第四单元 《圆》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年六年级数学上册(人教版·新教材)

该小学数学《圆》单元复习讲义通过分层知识点系统构建知识体系，以“定义-特征-公式-应用”为主线梳理圆的认识、周长、面积等核心内容，用结构化框架呈现圆心、半径等概念及公式推导过程，突出同圆半径关系、半圆周长与面积等重难点内在联系。 讲义亮点在于“典例+易错”双轨设计，如通过“外方内圆阴影面积计算”培养几何直观，用“化曲为直”推导面积公式发展空间观念，17类专项题型覆盖基础应用与综合拓展，帮助学生掌握割补法等解题技巧，支持教师实施分层教学，提升学生运算能力与应用意识。

第四单元 《圆》 典例易错讲义 知识点 1：圆的认识 1. 圆的定义与本质 几何定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形，叫做圆。 图形属性：圆是封闭曲线图形，没有顶点和直边，是平面图形，而非立体图形。 2. 圆的各部分名称与作用 圆心：圆中心的点，用字母O表示，决定圆的位置。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示，决定圆的大小。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母d表示，是圆内最长的线段。 3. 圆的核心特征 在同圆或等圆中：所有半径长度都相等，所有直径长度都相等。 直径与半径的数量关系： 或 。 圆内有无数条半径、无数条直径。 4. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆只有 1 条对称轴。 5. 圆规画圆标准步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）。 定圆心：把有针尖的一脚固定在一点上（即圆心位置）。 旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心平稳旋转一周，即可画出完整的圆。 6. 易错提醒 混淆直径的定义，忽略 “通过圆心”“两端都在圆上” 两个必备条件。 误认为 “直径是圆的对称轴”，正确表述为：直径所在的直线是圆的对称轴。 认为圆越大对称轴越多，对称轴数量与圆的大小无关，所有圆都有无数条对称轴。 知识点 2：圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的总长度叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率 π 定义：圆的周长与它的直径的比值是一个固定不变的数，这个数叫做圆周率，用字母π表示。 性质：π 是一个无限不循环小数，π = 3.1415926535……，小学阶段计算通常取近似值 π≈3.14。 数学文化：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后 7 位的人。 3. 周长计算公式 已知直径求周长： 已知半径求周长： 4. 半圆的周长 易错警示：半圆的周长 ≠ 圆周长的一半 正确含义：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 1 条直径的长度 公式： 5. 常见应用场景 车轮滚动：滚动一圈前进的路程 = 车轮的周长；总路程 ÷ 车轮周长 = 滚动圈数 绕圆形花坛、树干围绳、安装围栏等问题 已知周长反求半径、直径：， 6. 易错提醒 混淆 π 与 3.14：3.14 只是 π 的近似值，π 本身是固定的无限不循环小数。 计算半圆周长时漏掉直径，只计算圆周长的一半。 单位不统一直接计算，忽略厘米、米等单位换算。 知识点 3：圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2. 面积公式推导（化曲为直思想） 将圆沿半径平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 平均分的份数越多，拼成的图形越接近标准长方形。 对应关系： 长方形的长 = 圆周长的一半 = 长方形的宽 = 圆的半径 = 推导结论：因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 3. 面积计算公式 已知半径求面积： 已知直径求面积：先求半径 ，再代入 已知周长求面积：先求半径 ，再代入 4. 半圆的面积 半圆的面积是整个圆面积的一半： 5. 半径变化的规律 圆的半径扩大到原来的倍，直径、周长也同时扩大到原来的倍。 圆的半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。 举例：半径扩大 3 倍，周长扩大 3 倍，面积扩大 9 倍。 6. 易错提醒 周长和面积概念混淆，单位用错（周长用长度单位，面积用面积单位）。 计算面积时，误将算成，表示两个相乘，即。 已知直径求面积时，忘记先除以 2 求半径，直接用直径代入面积公式。 知识点 4：圆环的面积 1. 圆环的定义 两个同心圆（圆心相同、半径不同的圆）之间的部分叫做圆环，也叫环形。 外圆：圆环中较大的圆，半径用R表示。 内圆：圆环中较小的圆，半径用r表示。 环宽：外圆半径与内圆半径的差，即 。 2. 圆环面积公式 核心思路：圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积 字母公式： 3. 常见应用 圆形花坛铺环形小路、光盘、环形垫片、水管横截面等实际问题 已知环宽和内 / 外圆半径，反向求解圆环面积 4. 易错提醒 混淆半径和直径，误将直径直接代入公式计算。 错误使用公式 ，正确为半径先分别平方再相减，最后乘 π。 知识点 5：扇形 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2. 各部分名称 弧：圆上两点之间的曲线部分，读作 “弧 AB”。 圆心角：顶点在圆心，两边都是半径的角叫做圆心角。 3. 扇形大小的决定因素 在同圆或等圆中，扇形的大小与圆心角的大小直接相关：圆心角越大，扇形越大。 圆心角相等时，半径越长，扇形越大。 总结：扇形大小由圆心角和半径共同决定。 4. 特殊扇形与面积计算 圆心角 180° 的扇形：即半圆，面积是圆的。 圆心角 90° 的扇形：即四分之一圆，面积是圆的。 通用公式：圆心角为的扇形面积 5. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，只有 1 条对称轴（圆心角的角平分线所在直线）。 6. 易错提醒 误认为顶点在圆上的角是圆心角，圆心角的顶点必须在圆心。 片面认为 “扇形越大，圆心角就越大”，忽略半径对扇形大小的影响。 知识点 6：典型应用题型与解题方法 1. 外方内圆（正方形内最大的圆） 图形特征：正方形的边长 = 圆的直径 正方形与圆之间的阴影面积： 2. 外圆内方（圆内最大的正方形） 图形特征：圆的直径 = 正方形的对角线长度 正方形面积可拆分为两个三角形： 圆与正方形之间的阴影面积： 3. 环形跑道起跑线问题 原理：相邻跑道的长度差，由弯道部分的周长差决定。 公式：相邻跑道起跑线相差距离 = 结论：只要跑道宽度不变，无论弯道半径多大，相邻起跑线的差距都相同。 4. 阴影面积常用解题方法 割补法：将不规则图形切割、拼接成规则图形，直接套用公式计算。 平移 / 旋转法：将分散的阴影部分平移、旋转，合并成完整的规则图形。 整体减空白：用整体大图形面积减去空白部分面积，间接求阴影面积。 重叠法：利用容斥原理，计算多个图形重叠部分的面积。 常考易错 题型1：圆的概念及特点 【典例精讲1】从一张长15厘米、宽5厘米的长方形纸片上，最多能剪下( )个半径为1厘米的圆。 【答案】14 【分析】用半径乘2可求出直径。分别用长方形的长和宽除以圆的直径，得到长和宽方向上能容纳的圆的数量（由于个数必须为整数，需取整）；最后，将长和宽方向的数量相乘，即可得到能剪下圆的总数。 【详解】（厘米） （个）（厘米） （个）（厘米） （个） 常考易错 题型2：画圆 【典例精讲2】以B为圆心，AB为半径画一个圆。 【答案】 【分析】根据题意，先在纸上确定一点B作为圆心，把圆规的两只脚分开，使两脚之间的长度为AB的长度，再把有针尖的一只脚固定在圆心上，把另一只装有铅笔的脚绕圆心旋转一周，就画出了一个圆。以此画图即可。 【详解】略 常考易错 题型3：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲3】从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是( )°，半径是( )cm。 【答案】 90 8 【分析】 如上图，从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，则这个扇形的半径等于正方形的边长，且扇形的圆心角等于正方形的一个内角的度数，即90°。 【详解】从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是90°，半径是8cm。 常考易错 题型4：画扇形 【典例精讲4】画一个周长是18.84厘米的圆，再在圆内画一个圆心角是100°的扇形，并把扇形涂上你喜欢的颜色。 【答案】 【分析】画圆时“圆心定位置，半径定大小”，根据圆周长计算公式“C＝2πr”求出半径，再确定一点O为圆心，即可画圆；然后再在圆内画一个圆心角为100°的扇形，并涂色。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 即所画圆的半径是3厘米；画图略； 常考易错 题型5：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲5】画出下列图形的所有的对称轴。    【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图：    【点睛】利用轴对称图形的特点，找出轴对称图形的所有对称轴是解题的关键。 常考易错 题型6：圆的周长 【典例精讲6】每个标准的篮球场地中间都画有一个半径为1.8米的圆，这个圆的周长是( )米。（π取3.14） 【答案】 11.304 【分析】篮球场中间圆的半径是1.8米，求圆的周长，用圆的周长公式C＝2πr计算。 【详解】2×3.14×1.8 ＝6.28×1.8 ＝11.304（米） 所以这个圆的周长是11.304米。 常考易错 题型7：半圆的周长 【典例精讲7】一张半圆形纸片的周长是20.56cm，它的半径是( )cm。 【答案】4 【分析】半圆形的周长由同半径的圆周长的一半和一条直径组成，计算公式为：半圆周长（其中，为半径，取3.14），把周长代入公式即可求解出半径。 【详解】将周长和的取值代入公式，得 所以半圆的半径是cm。 【点睛】本题考查根据半圆周长求半径。解题的关键是明确半圆周长是由圆周长的一半和一条直径组成，正确列方程后代入数值求解。 常考易错 题型8：圆的周长的应用 【典例精讲8】一辆自行车的轮胎外直径为71厘米。如果它平均每分钟转100周，那么通过一座1100米长的大桥，大约需要多少分钟？（得数保留整数） 【答案】5分钟 【分析】先统一长度单位，再根据圆的周长公式算出轮胎转1周的行驶距离，乘每分钟转的周数得到每分钟行驶的路程，最后用大桥长度除以每分钟行驶的路程得到所需时间，结果保留整数。 【详解】根据分析，解答如下： 71厘米 ＝ 0.71米 （米） （分钟） 答：大约需要5分钟。 常考易错 题型9：含圆的组合图形的周长 【典例精讲9】求下图的周长。（π取值3.14） 【答案】 29.42cm 【分析】由图可知，组合图形由一个长为7cm，宽为6cm的长方形的2条长，1条宽以及一个半径为（6÷2）cm的半圆组成。 【详解】6÷2＝3（cm） 7×2＋6＋2×3.14×3÷2 ＝14＋6＋9.42 ＝20＋9.42 ＝29.42（cm） 常考易错 题型10：圆的面积 【典例精讲10】求下列各圆的面积。 （1）        （2） 【答案】（1）平方厘米； （2）平方厘米； 【分析】第一个圆直接给出半径，直接代入圆的面积公式计算面积 第二个圆给出的是直径，先根据「半径是直径的一半」算出半径：再代入面积公式计算。 【详解】（1） （平方厘米） （2）7÷2＝3.5（厘米） （平方厘米） 常考易错 题型11：圆的面积的应用 【典例精讲11】幸福小区进门处的环岛旁边有一块半径为0.5米的交通提示牌，现在要把提示牌正反两面都进行刷漆翻新，如果每平方米用油漆0.4千克，需要多少千克油漆？ 【答案】0.628千克 【分析】根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据求出一面的面积，再乘2即可求出两面的面积；最后用两面的面积乘0.4千克，即可求出油漆的总千克数。 【详解】3.14×0.52×2×0.4 ＝3.14×0.25×2×0.4 ＝0.628（千克） 答：如果每平方米用油漆0.4千克，需要0.628千克油漆。 常考易错 题型12：圆环的面积 【典例精讲12】如图，学校新建了一个直径是6米的回形喷水池，沿着水池的外沿修建了一条宽是2米的环形草坪。环形草坪的面积是多少？ 【答案】50.24平方米 【分析】圆的面积＝（取3.14，r是半径），求喷水池的半径，用喷水池的直径除以2；先求出喷水池的面积；求大圆半径，用喷水池的半径加环形草坪的宽度，再计算大圆的面积，最后求环形草坪的面积，用大圆的面积减去喷水池的面积， 【详解】6÷2＝3（米） 3＋2＝5（米） 3.14×－3.14× ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：环形草坪的面积是50.24平方米。 常考易错 题型13：求最大面积 【典例精讲13】从一个边长4分米的正方形木板上锯下一个最大的圆，圆的周长是( )分米，圆的面积是( )平方分米． 【答案】 12.56 12.56 【详解】略 常考易错 题型14：含圆的组合图形的面积 【典例精讲14】计算阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 【答案】 32.5平方厘米 【分析】观察图形，可将右侧的阴影部分割补到左侧，这样阴影部分组成的图形就是一个梯形。因为半圆的半径为5厘米，所以梯形的高为5厘米，梯形的上底5厘米，下底为8厘米。根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 【详解】（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝32.5（平方厘米） 常考易错 题型15：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲15】求阴影部分的面积。 【答案】15.48cm2 【分析】从图中可知阴影部分面积是长方形面积减去两个圆的面积，长方形的长是12cm，等于两个圆的直径，宽等于圆的直径是（cm），用“”算出长方形面积、用“”算出一个圆的面积，最后用长方形面积减去两个圆的面积即可。 【详解】（cm） （cm2） （cm2） （cm2） 常考易错 题型16：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲16】如图，求阴影部分面积。 【答案】37.68cm2 【分析】观察可知，上半部分的阴影部分等于半径是4cm的半圆减直径是4cm的半圆的面积，下半部分的阴影部分也等于半径是4cm的半圆减直径是4cm的半圆的面积，即阴影部分等于半径是4cm的圆的面积减直径是4cm的圆的面积。根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （cm2） 常考易错 题型17：扇形的周长和面积 【典例精讲17】求下列阴影部分的面积。    【答案】48；34.74 【分析】第一个图形将扇形通过顺时针旋转，可得阴影部分的面积相当于一个长方形的面积，长是8，宽是6，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答。 第二个图形的阴影面积＝梯形的面积－扇形的面积，梯形的上底是6、下底是15、高是6，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可求出梯形的面积，扇形的面积相当于半径是6的圆面积的，根据圆面积公式：S＝πr2以及分数乘法的意义，用3.14×62×即可求出扇形的面积，进而用减法求出阴影部分的面积。 【详解】8×6＝48 第一个阴影部分的面积是48； （6＋15）×6÷2 ＝21×6÷2 ＝63 3.14×62× ＝3.14×36× ＝28.26 63－28.26＝34.74 阴影部分的面积是34.74。 专项精练 1．在一个边长是6分米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是（    ）分米。 A．9.42 B．12.56 C．18.84 D．28.26 【答案】C 【分析】正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长，结合圆的周长公式（）计算即可。 【详解】这个圆的周长是：（分米） 2．生活里车轮都做成圆形，以保证车辆行驶平稳，是因为（    ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．同圆中的半径都相等 【答案】D 【分析】车轮行驶平稳需要保证车轴到地面的距离始终不变，结合圆的特征判断即可。 【详解】车轮的车轴安装在圆心位置，同圆中所有半径长度相等，车辆行驶时，车轴到地面的距离始终等于半径长度，不会上下颠簸，因此行驶平稳。 3．当一个圆的半径由3cm增加到5cm时，它的周长增加了（    ）cm。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．15.7 【答案】C 【分析】圆的周长公式为，计算时取3.14，用半径为5cm的周长减去半径为3cm的周长，即可得到增加的长度。 【详解】半径3cm时的周长：（cm） 半径5cm时的周长：（cm） 增加的周长：（cm） 4．下列各图中，有且只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对称轴的定义：使图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的直线。据此逐项分析即可。 【详解】A．图形是圆，圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故不符合题意； B．图形是大小两个圆依次排列，两个圆的圆心在同一条直线上，沿这条直线对折时，图形左右两侧能完全重合，因此只有一条对称轴，故符合题意； C．图形为同心圆，对称轴是经过圆心的任意直线，因此有无数条对称轴，故不符合题意； D．图形为三个圆呈等边三角形排列，沿经过每个圆的圆心和对边中点的直线对折，图形都能重合，因此有3条对称轴，故不符合题意。 5．在长16cm、宽10cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）cm。 A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】在长方形内画最大的半圆，先尝试以长方形的长作为半圆的直径，算出半径后验证是否不超过长方形的宽，符合要求则该半径就是最大半圆的半径，不符合的话半径最大等于长方形的宽。 【详解】以长方形的长为半圆的直径，计算半径：（cm） 验证：，半圆不会超出长方形的宽。 若尝试半径为10cm，需要的直径为（cm），，长方形长度不足，无法画出。 6．烈士陵园内有一个直径为10米的圆形花坛，步长约为0.5米的小晨绕花坛走一圈，大约需要走（    ）步。（π取3.14） A．16 B．31 C．63 D．126 【答案】C 【分析】小晨绕圆形花坛走一圈，所走路程就是花坛的周长。先用圆的周长公式C＝πd求一圈的长度，再用一圈的长度除以每步约0.5米，求大约需要走的步数。 【详解】3.14×10＝31.4（米） 31.4÷0.5＝62.8（步）≈63（步） 所以小晨大约需要走63步。 7．某圆形草坪的面积为，现需在其中心安装自动旋转喷灌装置。若可选装置的射程分别为10m、15m、18m、20m，则选择（    ）的装置最合适。 A．10m B．15m C．18m D．20m 【答案】B 【分析】自动旋转喷灌装置的射程对应喷灌范围圆形的半径，要选择喷灌面积不小于草坪面积且最接近草坪面积的装置最合适。取，根据圆的面积公式计算各选项对应的喷灌面积，然后找出最合适的装置。 【详解】A．，，无法覆盖草坪。 B．，，且最接近草坪面积。 C．，1017.36远大于700，资源浪费多。 D．，1256远大于700，资源浪费多。 所以，选择15m的装置最合适。 8．为响应环保，双流某小区用废旧轮胎做花坛（如右图），废旧轮胎内圈直径为1m，外圈直径为1.2m。废旧轮胎的占地面积是（    ）。 A．0.36π B．0.25π C．0.71π D．0.11π 【答案】D 【分析】废旧轮胎的占地面积是圆环的面积，圆环面积公式为：S＝π（−），其中R是外圆半径，r是内圆半径。 【详解】根据分析： R＝1.2÷2＝0.6（m） r＝1÷2＝0.5（m） π×（－） ＝π×（0.36－0.25） ＝0.11π（） 废旧轮胎的占地面积是（0.11π） 9．一个圆形花圃的半径是7.5米。沿着它的边线大约每隔3米种一棵牡丹花，一共要种植( )棵。 【答案】15 【分析】封闭路线的植树问题，首先算出圆形花圃的周长，每隔3米种一棵，用周长除以间隔距离计算棵数即可。因为是圆形封闭线路，种的树的棵数不能是小数，也不能种半棵树，这里要舍去小数部分取整数。 【详解】代入半径7.5米，取小学常用的π≈3.14 周长：2×3.14×7.5＝47.1（米） 47.1÷3＝15.7≈15（棵） 10．上海世博会世博轴上分布着六个形似喇叭的“阳光谷”，其中最大的一个下端是直径20米的圆，这个圆的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 62.8 314 【分析】根据圆周长公式：，圆面积公式：，分别代入数据即可解答。 【详解】3.14×20＝62.8（米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 11．如图，将一个圆分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。如果长方形的长是31.4厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】314 【分析】将一个圆分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。用长方形的长除以π算出圆的半径，再根据圆的面积公式（）算出圆的面积。 【详解】31.4÷3.14＝10（厘米） 3.14×＝314（平方厘米） 圆的面积是314平方厘米。 12．如图所示为一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场。若篱笆长9.42m，则这个养鸡场的面积是( )。 【答案】14.13 【分析】根据图形可知篱笆长度为圆周长的一半。圆的周长，据此算出半径。养鸡场的面积为圆面积的一半。圆的面积，据此计算即可。 【详解】 13．如图，一个长方形内有3个完全相同的圆。若长方形的周长是24cm，则每个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 3 9.42 【分析】观察图，长方形的长＝3个圆的直径，长方形的宽＝1个圆的直径。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出长＋宽的值，再求出每个圆的直径，进而求出圆的周长：周长＝π×直径。 【详解】长方形的长＝3个圆的直径 长方形的宽＝1个圆的直径 所以，长＋宽＝4个圆的直径 长＋宽＝24÷2＝12（cm） 因此4个圆的直径＝12 1个圆的直径＝12÷4＝3（cm） 即每个圆的直径是3cm。 周长＝π×3＝3.14×3＝9.42（cm） 即每个圆的周长是9.42cm。 14．中国的三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，出土的文物中有一种叫做玉瑗的文物（如下图），它的外直径是14厘米，内直径是8厘米，请你算出它的面积是( )平方厘米。 【答案】103.62 【分析】圆环面积等于外圆面积减去内圆面积；半径与直径的关系公式； 分别根据圆的面积公式计算外圆面积和内圆面积，再作差得到圆环面积，也可直接用圆环面积公式计算，其中为外圆半径，为内圆半径。 【详解】14÷2＝7（厘米），8÷2＝4（厘米） ＝103.62（平方厘米） 15．如图，在一张长方形铁皮上剪下两个半径为3cm的圆后，正好还剩下一个正方形。原来这个长方形铁皮的面积是( )cm2。 【答案】216 【分析】圆半径是3cm，先用半径乘2求出直径。两个圆上下叠放，所以长方形的宽＝2个圆的直径；剪下两个圆后剩下正方形，说明正方形边长等于长方形的宽；长方形的长＝正方形边长＋1个圆的直径。求出长方形的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽计算。 【详解】圆的直径：3×2＝6（cm） 长方形的宽：6×2＝12（cm） 长方形的长：12＋6＝18（cm） 面积：18×12＝216（cm2） 16．宋代词人黄裳的《游灵芝僧房》中“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的景象。已知水池池面是长5米，宽4米的长方形，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14） 【答案】 12.56 12.56 【分析】长方形内最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×4＝12.56（米） 3.14× ＝3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是12.56米，面积是12.56平方米。 17．如图，已知圆的面积与长方形的面积相等，圆的周长是12.56厘米，则长方形的长为( )厘米。 【答案】6.28 【分析】根据求出圆的半径；长方形的宽等于圆的半径再根据圆的面积公式，求出圆的面积；圆的面积和长方形的面积相等，用求得的面积除以宽即可得到长方形的长。 【详解】 （厘米） （平方厘米） （厘米） 长方形的长为6.28厘米。 18．灯笼是我国传统工艺品。一个圆柱形灯笼的底面周长为18.84分米，高为10分米，这个灯笼的底面半径为( )分米。灯笼侧面要糊一层彩纸，做这个灯笼至少要用( )平方分米的彩纸。 【答案】 3 188.4 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），用底面周长除以2π，求出底面半径；再根据圆柱侧面积公式S＝Ch，代入数值即可解答。 【详解】半径：18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（分米） 侧面积：18.84×10＝188.4（平方分米） 19．求下列各图阴影部分的周长。（单位：cm） （1）    （2） 【答案】（1）50.24cm （2）111.36cm 【分析】（1）由图可知，阴影部分周长包括半径为8cm的大圆周长的一半和两个直径为8cm的小圆周长的一半这三部分；两个直径相等的小圆周长一半可以组成一个直径为8cm的小圆周长，即阴影部分周长＝半径为8cm的大圆周长的一半＋一个直径为8cm的小圆周长。 （2）圆心角30°且半径36cm的扇形弧长占半径为36cm的圆的周长的＝，由此可知圆心角30°且半径36cm的扇形弧长为：×圆的周长。由图知，阴影部分周长包括直径为36cm圆的周长的一半、圆心角30°且半径36cm的扇形弧长和长度为36cm的线段这三部分。 【详解】（1）2×3.14×8×＋3.14×8 ＝3.14×8＋3.14×8 ＝25.12＋25.12 ＝50.24（cm） （2）3.14×36×＋×2×3.14×36＋36 ＝3.14×36×＋×2×3.14×36＋36 ＝3.14×18＋3.14×6＋36 ＝56.52＋18.84＋36 ＝111.36（cm） 20．求阴影部分的面积。（单位：cm）                  【答案】； 【分析】（1）阴影部分面积＝半圆面积－空白三角形面积。 半圆面积＝πr2÷2，三角形面积＝底×高÷2，其中圆的半径＝直径÷2，三角形的底是半圆的直径，高是半圆的半径。 （2）利用割补法，把下方小半圆补到上方空白小半圆位置，阴影部分面积等于大圆面积的一半。 【详解】（1）半径：10÷2＝5（cm） 阴影部分面积： （） （2）0.8÷2＝0.4（cm） （） 21．王大爷用6.28米长的篱笆靠墙角围一个最大的养鸡场（如下图所示），这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】 12.56平方米 【分析】首先判断图形：靠墙角围养鸡场，篱笆只围了四分之一圆的弧长，所以这个养鸡场是四分之一圆，篱笆长度就是这个四分之一圆的弧长。求半径：根据圆的周长公式，四分之一圆的弧长为，代入弧长6.28米、，计算得出半径米。求面积：四分之一圆的面积是整圆面积的，代入圆的面积公式，计算得到四分之一圆的面积，也就是养鸡场的面积。 【详解】半径： （米） 面积： （平方米） 答：这个养鸡场的面积是平方米。 22．如图是一把真丝扇面（涂色部分）的折扇，做这样的一把折扇，至少需要真丝布料多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为（3－2＝1）分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 【详解】3－2＝1（分米） ×3.14×－×3.14× ＝×3.14×9－×3.14×1 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝×8×3.14 ＝4×3.14 ＝12.56（平方分米） 答：至少需要真丝布料12.56平方分米。 23．在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 【答案】25周 【分析】圆的周长公式，取3.14，代入直径20厘米算出车轮周长，求骑过一根15.7米长的钢丝车轮大约转动多少周就是求15.7米里有几个周长，用除法计算即可。 【详解】15.7米＝1570厘米 1570÷（3.14×20） ＝1570÷62.8 ＝25（周） 答：车轮大约要转动25周。 24．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 【答案】0.628平方米 【分析】求红色油漆的面积，就是求圆环的面积；根据半径＝直径÷2，据此求出指示牌的半径；再用指示牌的半径－油漆圈的宽度，求出小圆的半径，即不刷红色油漆的面积，根据圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答，注意单位换算。 【详解】120÷2＝60（厘米） 60－20＝40（厘米） 3.14×（602－402） ＝3.14×（3600－1600） ＝3.14×2000 ＝6280（平方厘米） 6280平方厘米＝0.628平方米 答：红色油漆的面积是0.628平方米。 25．学校操场的示意图如下图所示，其左右两侧为两个大小相同的半圆形，中间为长方形。已知操场的周长为222.8米，求这个操场的面积是多少平方米？ 【答案】1914平方米 【分析】操场的周长＝长方形的长×2＋两个半圆弧长。 因为两个半圆大小相等，所以它们的弧长之和等于一个圆的周长。 根据圆的周长公式C＝2πr，求出半径，圆的直径d＝2r。 两个半圆的面积之和等于一个圆的面积。 圆的面积S＝πr²。 长方形的宽＝2r 长方形的面积＝长方形的长×长方形的宽。 操场的面积＝长方形的面积＋圆的面积。 【详解】根据分析可知： 80×2＝160（米） 两个半圆弧长：222.8－160＝62.8（米） 因为两个半圆大小相等，所以它们的弧长之和等于一个圆的周长。 圆的半径长：62.8÷3.14÷2＝10（米） 圆的面积：3.14×10²＝314（平方米） 长方形的宽：2×10＝20（米） 长方形的面积：20×80＝1600（平方米） 操场的面积：314＋1600＝1914（平方米） 答：这个操场的面积是1914平方米。 26．李大爷用篱笆靠墙围了一个半圆形的菜园（如图）。 (1)围成这个菜园需要多长的篱笆？（接口处忽略不计） (2)如果要扩建这个菜园，把它的直径增加2米，那么菜园的面积增加了多少平方米？ 【答案】(1)15.7米 (2)17.27平方米 【分析】（1）篱笆的长度即为半圆的弧长，根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，再除以2求出半圆的弧长，即为篱笆的长度。 （2）先求出原来半圆菜园的直径为10米，加上2米求出现在半圆菜园的直径，除以2求出现在半圆菜园的半径，根据圆的面积公式分别求出圆的面积，再除以2求出原来半圆菜园和现在半圆菜园的面积，最后用现在半圆菜园的面积减去原来半圆菜园的面积即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2 ＝6.28×5÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（米） 答：围成这个菜园需要15.7米长的篱笆。 （2）5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（米） 12÷2＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝113.04÷2－78.5÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：菜园的面积增加了17.27平方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 《圆》 典例易错讲义 知识点 1：圆的认识 1. 圆的定义与本质 几何定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形，叫做圆。 图形属性：圆是封闭曲线图形，没有顶点和直边，是平面图形，而非立体图形。 2. 圆的各部分名称与作用 圆心：圆中心的点，用字母O表示，决定圆的位置。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示，决定圆的大小。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母d表示，是圆内最长的线段。 3. 圆的核心特征 在同圆或等圆中：所有半径长度都相等，所有直径长度都相等。 直径与半径的数量关系： 或 。 圆内有无数条半径、无数条直径。 4. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆只有 1 条对称轴。 5. 圆规画圆标准步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）。 定圆心：把有针尖的一脚固定在一点上（即圆心位置）。 旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心平稳旋转一周，即可画出完整的圆。 6. 易错提醒 混淆直径的定义，忽略 “通过圆心”“两端都在圆上” 两个必备条件。 误认为 “直径是圆的对称轴”，正确表述为：直径所在的直线是圆的对称轴。 认为圆越大对称轴越多，对称轴数量与圆的大小无关，所有圆都有无数条对称轴。 知识点 2：圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的总长度叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率 π 定义：圆的周长与它的直径的比值是一个固定不变的数，这个数叫做圆周率，用字母π表示。 性质：π 是一个无限不循环小数，π = 3.1415926535……，小学阶段计算通常取近似值 π≈3.14。 数学文化：我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后 7 位的人。 3. 周长计算公式 已知直径求周长： 已知半径求周长： 4. 半圆的周长 易错警示：半圆的周长 ≠ 圆周长的一半 正确含义：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 1 条直径的长度 公式： 5. 常见应用场景 车轮滚动：滚动一圈前进的路程 = 车轮的周长；总路程 ÷ 车轮周长 = 滚动圈数 绕圆形花坛、树干围绳、安装围栏等问题 已知周长反求半径、直径：， 6. 易错提醒 混淆 π 与 3.14：3.14 只是 π 的近似值，π 本身是固定的无限不循环小数。 计算半圆周长时漏掉直径，只计算圆周长的一半。 单位不统一直接计算，忽略厘米、米等单位换算。 知识点 3：圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2. 面积公式推导（化曲为直思想） 将圆沿半径平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 平均分的份数越多，拼成的图形越接近标准长方形。 对应关系： 长方形的长 = 圆周长的一半 = 长方形的宽 = 圆的半径 = 推导结论：因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 3. 面积计算公式 已知半径求面积： 已知直径求面积：先求半径 ，再代入 已知周长求面积：先求半径 ，再代入 4. 半圆的面积 半圆的面积是整个圆面积的一半： 5. 半径变化的规律 圆的半径扩大到原来的倍，直径、周长也同时扩大到原来的倍。 圆的半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。 举例：半径扩大 3 倍，周长扩大 3 倍，面积扩大 9 倍。 6. 易错提醒 周长和面积概念混淆，单位用错（周长用长度单位，面积用面积单位）。 计算面积时，误将算成，表示两个相乘，即。 已知直径求面积时，忘记先除以 2 求半径，直接用直径代入面积公式。 知识点 4：圆环的面积 1. 圆环的定义 两个同心圆（圆心相同、半径不同的圆）之间的部分叫做圆环，也叫环形。 外圆：圆环中较大的圆，半径用R表示。 内圆：圆环中较小的圆，半径用r表示。 环宽：外圆半径与内圆半径的差，即 。 2. 圆环面积公式 核心思路：圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积 字母公式： 3. 常见应用 圆形花坛铺环形小路、光盘、环形垫片、水管横截面等实际问题 已知环宽和内 / 外圆半径，反向求解圆环面积 4. 易错提醒 混淆半径和直径，误将直径直接代入公式计算。 错误使用公式 ，正确为半径先分别平方再相减，最后乘 π。 知识点 5：扇形 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2. 各部分名称 弧：圆上两点之间的曲线部分，读作 “弧 AB”。 圆心角：顶点在圆心，两边都是半径的角叫做圆心角。 3. 扇形大小的决定因素 在同圆或等圆中，扇形的大小与圆心角的大小直接相关：圆心角越大，扇形越大。 圆心角相等时，半径越长，扇形越大。 总结：扇形大小由圆心角和半径共同决定。 4. 特殊扇形与面积计算 圆心角 180° 的扇形：即半圆，面积是圆的。 圆心角 90° 的扇形：即四分之一圆，面积是圆的。 通用公式：圆心角为的扇形面积 5. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，只有 1 条对称轴（圆心角的角平分线所在直线）。 6. 易错提醒 误认为顶点在圆上的角是圆心角，圆心角的顶点必须在圆心。 片面认为 “扇形越大，圆心角就越大”，忽略半径对扇形大小的影响。 知识点 6：典型应用题型与解题方法 1. 外方内圆（正方形内最大的圆） 图形特征：正方形的边长 = 圆的直径 正方形与圆之间的阴影面积： 2. 外圆内方（圆内最大的正方形） 图形特征：圆的直径 = 正方形的对角线长度 正方形面积可拆分为两个三角形： 圆与正方形之间的阴影面积： 3. 环形跑道起跑线问题 原理：相邻跑道的长度差，由弯道部分的周长差决定。 公式：相邻跑道起跑线相差距离 = 结论：只要跑道宽度不变，无论弯道半径多大，相邻起跑线的差距都相同。 4. 阴影面积常用解题方法 割补法：将不规则图形切割、拼接成规则图形，直接套用公式计算。 平移 / 旋转法：将分散的阴影部分平移、旋转，合并成完整的规则图形。 整体减空白：用整体大图形面积减去空白部分面积，间接求阴影面积。 重叠法：利用容斥原理，计算多个图形重叠部分的面积。 常考易错 题型1：圆的概念及特点 【典例精讲1】从一张长15厘米、宽5厘米的长方形纸片上，最多能剪下( )个半径为1厘米的圆。 常考易错 题型2：画圆 【典例精讲2】以B为圆心，AB为半径画一个圆。 常考易错 题型3：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲3】从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是( )°，半径是( )cm。 常考易错 题型4：画扇形 【典例精讲4】画一个周长是18.84厘米的圆，再在圆内画一个圆心角是100°的扇形，并把扇形涂上你喜欢的颜色。 常考易错 题型5：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲5】画出下列图形的所有的对称轴。    常考易错 题型6：圆的周长 【典例精讲6】每个标准的篮球场地中间都画有一个半径为1.8米的圆，这个圆的周长是( )米。（π取3.14） 常考易错 题型7：半圆的周长 【典例精讲7】一张半圆形纸片的周长是20.56cm，它的半径是( )cm。 常考易错 题型8：圆的周长的应用 【典例精讲8】一辆自行车的轮胎外直径为71厘米。如果它平均每分钟转100周，那么通过一座1100米长的大桥，大约需要多少分钟？（得数保留整数） 常考易错 题型9：含圆的组合图形的周长 【典例精讲9】求下图的周长。（π取值3.14） 常考易错 题型10：圆的面积 【典例精讲10】求下列各圆的面积。 （1）        （2） 常考易错 题型11：圆的面积的应用 【典例精讲11】幸福小区进门处的环岛旁边有一块半径为0.5米的交通提示牌，现在要把提示牌正反两面都进行刷漆翻新，如果每平方米用油漆0.4千克，需要多少千克油漆？ 常考易错 题型12：圆环的面积 【典例精讲12】如图，学校新建了一个直径是6米的回形喷水池，沿着水池的外沿修建了一条宽是2米的环形草坪。环形草坪的面积是多少？ 常考易错 题型13：求最大面积 【典例精讲13】从一个边长4分米的正方形木板上锯下一个最大的圆，圆的周长是( )分米，圆的面积是( )平方分米． 常考易错 题型14：含圆的组合图形的面积 【典例精讲14】计算阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 常考易错 题型15：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲15】求阴影部分的面积。 常考易错 题型16：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲16】如图，求阴影部分面积。 常考易错 题型17：扇形的周长和面积 【典例精讲17】求下列阴影部分的面积。    专项精练 1．在一个边长是6分米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是（    ）分米。 A．9.42 B．12.56 C．18.84 D．28.26 2．生活里车轮都做成圆形，以保证车辆行驶平稳，是因为（    ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．同圆中的半径都相等 3．当一个圆的半径由3cm增加到5cm时，它的周长增加了（    ）cm。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．15.7 4．下列各图中，有且只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 5．在长16cm、宽10cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）cm。 A．5 B．8 C．10 D．16 6．烈士陵园内有一个直径为10米的圆形花坛，步长约为0.5米的小晨绕花坛走一圈，大约需要走（    ）步。（π取3.14） A．16 B．31 C．63 D．126 7．某圆形草坪的面积为，现需在其中心安装自动旋转喷灌装置。若可选装置的射程分别为10m、15m、18m、20m，则选择（    ）的装置最合适。 A．10m B．15m C．18m D．20m 8．为响应环保，双流某小区用废旧轮胎做花坛（如右图），废旧轮胎内圈直径为1m，外圈直径为1.2m。废旧轮胎的占地面积是（    ）。 A．0.36π B．0.25π C．0.71π D．0.11π 9．一个圆形花圃的半径是7.5米。沿着它的边线大约每隔3米种一棵牡丹花，一共要种植( )棵。 10．上海世博会世博轴上分布着六个形似喇叭的“阳光谷”，其中最大的一个下端是直径20米的圆，这个圆的周长是( )米，面积是( )平方米。 11．如图，将一个圆分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。如果长方形的长是31.4厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。 12．如图所示为一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场。若篱笆长9.42m，则这个养鸡场的面积是( )。 13．如图，一个长方形内有3个完全相同的圆。若长方形的周长是24cm，则每个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 14．中国的三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，出土的文物中有一种叫做玉瑗的文物（如下图），它的外直径是14厘米，内直径是8厘米，请你算出它的面积是( )平方厘米。 15．如图，在一张长方形铁皮上剪下两个半径为3cm的圆后，正好还剩下一个正方形。原来这个长方形铁皮的面积是( )cm2。 16．宋代词人黄裳的《游灵芝僧房》中“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的景象。已知水池池面是长5米，宽4米的长方形，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14） 17．如图，已知圆的面积与长方形的面积相等，圆的周长是12.56厘米，则长方形的长为( )厘米。 18．灯笼是我国传统工艺品。一个圆柱形灯笼的底面周长为18.84分米，高为10分米，这个灯笼的底面半径为( )分米。灯笼侧面要糊一层彩纸，做这个灯笼至少要用( )平方分米的彩纸。 19．求下列各图阴影部分的周长。（单位：cm） （1）    （2） 20．求阴影部分的面积。（单位：cm）                  21．王大爷用6.28米长的篱笆靠墙角围一个最大的养鸡场（如下图所示），这个养鸡场的面积是多少平方米？ 22．如图是一把真丝扇面（涂色部分）的折扇，做这样的一把折扇，至少需要真丝布料多少平方分米？ 23．在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 24．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 25．学校操场的示意图如下图所示，其左右两侧为两个大小相同的半圆形，中间为长方形。已知操场的周长为222.8米，求这个操场的面积是多少平方米？ 26．李大爷用篱笆靠墙围了一个半圆形的菜园（如图）。 (1)围成这个菜园需要多长的篱笆？（接口处忽略不计） (2)如果要扩建这个菜园，把它的直径增加2米，那么菜园的面积增加了多少平方米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $