数学广角——鸽巢原理（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版六年级上册数学广角——鸽巢原理分层讲义题集 单元考情分析 同学们，咱们这个单元学的“鸽巢原理”，又叫“抽屉原理”。说通俗点，就是研究“把东西往几个容器里放，不管怎么放，总有一个容器里至少有多少个”的问题。 本单元考查什么？ 主要就三件事： 第一：能准确判断谁是“鸽子”（要被分配的东西）、谁是“鸽巢”（装东西的容器）； 第二，会用除法算出“至少数”； 第三，能解决生活中“保证”类的问题，比如“至少摸几次才能保证有两个同色”。 考试怎么考？ 填空题喜欢考直接计算“至少数”，选择题爱考判断哪个问题能用鸽巢原理解决，应用题基本是生活情境——班级分组、摸球游戏、借书、分水果这些。难度不算大，但很多同学栽在“谁是鸽巢谁是被分配物”分不清，或者算“至少数”的时候把余数直接加了进去。咱们练习的时候重点注意这两点。 知识要点梳理 核心公式： 物体数 ÷ 鸽巢数 = 商……余数 有余数时：至少数 = 商 + 1 无余数时：至少数 = 商 关键词理解： “总有”：一定存在，没有例外 “至少”：不少于，是最少的情况 “最不利原则”：先让每个鸽巢都尽量少放，再看剩下的一定会塞进哪个 一、基础过关篇 第1题 学校科学社团有12名同学，他们的生肖最多有12种。这12名同学中，至少有几人的生肖是相同的？请说明理由。 第2题 学校给六年级8个班各分配了5套“航天科普”图书，一共40套。现在要把这些书全部搬进储藏室的4个柜子里，不管怎么放，总有一个柜子里至少有多少套书？ 第3题 六（1）班有45名同学参加“校园农耕”劳动实践，学校把他们分到4块菜地劳动。不管怎么分配，总有一块菜地至少有多少名同学？ 第4题 把16个苹果放进5个果篮里，总有一个果篮里至少有几个苹果？ 第5题 学校阅览室有科技类、文学类、艺术类三种杂志。小明想借杂志，他至少要借几本，才能保证有2本是同一类的？ 第6题 学校举行“校园吉尼斯”跳绳挑战赛，四年级有367名同学报名参加。请你证明：至少有两名同学的生日在同一天。（一年按365天计算） 二、能力提升篇 第7题 学校“红领巾广播站”有20名小播音员，他们的出生月份不完全相同。至少有几名小播音员出生在同一月份？请写出你的思考过程。 第8题 学校食堂今天准备了红烧肉、番茄炒蛋、清炒时蔬、紫菜蛋花汤四道菜。六年级（2）班43名同学每人至少选一道菜（可以选多道），不管大家怎么选，至少有多少名同学选择的菜品情况是完全相同的？ 第9题 学校图书馆有童话、科幻、历史、百科四类图书，每类都有很多本。小华想借书，他至少要借几本，才能保证有3本是同一类的？ 第10题 把25本书放进6个书包里，总有一个书包里至少有几本书？ 第11题 布袋里有红、黄、蓝、白四种颜色的玻璃球各10个。闭着眼睛摸，至少要摸出几个，才能保证有3个玻璃球的颜色是相同的？ 第12题 学校“航天科普周”活动中，六年级有320名同学参观了“中国空间站”主题展览。展览分8个时间段入场，每个时间段入场人数可能不同。 请你证明：至少有一个时间段入场的同学不少于40人。 三、培优拓展篇 第13题 学校合唱团有50名同学，要选若干名同学参加比赛（至少选1人）。老师闭着眼睛随机写纸条，每张纸条上写一种选法（比如写“选1号、3号、7号……”）。问：老师至少写多少张纸条，才能保证一定有两张纸条上的名单是完全相同的？ 第14题 六（3）班有48名同学参加“校园农耕”劳动实践，学校把他们分成若干个小组（每组人数可以不同）。如果要保证不管怎么分，总有一个小组里至少有6名同学，那么最多能分成几个小组？请说明理由。 第15题 学校举行“我爱数学”趣味竞赛，有5道判断题，每题只有“对”和“错”两种答案。六（4）班有35名同学参加竞赛，老师发现：不管同学们怎么答题，总有两名同学的答题情况完全相同。你能解释这是为什么吗？ 第16题 布袋里有红球6个、黄球5个、蓝球4个（同色球大小相同）。闭着眼睛摸： （1）至少要摸出几个，才能保证有2个是同色的？ （2）至少要摸出几个，才能保证有2个是不同色的？ 第17题 学校“乡村文化传承”社团有红、黄、蓝三种颜色的手环各若干条（每种颜色的手环数量足够多）。社团要组织活动，每个同学领2条手环（颜色可以相同，也可以不同）。至少要有多少名同学参加活动，才能保证有2名同学领到的手环颜色组合是完全相同的？ 第18题 任意给出5个不同的自然数（0除外），其中一定有两个数的差是4的倍数。请说明理由。 错题复盘记录（学生自填） 请针对每道错题，记录以下信息。可自行复制多行使用。 题号：____ 错误类型（鸽巢找反了 / 至少数算错 / 不会列式 / 其他）：____ 错误原因：____ 正确思路一句话总结：____ 题号：____ 错误类型（鸽巢找反了 / 至少数算错 / 不会列式 / 其他）：____ 错误原因：____ 正确思路一句话总结：____ 题号：____ 错误类型（鸽巢找反了 / 至少数算错 / 不会列式 / 其他）：____ 错误原因：____ 正确思路一句话总结：____ 教师解析版 单元考情分析（教师教学参考） 课标定位： 本单元属于“数学广角”板块，对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“模型意识”和“推理意识”的培养要求。鸽巢原理是小学阶段重要的组合数学原理，核心是让学生经历“具体操作→抽象概括→模型建立”的过程。 考情特点： 本单元考查集中在三个维度——模型识别（判断鸽巢与物体）、公式应用（计算至少数）、逆向推理（已知至少数求总数）。常见题型为填空（占4-6分）、选择（占2-4分）、解决问题（占6-10分），总占比约10%-15%。 教学提示： 我在实际教学中发现，学生最大的问题不是不会算除法，而是不知道谁除以谁。上课时我经常让学生先圈一圈：“谁是容器？谁是被装的东西？”圈对了，题就对了一半。另外“至少数=商+1”很多学生死记硬背，但余数是2的时候有学生就加2，这个坑每届都有学生跳，一定要用“最不利原则”反复讲——先让每个鸽巢都放满“商”个，剩下的不管余几，只能让一个鸽巢多1个。 知识要点梳理（教师版） 核心公式： 物体数 ÷ 鸽巢数 = 商……余数 有余数时：至少数 = 商 + 1 无余数时：至少数 = 商 关键教学点： “总有”强调必然性，“至少”强调最小值，两者结合才是鸽巢原理的精髓。 “最不利原则”是理解公式的关键——假设每个鸽巢都尽量少放，先平均分，再看剩下的怎么处理。 有余数时为什么只加1不加余数？因为剩下的物体要一个一个分配，每分1个就有一个鸽巢变成“商+1”，不会有两个鸽巢同时变成“商+余数”。 一、基础过关篇（含解析） 第1题 答案：应该是至少有1人的生肖相同（即不能保证有2人相同）。 解析： 鸽巢：12种生肖；物体：12名同学。 12 ÷ 12 = 1……0，无余数，至少数 = 商 = 1。 也就是说，最理想的情况是每人一种生肖，所以至少数是1，不一定有2人生肖相同。 易错点警示：很多同学一看“12人、12种生肖”就直接写2，这是不对的。鸽巢原理成立的前提是“物体数大于鸽巢数”。这里物体数等于鸽巢数， 不能保证有2人相同。如果把人数改成13人，那才是至少2人相同。 第2题 答案：至少有10套。 解析： 鸽巢：4个柜子；物体：40套书。 40 ÷ 4 = 10……0，无余数，至少数 = 10。 答：总有一个柜子里至少有10套书。 第3题 答案：至少有12名同学。 解析： 鸽巢：4块菜地；物体：45名同学。 45 ÷ 4 = 11……1，有余数，至少数 = 11 + 1 = 12。 答：总有一块菜地至少有12名同学。 第4题 答案：至少有4个。 解析： 鸽巢：5个果篮；物体：16个苹果。 16 ÷ 5 = 3……1，有余数，至少数 = 3 + 1 = 4。 答：总有一个果篮里至少有4个苹果。 第5题 答案：至少要借4本。 解析： 鸽巢：3种杂志。要保证有2本同类，按最不利原则：每种先借1本，共3本，再借1本必有一类有2本。 3 + 1 = 4（本）。答：至少要借4本。 易错点警示：这种“保证”类问题要用最不利原则——假设运气最差，每次都拿到不同种类。学生容易直接用“2×3=6”之类的错误思路。 第6题 答案：至少有两名同学的生日在同一天。 解析： 鸽巢：365天；物体：367名同学。 367 ÷ 365 = 1……2，有余数，至少数 = 1 + 1 = 2。 答：所以至少有两名同学的生日在同一天。 易错点警示：有的学生把一年按366天算（闰年），这里明确说按365天计算就不要多想。另外注意“至少2人”是最少情况，实际可能有更多人同一天生日。 二、能力提升篇（含解析） 第7题 答案：至少有2名小播音员出生在同一月份。 解析： 鸽巢：12个月份；物体：20名同学。 20 ÷ 12 = 1……8，有余数，至少数 = 1 + 1 = 2。 答：至少有2名小播音员出生在同一月份。 教学提示：这道题物体数远大于鸽巢数，学生容易算成“20÷12=1余8，至少数=1+8=9”，这是典型错误！一定要强调“余数再大也只加1”。 第8题 答案：至少有3名同学选择的菜品情况完全相同。 解析： 先确定“菜品情况”有多少种：每道菜选或不选，共2×2×2×2 = 16种。 鸽巢：16种选择情况；物体：43名同学。 43 ÷ 16 = 2……11，有余数，至少数 = 2 + 1 = 3。 答：至少有3名同学选择的菜品情况完全相同。 易错点警示：这道题的难点在于“鸽巢”不是4道菜，而是4道菜的所有组合情况（16种）。学生很容易把鸽巢数搞错。 第9题 答案：至少要借9本。 解析： 鸽巢：4类图书。要保证有3本同类，按最不利原则：每类先借2本，共8本，再借1本必有一类有3本。 4 × (3-1) + 1 = 4×2 + 1 = 9（本）。答：至少要借9本。 公式总结：保证有k个同类，至少需要 (鸽巢数)×(k-1) + 1 个物体。 第10题 答案：至少有5本书。 解析： 鸽巢：6个书包；物体：25本书。 25 ÷ 6 = 4……1，有余数，至少数 = 4 + 1 = 5。 答：总有一个书包里至少有5本书。 第11题 答案：至少要摸出9个。 解析： 鸽巢：4种颜色。要保证有3个同色，按最不利原则：每种颜色先摸出2个，共8个，再摸1个必有一种颜色有3个。 4 × (3-1) + 1 = 4×2 + 1 = 9（个）。答：至少要摸出9个。 第12题 答案：至少有一个时间段入场的同学不少于40人。 解析： 鸽巢：8个时间段；物体：320名同学。 320 ÷ 8 = 40……0，无余数，至少数 = 40。 答：所以至少有一个时间段入场的同学不少于40人（也就是≥40人）。 三、培优拓展篇（含解析） 第13题 答案：至少写 张纸条。（2的50次方张） 解析： 第一步：先别想50人，想3个人。 合唱团只有A、B、C 3名同学，至少选1人去比赛。把所有可能的选法列出来： 选1人：A、B、C，共3种； 选2人：AB、AC、BC，共3种； 选3人：ABC，共1种。 一共有 3+3+1=7 种不同的选法。 如果把7种选法想象成7个“抽屉”（鸽巢），那老师写纸条就是在往这些抽屉里放“鸽子”（每张纸条就是一只鸽子）。 写7张纸条：运气好的话，刚好7种各写一张，没有重复； 写8张纸条：第8张无论写哪种，都一定会和前面某一张重复。 所以，3个人时，至少写8张纸条才能保证有重复。而 8 =。 为什么是？因为3个人，每人有“选”或“不选”2种状态，所有组合是 2×2×2=8 种。再去掉“全不选”那1种，就是 8-1=7 种选法。要保证重复，就要写 7+1=8 张，也就是 张。 第二步：再看4个人。 4个人时，每人有“选”或“不选”2种状态，所有组合 = 2×2×2×2 = 16 种。去掉“全不选”1种，有效选法 = 16-1 = 15 种。要保证重复，至少写 15+1 = 16 张，也就是 张。 第三步：回到50个人。 规律找到了：3个人对应，4个人对应，所以50个人对应。 理由：50个人，每个人有“被选上”和“没被选上”两种状态，所有可能的组合是 2×2×……×2（50个2相乘）= 种。去掉“50个人都没被选上”这一种（因为题目说至少选1人），有效选法有 -1 种。这 -1 种选法就是“鸽巢”（不同名单的种类数）。要保证有两张纸条重复，纸条数必须比鸽巢数多1，也就是 (-1)+1 = 张。 这个数到底有多大？ = 1125899906842624，大约是一千一百二十五万亿，比全世界所有人加起来还多得多。但正因为选法种类是有限的，只要纸条数超过这个数字，就一定会出现重复——这就是鸽巢原理的威力。 易错点提醒：错误想法1：以为是 50×49 或者 50+49 之类的。正确：每个人有“选/不选”2种状态，所以是连乘，不是加法。 错误想法2：以为答案是 -1。正确：-1 是“不同选法的种类数”，是鸽巢数。要保证重复，纸条数必须比鸽巢数多1，所以是。 第14题 答案：最多能分成9个小组。 解析： 这道题是鸽巢原理的“逆向应用”——已知“至少数”和“物体数”，反过来求“鸽巢数”最多是多少。 思路一：用最不利原则想 要想“总有一个小组至少有6人”，最不利的情况就是每个小组都尽量少放人，也就是每个小组最多放5人。 如果分成n个小组，每个小组最多5人，那么总人数最多是 5×n。 要想“保证”出现6人的小组，就必须让“每个组都只有5人”这种情况不可能发生，也就是： 5×n < 48 因为如果 5×n ≥ 48，那就可能每个组都不超过5人（比如48人分成10个组，可以每组4-5人，就没有6人的组）。 计算：n < 48÷5 = 9.6，所以 n 最大是 9。 思路二：用鸽巢原理反推 鸽巢原理说：物体数 ÷ 鸽巢数 = 商……余数，有余数时至少数 = 商+1。 这道题中，物体数=48，至少数=6，反推鸽巢数最多是多少。 至少数=6，说明 商+1=6，所以 商=5。 也就是说，48 ÷ 鸽巢数 的商最大只能是5。 当鸽巢数=9时，48÷9=5……3，商=5，符合。 当鸽巢数=10时，48÷10=4……8，商=4，至少数就变成5了，不符合。 所以最多只能分9组。 验证： 分成9个组：48÷9 = 5……3，根据鸽巢原理，至少数 = 5+1 = 6 ✅ 符合要求。 分成10个组：48÷10 = 4……8，至少数 = 4+1 = 5 ❌ 不能保证有6人。 答：最多能分成9个小组。 易错点警示：学生容易直接用“48÷6=8”得出“最多8组”的答案，这是错的！48÷6=8的意思是“每组6人，可以分8组”，但题目问的是“保证有6人的组，最多能分几组”。分9组时，48人平均分是每组5人余3人，那3个人随便放到哪3个组，那3个组就有6人了，所以9组也能保证。分10组时，平均分是每组4人余8人，最多只能让8个组变成5人，没有组能达到6人，所以不能保证。 第15题 答案：因为5道判断题的答案组合共有2⁵=32种，而全班有35名同学，35＞32，所以必有两名同学的答题情况完全相同。 解析： 鸽巢：5道题的所有答案组合，共2×2×2×2×2 = 32种。 物体：35名同学。 35 ÷ 32 = 1……3，有余数，至少数 = 1 + 1 = 2。 答：所以至少有两名同学的答题情况完全相同。 拓展思考：如果全班只有32人，能不能保证有两名同学完全相同？不能，因为可能32人各占一种组合。 第16题 答案：（1）4个；（2）7个。 解析： （1）要保证有2个同色：鸽巢=3种颜色，最不利原则每种颜色摸1个，共3个，再摸1个必有2个同色。3+1=4（个）。 （2）要保证有2个不同色：最不利的情况是先摸出的全是同一种颜色。红球最多6个，所以最坏情况是先摸出6个红球，再摸1个必然是其他颜色。6+1=7（个）。 答：（1）至少要摸出4个；（2）至少要摸出7个。 易错点警示：第（2）问很多学生套用第（1）问的思路，直接用“颜色数+1=4”，这是错的。要保证不同色，最坏情况是先把最多的那种颜色全摸完。 第17题 答案：至少有7名同学。 解析： 先确定“手环颜色组合”有多少种：每个同学领2条，颜色可以相同或不同。可能的组合有：红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝，共6种。 鸽巢：6种组合。要保证有2名同学组合相同：6 + 1 = 7（名）。 答：至少有7名同学参加活动。 易错点警示：学生容易漏掉“同色”的组合（红红、黄黄、蓝蓝），只算“不同色”的3种。一定要提醒学生“颜色可以相同”。 第18题 答案：任意自然数除以4，余数只能是0、1、2、3四种。 解析： 鸽巢：4种余数（0、1、2、3）；物体：5个自然数。 5 ÷ 4 = 1……1，有余数，至少数 = 1 + 1 = 2。 所以5个自然数中至少有两个数除以4的余数相同。 两个数除以4的余数相同，它们的差就能被4整除，也就是差是4的倍数。 答：所以任意5个不同的自然数中，一定有两个数的差是4的倍数。 教学提示：这道题是鸽巢原理在“数论”领域的典型应用，可以让学生体会鸽巢原理的广泛适用性。 答题万能模板 第一步：找“鸽巢”和“鸽子” 鸽巢 = 分类的“盒子”（如月份、颜色、班级） 鸽子 = 要被分配的东西（如人、球、书） 问自己：什么东西在往什么地方放？ 第二步：列算式 物体数 ÷ 鸽巢数 = 商……余数 第三步：得结论 有余数：至少数 = 商 + 1 没余数：至少数 = 商 写答案时把“鸽巢”和“鸽子”代入回去 课堂口诀： 先找鸽巢再找物，除法算完看余数。 有余就加一，没余就是商。 最不利原则记心间，保证问题不再难。 错题复盘参考答案（教师用） 下面列出常见错题的归因与正确思路，供教师讲评时参考。 第1题：错误类型——至少数算错；错误原因——误以为12÷12有余数；正确思路——物体数等于鸽巢数时不能保证有2个相同，至少数为1。 第8题：错误类型——鸽巢找反了；错误原因——把4道菜当鸽巢；正确思路——鸽巢是“选择情况”的组合数（16种），不是菜品数。 第11题：错误类型——至少数算错；错误原因——直接用颜色数+1=5；正确思路——保证3个同色需要(3-1)×4+1=9。 第16题第（2）问：错误类型——思维定势；错误原因——套用同色问题思路；正确思路——保证不同色要按最不利原则先摸完最多的一种（红球6个），再摸1个即可，所以是6+1=7。 第17题：错误类型——漏算组合；错误原因——只算不同色组合；正确思路——同色组合（红红、黄黄、蓝蓝）也要算进去，共6种组合。 【使用说明】 本讲义分为“学生版”和“教师解析版”两部分，教师可将第一部分打印发给学生练习，第二部分留作备课参考。 基础过关篇建议全体学生完成；能力提升篇建议中等及以上学生完成；培优拓展篇建议学有余力的学生选做。 每道题的解析中都标注了“易错点警示”或“教学提示”，建议教师在讲评时重点强调。 “错题复盘记录”建议学生每做完一个层级就填写一次，养成反思习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $