专题05 反比例函数中的综合压轴问题（选填题）（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦反比例函数综合压轴问题，先梳理其基本性质（k的符号对图象位置及增减性的影响、中心对称与轴对称特征），再整合与几何图形（特殊三角形、四边形）、动态问题、新定义等综合应用，构建从基础到压轴的学习支架。 该资料通过13类题型（如新定义“对偶关系”、特殊四边形综合）的典例与变式训练，培养学生抽象能力（新定义理解）和推理意识（分类讨论漏解问题），运用数形结合方法。课中助力教师系统授课，课后辅助学生强化综合题解题能力，弥补知识盲点。

专题05 反比例函数中的综合压轴问题（选填题） 1、反比例函数与整点、交点、新定义、动态问题等综合压轴；动点压轴：点在双曲线上运动，结合动点速度、取值范围、分段函数；存在性多情况分类讨论，易漏解、重复解； 2、反比例函数与几何图形（特殊三角形、四边形、角度、长度、面积等）综合压轴；常融合一线三垂直、全等、倒角、手拉手、折叠； 3、反比例函数与几何最值、几何变换、探究规律综合压轴。 1. 反比例函数基本基本性质： k>0：图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小； k<0：图象在二、四象限，每个象限内y随x增大而增大； 易错：不能直接说 “全体定义域内单调增减”，必须加 “在每个象限内”。 中心对称：关于原点对称，若A(a，b)在图像上，则(-a，-b)也在图像上； 轴对称：关于直线y=x、y=-x对称，A(a,b)对称点(b，a)，(-b，-a)。 2. 反比例与一次函数联立：联立y=kx+b与消元得一元二次方程：。 判别式判断交点个数：当>0时，2 个交点；当=0时：1 个公共点；当<0时：无交点。 若有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，韦达定理： x1+x2，x1x2，常用于线段长度、面积、比例计算。 3. 坐标常用公式（压轴工具）：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两点距离：；中点坐标：。 两直线垂直：斜率乘积 k1k2=-1；两直线平行：斜率相等k1=k2；水平线段长：|x1-x2|；竖直线段长：|y1-y2|。 题型01 反比例函数与新定义综合压轴 【典例】（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，我们规定对于不在坐标轴上的任意一点，把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点,均在反比例函数的图象上，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·二模）若点的坐标满足，其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于的函数满足当时，的最小值为，最大值为，则称函数当时是闭函数．例如一次函数当时是闭函数．已知反比例函数，当时是闭函数，则___________． 题型02 反比例函数与特殊四边形的综合压轴 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则______． 【变式1】（2026·北京门头沟·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，是轴上方的两个动点，四边形是菱形，函数的图象与对角线交于点（点，不重合），过点作轴于点，连接，．给出下面四个结论：①的面积一定为2；②和的面积一定不相等；③一定为锐角三角形；④可能为等腰三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式2】（2026·黑龙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（    ） A．10 B． C． D．8 题型03 反比例函数与角度的综合压轴 【典例】（2026·江苏连云港·一模）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式1】（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．点D为反比例函数图象上一点且在点A的右侧，点，四边形是平行四边形，连接．若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·江苏连云港·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为_____． 题型04 反比例函数与线段长度综合压轴 【典例】（2026·黑龙江·一模）如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以，为边作平行四边形，且，，过点作轴于点， ，分别与反比例函数的图象交于点，若，则________；点D的横坐标为__________． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 题型05 反比例函数与图形面积综合压轴 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为_____． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点、都是双曲线在第一象限内的点（点在点的右侧），过点作轴与过点作轴的直线交于点，连接并延长交双曲线于点，连接，的面积用表示，的面积用表示，若，则________．（用含和的代数式表示） 【变式2】（25-26九年级下·福建厦门·月考）在平面直角坐标系中，的顶点，，顶点，在第三象限且在双曲线的同一分支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值为_____． 题型06 反比例函数与几何最值综合压轴 【典例】（2026九年级·山东·培优）如图，点是反比例函数的图像上一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 【变式2】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点C的坐标为，A，两点都在双曲线上，P是x轴正半轴上的点． （1）反比例函数表达式中k的值是______．（2）当的周长最小时，点P的坐标是______ 题型07 反比例函数与几何变换综合压轴 【典例】（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【变式1】（25-26八年级下·四川遂宁·月考）如图，双曲线经过四边形的顶点A、C，，平分与x轴负半轴的夹角，轴，将沿翻折后得到，点落在上，则四边形的面积是____________． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 题型08 反比例函数与探究规律综合压轴 【典例】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【变式1】（2025·成都·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．再分别过作，垂足分别为，连结，得到一组，，设它们的面积分别为，，则__________，__________． 题型09 反比例函数与数点综合压轴 【典例】（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为奇数的点称为“奇点”．双曲线如图所示，点在双曲线的上方，过点分别作轴、轴的垂线，与双曲线交于点，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，则符合条件的最大整数的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在反比例函数的图象上．（1）若点在图象的下方，_____________（填写“”，“”或“”）； （2）若点也在图象上，且图象上点之间的部分与线段能够围成一个封闭区域，（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是_______________． 题型10 反比例函数与图形交点综合压轴【典例】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，．若反比例函数的图象与字母“M”中的线段有2个交点，则的取值范围是________． 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，点均在双曲线的一支上，若双曲线与线段有交点，则的整数值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2】（25-26九年级下·河北保定·开学考试）如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11 反比例函数与特殊三角形综合压轴 【典例】（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，的图象上，点A的坐标为，连接，若，，则k的值为（   ） A． B． C．2 D． 题型12 反比例函数与动态问题压轴 【典例】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点．①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点；③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．如下结论中不正确的是（   ） A．与的面积相等 B．与始终相等 C．四边形的面积大小不会发生变化 D． 【变式2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论：①与的面积不一定相等；②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形；④一定不是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型13 反比例函数与多结论综合压轴 【典例】（2026·北京平谷·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①；②四边形的面积为；③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，四边形为矩形，以边、所在直线建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数的图象交于点，交于点，作直线交轴于点，交轴于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．一定平行于 C．若，则 D．四边形的面积 【变式2】（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为和．有以下结论：①  ②  ③阴影部分面积是  ④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论：①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【巩固训练】 1.（25-26九年级上·山东·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，、、是分别以、、为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点均在反比例函数的图象上．则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 6.（2025·贵州·模拟预测）如图，点A是反比例函数图像上任意一点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、D，则矩形的周长的最小值为（       ） A．3 B． C． D．10 7.（25-26九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点，已知点，在反比例函数的图象上，过点作直线，与该反比例函数的图象相交于点．若，则的长为（    ） A． B．12 C． D． 8.（2025·成都·模拟预测）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是 9.（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 10.（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与，相交于点E，F，连接，，，若的面积是24，则的面积为_________． 【强化训练】 1.（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图是双曲线和双曲线的部分图象，点是双曲线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，过点作轴，垂足为，交于点．则随着点从左向右运动，下列叙述错误的是（    ） A．矩形的面积保持不变 B．线段的长保持不变 C．的面积是 D．的最小值是2 2.（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线的图象与轴，轴分别交于点，与反比例函数图象的一支交于，两点，连接，则以下结论：①的值为；②是等腰三角形；③；④；其中正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3.（25-26九年级下·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M，N不重合）．给出四个结论：①与的面积一定相等；②可能是等边三角形；③若点M是边的中点，则点N一定为的中点；④在点A，点B的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若．有以下结论：①；②当点的横坐标为3时，四边形是正方形；③当点的纵坐标为9时，点的横坐标为，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足． （）若，则线段的长为______；（）若的面积为，则实数的值为______． 6.（2026·河北邢台·校考一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作．（1）________；（2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是________． 7.（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，折线AB—BC的端点，，，反比例函数的图象与该折线有两个交点，则k的最大值是______． 8.（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，过点作轴的垂线，分别交的图象于点，过点作轴的垂线，分别交的图象于点（点在点上方，点在点上方），过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为，两条垂线交于点．给出下面四个结论：    ①当时，四边形是菱形；②四边形可能是正方形； ③；④如果四边形为菱形，那么． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9.（25-26九年级上·四川巴中·期末）小红在制作装饰图案时，需要将角三等分，她运用古希腊数学家帕普斯（Pappus）研究“三等分角”问题时提出的方法，借助反比例函数的图象进行构造．如图，在平面直角坐标系中，将的顶点与原点重合，边与轴正方向重合，且，反比例函数的图象与射线交于点，以为圆心、的长为半径画弧，交反比例函数图象于点，分别过点和点作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，得到，此时．请写出点的坐标为________． 10．（25-26九年级上·四川成都·月考）对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”．已知点，，，如果是双曲线和线段围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，则的取值范围是_________． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数中的综合压轴问题（选填题） 1、反比例函数与整点、交点、新定义、动态问题等综合压轴；动点压轴：点在双曲线上运动，结合动点速度、取值范围、分段函数；存在性多情况分类讨论，易漏解、重复解； 2、反比例函数与几何图形（特殊三角形、四边形、角度、长度、面积等）综合压轴；常融合一线三垂直、全等、倒角、手拉手、折叠； 3、反比例函数与几何最值、几何变换、探究规律综合压轴。 1. 反比例函数基本基本性质： k>0：图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小； k<0：图象在二、四象限，每个象限内y随x增大而增大； 易错：不能直接说 “全体定义域内单调增减”，必须加 “在每个象限内”。 中心对称：关于原点对称，若A(a，b)在图像上，则(-a，-b)也在图像上； 轴对称：关于直线y=x、y=-x对称，A(a,b)对称点(b，a)，(-b，-a)。 2. 反比例与一次函数联立：联立y=kx+b与消元得一元二次方程：。 判别式判断交点个数：当>0时，2 个交点；当=0时：1 个公共点；当<0时：无交点。 若有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，韦达定理： x1+x2，x1x2，常用于线段长度、面积、比例计算。 3. 坐标常用公式（压轴工具）：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两点距离：；中点坐标：。 两直线垂直：斜率乘积 k1k2=-1；两直线平行：斜率相等k1=k2；水平线段长：|x1-x2|；竖直线段长：|y1-y2|。 题型01 反比例函数与新定义综合压轴 【典例】（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称∴点坐标为；若点或点的纵坐标称相等，∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系”，所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得； 横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得；因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，；当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意；故选：B. 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，我们规定对于不在坐标轴上的任意一点，把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点,均在反比例函数的图象上，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设点，，则，， ∵，∴，即， ∵均在反比例函数图象上，∴， ∴，解得，∴，故选：D． 【变式2】（2025·四川成都·二模）若点的坐标满足，其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：双曲线上存在“好点”， ，①②得：，， ，，整理得：， ，，∴当时，k最大为，此时，不满足, 当时，k最小为，．故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）若关于的函数满足当时，的最小值为，最大值为，则称函数当时是闭函数．例如一次函数当时是闭函数．已知反比例函数，当时是闭函数，则___________． 【答案】4 【详解】解：因为反比例函数在区间上单调递减， 因此当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， 根据闭函数定义，最大值等于，最小值等于，即，， 将两式相乘，得：，解得：或，但考虑到区间需使函数有定义且连续，和必须同号（均正或均负），因此 ，故，故答案为：4． 题型02 反比例函数与特殊四边形的综合压轴 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则______． 【答案】6 【详解】解：连接，过点作轴于点， ∵四边形是矩形，∴经过点，，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴设， ∵∴，∴，∴， ∵点F为的中点，∴，即， 将代入，则，解得：，故答案为：6． 【变式1】（2026·北京门头沟·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，是轴上方的两个动点，四边形是菱形，函数的图象与对角线交于点（点，不重合），过点作轴于点，连接，．给出下面四个结论： ①的面积一定为2；②和的面积一定不相等； ③一定为锐角三角形；④可能为等腰三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：设点的坐标为，、， 点在函数的图象上，，，故①正确； 四边形是菱形，、， 在和中，，，故②错误； 举反例，当点位于的中点时，四边形是菱形，，即， 此时为直角三角形，故③错误； 当点运动到使得或或的位置时，为等腰三角形， 由于点是动点，则可能为等腰三角形，故④正确；综上所述，正确的有①④． 【变式2】（2026·黑龙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，都在第一象限，，都在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，反比例函数的图象过点．若的面积为2，则的值为（    ） A．10 B． C． D．8 【答案】B 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，设直线的解析式为， 将代入，得，将代入，得， ，直线的解析式为， 设交于点，所在直线为，将代入，得， ，，以为底， 点到的距离为，点到的距离为，， ，， 在反比例函数的图像上，即， 将代入，得，解得，， ，，． 题型03 反比例函数与角度的综合压轴 【典例】（2026·江苏连云港·一模）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：动点在反比例函数的图象上，设，的中点为， 的图象经过点，，故①正确； ∵轴，的纵坐标，把代入得，， ，，，故②正确； 如图，过点作轴于，，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得，，， ，，，故③错误； ，，，是的中点，，， 轴，，， 若，则，，．故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【变式1】（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．点D为反比例函数图象上一点且在点A的右侧，点，四边形是平行四边形，连接．若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把代入，可得，解得， ，把代入，可得，∴反比例函数的解析式为， 把代入，则，， 过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 则，，， ，为等腰直角三角形，，， 点，，，点， 设直线的解析式为，把，代入可得 则，解得，，设点， 四边形是平行四边形，，则， 为反比例函数图象上的一点，，解得或， 的横坐标大于1，，， 故点．故选：D 【变式2】（25-26九年级下·江苏连云港·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点C，D，若，且，则点B的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过B作轴于点F，过D作轴于点E，过C作轴于点H，过B作于点G，∵，，∴，∴．    设，则，∵反比例函数的图象经过点D， ∴，即， 解得或(不符合题意，舍去)，∴， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，，∵反比例函数的图象经过点C， ∴，∵，∴， ∴，解得：或 (不符合题意，舍去)，∴，∴． 题型04 反比例函数与线段长度综合压轴 【典例】（2026·黑龙江·一模）如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，∴设， ∵，，∴，， ∵，∴∴， ∴，∴ 整理得：，∴整理得：，∴，∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以，为边作平行四边形，且，，过点作轴于点， ，分别与反比例函数的图象交于点，若，则________；点D的横坐标为__________． 【答案】 【详解】解：过点A作轴于点G， 在中，，∴，∴， ∴，∴点的坐标为， ∵点A在反比例函数第一象限的图象上， ∴；∴反比例函数解析式为， ∵四边形为平行四边形，∴轴，∴四边形为矩形，∴， ∵，∴，在中，令，即， 解得，即，∴， ∵，设直线的解析式为，∴，解得，， ∴直线的解析式为，∴直线为直线向右平移9个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 令， 解得，（舍去），．故答案为：，． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，作于点， 设点的坐标为，点的坐标为，，， ，， ，，，，， ，，，，，整理得， ，整理得， ，整理得，解得或， ，，即，． 题型05 反比例函数与图形面积综合压轴 【典例】（25-26九年级上·成都·期末）如图，已知双曲线与直线相交于A，B两点，第一象限内的点（在点A左侧）是双曲线上的动点，过点B作轴交x轴于点D，过点作轴交双曲线于点E，交于点，若B是的中点，四边形的面积为4，则直线的表达式为_____． 【答案】 【详解】解：是中点，轴，点纵坐标为，点纵坐标为， 把代入直线得，，，点的横坐标为， 点的坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为， ，，，，， 将点纵坐标代入方程得，点的横坐标为，， ，，解得：， 点坐标，点坐标，，当时，，，点坐标， 设直线的解析式为，则，解得：， 直线的解析式为．故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点、都是双曲线在第一象限内的点（点在点的右侧），过点作轴与过点作轴的直线交于点，连接并延长交双曲线于点，连接，的面积用表示，的面积用表示，若，则________．（用含和的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点，作轴，交的延长线于点， 设，则，，，，， ，，，， ，，，，，， ， ，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级下·福建厦门·月考）在平面直角坐标系中，的顶点，，顶点，在第三象限且在双曲线的同一分支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：设，四边形是平行四边形，对角线中点重合，可得， 代入，，得，解得，即， 点在双曲线上，，整理得，即， ，，设直线解析式为， 代入得，代入得，解得， 直线解析式为，令得，， 设直线解析式为，代入得， 解得：，即：直线解析式为，令得，， 斜率等于斜率等于，，点在直线上，点在直线上，∴， 又，，， 四边形是平行四边形，，两个平行四边形等高，， 在第三象限，可得，，点在线段上，为中点， 由中点坐标公式得，，解得，，． 题型06 反比例函数与几何最值综合压轴 【典例】（2026九年级·山东·培优）如图，点是反比例函数的图像上一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接并向两端延长把代入，得 直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点 解得：或 B在点第四象限；； 设的解析式为：；把代入得：；解得：；的解析式为： 设直线交轴于点；当时，；解得：； （三点共线时，取等号） 当运动到时，线段与线段之差达到最大，点的坐标为 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，∴， 过点的反比例函数的图象与边交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为，∴，，∴， ∴ ，∵，当时 ，四边形的面积最大，最大值为， ∴，故答案为： ． 【变式2】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点C的坐标为，A，两点都在双曲线上，P是x轴正半轴上的点． （1）反比例函数表达式中k的值是______．（2）当的周长最小时，点P的坐标是______ 【答案】 6 【详解】解：（1）过作轴于，过作轴于，如图： 是等腰直角三角形，，，， ，，，， ，，，，，， ，恰好落在反比例函数第一象限的图象上， ，，，故答案为：； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，如图： 当最小时，周长最小， ，关于轴对称，，当，，共线时，最小，周长也最小， 设直线的解析式为，把，代入可得， ，解得，∴直线的解析式为， 令，解得，；故答案为：． 题型07 反比例函数与几何变换综合压轴 【典例】（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【详解】解：对于选项A：将代入，得，∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 【变式1】（25-26八年级下·四川遂宁·月考）如图，双曲线经过四边形的顶点A、C，，平分与x轴负半轴的夹角，轴，将沿翻折后得到，点落在上，则四边形的面积是____________． 【答案】3 【详解】解：延长交轴于一点E，延长交x轴于一点F，如图所示： ， ∵沿翻折后得到，∴，∴， ∵平分与x轴负半轴的夹角，∴，∵轴，∴， ∵，∴，∴，设，，∴， ∵双曲线经过四边形的顶点A、C，∴，∴， ∵轴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案：3． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 【答案】或 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ；， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ，．∴的取值范围是或． 故答案为：或． 题型08 反比例函数与探究规律综合压轴 【典例】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【答案】B 【详解】解：当时，，，当时，即，，， 又点在反比例函数的图象上，，反比例函数的关系式为， 当时，，点，当时，，点， 由图象的平移可得，，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，，， ，，，，故选：B． 【变式1】（2025·成都·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形，∴，∴，，∴， ∵直角顶点在反比例函数，∴，即，∴，∴， 设坐标为，则，∵在上，∴，整理得，解得， ∵，∴，，∴，∴， 设坐标为，则，∵坐标在反比例函数，∴， 即，整理得，∴， ∵，∴，，∴， 总结：，，，…则， ∴，∴，故答案为： 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．再分别过作，垂足分别为，连结，得到一组， ，设它们的面积分别为，，则__________，__________． 【答案】 【详解】解：设，∵，∴，∴， 同理可求的坐标分别为，，，，， ∴的面积为，​的面积为，​的面积为，，的面积为， 当时，， ． 题型09 反比例函数与数点综合压轴 【典例】（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令，则，令，则，则直线与x轴交于，与y轴交于， 围成三角形区域，内部整点需满足：取（整数），满足（正整数）， 逐一代入计算：时，无解；时，（1个）；时，（2个）； 时，（3个）；时，（4个）．总计． 计算双曲线区域整点数m， A、当时，满足的正整数对有： 时，（3个）；时，（1个）；时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． B、当时，满足的正整数对有： 时，（4个）；时，（2个）；时，（1个）；时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． C、当时，满足的正整数对有： 时，（5个）；时，（2个）；时，（1个）； 时，（1个）；时，（1个）． 总计，与相等．符合题意． D、当时，满足的正整数对有： 时，（6个）；时，（3个）； 时，（2个）；时，（1个）；时，（1个）；时，（1个）． 总计，与不相等．不符合题意．综上，当时，，故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为奇数的点称为“奇点”．双曲线如图所示，点在双曲线的上方，过点分别作轴、轴的垂线，与双曲线交于点，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，则符合条件的最大整数的值为 ． 【答案】20 【详解】解：由题意，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，如图， 当“奇点”为时，满足题意，且此时整数的值最大，反比例函数的图象经过，∴；故答案为：20． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在反比例函数的图象上．（1）若点在图象的下方，_____________（填写“”，“”或“”）； （2）若点也在图象上，且图象上点之间的部分与线段能够围成一个封闭区域，（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，∴，即， 对于反比例函数，当时，， ∵点在图象的下方，∴，即， （2）点在反比例函数的图象上，∴，即， 当，即时，点在第二象限，点在第四象限，此时图象上点之间的部分与线段不能够围成一个封闭区域，故不符合题意，舍去． 当，即时，点在第一象限，图象上点，之间的部分与线段能够围成一个封闭区域． ∵（不包括边界）中没有横、纵坐标都是整数的点，∴点是临界点． 经过点的正比例函数为，而直线上有无数个整点，且线段关于直线对称． 如图1，当点在内部时，有整点； 如图2，当反比例函数图象经过点时，符合题意，将代入，得； 当时，如图，符合题意：故；故答案为：；． 题型10 反比例函数与图形交点综合压轴 【典例】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，．若反比例函数的图象与字母“M”中的线段有2个交点，则的取值范围是________． 【答案】或 【详解】解：如图，当反比例函数，过点时，只有一个交点； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点B和线段，故有两个交点； ∴此时； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点A和线段 ，有四个交点； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点D和线段， ∴此时，∴当时，只交于线段，有两个交点； 如图，当反比例函数，过点时，只有一个交点； ∴此时，∴当时，只交于线段，有两个交点； 综上所述：当时，图象与字母“M”中的线段有2个交点；当时，图象与字母“M”中的线段有2个交点．故答案为：或. 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，点均在双曲线的一支上，若双曲线与线段有交点，则的整数值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【详解】解：由题意，，C点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，∴， 当双曲线经过点时，；当双曲线经过点时，； ∴当双曲线与线段有交点时，，∴的整数值有，共7个． 【变式2】（25-26九年级下·河北保定·开学考试）如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第一象限内的图象与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是， ∵过点的反比例函数解析式为∴ 随着 值的增大，反比例函数的图象必须和线段有交点才能满足题意。 经过点的直线解析式设为，代入得，解得，∴, 由 得,根据,得 综上可知 故答案为: ． 题型11 反比例函数与特殊三角形综合压轴 【典例】（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，如图： 设，是等腰直角三角形 轴，点C的纵坐标为 四边形是矩形，， ；点G的横坐标为 ； ； 点A是反比例函数的图象上一点； 解得或（舍去）；．故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：和均为正三角形，，， ，，过点作于点，则， 点在反比例函数的图象上，，，故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，的图象上，点A的坐标为，连接，若，，则k的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点 作轴于点 ，过点作 于点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵点的坐标为 ，∴，∴， ∵在反比例函数的图像上，∴ ， 解得：或（舍去），∴. 故选：B. 题型12 反比例函数与动态问题压轴 【典例】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点．①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点；③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴， ∵四边形为矩形，∴， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点，∴，∴， ∵，，∴， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∴，即点是边的中点，则点一定为的中点，故②符合题意； 由点坐标为，设点，，则， ∴，， ∴，即是一个定值，故③符合题意，故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．如下结论中不正确的是（   ） A．与的面积相等 B．与始终相等 C．四边形的面积大小不会发生变化 D． 【答案】B 【详解】解：、点、是反比例函数的图象上的点，，故选项正确； 、设，则，，，则，，令，即，解得（负值舍去），故当点横坐标为时，与才相等，故选项错误； 、因为是反比例函数的图象上一动点，所以， 故，故选项正确； 、设，则，，则，， 所以，故选项正确；故选：． 【变式2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个结论：①与的面积不一定相等；②与的面积一定不相等； ③不一定是锐角三角形；④一定不是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：设点M坐标为，点N坐标为，则，，， ∴，，，，，， ∴，， ∴，即与的面积一定相等，故结论①错误； ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，M，N重合，与题意不符，∴与的面积一定不相等，故结论②正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故结论④错误；如图：当M，N在的同侧时，可能是钝角三角形，故结论③正确；综上，①④错误、②③正确．故选：C． 题型13 反比例函数与多结论综合压轴 【典例】（2026·北京平谷·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①；②四边形的面积为；③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：一次函数，则，，解得或， ，则，，，故①正确； 由题可知四边形为直角梯形，且， 四边形的面积为，故②错误； ∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称， ∴当的解析式为时，的长度最大， 解方程组得或，∴此时M点的坐标为，故③正确； 当的长度最大时，求对应的点的坐标， 得 此时N点的坐标为，故④错误． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，四边形为矩形，以边、所在直线建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数的图象交于点，交于点，作直线交轴于点，交轴于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．一定平行于 C．若，则 D．四边形的面积 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，，设直线的解析式为， ，解得，直线的解析式为， 令，则，解得，，则， ，，∴当时，，，∴， 把代入，得，，，故A错误； 四边形是矩形，，四边形是平行四边形， ，故D错误； 四边形是平行四边形，，故B正确； ，四边形是平行四边形，若，， ，，且，则，，， 直线的解析式为，，且， ，，故C错误．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为和．有以下结论：①  ②  ③阴影部分面积是  ④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，如图， ∵轴，轴，∴， ∴四边形、是矩形，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故①正确； 则，，∴，故②正确； ∵， ，∴，故③错误； 若是菱形，则，而，∴ ∴，∴，∴，∴两双曲线关于y轴对称，故④正确； 综上分析可知，①②④正确，故C正确．故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论：①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③/③① 【详解】解：①：∵点和点在同一反比例函数上， ∴，即，∴．故①符合题意； ②：∵正方形，∴， ∵点和点在同一反比例函数上，∴即 ∴∴点为中点时，，则点为的中点，故②不符合题意； ③由②可得，∴，∴的等腰直角三角形． ∵，∴．∵将绕逆时针旋转至，∴， ∴，，．． ∴．∴三点共线， ∵，∴，∴． ∵在和中，，∴，∴， ∴，∴，∴点，点． ∵设直线的解析式为：，代入点，点， ，解得：．∴设直线的解析式为：．故③符合题意； ④：作点关于的对称点点，连接，当点、点、点三点共线时，有最小值． ∵正方形，且边长为，∴，．∵点关于的对称点点，∴． 在中，∴．即的最小值为，故④不符合题意．∴符合题意的有①③．故答案为：①③． 【巩固训练】 1.（25-26九年级上·山东·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点，∴，，∴，， 如图，过点作轴于点，则，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵反比例函数的图象经过点，∴，故选：． 2.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）如图，、、是分别以、、为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点均在反比例函数的图象上．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点，∴， ∵在上，∴，∴，∵，∴，∴．设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点，∴， ∵在上，∴，∴，解得（舍去负根）， ∴．设，∵是等腰直角三角形，是斜边中点，∴， ∵在上，∴，代入，得， ∴，解得（舍去负根），∴． ∴，故选：D． 3.（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，，∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，，∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为， 当D为的中点时，点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上，∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 5.（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ，，由旋转知，，， ，， 在和中，，，，， 点、在反比例函数图象上，且纵坐标分别为、， ，，，，，， 设点坐标为，，，由图可知点在点左侧，点在点右侧， ，， 两式相加得，解得. 6.（2025·贵州·模拟预测）如图，点A是反比例函数图像上任意一点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、D，则矩形的周长的最小值为（       ） A．3 B． C． D．10 【答案】C 【详解】解：∵点A是反比例函数图像上任意一点，∴设， ∵过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、D，∴， ∴矩形的周长为，∵，∴， ∴，∴的最小值为，∴矩形的周长的最小值为．故选：C． 7.（25-26九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点，已知点，在反比例函数的图象上，过点作直线，与该反比例函数的图象相交于点．若，则的长为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【详解】解： 根据题意得：轴，轴， ， 设点 的坐标为 ，则 ， ， 点 在反比例函数 图象上，且直线 过原点 ， 点 与点 关于原点对称，，解得 ， ， ，，反比例函数解析式为 ， 直线 过点 和 ， 直线 的函数解析式为：， ， 设直线 的解析式为 ， 将点 代入得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 联立 ，整理得 ， 解得 ， 设 ，，设 ， 则 ， 点 在直线 上， ， 8.（2025·成都·模拟预测）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 设， 过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，则……，，， ，，四边形、是矩形， ，，，，，， ，，，同理可得，，，，，…… 观察发现，，，，……，则，，阴影部分的面积 ，故答案：． 9.（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 【答案】3 【详解】解：∵已知点，在反比例函数的图像上， ∴，解得，，∴，， 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得，∴直线的解析式为， ∵规定横、纵坐标都是整数的点为整点，∴当时，则，， ∵，∴是满足条件的整点；∴当时，则，， ∵，∴是满足条件的整点；∴当时，则，， ∵，∴是满足条件的整点； ∴当时，则，，此时不存在满足条件的整点，故答案为：3． 10.（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与，相交于点E，F，连接，，，若的面积是24，则的面积为_________． 【答案】/ 【详解】解：设矩形中，，，则． ，．． ∵点在反比例函数上，． 的面积是24，． 设F点坐标为，则，即．． ，解得． ∵E在上，横坐标为a，代入反比例函数，得． 矩形的面积为．．． ． 因此，的面积为：．故答案为：． 【强化训练】 1.（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图是双曲线和双曲线的部分图象，点是双曲线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，过点作轴，垂足为，交于点．则随着点从左向右运动，下列叙述错误的是（    ） A．矩形的面积保持不变 B．线段的长保持不变 C．的面积是 D．的最小值是2 【答案】B 【详解】解：点是双曲线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，过点作轴，垂足为，交于点，根据反比例函数k的几何意义，得矩形的面积为，是定值，故矩形的面积保持不变，故A正确，不符合题意； 设，且，则，点D与点P的纵坐标相同，都是，故， 解得，故，故，不是定值，故B错误，符合题意； 根据题意，得，， 故；故的面积是是正确的，故C不符合题意； 设，且，则 故的最小值是2，故D正确，不符合题意；故选：B． 2.（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线的图象与轴，轴分别交于点，与反比例函数图象的一支交于，两点，连接，则以下结论：①的值为；②是等腰三角形；③；④；其中正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①将代入中，即，解得：，即故①正确； ②将代入中，即，解得：，∴， 代入到上式，可得，∴，代入到上式，可得， ∴，∴，∴ 联立，解得：，，∴， 过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，即 ，， ∴，，，， ∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∴是等腰三角形，故②正确； ③∵，∴，∴，故③正确； ④∵，，，，∴， ∴，故④正确；故选：D． 3.（25-26九年级下·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M，N不重合）．给出四个结论：①与的面积一定相等；②可能是等边三角形；③若点M是边的中点，则点N一定为的中点；④在点A，点B的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，， 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ，∴，即与的面积一定相等，故①正确； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线可能是等边三角形，故②正确；是中点，，， ，， ∵四边形是矩形，，，， 即点一定为的中点，故③正确；设点坐标为， 则点，，∴，故④不正确． 4．（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若．有以下结论：①；②当点的横坐标为3时，四边形是正方形；③当点的纵坐标为9时，点的横坐标为，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：设，，，在上，， ∵平行于轴，∴，如图，连接，交于点， ， ∵四边形为菱形，∴，点；∵平行于轴，∴轴，∴， ∵坐标原点为的中点，∴，， ∴，，∴，， ∴，， ∵，∴，∴，∴， 由菱形的性质并结合图形可得，点、点关于线段对称，点、点关于线段对称， ∴，，∴，， ∴，∴，∴，故①正确； ∴反比例函数的解析式为， 当点的横坐标为3时，为的中点，∴点的横坐标为，∴，∴， ∵，，∴，，∴，∴，， ∴，，∴，∴四边形是正方形，故②正确； 当点的纵坐标为9时，点的横坐标为， ∵，∴点的横坐标为，故③错误；故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足． （）若，则线段的长为______；（）若的面积为，则实数的值为______． 【答案】 【详解】解：（）∵四边形是正方形，∴，， ∵点是反比例函数图象上的点，∴， 即，∴，故答案为：； （）过作于，则， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵的面积为，∴，解得，（舍去），故答案为：． 6.（2026·河北邢台·校考一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作．（1）________；（2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是________． 【答案】 或 【详解】解：（1）将代入中，解得：，故答案为：． （2），当时，，，且, 设直线表达式为，代入和坐标可得，解得：， 直线表达式为，∴直线过点，， 时，与无交点，不合题意，    、、在上，均不在区域， 当时，，当在时，若恰好经点过时，点在直线上， 此时内有一个整点，即，将代入中，解得：， 中至少有个整点，． 当在时，若恰好经过点时，此时内有两个整点，即，， 将代入中，解得：，即， 中至少有个整点，, 综上：的取值范围是或，故答案为：或． 7.（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，折线AB—BC的端点，，，反比例函数的图象与该折线有两个交点，则k的最大值是______． 【答案】 【详解】解：∵点，，，∴可表示为，可表示为 ∵反比例函数的图象与该折线有两个交点， ∴反比例函数的图象与的交点的横坐标为，纵坐标为，且， 与的交点的纵坐标为，横坐标为，且，∴，∴的最大值是．故答案为：． 8.（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，过点作轴的垂线，分别交的图象于点，过点作轴的垂线，分别交的图象于点（点在点上方，点在点上方），过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为，两条垂线交于点．给出下面四个结论：    ①当时，四边形是菱形；②四边形可能是正方形； ③；④如果四边形为菱形，那么． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，，，，，， ①当时，，，∴，，，， ∴，， ，， ∵，∴四边形不是菱形，故①错误，不符合题意； ②∵，，，， ∴，与交点，，， ∴，，，， 若四边形是正方形，还需，与互相平分， ∴，解得：，∴当时，四边形是正方形， ∴四边形可能是正方形，故②正确，符合题意；      ③∵四边形中，，∴， ∵，，，∴，，∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵四边形为菱形，∴与互相平分，即，， ∴，解得：，∴，故④错误，不符合题意； 故正确结论的序号是②③．故选：C． 9.（25-26九年级上·四川巴中·期末）小红在制作装饰图案时，需要将角三等分，她运用古希腊数学家帕普斯（Pappus）研究“三等分角”问题时提出的方法，借助反比例函数的图象进行构造．如图，在平面直角坐标系中，将的顶点与原点重合，边与轴正方向重合，且，反比例函数的图象与射线交于点，以为圆心、的长为半径画弧，交反比例函数图象于点，分别过点和点作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，得到，此时．请写出点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：，平分一象限，直线的解析式为， 当时，解得或，，， ，点在反比例函数图象上，设点的坐标为， ，整理得， 令，则，代入上式得：，解得或， 当时，，解得或， 经检验，或，使得，是该方程的解； 当时，，解得，经检验，，使得，是该方程的解； ，，点的坐标为；故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川成都·月考）对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”．已知点，，，如果是双曲线和线段围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则，由题意得：，， ∴，∴， ∴，∴，∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：，解得：，直线为， 设经过点的双曲线为：，代入得：，∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”， 把代入得，，解得，把代入得，，解得， 的取值范围是．故答案为：． 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $