数学广角 《鸽巢问题》 典例易错讲义（知识主干+典例精讲+易错强调）-2026-2027学年六年级数学上册(人教版·新教材)

该小学数学《鸽巢问题》典例易错讲义通过知识框架系统梳理核心内容，以“核心概念-基本形式-解题原则-典型题型-通用思路”为脉络，用关键词解读区分“总有”“至少”等重难点，框架图呈现物体与抽屉的角色定位，思维导图归纳基础分配、摸球抽牌等四类典型题型的内在联系。 讲义亮点在于“原理理解+方法应用”双轨设计，如最不利原则中“摸球保证同色”题型，引导学生构造极端情况培养推理意识，逆向应用题“已知抽屉和至少数求物体数”强化应用意识。典例精讲含不同难度题目，专项精练覆盖选择、填空及解答题，帮助学生分层掌握，教师可据此实施精准复习教学。

数学广角 《鸽巢问题》 典例易错讲义 知识点 1：鸽巢问题的核心概念 1. 原理定义 鸽巢问题也叫抽屉原理、鸽巢原理，是用于判断 “必然存在性” 的数学规律：将若干个物体按一定规则放入有限个容器中，无论怎样分配，都一定存在至少一个容器，其中的物体数量达到某个最小值。 2. 关键词精准解读 总有：一定存在、必定有，指在所有分配方式中，必然存在至少一个符合条件的抽屉，不特指某一个固定的抽屉。 至少：最少、最起码，指符合条件的抽屉中物体数量的最小值，即所有分配方式里，数量最多的那个抽屉的最小可能值。 示例：“把 4 支铅笔放进 3 个笔筒，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔”，意为无论怎么放，一定存在至少一个笔筒，里面的铅笔数≥2 支。 3. 两大基本要素 解决鸽巢问题的首要前提是准确区分两个核心角色： 物体：被分配、被抽取的对象（如铅笔、苹果、学生、扑克牌、数字等） 抽屉：承载物体的分类容器（如笔筒、抽屉、月份、颜色类别、花色等） 知识点 2：鸽巢原理的两种基本形式 1. 基础形式（教材例 1） 原理内容 把 n+1 个物体放进 n 个抽屉里，总有一个抽屉里至少有 2 个物体。 适用场景：物体数量仅比抽屉数量多 1 的基础分配问题。 验证方法：可通过枚举法列举所有分配方式，验证结论的必然性。 示例：把 5 个苹果放进 4 个抽屉，无论怎么放，总有一个抽屉里至少有 2 个苹果。 2. 一般形式（教材例 2） 原理内容 把任意多个物体放进 n 个抽屉里，总有一个抽屉里至少有 “商 + 1” 个物体（有余数时）。 计算方法 用物体总数除以抽屉总数，求出商和余数： 分两种情况判断至少数： 有余数（余数≥1）：至少数 = 商 + 1（无论余数是几，都只加 1） 无余数（整除）：至少数 = 商 示例 把 10 本书放进 3 个抽屉： ，至少数 = 3+1 = 4 结论：总有一个抽屉里至少有 4 本书。 把 12 本书放进 3 个抽屉： ，至少数 = 4 结论：总有一个抽屉里至少有 4 本书。 3. 易错提醒 有余数时，错误用 “商 + 余数” 计算至少数，正确规则是无论余数大小，统一只加 1。 整除场景下错误多加 1，导致至少数计算偏大。 混淆物体与抽屉的角色，将除数和被除数颠倒。 知识点 3：最不利原则（教材例 3） 1. 核心思想 最不利原则（又称 “最倒霉原则”）是解决 “保证型” 鸽巢问题的核心方法：要保证某一情况一定发生，先构造出最不满足目标、最极端的不利情况，在此基础上再增加 1 个物体，就一定能保证目标情况发生。 2. 适用题型 题目中出现 “至少…… 才能保证……”“要保证…… 至少需要……” 等表述时，优先使用最不利原则。 3. 标准解题步骤 明确目标：确定最终要保证出现的结果。 构造最不利情况：尽可能多地抽取物体，但始终不达成目标。 计算结果： 4. 典型示例 盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个，至少摸出多少个球，才能保证一定有 2 个颜色相同的球？ 目标：摸出 2 个同色球 最不利情况：每种颜色各摸出 1 个，共摸出 3 个球，此时仍没有同色的球。 结论：（个），至少摸出 4 个球就能保证有 2 个同色。 知识点 4：常见典型题型与解法 1. 基础分配型 题型特征：已知物体总数和抽屉总数，求 “总有一个抽屉至少有几个物体”。 解法：直接套用除法公式，根据余数计算至少数。 示例：六年级 45 名学生分到 7 个班级，总有一个班至少有几名学生？ ，（名） 2. 摸球 / 抽牌类 题型特征：已知颜色 / 花色的种类数量，求保证取出指定数量同色物体的最少个数。 解法：运用最不利原则，先让每一类都差 1 个达成目标，再加 1。 示例：一副扑克牌去掉大小王后共 4 种花色，至少抽多少张才能保证有 3 张同花色的牌？ 最不利情况：每种花色各抽 2 张，共张； 结论：（张） 3. 日期 / 属相 / 月份类 题型特征：以月份、属相、全年天数等作为抽屉，人数作为物体，判断必然存在的重合情况。 常见固定抽屉数：12 个月份、12 个属相、366 天（闰年，考虑最极端情况）。 示例：全校 380 名学生，至少有几人在同一天过生日？ ，（人） 4. 逆向应用型 题型特征：已知抽屉数和至少数，求物体的最少总数量。 核心公式： 示例：有 6 个抽屉，要保证总有一个抽屉至少有 4 个物体，至少需要多少个物体？ （个） 知识点 5：通用解题思路总结 审清题意：区分题型是 “求总有一个的至少数” 还是 “求保证满足的最少数量”。 找准要素：准确判断题目中谁是物体、谁是抽屉。 选对方法： 已知物体和抽屉数，求至少数：用除法公式，有余数商 + 1，无余数取商。 求 “至少…… 才能保证……”：用最不利原则，最不利情况数 + 1。 验证结论：确认结论符合 “无论怎样分配都一定成立” 的必然性要求。 常考易错 题型1：鸽巢问题初步 【典例精讲1】王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子里的糖果应怎么放？ 【答案】王老师至少要准备6个袋子，里面分别装有1，2，4，8，16，32颗糖果。 【分析】要想满足取出任意数量（1至63颗）的要求，需要从最小的数1开始考虑。必须有一个袋子放1颗才能组成1；有了1，要组成2，必须有一个袋子放2颗；有了1和2，最大能组成3，要组成4，必须有一个袋子放4颗。以此类推，每个袋子的糖果数是前一个袋子糖果数的2倍，直到所有袋子糖果数之和等于63为止。 【详解】为了能取出1颗糖果，第一个袋子放1颗。 为了能取出2颗糖果，第二个袋子放2颗。此时可以组成1至3颗（1、2、1＋2＝3）。 为了能取出4颗糖果，第三个袋子放4颗。此时可以组成1至7颗（1至3、4、4＋1至4＋3）。 为了能取出8颗糖果，第四个袋子放8颗。此时可以组成1至15颗。 为了能取出16颗糖果，第五个袋子放16颗。此时可以组成1至31颗。 为了能取出32颗糖果，第六个袋子放32颗。此时可以组成1至63颗。 验证糖果总数：1＋2＋4＋8＋16＋32＝63（颗） 统计袋子数量：一共准备了6个袋子。 答：王老师要准备6个袋子，每个袋子里分别放1颗、2颗、4颗、8颗、16颗、32颗。 常考易错 题型2：鸽巢问题进阶 【典例精讲2】六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 【答案】 7名 【分析】先确定不同的社团报名组合种类，因为每人至少报1项，所以需要分类枚举报1项、报2项、报3项的所有情况，得到总共有多少种不同的报名类型。 把不同的报名类型看作抽屉，45名同学看作元素，因为要让参加社团完全相同的人数最少，所以需要将元素尽可能平均分配到各个抽屉中，用到抽屉原理求解。 用总人数除以抽屉数，如果能整除，商就是所求的最小值；如果有余数，商加1就是所求的最小值。 【详解】只参加1个社团的选法有3种； 参加2个社团的选法有3种； 参加3个社团的选法有1种； 不同的报名组合共有：（种） （名）（名） （名） 答：至少有7名同学参加的社团是完全相同的。 常考易错 题型3：最不利原则 【典例精讲3】妈妈在网上超市买了田园、青花瓷、卡通三种不同图案的筷子各10支，把它们混着放在一起。这些筷子除了图案不同，其他方面都相同。（注：2支图案一样的筷子，才能配成1双筷子） (1)至少取出几支筷子，可以保证配成两双筷子？ (2)至少取出几支筷子，可以保证有两双卡通筷子？ (3)至少取出几支筷子，可以保证有两双不同图案的筷子？ 【答案】(1)6支 (2)24支 (3)13支 【分析】（1）最不利情况：先取3支，分别是三种不同图案各1支，再取2支相同的筷子，必然和其中1支配成第1双，还有3支均为不同筷子。此时再取一支，可以保证配成2双筷子； （2）最不利情况：所有非卡通的筷子全部取完。再取4支卡通筷子，刚好凑成2双； （3）最不利情况：先把其中一种图案的筷子全部取完，另外两种图案各取1支。再取一支，必然有两双不同图案的筷子。 【详解】（1）3＋2＋1＝6（支） 答：至少取出6支筷子，可以保证配成两双筷子。 （2）10＋10＋4＝24（支） 答：至少取出24支筷子，可以保证有两双卡通筷子。 （3）10＋2＋1＝13（支） 答：至少取出13支筷子，可以保证有两双不同图案的筷子。 专项精练 1．盒子里有同样的白色、红色和黄色的球各5个，至少要从盒子里摸出（    ）个球，才能保证三种颜色的球都有。 A．4 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】要保证摸出三种颜色的球，需考虑最不利的情况：先将两种颜色的球全部摸出，此时再摸1个就一定是第三种颜色的球。 【详解】5＋5＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 所以，至少要从盒子里摸出11个球，才能保证三种颜色的球都有。 2．把红、黄、蓝、白4种颜色且同样大小的球各10个放一个袋子里，至少取（    ）个球，可以保证取到两个颜色不同的球。 A．2 B．5 C．11 D．40 【答案】C 【分析】按照最坏原理分析，最差情况为先取出的10个球都是同一种颜色，只要再多取1个球，就能保证取到两个颜色不同的球。 【详解】（个） 3．学生们组织抽签表演节目的活动。5名学生依次从以下4种卡片中任意抽一张，抽完后放回。至少有（    ）名学生抽到的节目相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】要求至少有几名学生抽到的节目相同，可以先尽量平均分配，先给前4名学生每人抽到不一样的节目，此时4种节目各有1名学生抽到，第5名学生不管抽到哪一种，这种节目就会有2名学生抽到，所以至少有2名学生抽到的节目相同；也可以用学生总数除以卡片张数，因为有余数，则用商加1，即可解答。 【详解】5÷4＝1……1 1＋1＝2（名） 所以，至少有2名学生抽到的节目相同。 4．光明小学六1班有学生50人，班里至少有（    ）人是在同一个月出生的。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】把一年12个月看作12个抽屉，50名学生看作待放入抽屉的元素，有余数时同一个月出生的最少人数为商加1。 【详解】一年共有12个月 （人） 班里至少有5人是在同一个月出生的。 5．盒子里有除颜色外完全相同的8个红球、1个蓝球、6个黄球，至少取出（    ）球，才能保证其中有2个球颜色相同。 A．9个 B．2个 C．7个 D．4个 【答案】D 【分析】要保证取出的球有2个颜色相同，先考虑最不利的情况：每种颜色先各取1个，此时再多取1个就一定能出现2个同色的球。 【详解】球的颜色共有3种最不利情况下先每种颜色各取1个，取球数量3个，再取1个即可满足要求，总取球数量：3＋1＝4（个） 6．向东中学六年级一共有367名学生，该年级至少有（    ）在同一天过生日。 A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 【答案】C 【分析】将一年最多的天数看作抽屉，学生看作待分配的元素，按照抽屉原理计算最少同一天过生日的人数。 【详解】一年最多有366天。 1＋1＝2（人） 7．小西天圣境推出的新款冰箱贴可整套购买，也可单买，每套5张，每张冰箱贴上介绍一个景点，共有5个不同景点（A、B、C、D、E），亮亮至少要买几张冰箱贴才能保证欣赏到相同的景点？（    ） A．10张 B．6张 C．7张 D．只要多于5张就行 【答案】B 【分析】把5个不同景点（A、B、C、D、E）看作5个“抽屉”，把购买冰箱贴的数量看作“物品”。最不利的情况是，亮亮购买冰箱贴时，每个景点的冰箱贴都先买到了1张，此时一共买了5张冰箱贴（即每个“抽屉”都有1个“物品”）。在此基础上，再买1张冰箱贴，无论这张冰箱贴是哪个景点的，都会出现有一个景点的冰箱贴有2张，即能保证欣赏到相同的景点。 【详解】5＋1＝6（张） 亮亮至少要买6张冰箱贴才能保证欣赏到相同的景点。 8．学校话剧社团准备了红、黄、蓝三种颜色的戏服。若导演要保证至少有5位演员穿着同一种颜色的戏服同时登场，最少需要安排（    ）位演员参加演出。 A．6 B．12 C．13 D．16 【答案】C 【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，考虑最不利的情况，每个抽屉里放5减1等于4位演员，3个抽屉共需要12位演员，再在任意一个抽屉放1位演员，就能保证至少有5位演员穿着同一种颜色的戏服同时登场，据此解答即可。 【详解】（5－1）×3＋1 ＝12＋1 ＝13（位） 若导演要保证至少有5位演员穿着同一种颜色的戏服同时登场，最少需要安排13位演员参加演出。 9．一个不透明盒子中放有红球、白球、蓝球共36个，任意摸出一个，如果摸到三种颜色的球的可能性相同，那么红球、白球、蓝球各有( )个。此时，至少取出( )个球，可以保证得到两个颜色相同的球。 【答案】 12 4 【分析】总共有个球，要让摸到红球、白球、蓝球的可能性相等，说明三种球的数量得一样多，即把个球平均分成份。盒子里只有红、白、蓝三种颜色的球，最倒霉的情况是前三次拿球刚好拿出个红球、个白球，个蓝球，这时候再拿个，不管这个球是红色、白色、还是蓝色，一定能和之前拿出的其中一个球颜色相同。 【详解】（个） （个） 那么红球、白球、蓝球各有个。此时，至少取出个球，可以保证得到两个颜色相同的球。 10．2025年1月5日，中国邮政发布《乙巳年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“蛇呈丰稔”和“福纳百祥”。丽丽买了4套该种邮票，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出( )枚；要保证取出的邮票能组成一套，至少要取出( )枚。 【答案】 3 5 【分析】“一定有两枚邮票相同”的问题，因为要保证存在两枚相同，所以先考虑最不利情况：每种邮票先各取1枚，再取1枚就必然出现重复； “保证取出的邮票能组成一套”的问题，因为要保证一定凑齐两种邮票组成一套，所以先考虑最不利情况：把其中一种邮票全部取完，再取1枚就必然是另一种，可组成一套。 【详解】要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出2＋1＝3（枚）； 要保证取出的邮票能组成一套，至少要取出4＋1＝5（枚）。 11．盒子里8个白色球，4个红色球，至少摸出( )个球，才能保证有2个同色球。 【答案】 3 【分析】本题中球的颜色种类数相当于“抽屉”数，并考虑最不利的情况，要保证有个同色球，需先假设每种颜色的球都只摸出了个，已经摸出个球，在此基础上再摸出个球，就能保证有个球颜色相同。 【详解】 （个） 12．在2025年出生的1000个孩子中，至少有( )人在同一个月过生日，至少有( )人在同一天过生日。 【答案】 84 3 【分析】将孩子看作“物体”，将月份或日期看作“抽屉”。首先判断2025年是平年还是闰年（用2025除以4，没有余数则为闰年，有余数则为平年），以确定全年的天数。物体数÷抽屉数＝商……余数，至少数＝商＋1。 【详解】2025÷4＝506……1 因为2025不能被4整除，所以2025年是平年，全年有365天。 1000÷12＝83……4 83＋1＝84（人） 1000÷365＝2……270 2＋1＝3（人） 至少有84人在同一个月过生日，至少有3人在同一天过生日。 13．布袋里有2个蓝球、4个绿球、6个黑球（这些球除颜色外完全相同）。如果每次随机摸一个球，摸到( )球的可能性最小，至少需要摸出( )个球才能确保有2个颜色相同的球。 【答案】 蓝 4 【分析】对于第一空，因为可能性大小和对应颜色球的数量多少直接相关，所以先统计三种颜色球的数量，比较数量大小即可判断可能性最小的颜色。 计算确保有2个同色球的最少摸球数：这是最不利原则问题，我们先考虑最倒霉的情况——前3次摸球，每次摸出的球颜色都不一样，刚好把蓝、绿、黑三种颜色各摸出1个。这时候只要再多摸1个，不管这个球是什么颜色，一定会和之前摸出的某一个球颜色相同。 【详解】蓝球有2个，绿球有4个、黑球有6个，蓝球的个数最少，所以摸到蓝球的可能性最小。 （个） 如果每次随机摸一个球，摸到蓝球的可能性最小，至少需要摸出4个球才能确保有2个颜色相同的球。 14．将黄、绿、紫三种颜色的卡片各5张放入一个盒子里，要保证取出的卡片有两种颜色，至少取出( )张卡片；要保证三种颜色都有，则至少应取出( )张；要保证取出的卡片中至少有两张是同色的，则至少应取出( )张。 【答案】 6 11 4 【分析】根据题意，考虑最不利原则，假设前5次都是同一种颜色的卡片，此时再抽1张一定是不同颜色的卡片。要想有3种颜色，最不利的情况是前10张只有两种颜色，此时再抽1张一定会有三种颜色；要保证取出的卡片中至少有两张是同色的，最不利的情况是抽3张，3种颜色各一张，此时再抽一张，一定会有与前面3种颜色重复的颜色。 【详解】5＋1＝6（张） 10＋1＝11（张） 3＋1＝4（张） 将黄、绿、紫三种颜色的卡片各5张放入一个盒子里，要保证取出的卡片有两种颜色，至少取出6张卡片；要保证三种颜色都有，则至少应取出11张；要保证取出的卡片中至少有两张是同色的，则至少应取出4张。 15．同学们做“摸球游戏”：盒子里有同样大小的红球10个、蓝球8个，黄球15个。从盒子里任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最大；摸到( )球的可能性最小；要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球。 【答案】 黄 蓝 4 【分析】盒子里哪种颜色球的数量越多，摸到该种颜色球的可能性就越大；盒子里哪种颜色球的数量越少，摸到该种颜色球的可能性就越小；考虑最不利原则，假设三种颜色的球各摸出一个，此时再任意摸出一个球，一定有2个同色的球。 【详解】3＋1＝4（个） 分析可知，因为15＞10＞8，黄球的数量＞红球的数量＞蓝球的数量，所以摸到黄球的可能性＞摸到红球的可能性＞摸到蓝球的可能性，即摸到黄球的可能性最大，摸到蓝球的可能性最小，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。 16．把红、黄、蓝、绿、白5种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取( )个球可以保证取到两个颜色相同的球。 【答案】 6 【分析】因为共有5种不同的颜色，所以最不利的情况是前5次分别取出5种不同颜色的球各1个。 如果在最不利情况的基础上再取1个球，那么这个球的颜色必然和已取出的5个球中的某一个颜色相同，即可保证有两个颜色相同的球，结合加法运算就能得到最终的取球数量。 【详解】5＋1＝6（个） 17．一个袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各5个（每个球的大小形状都一样），每次至少摸出( )个球才能保证一定有两个相同颜色的球。 【答案】4 【分析】明确本题属于抽屉原理类问题，解题突破口是考虑最不利的摸球情况。 因为要保证一定有两个同色球，所以先构造最不利情形：每次摸出的球颜色都不同，对应三种颜色最多先各摸1个。 如果在最不利情形基础上再摸1个球，那么这个球的颜色必然和已摸出的某一个球颜色相同，据此即可计算最少摸球数。 【详解】3＋1＝4（个） 18．一副扑克去掉大小王后，剩下的52张牌共有黑桃、红桃、梅花、方块四种花色，每种花色有13张，从这些牌中任意抽出( )张，就能保证至少有2张牌是同花色的。 【答案】5 【分析】把扑克牌四种花色看作四个抽屉，只要抽出的扑克牌张数比它们的花色种数多1，就能保证至少有2张牌是同花色的。 【详解】4＋1＝5（张） 从这些牌中任意抽出5张，就能保证至少有2张牌是同花色的。 19．学校有篮球、足球、羽毛球3种体育器材，每位同学可借一种或多种器材。六（2）班有45名同学来借器材，至少有( )名同学借到的器材种类完全相同。 【答案】7 【分析】所有的借器材组合情况数作为“抽屉数”，将学生总人数作为“物体数”。用分类列举出借 1种、2种、3种器材的所有可能情况，求出总情况数。然后根据抽屉原理，用物体数除以抽屉数，所得商加1即为至少数。 【详解】借1种器材的情况有3种：篮球、足球、羽毛球。借2种器材的情况有3种：篮球和足球、篮球和羽毛球、足球和羽毛球。借3种器材的情况有1种：篮球、足球和羽毛球。共有情况数：3＋3＋1＝6＋1＝7（种） 45÷7＝6……3 6＋1＝7（名） 所以，至少有7名同学借到的器材种类完全相同。 20．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 【答案】13根 【分析】把四种颜色看作个抽屉，12根筷子看作12个元素，从最不利情况考虑，假设每一次取出的根筷子颜色都不相同，这样的情况连续取3次，每种颜色的筷子各有3根，此时再任意取一根筷子一定有根筷子是同色的，据此解答。 【详解】 ＝ ＝13（根） 答：每次至少拿13根才能保证有根颜色一致的筷子。 【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决问题，从最不利情况分析问题是解答题目的关键。 21．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 【答案】 33位 【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 【详解】 （位） 答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 22．把红、蓝、黄3种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛，从中最少拿出几根才能保证一定有2根同色的筷子？如果要保证有2双不同色的筷子（指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）呢？ 【答案】4根；6根 【分析】考虑最不利的情况，红、蓝、黄各拿一根，再拿一根，无论什么颜色，都可保证一定有2根同色的筷子；根据前边的分析，拿4根能保证一定有2根同色的筷子，假设前4根是2红1蓝1黄，再拿2根，无论是红蓝、红黄、蓝蓝、蓝黄、还是黄黄，都可再组成一双同色的筷子，据此分析。 【详解】3＋1＝4（根） 4＋2＝6（根） 答：从中最少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子，从中最少拿出6根才能保证一定有2双不同色的筷子。 23．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？ 【答案】5个 【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。 【详解】4＋1＝5（个） 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 24．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 【答案】4个月 【分析】可以从第一个月开始研究，第一次分组后，有8个人在同一组，然后依次考虑第二次、第三次分组后，是否满足任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里，找出符合要去的最小值。 【详解】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生； 经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生； 经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的。如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放入两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2＝8人，第二个月保持同组的人数为8÷2＝4人，第三个月保持同组人数为4÷2＝2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月； 答：最少要经过4个月。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，求解抽屉原理的问题，要遵循最不利的原则考虑问题。 25．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 【答案】9次 【分析】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，最倒霉的情况就是前面8次取出的弹珠颜色都不一样，每种颜色各一个，这样第9次，不论取什么，一定可以保证有2个相同颜色的弹珠。 【详解】（次） 答：最少需要取9次。 【点睛】本题考查的是抽屉问题，求解此类问题，就要按照最不利于事件发生的情况考虑问题。 26．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 【答案】18个 【分析】找出1~49中，乘积小于100的两个数的组合，根据任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100这一要求，选择出合适的数进行构造。 【详解】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下： （1×2）、（1×3）、（1×4）、…、（1×49） （2×3）、（2×4）、（2×5）、…、（2×49） …… （8×9）、（8×10）、（8×11）、（8×12） （9×10）、（9×11） 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2＝36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数。 例如：（10×9）、（9×11）、（1×8）、（8×12）、（12×7）、（7×13）、（13×6）、（6×14）、（14×5）、（5×15）、（15×4）、（4×16）、（16 × 3）、（3×17）、（17×2）、（2×18）、（18×1）、（1×10），共出现l~18号，共18个孩子。 若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。 那么在9组中取出19个数时，有19＝9×2＋1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的。故最多挑出18个孩子。 答：最多能挑选出18个孩子。 【点睛】本题考查的是抽屉原理的问题，抽屉原理是最不利原则和平均原则的体现。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学广角 《鸽巢问题》 典例易错讲义 知识点 1：鸽巢问题的核心概念 1. 原理定义 鸽巢问题也叫抽屉原理、鸽巢原理，是用于判断 “必然存在性” 的数学规律：将若干个物体按一定规则放入有限个容器中，无论怎样分配，都一定存在至少一个容器，其中的物体数量达到某个最小值。 2. 关键词精准解读 总有：一定存在、必定有，指在所有分配方式中，必然存在至少一个符合条件的抽屉，不特指某一个固定的抽屉。 至少：最少、最起码，指符合条件的抽屉中物体数量的最小值，即所有分配方式里，数量最多的那个抽屉的最小可能值。 示例：“把 4 支铅笔放进 3 个笔筒，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔”，意为无论怎么放，一定存在至少一个笔筒，里面的铅笔数≥2 支。 3. 两大基本要素 解决鸽巢问题的首要前提是准确区分两个核心角色： 物体：被分配、被抽取的对象（如铅笔、苹果、学生、扑克牌、数字等） 抽屉：承载物体的分类容器（如笔筒、抽屉、月份、颜色类别、花色等） 知识点 2：鸽巢原理的两种基本形式 1. 基础形式（教材例 1） 原理内容 把 n+1 个物体放进 n 个抽屉里，总有一个抽屉里至少有 2 个物体。 适用场景：物体数量仅比抽屉数量多 1 的基础分配问题。 验证方法：可通过枚举法列举所有分配方式，验证结论的必然性。 示例：把 5 个苹果放进 4 个抽屉，无论怎么放，总有一个抽屉里至少有 2 个苹果。 2. 一般形式（教材例 2） 原理内容 把任意多个物体放进 n 个抽屉里，总有一个抽屉里至少有 “商 + 1” 个物体（有余数时）。 计算方法 用物体总数除以抽屉总数，求出商和余数： 分两种情况判断至少数： 有余数（余数≥1）：至少数 = 商 + 1（无论余数是几，都只加 1） 无余数（整除）：至少数 = 商 示例 把 10 本书放进 3 个抽屉： ，至少数 = 3+1 = 4 结论：总有一个抽屉里至少有 4 本书。 把 12 本书放进 3 个抽屉： ，至少数 = 4 结论：总有一个抽屉里至少有 4 本书。 3. 易错提醒 有余数时，错误用 “商 + 余数” 计算至少数，正确规则是无论余数大小，统一只加 1。 整除场景下错误多加 1，导致至少数计算偏大。 混淆物体与抽屉的角色，将除数和被除数颠倒。 知识点 3：最不利原则（教材例 3） 1. 核心思想 最不利原则（又称 “最倒霉原则”）是解决 “保证型” 鸽巢问题的核心方法：要保证某一情况一定发生，先构造出最不满足目标、最极端的不利情况，在此基础上再增加 1 个物体，就一定能保证目标情况发生。 2. 适用题型 题目中出现 “至少…… 才能保证……”“要保证…… 至少需要……” 等表述时，优先使用最不利原则。 3. 标准解题步骤 明确目标：确定最终要保证出现的结果。 构造最不利情况：尽可能多地抽取物体，但始终不达成目标。 计算结果： 4. 典型示例 盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个，至少摸出多少个球，才能保证一定有 2 个颜色相同的球？ 目标：摸出 2 个同色球 最不利情况：每种颜色各摸出 1 个，共摸出 3 个球，此时仍没有同色的球。 结论：（个），至少摸出 4 个球就能保证有 2 个同色。 知识点 4：常见典型题型与解法 1. 基础分配型 题型特征：已知物体总数和抽屉总数，求 “总有一个抽屉至少有几个物体”。 解法：直接套用除法公式，根据余数计算至少数。 示例：六年级 45 名学生分到 7 个班级，总有一个班至少有几名学生？ ，（名） 2. 摸球 / 抽牌类 题型特征：已知颜色 / 花色的种类数量，求保证取出指定数量同色物体的最少个数。 解法：运用最不利原则，先让每一类都差 1 个达成目标，再加 1。 示例：一副扑克牌去掉大小王后共 4 种花色，至少抽多少张才能保证有 3 张同花色的牌？ 最不利情况：每种花色各抽 2 张，共张； 结论：（张） 3. 日期 / 属相 / 月份类 题型特征：以月份、属相、全年天数等作为抽屉，人数作为物体，判断必然存在的重合情况。 常见固定抽屉数：12 个月份、12 个属相、366 天（闰年，考虑最极端情况）。 示例：全校 380 名学生，至少有几人在同一天过生日？ ，（人） 4. 逆向应用型 题型特征：已知抽屉数和至少数，求物体的最少总数量。 核心公式： 示例：有 6 个抽屉，要保证总有一个抽屉至少有 4 个物体，至少需要多少个物体？ （个） 知识点 5：通用解题思路总结 审清题意：区分题型是 “求总有一个的至少数” 还是 “求保证满足的最少数量”。 找准要素：准确判断题目中谁是物体、谁是抽屉。 选对方法： 已知物体和抽屉数，求至少数：用除法公式，有余数商 + 1，无余数取商。 求 “至少…… 才能保证……”：用最不利原则，最不利情况数 + 1。 验证结论：确认结论符合 “无论怎样分配都一定成立” 的必然性要求。 常考易错 题型1：鸽巢问题初步 【典例精讲1】王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子里的糖果应怎么放？ 常考易错 题型2：鸽巢问题进阶 【典例精讲2】六年级1班有45名同学，他们每人都报名参加了至少一项学校社团活动，学校社团包括：书法社、围棋社、科技社。问：至少有多少名同学参加的社团是完全相同的？ 常考易错 题型3：最不利原则 【典例精讲3】妈妈在网上超市买了田园、青花瓷、卡通三种不同图案的筷子各10支，把它们混着放在一起。这些筷子除了图案不同，其他方面都相同。（注：2支图案一样的筷子，才能配成1双筷子） (1)至少取出几支筷子，可以保证配成两双筷子？ (2)至少取出几支筷子，可以保证有两双卡通筷子？ (3)至少取出几支筷子，可以保证有两双不同图案的筷子？ 专项精练 1．盒子里有同样的白色、红色和黄色的球各5个，至少要从盒子里摸出（    ）个球，才能保证三种颜色的球都有。 A．4 B．7 C．10 D．11 2．把红、黄、蓝、白4种颜色且同样大小的球各10个放一个袋子里，至少取（    ）个球，可以保证取到两个颜色不同的球。 A．2 B．5 C．11 D．40 3．学生们组织抽签表演节目的活动。5名学生依次从以下4种卡片中任意抽一张，抽完后放回。至少有（    ）名学生抽到的节目相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．光明小学六1班有学生50人，班里至少有（    ）人是在同一个月出生的。 A．4 B．5 C．6 D．7 5．盒子里有除颜色外完全相同的8个红球、1个蓝球、6个黄球，至少取出（    ）球，才能保证其中有2个球颜色相同。 A．9个 B．2个 C．7个 D．4个 6．向东中学六年级一共有367名学生，该年级至少有（    ）在同一天过生日。 A．4人 B．3人 C．2人 D．1人 7．小西天圣境推出的新款冰箱贴可整套购买，也可单买，每套5张，每张冰箱贴上介绍一个景点，共有5个不同景点（A、B、C、D、E），亮亮至少要买几张冰箱贴才能保证欣赏到相同的景点？（    ） A．10张 B．6张 C．7张 D．只要多于5张就行 8．学校话剧社团准备了红、黄、蓝三种颜色的戏服。若导演要保证至少有5位演员穿着同一种颜色的戏服同时登场，最少需要安排（    ）位演员参加演出。 A．6 B．12 C．13 D．16 9．一个不透明盒子中放有红球、白球、蓝球共36个，任意摸出一个，如果摸到三种颜色的球的可能性相同，那么红球、白球、蓝球各有( )个。此时，至少取出( )个球，可以保证得到两个颜色相同的球。 10．2025年1月5日，中国邮政发布《乙巳年》特种邮票，一套两枚，邮票图案名称分别为“蛇呈丰稔”和“福纳百祥”。丽丽买了4套该种邮票，要使取出的邮票中一定有两枚邮票是相同的，她至少要取出( )枚；要保证取出的邮票能组成一套，至少要取出( )枚。 11．盒子里8个白色球，4个红色球，至少摸出( )个球，才能保证有2个同色球。 12．在2025年出生的1000个孩子中，至少有( )人在同一个月过生日，至少有( )人在同一天过生日。 13．布袋里有2个蓝球、4个绿球、6个黑球（这些球除颜色外完全相同）。如果每次随机摸一个球，摸到( )球的可能性最小，至少需要摸出( )个球才能确保有2个颜色相同的球。 14．将黄、绿、紫三种颜色的卡片各5张放入一个盒子里，要保证取出的卡片有两种颜色，至少取出( )张卡片；要保证三种颜色都有，则至少应取出( )张；要保证取出的卡片中至少有两张是同色的，则至少应取出( )张。 15．同学们做“摸球游戏”：盒子里有同样大小的红球10个、蓝球8个，黄球15个。从盒子里任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最大；摸到( )球的可能性最小；要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球。 16．把红、黄、蓝、绿、白5种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取( )个球可以保证取到两个颜色相同的球。 17．一个袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各5个（每个球的大小形状都一样），每次至少摸出( )个球才能保证一定有两个相同颜色的球。 18．一副扑克去掉大小王后，剩下的52张牌共有黑桃、红桃、梅花、方块四种花色，每种花色有13张，从这些牌中任意抽出( )张，就能保证至少有2张牌是同花色的。 19．学校有篮球、足球、羽毛球3种体育器材，每位同学可借一种或多种器材。六（2）班有45名同学来借器材，至少有( )名同学借到的器材种类完全相同。 20．把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次至少拿几根才能保证有4根颜色一致的筷子？ 21．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 22．把红、蓝、黄3种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛，从中最少拿出几根才能保证一定有2根同色的筷子？如果要保证有2双不同色的筷子（指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）呢？ 23．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？ 24．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 25．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 26．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $