴， ，， 整理得，两边同乘m，得，即， ，方程有两个不相等的实数根，∴， 解得或， 将代入，得， 解得，∴此时点E的坐标为． 将代入，得， 解得，∴此时点E的坐标为． 【变式3】（2025·成都·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式．(2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标．(3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：将点代入一次函数，则，∴， 将代入，则，解得：，∴反比例函数的表达式为． （2）解：联立和，则，解得；或， 将代入得，∴， 在中，令，则，令，则，∴，设， ∵轴，∴， ∵，∴，解得：，∴，∴， 将代入，得，解得，∴． （3）解：∵轴， ，∴轴， ∵，，，∴，，设，则， ∵以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴． 当点M在轴上方时，如图，则，解得：（舍去）或； 当点M在轴下方时，如图，则，解得：或（舍去）； 或，解得：（舍去）或； 综上，当或或时，以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 题型05 反比例函数与角度的综合 【典例】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标；(2)连接，，求的面积；(3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)15(3)存在，或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入中得：，∴， ∴将代入中得：，∴反比例函数的表达式：， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，解得：，∴； （2）解：连接，，将一次函数与轴交点命名为， ∴令，即，解得：，∴， ∵，∴； （3）解：存在，理由如下：①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，，∴， ∴设直线解析式为，将，代入得： ，解得：，∴， ∴联立，解得：或（与重合舍去），∴； ②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，同理可得，∴ ∴设直线解析式为，将，代入得： ，解得：，∴， ∴联立，解得：，∴， ∴综上所述：或． 【变式1】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为．①求正比例函数及反比例函数的表达式；②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【答案】(1)①正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为 ②存在，或(2)见解析 【详解】（1）解：①把点的坐标代入得， ，正比例函数的表达式为， 把点的坐标代入得，，反比例函数的表达式为． ②设点的坐标为，过作轴于，过作轴于， ∴， 解得或（负值舍去）， 当时，；当时，； 在反比例函数图象上存在点，使，或； （2）证明：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，设交于点， 设点的坐标为，点的坐标为，由题意得：四边形为矩形， 点的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为：， 则，解得：，直线的解析式为：， 当时，，点在直线上，即，，三点共线； 轴，，四边形是矩形，， ，， ，，，， ，． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点(1)求直线的函数表达式；(2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在，或 【详解】（1）解：由题可知，∴反比例函数的表达式为， ∴将代入中得，，解得，即， 设直线的函数表达式为， 将，代入得，，解得，∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过作交轴于点，连接， 则，∴，解得，令，得， ∴，则，∴点，∵，直线的函数表达式为， 联立，解得或，∴点的坐标或； （3）解：存在，理由：由知直线的函数表达式为， ∴，，在中，， 点在第一象限，∴，∴，∵，∴， 如图，过作，且，连接，过E作轴交轴于点，过点作于点，∴为等腰直角三角形，则，∴， ，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴或． 题型06 反比例函数与图形面积（长度）综合 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值；②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；②(2)存在，3 【详解】（1）解：（1）①∵，，∴，∴， ∵，且，∴，∴A点坐标为，∴； ②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N， 设点B的坐标为，∵反比例函数图象上有A，B两点，∴， ∵，∴， ∵的面积为，∴，即， 整理可得：，解得（负值舍去），∴点B的坐标为． （2）解：连接，∵的面积与的面积相等，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵O为中点，∴∴E为中点，∴为的中位线∴， ∵D点坐标为，∴A点坐标为，则， ∴反比例函数表达式为，设点B的坐标为，∴点C的坐标为， ∵A点坐标为，E为中点，∴，∴点E的坐标为， ∵点B在点A右侧，∴，∴，∴点E始终在直线的下方，∴a的最小值为3． 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．(1)求的值和反比例函数的表达式；(2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；(3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)；(3). 【详解】（1）解：把点代入直线中，可得：，解得：， 点的坐标是，把点的坐标代入比例函数中， 可得：，反比例函数的解析式是； （2）解：如下图所示，连接、，解方程组，可得：，， 点的坐标是，点的坐标是，，， 设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是， ，， ，，解得：，，点的坐标是； （3）解：的值为定值，点在反比例函数图象上，可得：，解得：， 点的坐标是，是第一象限反比例函数图象上一动点，设点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：，解得：，直线的解析式为， 当时，可得：，点的坐标是， 当时，可得：，解得：，点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：，直线的解析式是, 当时，可得：，点的坐标是， 当时，可得：，解得：，点的坐标是， ，，． 【变式2】（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式；(2)如图2，连接OC．①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式(2)①；②的值不发生变化，为18 【详解】（1）解：∵， ∴，∴，解得， 将代入，得，解得，∴双曲线的解析式． （2）①当时，，令，得，∴，即， 联立得：，解得：或，∴点C的坐标为， ∴，设点D的坐标为，，则， ∵的面积是的面积的3倍，∴，解得，即，∴． ②的值不发生变化，理由如下：过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴，∴，即∴是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， 设，则，∴， ∴，由反比例函数可知，， ∴，即，∴，∴ 即的值不发生变化，为18． 题型07 反比例函数与几何最值综合 【典例】（24-25八年级下·江苏·校考期末）如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标；(3)请结合图像回答，x为___________时，； (4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________．若满足最小， 则点N的坐标为___________；若满足最小，则点N的坐标为___________． 【答案】(1)，；(2)M点坐标或 (3) 或 ；(4)，， 【详解】（1）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点，，则反比例函数解析式为，，即B， 将A和B代入中， 得：，解得，一次函数的解析式为； （2）解：直线与反比例函数交于另一点C，且A， C， 点M在 y轴上，设点M坐标为， 的面积为12，，解得或， M点坐标为或； （3）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点，结合函数图象可知，x为 或 时，；故答案为： 或 ； （4）解：，当三点共线时，最大， ，当时，，若满足最大， 则点N的坐标为；设点N坐标为， A，B，，， 要满足最小，且，即， ；；解得， 若满足最小， 则点N的坐标为； 作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， ，，当三点共线时，最小，即满足最小， 设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为， 当时，，即若满足最小，则N的坐标为．故答案为：，，． 【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)若点关于原点对称点为，在轴上求一点，使得周长最小，则点坐标为___________． 【答案】(1)反比例解析式为，一次函数的解析式为：(2)8(3) 【详解】（1）解：把代入中，得：， ∴反比例解析式为；∴，把、代入中，得： ，解得：，∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图，设直线交轴于，令，则， ∴，∴，∴； （3）解：如图，点关于原点对称点也在双曲线上，且， 的周长为，其中为定值，∴当最小时，周长最小； 作点关于轴的对称点，则， 当、、三点共线时，最小，设直线的解析式为， 代入，，有：，解得：，∴直线的解析式为， 当时，，∴．故答案为：． 【变式2】（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点，(1)求一次函数及反比例函数的表达式；(2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长；(3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为．(2)．(3)1 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，∴，∴反比例函数表达式为． ∵点在上，∴，即．∵一次函数过、， ∴，解得，∴一次函数表达式为． （2）解：对于一次函数，令，则，∴； 令，则，解得，∴．∴， 如图，过点作交于点，过点作交于点，交于，则四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形， ∴与关于直线对称，与关于直线对称，∴，， 对于，当时，，解得，当时，， ∴，，． （3）解：设（），令交直线于点，过作轴，交反比例函数于点R， ∵，，轴，∴， ∵轴，轴，∴，∴ ∴，∴和关于对称， ∵反比例函数的图象关于直线对称得到图形，∴点和点关于直线对称，即， ∵设（），∴，， ， ， 当时有最小值，即取最大值，此时最大． 题型08 反比例函数与几何变换综合 【典例】（2025·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的解析式为(2)为等腰三角形时，点的坐标为或(3)当线段与轴有交点时，的取值的最大值为 【详解】（1）反比例函数的图象经过点和点， ，，，反比例函数的表达式为，设直线的解析式为， ，，，解得：，直线的解析式为； （2）设，则， ，， 为等腰三角形，或或， 当时，，，解得：，； 当时，，，，此方程无解； 当时，，，解得：，，或（舍去）； 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或； （3）当点落到轴上时，的取值的最大，如图， 设直线的解析式为， 点的坐标为，，即．直线的解析式为 点始终在直线上，直线与直线垂直．．．， 由于，因此直线可设为． 点的坐标为，，即．直线解析式为． 当时，则有．点的坐标为． 的中点坐标为即，点在直线上， ．解得：．故当线段与轴有交点时，的取值的最大值为． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为___________；(2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．①当菱形的顶点落在反比例函数的图象上时，求的值；②若在平移过程中，反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围和线段长的取值范围． 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F，则共线， ∵点D的坐标为，∴，∴， ∴菱形，∴，则∴， ∵点A在反比例函数的图象上，∴， （2）①将菱形沿x轴正方向平移m个单位，则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上，∴， ②如图，将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处，过点作x轴的垂线，垂足为， ∵，∴，∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴，∴，则∴，∴，∴． 当与点重合时，， 当与点重合时，，∴． 【变式2】（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，自变量的取值范围； (3)连接，，求的面积；(4)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)，(2)或(3)(4) 【详解】（1）解：将代入反比例函数，得，，解得，， ∴反比例函数的表达式为，将，代入，得，，解得，， ∴点的坐标为，将，代入一次函数，得， ，解得，∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，在点左侧，点和点之间时，一次函数的图象高于反比例函数， ∴当或时，一次函数大于反比例函数； （3）解：分别过点和点作轴的垂线，垂足为，， 将代入，得，∴点坐标为，∴， ∵，，∴，， ∴，，，，； （4）解：如图，过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足为，，设点的坐标为，由旋转的性质可知，，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，，∴，， ∴点坐标为，∵点在反比例函数的图象上，∴， 化简，得，解得，或， ∵点在点右侧，∴，∴，此时点坐标为． 【变式3】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F．    (1)若点E为中点，求证：；(2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 【答案】(1)见解析(2)反比例函数解析式为(3)点P的坐标为或 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∴四边形为正方形，∴，， ∵E为的中点，∴，即，把点E坐标代入中，得，即， ∵，∴当时，，∴，，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：∵，∴， 解得或（舍去），∴反比例函数解析式为； （3）解：由（2）知，反比例函数解析式为；∵点B坐标为，∴，， 设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为． 同理可得直线解析式为，直线解析式为． 设，由平移的性质可得，，， 则平移方式为向右平移m个单位长度，则， ∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为．    ①当与交于G，与交于H，在中，当时，， 在中，当时，，∴，， ∴，解得，∴． ②当与交于K，与交于H，同理可得，， ∴，解得，∴． 综上，若线段在内部的长度为3，则点P的坐标为或． 题型09 反比例函数与实际应用综合 【典例】（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】(1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【答案】(1)，60(2)该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒 (3)环境温度x的取值范围 【详解】（1）解：该数据处理任务的总运算量（次），； （2）解：当时,（次/秒）, （次/秒）. 联合算力组总算力：（次/秒） 由（1）知次,所需时间：（秒）. 答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒. （3）解：由第（2）问可知,联合算力组在时的完成时间为50秒. 设备C完成该任务的实际时间,依题意：. 因为,所以解不等式得：. 结合自变量的取值范围,得：. 答：环境温度x的取值范围. 【变式1】（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示．①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【答案】(1) (2)①（）；②见解析 【详解】（1）解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设，根据题意，得时，， ，，与L之间的函数解析式是． （2）解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过，，，与x之间的解析式为， ，，，，，，又，； ②画出图象如图所示． 【变式2】（25-26九年级下·福建泉州·专题练习）（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题” 在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”． “反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！ 相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！ 现在我们来研究一下x与y之间的函数关系： 如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即． 若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？ （二）有趣的游戏 在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？ (1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R． (2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！” 【答案】(1)米(2)，理由见解析 【详解】（1）解：在中，米，则， 由勾股定理得：，即，解得米； （2）解：当时，即，解得， 即两脚步差必须小于等于，而把眼睛蒙上，两脚步差很难小于等于， 故没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！”． 考点10 反比例函数与证明相关综合问题 【典例】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图像上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图像于点A、B．点C在延长线上，且．(1)若点，，求的值．(2)若点，且点C在y轴上，求的值； (3)如图2，以、为邻边作，且，证明：点三点共线． 【答案】(1)10(2)2(3)见解析 【详解】（1）解：∵，，轴，∴， 把代入得：，∴的值为10． （2）解：由，得，∵点C在y轴上，∴， ∵轴，轴，∴，∵，∴， ∴，则，∴． （3）证明：设，把代入得：，解得， ∵， ∴，∴，， 由（2）可知，∴，把代入得：，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，∴， 设的函数表达式为，把代入得：，解得， ∴的函数表达式为，把代入得：， ∴点E在直线OC上，∴点C、E、O三点共线． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论． 小龙：如图1，直线与双曲线交于A，B两点，根据中心对称性可以得到． 【轻松探究】（1）直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，证明时，首先将直线与双曲线联立可得，然后数学小组有以下两种思路： 思路一：直接求出A、C、B、D的坐标，进而证明． 思路二：先求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可． 请参考以上两种思路，完成证明． 【深入探究】（2）直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，试问：还成立吗？请说明理由． 【模型应用】（3）如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D．连接．若的面积为5，，的长为_______． 【答案】[轻松探究]：见解析；[深入探究]：成立，理由见解析；[模型应用]： 【详解】解：[轻松探究]： 思路一：将直线与双曲线联立可得，即，解得， 当时，，当时，，∴， 对于直线，当时，，当时，，解得，∴ ∴，∴． 思路二：将直线与双曲线联立可得，即， ∵直线与双曲线相交于A，B两点，∴， 对于直线，当时，，当时，，解得， ∴∴，∴， ∴线段的中点与线段的中点重合，∴ [深入探究]：仍然成立，理由如下：联立 则，， 在中，令，则，又∵， ∴线段的中点与线段的中点重合； [模型应用]：在中，令，则；令，则， ∴，，∴，是等腰直角三角形，∴ 过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知， ，∴，，， ，， ，∴∴ ∴，∴（正值舍去）∴ ∴；故答案为： 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·月考）【问题背景】如图1，已知直线与双曲线交于第一象限的两点，轴于轴于． 【构造联系】（1）当时，则点坐标为___________；（2）求的值； 【深入探究】（3）如图2，过点作线段轴，交轴于点，且，作轴于分别交双曲线点、点，连接并延长交轴于点，连接，证明：四边形为平行四边形． 【答案】（1）；（2）2；（3）见解析 【详解】解：（1）联立直线与曲线，得，由根与系数的关系可得， ，，整理得， 结合，解得，，当时，，点坐标为；故答案为：； （2）由（1）知，， 轴于轴于，且在第一象限，； （3）设，则，，， ，，即，，， ，，，，则， 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为，当时，，解得， ，， 在和中，，，， （同位角相等，两直线平行）， 又轴，，四边形为平行四边形． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，直线分别交轴、轴于、两点，反比例函数的图像与直线交于、两点，已知点的纵坐标为，连接、． (1)求反比例函数的解析式和的面积．(2)试说明：．(3)若是上不与、重合的任意一点，，于，于．①为何值时，？②线段上是否存在点，使？若存在这样的点，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)见解析(3)①所以当a为时，；②存在，． 【详解】（1）解：∵直线分与反比例函数的图像与直线交于、两点，点的纵坐标为，∴，即点的横坐标为，∴， ∴，即，∴，即， 联立，解得：或，∴，， 如图：过点O作于点F， ∵直线分别交轴、轴于、两点，∴点， ∴，，∴，即，解得：， ∵，，∴，∴． （2）证明：∵点，∴， ∵，∴是线段的垂直平分线，∴，， ∵，，∴，， ，，∴，∴， 在与中，∵，∴． （3）解：①如图：过点D作轴于点M， ∵，∴，∵， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵轴，∴四边形是矩形，∴， 在中，∵，∴，即， 解得或（舍去）．所以当a为时，； ②存在．理由如下：由①可知，， ∵，∴，即，解得，∴，∴． 2．（2026·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数位于第二象限的图像上，点在轴的负半轴上，四边形为菱形． (1)求点的坐标和的值；(2)将菱形沿过原点的某条直线翻折，记点的对称点为，点的对称点为，当点落在函数位于第四象限的图像上时，点的坐标为___________． 【答案】(1)，(2)或 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，且． 已知点，由勾股定理得：∴． ∵，即轴，∴点的纵坐标与点相同，点的横坐标为，∴． ∵点在反比例函数的图像上，∴，解得． （2）解：由（1）知，且在轴负半轴，∴． 菱形绕原点翻折翻折前后对应点到原点距离相等，； 设，由题意得解得第四象限符合题意的点为，． 当时，翻折对称轴是线段的垂直平分线，设对称轴上任意一点， 垂直平分线上的点到线段两端距离相等 两边平方化简，得翻折对称轴为直线．设关于直线的对称点为， 线段的中点在对称轴上，，化简得， 又，，联立解得，舍去与重合的解，， 当时翻折对称轴是线段的垂直平分线，设对称轴上任意一点， 垂直平分线上的点到线段两端距离相等 两边平方化简，得翻折对称轴为直线．设关于直线的对称点为， 线段的中点在对称轴上，化简得 又联立解得，舍去与重合的解 综上，点的坐标为或． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为．(1)求的值；(2)当时，自变量的取值范围为__________；(3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：把代入得，，， 点在反比例函数的图象上，； （2）解：由（1）可知，反比例函数表达式为， 正比例函数与反比例函数的交于点，点， 点关于原点对称，点， 根据函数图象可知，当反比例函数在正比例函数的上方时，， 当时，的取值范围为：或； （3）解：如图，连接，，由（2）可知，点，点关于原点对称，， ，，，即，，， 直线是由直线向上平移个单位得到的，直线的表达式为． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值；(2)结合图象直接写出的取值范围；(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)，(2)或(3)点P的坐标为 【详解】（1）解：∵的面积为4，∴，解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为，把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集为：或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：，∴，∴此时最大， 点关于轴的对称点，设直线的关系式为，代入和得， ，解得，∴直线的关系式为， 令，，∴直线与轴的交点坐标为，即点P的坐标为． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期末）下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 双曲面反射镜变形检测系统的设计 问题提出 某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示），其理论设计形状为反比例函数曲线型．在实际使用中，反射镜可能因应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能．如何设计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否发生形变？ 查阅资料 兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连接与反比例函数的图象相交于点与，则恒有成立．（任务三完成此性质的证明） 检测系统设计 如图1，利用上述性质作为判断双曲面镜是否变形的依据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下： 第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心与坐标原点重合； 第二步：在轴和轴上安装可移动激光测距仪和．激光测距仪可分别沿轴正半轴和轴正半轴上移动，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点；同时，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点．系统通过测量往返时间计算距离和，在移动过程中保持点四点共线（点，点不重合），进行多组测量并采集数据比对． 学习任务 任务一 （1）兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测，共选取了5个不同的激光位置，测得的与长度如右表所示．若允许测量误差为，请根据表中数据判断该反射镜是否存在明显变形？请直接写出结果． （） （） 4.031 4.030 5.099 5.100 6.083 6.082 7.071 7.073 8.062 8.061 任务二 （2）现检测一块理论设计形状为反比例函数的双曲面反射镜（如图2）．在调节仪器过程中，先固定激光测距仪，再适当地移动调节激光测距仪的位置．其中点的坐标为，点的坐标为．为保证检测系统能够测量出和的距离，则取值范围为___________． 任务三 （3）请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成证明．性质的证明．如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接．由反比例函数的几何意义，得： ___________（用含的代数式填空）， ___________（选“＜”，“=”或“＞”填空）， …… 任务四 （4）请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由． 【答案】（1）没有发生明显变形；（2）；（3），；（4）见解析． 【详解】（1）解：计算每组数据的与的差值： 第一组：，第二组：， 第三组：，第四组：， 第五组：，所有差值的绝对值均小于允许误差， 因此反射镜没有发生明显变形； （2）解：设直线的表达式为，因为和点，所以，解得：， 所以直线的表达式为，由，得，所以， 因为该直线与反比例函数的交点C和D，所以，所以， 因为在轴正半轴，所以，所以，解得：， 由图2可知，当时，，因为，所以符合； 当时，，解得：， 综上所述，的取值范围为；故答案为：； （3）证明：如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接，，． 由反比例函数的几何意义，得：．∴， 又这两个三角形同底（），∴它们高相等，故， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， 同理可得：四边形为平行四边形，，∴．故答案为：，； （4）解：优点：①检测方法简单，只需测量两个距离并比较． ②可通过调节激光发射器，的位置进行多次重复检测，提高可靠性． ③无需知道反射镜的具体参数，因为对任意该性质均成立． ④非接触式测量，避免对反射镜表面造成损伤． 缺点：如果变形后的曲面仍然满足反比例函数（仅值改变），则无法检测；该方法只能判断是否偏离反比例函数形状，不能确定变形的具体形式和程度． 6．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式；(2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接．①当点A的横坐标为4时，求的面积；②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 【答案】(1)(2)①②不会发生改变．理由见解析 【详解】（1）解：∵矩形的面积为4，∴，∴或， ∵函数图象位于第一象限，∴∴该反比例函数的解析式为； （2）解：①∵点A的横坐标为4，∴，∴点A的纵坐标为1． ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1，． ．即．； ②不会发生改变．理由如下：∵设点A的坐标为， ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1，． ，． 即．． 7．（2026·山东济南·二模）正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值；(2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D．①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 【答案】(1)，(2)①10；② 【详解】（1）解：将点代入得：，解得：，， 将代入得：，解得：； （2）①解：由题意得：轴，如图，过点作于点， 平分，，由（1）知，，设点，，其中， 、，； ②解：由（1）知，，是以为底的等腰三角形，， 设，则，其中，、、， ，，解得：或（舍去），． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”． (1)若，则点的“影射点”，的坐标是_____；点的“影射点”的坐标是_____； (2)若点在一次函数的图象上，其“影射点”在一次函数的图象上，则的值是__________； (3)如图，已知点是点的“影射点”，点是反比例函数图象上一点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：，，设的坐标是，的坐标是， ，绕点旋转得到，， ，，即点是，的中点， ，，，， ，，，， ，； （2）解：由可知，是轴上一点，对于一次函数， 令，即，解得，一次函数与轴的交点为， 对于一次函数，令，即，解得， 一次函数与轴的交点为， 由“影射点“的定义可得，，解得；   （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ，是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，，， ，， 点是点的“影射点”，，，设， ， ， ， ， ， ，， ，， 点的横坐标为，点的纵坐标为，即， 点是反比例函数图象上一点，， 解得． 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】（2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】（3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）的值为8． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得 ，，，，，另一个交点坐标为， 为，为，，．故答案为：；4；2； （2）不能围出；当米时，直线的解析式为，当时，；当时，； 描点，，直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点，不能围出面积为的矩形． （3）令，整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，， ，．即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8． 【强化训练】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】（1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】（3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】（1），理由如下： ∵轴，∴，由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形，∴．同理，四边形是平行四边形， ∴，∴，故答案为：； （2）证明：∵轴，∴，由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形，∴，同理，四边形为平行四边形，∵，∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵，∴垂直平分，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴． 2．（24-25八年级下·江苏·月考）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称．(1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ；(2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值；(3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，∴点的“对称点”与点关于对称， 连接，分别作轴，轴，则：，， ∵对称，∴， ∵直线为一，三象限的角平分线，∴， ∴，即：， ∴，∴，∴； ∵，，∴点的“对称点”与点关于轴对称，∴； 故答案为：， （2）∵设点，①当时，则：关于直线对称， 由（1）可知：关于直线对称的点的特点为横纵坐标位置互换， ∵，∴，此时， ∵点在反比例函数的图象上，∴，∴，符合题意； ②当时，则：关于轴对称， ∴，此时，即：，∴，∴，符合题意；综上：； （3）设一次函数的图象上的点， 当时，即：时，点的对应点为：， 令，，则：，即此时点的对应点在直线上， 当，即：时，点的对应点为：， 同法，可知：点的对应点在直线上， ∵，∴当时，，如图， 当经过时，，此时直线恰好与图形没有交点， 当直线向上移动时，直线恰好与图形有交点， 当直线向下移动时，直线与图形没有交点，故的范围为：． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 【答案】(1)①或；②；(2) 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，， ∴点， 当直线过点B，D时，把，代入得： ，解得：，∴该函数解析式为； 当直线过点A，C时，把点，代入得： ，解得：，∴该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或故答案为：或 ②∵四边形是矩形，∴，轴， ∵反比例函数是矩形的“对角函数”， ∴点B，D在反比例函数的图象上，设点，则点， ∵轴，且， ∴点，∵轴， ，∴点， ∵点B在反比例函数的图象上，∴， 解得：（舍去）或，∴点； （2）解：点的坐标为，正比例函数经过点，∴，∴正比例函数解析式为， ∵正比例函数是矩形的“对角函数”，可设点，则，， ∴，∵将矩形沿折叠，点的对应点为， ∴，如图，延长交y轴于点F， ∵轴，∴点，，∴，∵四边形是矩形，轴， ∴轴，∴，， ∵，∴，∴，∴， 在中，，∴，解得：或2， ∵，∴，即，∴，∴点， 把点代入得：． 4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，点P是直线上方反比例函数上一动点． (1)求一次函数解析式；(2)若y轴上一动点F，当时，求周长的最小值及点F的坐标； (3)在（2）中直线交y轴于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，在反比例函数上是否存在一点Q，使，请直接写出点Q的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1)一次函数的解析式为(2)周长的最小值为，点F坐标为 (3)点Q的坐标为或或，求解过程见详解 【详解】（1）解：将点A、B代入中，，∴，∴． （2）解：如图，作轴交于点H， 将A代入，∴，∴反比例函数解析式为， 设，则，，， ，，当时，，作关于y轴对称点，连接交y轴于点F， ，，∴， 当时，，此时的周长最小值为点A，F，P三点共线时， ， ∵，∴要舍去，∴点P为时，的最小值为， ∵，∴点F的坐标为． （3）解：∵点，，设直线的解析式为， ，解得，∴直线的解析式为， ∴，，∴轴，轴， ∵点，，设直线的解析式为， ，解得，∴直线的解析式为， ①作交直线于点M，延长使其与反比例函数有交点Q， ∴，∴为等腰三角形，∴，∴， 将点M代入直线的解析式可得坐标为，此时设直线的解析式为， ，解得，∴直线的解析式为， 联立，得，， ∴点Q或，此时点Q均在第一象限， ②当点Q在第三象限时，作直线关于y轴对称的直线，直线与x轴的交点与直线与x轴的交点关于y轴对称，∴直线与x轴的交点为，设直线的解析式为， ，解得，此时直线的解析式为， 联立，得（舍），，∴点Q， 综上所述，点Q的坐标为或或． 5．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．(1)求直线的解析式；(2)若的面积为8，求点D的坐标；(3)若，求k的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：把代入，可得，，即， ，，把代入可得，解得， 直线的解析式为； （2）解：延长与双曲线交于点E，点关于原点中心对称， ，,设点的横坐标为，点的横坐标为， ，， 设，则点的横坐标为， 把代入直线解析式可得，， 点都在双曲线上，，解得，； （3）解：列方程，整理得， 直线与双曲线交于点C、D， 点的横坐标即为方程的两个解，， 设，则，且，把代入直线解析式可得， ，，， ，，解得（舍去），， 把代入反比例函数可得， 6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标；(2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3) 【详解】（1）解：将点代入直线，得，解得，∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称，∴点A和点B也关于原点对称，∴点B坐标为， 将点代入反比例函数，得，解得，∴反比例函数解析式为． （2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为， ∵轴，∴，∴点G的坐标为，∴， 点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵，∴，即， 当时，化简，得，因式分解，得，∴或（负值舍去）； 当时，化简，得，因式分解，得，∴或（负值舍去）； 综上所述，或9，则点P的坐标为或． （3）解：为定值，理由如下：如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接， ∵点A和点B关于原点对称，∴，∵，∴，， 在和中，，∴，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，即，在直角中，， ∴,∴为定值． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点的横坐标为，的长度为，则与之间的函数关系式为______ ； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中______； ②描点：根据上表中的数据，在图中描出各点； ③连线：请在图中画出该函数的图象观察函数图象，的最大值为______． ④阅读规律：当，都是正数时，有，即：，只有当时，才成立；如：已知，，只有当时，即：时，有最小值为． 请用这个规律说明中的最大值的正确性； (3)拓展应用：如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点、，点为反比例函数上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值． 【答案】(1)(2)①；②见解析；③见解析，4；④见解析(3) 【详解】（1）解：点P的横坐标为x，的长度为y，可得，， ；    故答案为：； （2）解：①当时， 故答案为：；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； ④∵，∴时，即时，由最大值为， ∴有最大值为，故中的最大值正确； （3）解：∵直线与坐标轴分别交于点,∴点, 点， 设点，∴,点， ， ∵四边形面积 由（2）得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求、的值；(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接．①求的面积；②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)，(2)①10；②或 【详解】（1）解：把代入得，，解得，∴点的坐标为， 把代入得，，解得，∴，． （2）解：设直线函数解析式为，把，代入得， ，解得，∴直线函数解析式为， 由得，，，∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于点，∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点， ∴． ②设点，，∵，，点、、、构成平行四边形， 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点的纵坐标为6，即，∴，∴点的坐标为； 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， ∴点的纵坐标为2，即，∴，∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 1 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数中的综合压轴问题（解答题） 1、吃透反比例函数基础图象、k的几何意义、增减性、对称性，能快速由点求k、由k求面积； 2、掌握反比例与一次函数、几何图形（特殊三角形、特殊四边形等）结合的常规压轴模型； 3、一次函数与反比例交点、线段比例、定点定值、线段最值（将军饮马、垂线段最短）； 4、熟练两类核心题型：面积定值/面积最值、存在性问题（等腰、直角、特殊四边形、全等）； 5、掌握坐标法解题思路：设点坐标→表示线段长度→列方程 / 不等式求解； 6、规范压轴答题步骤，会分类讨论、数形结合、转化几何条件为代数方程。 反比例函数与几何的综合压轴问题，苏科版考查的热点，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、一元二次方程（苏科版九上第2章内容）等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 1. 特殊三角形：等腰、直角、等腰直角三角形存在性问题： 分类讨论：直角顶点分三种情况；等腰顶点分三种； 难点：垂直k的乘积=-1、两点距离公式计算量大，容易算错、漏情况。 2. 特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形顶点在双曲线上： 平行四边形：对角线中点坐标相同（中点公式）；矩形：邻边垂直/对角线相等；正方形：邻边垂直且相等； 多动点多解，分类讨论极易遗漏。 3.动点、最值、存在性问题 线段最值 将军饮马：双曲线上动点，两定点到坐标轴上一点距离和最小；垂线段最短：动点到定直线距离最小； 面积最值 直线与双曲线围成三角形，动点在双曲线上，用参数表示面积配方法求最值； 存在性问题（最难）：是否存在点使图形为等腰/直角三角形、平行四边形、全等三角形； 核心难点：分类讨论不重不漏、计算繁琐、方程无解要舍去。 4.图像变换与多k综合:双曲线平移、对称（关于 x/y 轴、原点、直线对称）求新解析式； 题型01 反比例函数与整点问题综合 【典例】（25-26九年级上·广东·校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为，双曲线经过的中点，交于点．(1)求的值及点的坐标；(2)已知双曲线．①若与矩形只有一个交点，求的值；②在①的条件下，作直线轴，分别交，于点，，连接，，判断的面积是否为定值，并说明理由；③若将与矩形围成的阴影区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标均是整数）个数分成，直接写出的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式；(2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为．①当时，区域内的有整点_______个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【变式2】（24-25九年级下·河南开封·期末）如图，已知点，，的边与y轴交于点，且E为的中点，反比例函数的图象同时经过C、D两点． (1)求k的值和点C的坐标；(2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线交于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为W．①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 题型02 反比例函数与新定义综合 【典例】（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． (1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性；(2)已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁·期末）【概念感知】定义：已知是关于自变量x的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”；函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”． 【概念理解】（1）求函数的“倍差函数”的函数表达式；（2）在（1）的条件下，求函数的等距点的坐标； 【概念应用】（3）如图1，点，在反比例函数和的“倍差函数”上，点C是函数的“等距点”，直线交坐标轴于点M、N．连接．①求函数和的函数表达式；②求的面积；③如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： (1)点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； (2)点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值；(3)点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点．①设点，求关于的函数关系式；②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 【变式3】（2025·四川成都·三模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03 反比例函数与特殊三角形的综合 【典例】（2026·四川成都·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当时，点，在反比例函数的图象上（点在点左侧），且射线，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，作，点为直线上一点，点在反比例函数在第一象限内的图象上，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，点A、B分别是双曲线和上的两个动点，轴，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为D、C，连接、． (1)四边形的面积为 ；(2)设点C的坐标为．① 当 时，四边形为正方形； ② 当是直角三角形时，求的值． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）【问题背景】在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】（1）如图1，若将矩形向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式．【深入探究】（2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点，．连接，①若，求的值．②若为等腰三角形，求的值． 题型04 反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合 【典例】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点．(1)求反比例函数的表达式及点A的坐标；(2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积；(3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图像上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，． (1)求，的值；(2)当的面积为6时，求点的坐标；(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当四边形为正方形时，求出点的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与双曲线交于、B两点，C为双曲线上的点．(1)求双曲线的表达式及点B的坐标；(2)连接，当的面积为5时，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，点C位于点A的右侧，点D为双曲线上一点，平面内是否存在点E，使四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】（2025·成都·模拟预测）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数的表达式．(2)如图2，点E是线段上一动点，过点E作轴，交反比例函数的图象于点F，连接和 ，若，求点F的坐标．(3)过点A作 轴交反比例函数的图象于点G，点M在一次函数的图象上运动，过点M作 ，交反比例函数的图象于点N．若以A，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标． 题型05 反比例函数与角度的综合 【典例】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标；(2)连接，，求的面积；(3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为．①求正比例函数及反比例函数的表达式；②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点(1)求直线的函数表达式；(2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06 反比例函数与图形面积（长度）综合 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值；②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．(1)求的值和反比例函数的表达式；(2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；(3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式2】（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式；(2)如图2，连接OC．①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 题型07 反比例函数与几何最值综合 【典例】（24-25八年级下·江苏·校考期末）如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标；(3)请结合图像回答，x为___________时，； (4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________．若满足最小， 则点N的坐标为___________；若满足最小，则点N的坐标为___________． 【变式1】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)若点关于原点对称点为，在轴上求一点，使得周长最小，则点坐标为___________． 【变式2】（2025·江苏泰州·三模）已知：一次函数与反比例函数的图象交于，点，(1)求一次函数及反比例函数的表达式；(2)设一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，反比例函数的图象关于直线的对称的图形，记为图形，图形与轴、轴的交点分别为、，求的长；(3)点是反比例函数图象上、间的一个动点（不与，重合），过作轴，交图形于，求的最大值． 题型08 反比例函数与几何变换综合 【典例】（2025·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为___________；(2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．①当菱形的顶点落在反比例函数的图象上时，求的值；②若在平移过程中，反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围和线段长的取值范围． 【变式2】（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，自变量的取值范围； (3)连接，，求的面积；(4)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【变式3】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F．    (1)若点E为中点，求证：；(2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 题型09 反比例函数与实际应用综合 【典例】（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】(1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【变式1】（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示．①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【变式2】（25-26九年级下·福建泉州·专题练习）（一）“反比例函数”与“闭眼打转问题” 在日常生活中，有一个有趣的现象，当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转问题”． “反比例函数”与“闭眼打转问题”看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的“神奇力量”！ 相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究．他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离．而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！ 现在我们来研究一下x与y之间的函数关系： 如图所示，假定某人两脚踏线间相隔为d，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆．设该人平均步长为l．那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程：；另一方面，外脚走的路程是外脚步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有，即． 若假设，，代入得，这就是所求的“闭眼打转问题”的半径公式．它是一个反比例函数．假设一位“闭眼走路”的人两脚步差仅为，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子．看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？ （二）有趣的游戏 在世界著名的水都威尼斯，有个圣马可广场．广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形开阔地，长约170米，宽约80米．这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前方．奇怪的是，尽管这段距离只有170米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？ (1)让我们先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一侧的中央M点抵达教堂的点C处，这段弧线的半径R为多少？请同学们完成下面的问题．已知，在矩形中，米，米，M是中点，求弧所在圆O的半径R． (2)也就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于这个R．请你再用公式计算一下，要达到上述要求，游客的两脚步差x的取值范围是多少？你能否说说为什么没有一个游客能幸运地做到：“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方！” 考点10 反比例函数与证明相关综合问题 【典例】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知反比例函数和的图象如图1所示，点D为函数图像上一点，过点D作x、y轴平行线，交函数图像于点A、B．点C在延长线上，且．(1)若点，，求的值．(2)若点，且点C在y轴上，求的值； (3)如图2，以、为邻边作，且，证明：点三点共线． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论． 小龙：如图1，直线与双曲线交于A，B两点，根据中心对称性可以得到． 【轻松探究】（1）直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，证明时，首先将直线与双曲线联立可得，然后数学小组有以下两种思路： 思路一：直接求出A、C、B、D的坐标，进而证明． 思路二：先求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可． 请参考以上两种思路，完成证明． 【深入探究】（2）直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，试问：还成立吗？请说明理由． 【模型应用】（3）如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D．连接．若的面积为5，，的长为_______． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·月考）【问题背景】如图1，已知直线与双曲线交于第一象限的两点，轴于轴于． 【构造联系】（1）当时，则点坐标为___________；（2）求的值； 【深入探究】（3）如图2，过点作线段轴，交轴于点，且，作轴于分别交双曲线点、点，连接并延长交轴于点，连接，证明：四边形为平行四边形． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，直线分别交轴、轴于、两点，反比例函数的图像与直线交于、两点，已知点的纵坐标为，连接、． (1)求反比例函数的解析式和的面积．(2)试说明：．(3)若是上不与、重合的任意一点，，于，于．①为何值时，？②线段上是否存在点，使？若存在这样的点，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数位于第二象限的图像上，点在轴的负半轴上，四边形为菱形． (1)求点的坐标和的值；(2)将菱形沿过原点的某条直线翻折，记点的对称点为，点的对称点为，当点落在函数位于第四象限的图像上时，点的坐标为___________． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为．(1)求的值；(2)当时，自变量的取值范围为__________；(3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值；(2)结合图象直接写出的取值范围；(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期末）下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 双曲面反射镜变形检测系统的设计 问题提出 某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示），其理论设计形状为反比例函数曲线型．在实际使用中，反射镜可能因应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能．如何设计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否发生形变？ 查阅资料 兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连接与反比例函数的图象相交于点与，则恒有成立．（任务三完成此性质的证明） 检测系统设计 如图1，利用上述性质作为判断双曲面镜是否变形的依据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下： 第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心与坐标原点重合； 第二步：在轴和轴上安装可移动激光测距仪和．激光测距仪可分别沿轴正半轴和轴正半轴上移动，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点；同时，激光从发出，经反射镜上点反射原路返回点．系统通过测量往返时间计算距离和，在移动过程中保持点四点共线（点，点不重合），进行多组测量并采集数据比对． 学习任务 任务一 （1）兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测，共选取了5个不同的激光位置，测得的与长度如右表所示．若允许测量误差为，请根据表中数据判断该反射镜是否存在明显变形？请直接写出结果． （） （） 4.031 4.030 5.099 5.100 6.083 6.082 7.071 7.073 8.062 8.061 任务二 （2）现检测一块理论设计形状为反比例函数的双曲面反射镜（如图2）．在调节仪器过程中，先固定激光测距仪，再适当地移动调节激光测距仪的位置．其中点的坐标为，点的坐标为．为保证检测系统能够测量出和的距离，则取值范围为___________． 任务三 （3）请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成证明．性质的证明．如图3，过点分别向轴和轴作垂线段和，过点分别向轴和轴作垂线段和，连接．由反比例函数的几何意义，得： ___________（用含的代数式填空）， ___________（选“＜”，“=”或“＞”填空）， …… 任务四 （4）请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由． 6．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． (1)求该反比例函数的解析式；(2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接．①当点A的横坐标为4时，求的面积；②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 7．（2026·山东济南·二模）正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值；(2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D．①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”． (1)若，则点的“影射点”，的坐标是_____；点的“影射点”的坐标是_____； (2)若点在一次函数的图象上，其“影射点”在一次函数的图象上，则的值是__________； (3)如图，已知点是点的“影射点”，点是反比例函数图象上一点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值． 9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】（2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】（3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【强化训练】 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】（1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】（3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 2．（24-25八年级下·江苏·月考）在平面直角坐标系中，点的“对称点”Q定义如下：当时，P与Q关于直线对称；当时，P与Q关于y轴对称．(1)点的“对称点”坐标是 ，点的“对称点”坐标是 ；(2)已知点C在反比例函数的图象上，点C的“对称点”为点D，若点D的坐标为，求m的值；(3)一次函数的图象上所有点的“对称点”组成一个新的图形G．若直线与图形G无交点，求实数m的取值范围． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，点P是直线上方反比例函数上一动点． (1)求一次函数解析式；(2)若y轴上一动点F，当时，求周长的最小值及点F的坐标； (3)在（2）中直线交y轴于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，在反比例函数上是否存在一点Q，使，请直接写出点Q的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 5．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．(1)求直线的解析式；(2)若的面积为8，求点D的坐标；(3)若，求k的值． 6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标；(2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点的横坐标为，的长度为，则与之间的函数关系式为______ ； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中______； ②描点：根据上表中的数据，在图中描出各点； ③连线：请在图中画出该函数的图象观察函数图象，的最大值为______． ④阅读规律：当，都是正数时，有，即：，只有当时，才成立；如：已知，，只有当时，即：时，有最小值为． 请用这个规律说明中的最大值的正确性； (3)拓展应用：如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点、，点为反比例函数上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值． 8．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求、的值；(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接．①求的面积；②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $