1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统梳理点到直线、点到平面等距离及线线角、线面角、二面角的向量求解方法，衔接空间向量基本运算，拓展最小角定理，构建从基础到综合的学习支架。 资料以知识点-例题-练习递进设计，通过解题贴士强化数学思维，随学随练提升应用能力。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生查漏补缺，培养空间观念与几何直观，体现用数学语言表达空间关系的核心素养。

司 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课标要点 1.掌握利用空间向量求解空间距离、空间夹角的基本方法与公式。 2.会用向量求解点到直线、点到平面、平行线面、平行面面的距离。 3.会用向量求解线线角、线面角、二面角，并掌握各类角的取值范围。 4.能运用向量工具解决立体几何中距离与夹角的计算与证明问题。 学习重难点 重点： 1.各类空间距离、空间夹角的向量求解公式及坐标运算方法。 2.点到直线、点到平面距离的向量求解方法。 3.线线角、线面角、二面角的向量判定与计算。 难点： 1.区分各类空间角的向量公式差异，准确对应夹角取值范围。 2.理解距离公式的向量几何意义，灵活选用法向量、方向向量求解距离。 3.二面角的锐角、钝角判断，精准匹配几何体实际开合状态。 知识点 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 特别提醒 也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 特别提醒 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 随学随练 1．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 知识点 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 （1）夹角定义：设是直线的方向向量，是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． （2）求两条异面直线所成角的两个关注点 ①余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． ②范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角． 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则． 易错提醒 二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决． 随学随练 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津河北·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为__________. 拓展 最小角定理 1、线线角、线面角的关系 如图所示，已知是平面的斜线段，是斜足，线段垂直于，垂足，则直线是斜线在平面内的正射影．设是内通过点的任意一条直线，与所成的角为，与所成的角为，与所成的角力，则①． 2.最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中的最小的角． 活学活用 1．AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD=60°，∠BCD=45°，则AC和平面α所成的角为（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 2．（24-25高三上·湖北·阶段检测）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，为OA与OB所成的角，即线面角，为OB与OC所成的角，那么简称为三余弦定理.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，，，D在上且满足. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型 求点到直线的距离 ▌例1 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 解题贴士 运用空间向量求点到直线的距离，首先写出直线的方向向量，在直线上选取一点和已知点构造一个新的向量，运用两个向量的数量积公式求出夹角的余弦，再数形结合，在直角三角形中利用三角函数或勾股定理求出距离． ▌对点练1-1 （25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 题型 求点到平面的距离 ▌例2 （25-26高二上·湖北黄冈·期末）在空间直角坐标系中，过点且以为法向量的平面的方程可以表示为，若平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 点面距的求解步骤： （1）求出该平面的一个法向量； （2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. ▌对点练2-1 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． ▌对点练2-3 正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型 利用空间向量求两直线所成的角 ▌例3 （25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 利用空间向量求异面直线所成角的步骤： ①建立适当的空间直角坐标系， ②求出两条异面直线的方向向量的坐标， ③利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， ④结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． ▌对点练3-1 （25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东湛江·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 题型 利用空间向量求直线与平面所成的角 ▌例4 （24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 若直线与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下： （1）建系：依据几何条件建立适当的坐标系； （2）确定向量：①找直线的一个方向向量；②找平面的一个法向量； （3）计算：①；②由的值确定的大小． 注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量的夹角”之间的关系，即是（或其补角）的余角． ▌对点练4-1 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，那么直线与平面所成的角的余弦值是 （    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26高二下·江苏扬州·期中）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 题型 利用空间向量求平面与平面所成的角 ▌例5 （25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系. 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标. 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量. 第四，破“应用公式关”. ▌对点练5-1 （25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （24-25高二上·河南洛阳·阶段检测）如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为______． ▌对点练5-3 （25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型 空间角的探索性问题 ▌例6 （24-25高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 解题贴士 以向量夹角公式为核心，先设出参数、建立空间直角坐标系，写出相关方向向量与法向量，根据题目给定的空间角大小或范围，构造含参数的方程或不等式，通过代数运算求解参数的值或取值范围，最后结合几何体结构与各类空间角的取值范围检验结果，剔除不符合题意的参数，完成角度存在性、参数范围等探究问题。 ▌对点练6-1 如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． ▌对点练6-2 （25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面 (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由． ▌对点练6-3 （24-25高二上·河北唐山·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E． (1)求证：平面 (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 基础通关 1．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 5．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 6．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 7．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 8．（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知点在平面内，点 均在外，且，则 P 到的距离为________. 9．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 10．（25-26高二上·河北沧州·期末）在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 素养提升 11．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面α所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 迁移创新 16．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·山东潍坊·期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． (1)现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． (2)如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课标要点 1.掌握利用空间向量求解空间距离、空间夹角的基本方法与公式。 2.会用向量求解点到直线、点到平面、平行线面、平行面面的距离。 3.会用向量求解线线角、线面角、二面角，并掌握各类角的取值范围。 4.能运用向量工具解决立体几何中距离与夹角的计算与证明问题。 学习重难点 重点： 1.各类空间距离、空间夹角的向量求解公式及坐标运算方法。 2.点到直线、点到平面距离的向量求解方法。 3.线线角、线面角、二面角的向量判定与计算。 难点： 1.区分各类空间角的向量公式差异，准确对应夹角取值范围。 2.理解距离公式的向量几何意义，灵活选用法向量、方向向量求解距离。 3.二面角的锐角、钝角判断，精准匹配几何体实际开合状态。 知识点 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 特别提醒 也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 特别提醒 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 随学随练 1．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意得，所以点到平面的距离.故选：C. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两平行平面，分别经过坐标原点和点，， 且两平面的一个法向量， 两平面间的距离.故选：B. 知识点 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 （1）夹角定义：设是直线的方向向量，是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． （2）求两条异面直线所成角的两个关注点 ①余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． ②范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角． 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则． 易错提醒 二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决． 随学随练 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可得，， ， 设直线所成的夹角为，则， 所以直线所成角的余弦值为. 2．（25-26高二上·天津河北·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为__________. 【答案】 【解析】设平面与平面所成角为， 由平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角为. 拓展 最小角定理 1、线线角、线面角的关系 如图所示，已知是平面的斜线段，是斜足，线段垂直于，垂足，则直线是斜线在平面内的正射影．设是内通过点的任意一条直线，与所成的角为，与所成的角为，与所成的角力，则①． 2.最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中的最小的角． 活学活用 1．AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD=60°，∠BCD=45°，则AC和平面α所成的角为（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【解析】由AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影 所以AC和平面α所成的角为， 过点作于点，连接. 由AB⊥平面α, 则,又，且 所以平面,平面,则 由∠BCD=45°， 设,则 由∠ACD=60°，则 在直角三角形中，，，则 所以三角形为等腰直角三角，所以故选：C 2．（24-25高三上·湖北·阶段检测）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，为OA与OB所成的角，即线面角，为OB与OC所成的角，那么简称为三余弦定理.如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，，，D在上且满足. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图，过点D作交于，连接CE，BE，设， 连接，，， ∵D在上且满足， ∴， ∵，， 四边形为正方形，， ，，， ，， 为CE的中点，， 因为，，平面，平面， 又平面，平面平面. （2）在中，， ， 又，， ，， 又，，，平面， 平面， 故建立如图空间直角坐标系， 则，，，，.， ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 设平面一个法向量为，则， 令，得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 题型 求点到直线的距离 ▌例1 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由题， 所以点到直线的距离为 . 解题贴士 运用空间向量求点到直线的距离，首先写出直线的方向向量，在直线上选取一点和已知点构造一个新的向量，运用两个向量的数量积公式求出夹角的余弦，再数形结合，在直角三角形中利用三角函数或勾股定理求出距离． ▌对点练1-1 （25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为.故选：A. ▌对点练1-2 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. ▌对点练1-3 （25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以直线的单位方向向量为， 所以点到直线的距离为.故选：D 题型 求点到平面的距离 ▌例2 （25-26高二上·湖北黄冈·期末）在空间直角坐标系中，过点且以为法向量的平面的方程可以表示为，若平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵平面的方程为，取平面内一点， 则平面的法向量为，又∵，∴， ∴点Q到平面的距离为．故选：B． 解题贴士 线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 点面距的求解步骤： （1）求出该平面的一个法向量； （2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. ▌对点练2-1 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为.故选：B ▌对点练2-2 （25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离.故选：A ▌对点练2-3 正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离， 就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是．故选：B 题型 利用空间向量求两直线所成的角 ▌例3 （25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是.故选：C. 解题贴士 利用空间向量求异面直线所成角的步骤： ①建立适当的空间直角坐标系， ②求出两条异面直线的方向向量的坐标， ③利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， ④结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． ▌对点练3-1 （25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确.故选：C ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【答案】A 【解析】由于，，故均为等边三角形， 不妨设， ，， 则，即，则， ，， 又，平面 平面， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得， 设异面直线与所成角为，而故, 由于，故，故选：A ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东湛江·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 因为为的中点，所以． 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 因为为线段的一点，且， 所以．所以，． 设直线与直线所成的角为， 则. 题型 利用空间向量求直线与平面所成的角 ▌例4 （24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故选：D 解题贴士 若直线与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下： （1）建系：依据几何条件建立适当的坐标系； （2）确定向量：①找直线的一个方向向量；②找平面的一个法向量； （3）计算：①；②由的值确定的大小． 注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量的夹角”之间的关系，即是（或其补角）的余角． ▌对点练4-1 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，那么直线与平面所成的角的余弦值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为，， 则， ．故选：B． ▌对点练4-2 （25-26高二下·江苏扬州·期中）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知平面的一个法向量是， 平面与的法向量分别是， 设直线的一个方向向量为， 则，所以，取，得， 所以， 故直线l与平面所成角的正弦值为.故选：A． ▌对点练4-3 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 题型 利用空间向量求平面与平面所成的角 ▌例5 （25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，. 设平面的法向量为， 则令，得. 取平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.故选：A. 解题贴士 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系. 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标. 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量. 第四，破“应用公式关”. ▌对点练5-1 （25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为底面是矩形，所以， 因为二面角为直二面角， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点作平面ABCD的垂线为轴，建立如上所示空间直角坐标系； 设，则； 其中，，，，， ，； 设平面的法向量为， 则 令，则，； 显然，平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则故选： ▌对点练5-2 （24-25高二上·河南洛阳·阶段检测）如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为______． 【答案】 【解析】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可得， 则，所以面角的余弦值为. ▌对点练5-3 （25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型 空间角的探索性问题 ▌例6 （24-25高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则.故选：BD 解题贴士 以向量夹角公式为核心，先设出参数、建立空间直角坐标系，写出相关方向向量与法向量，根据题目给定的空间角大小或范围，构造含参数的方程或不等式，通过代数运算求解参数的值或取值范围，最后结合几何体结构与各类空间角的取值范围检验结果，剔除不符合题意的参数，完成角度存在性、参数范围等探究问题。 ▌对点练6-1 如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，． (1)求与平面所成角的余弦值； (2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以⊥， 又平面平面，交线为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 以为原点、为轴、为轴、平面上过点的的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图， 与均为等腰直角三角形，，则，，， 平面的法向量为， 设与平面所成的角为，， ， 故； （2），设，．设，其中， 但当时，两点重合，此时与不是异面直线，故，所以， 则． 由，得， 其中，即，解得， 又，所以 故． ▌对点练6-2 （25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面 (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，理由见解析 【解析】（1）因为与均为等腰直角三角形，， 所以，即， 所以， 设，则，则 所以，即， 连接AE，因为E为BC中点，， 所以四边形ADCE为正方形，则， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以A为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 因为平面在面内，所以即为平面的法向量， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，则， 所以，而平面与平面的夹角为锐二面角或直角， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （2）由（1）得 假设存在点，设， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或1， 故存在点Q为端点P或端点B时，使直线与平面所成角的正弦值为 ▌对点练6-3 （24-25高二上·河北唐山·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E． (1)求证：平面 (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）在圆柱中，母线底面，而底面，则， 由是圆的直径，得，而平面， 因此平面，又平面，则， 而平面，所以平面. （2）假设在线段上存在一点，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由， 得，则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，得， 由平面与平面BCD所成角的余弦值为， 得， 解得，所以在线段上存在一点，满足题意，此时. 基础通关 1．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，又直线的方向向量为， 故， 所以点到的距离为.故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得.故选：B. 3．（25-26高二上·山东泰安·期末）在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知点，则， 所以点到平面的距离为.故选：A. 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即.故选：B. 5．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为.故选：D 6．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 【答案】 【解析】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 7．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 【答案】 【解析】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 8．（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知点在平面内，点 均在外，且，则 P 到的距离为________. 【答案】 【解析】因为平面的法向量可取为，向量， 所以. 9．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 【答案】 【解析】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 10．（25-26高二上·河北沧州·期末）在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【解析】（1）由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2）由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. （3）设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 素养提升 11．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 12．（25-26高二上·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面α所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在平面内， 所以，解得， 所以平面的一个法向量为， 由题意可知，则， 设直线与平面所成的角为， 则.故选：C． 13．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为.故选：C. 14．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点向线段的延长线作垂线，垂足为，因为， 所以，所以，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与所成角为，则， 所以，，故选：B. 15．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【解析】（1）由平面平面，平面平面，平面， ，得直线平面，而四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， 依题意，是平面的一个法向量，又， 则，而直线平面，所以平面. （2）， 设平面CPB的法向量为 ，则，取，得， 设平面PQB的法向量为 ，则，取，得 ， 设平面与平面夹角为，则， ，所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）由点H在PD上，设，则， 依题意，，而，解得， 所以线段的长为. 迁移创新 16．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点， 以点为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则球心的坐标为： 因为底面边长为，所以底面正三角形外接圆半径； 故 ，，， 所以 ，， 设平面的法向量为，则由，即， 令，则，则是平面的一个法向量. 又，因此球心到平面的距离 . 17．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）在空间直角坐标系中，我们规定：过点，且以（a，b，c不同时为0）为方向向量的直线方程为，若分母中有一个或两个为0，需理解为分子也为0，例：时，方程等价于，且；而过点P，且以（a，b，c不同时为0）为法向量的平面方程为.若平面过点A，且满足方程；直线也过点A，满足，且，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设. 因为平面过点A，且满足方程，将其写为， 即， 所以，且平面的一个法向量为. 因为直线过点A，满足，且， 所以， 由得. 根据题干中的规定可知，，由可得， 对比可知，不妨取，则， 所以直线的一个方向向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 所以.故选：B. 18．（25-26高二上·山东潍坊·期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． (1)现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． (2)如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值． 【答案】(1)①；②；(2) 【解析】（1）设分别为与同方向的单位向量， 则， ①； ②由题， 由，知， 由，知： ， ， ，解得. 则. （2）方法一：设，如图，以分别为轴正方向上的单位向量，建立斜坐标系： ①， 设， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设二面角的平面角为， ，从而， 所以二面角的正弦值为； 方法二：设， 因为为中点，， 所以， ，显然有， 因此，显然， 有，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 于是有，令，则. 设平面的法向量为， 于是有，令，则， 平面与平面的夹角的余弦值为， 故求二面角的正弦值：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $