第二章 等式与不等式 章末检测 -2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦等式与不等式，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配高中数学单元复习，强化数学思维与实际应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、不等式性质、充分必要条件|基础概念辨析，如第1题集合交集| |多项选择|3/18|均值不等式、方程根的性质|多选项分层考查，如第9题均值不等式应用| |填空|3/15|恒成立问题、实际应用（刹车距离）|情境化设计，如第13题刹车距离计算| |解答|5/77|集合关系、不等式恒成立、利润最值|综合应用，如第18题促销利润模型，体现数学语言表达现实世界|

　第二章 等式与不等式 章末检测 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A＝{x｜x2－x－6≥0}，集合B＝（－3，3），则A∩B＝（　　） A.（－3，－2）　 B.（－3，－2] C.[2，3） D.（2，3） 2.下列四个命题中的真命题为（　　） A.∃x∈Z，1＜4x＜3 B.∃x∈Z，5x＋1＝0 C.∀x∈R，x2－1＝0 D.∀x∈R，x2＋x＋2＞0 3. 若，则下列不等式一定不成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  4.若a＞0，b＞0，则“ab≤4”是“a＋b≤4”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知x＞2，则函数y＝x＋－2的最小值是（　　） A.2 B.2－2 C.2 D. 6. 不等式的解集为（　　） A.  B.  C.  D.  7.某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足（　　） A.6≤x≤7 B.5≤x≤7 C.5≤x≤6 D.4≤x≤6 8.已知不等式－2x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜3}，若对于任意x∈{x｜－1≤x≤0}，不等式－2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，则t的取值范围是（　　） A.{t｜t≤2} B.{t｜t≤－2} C.{t｜t≤－4} D.{t｜t≤4} 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知a＞1，b＞1，且ab－（a＋b）＝1，那么下列结论正确的有（　　） A.a＋b有最大值2＋2 B.a＋b有最小值2＋2 C.ab有最大值＋1 D.ab有最小值2＋3 10. (2025·廉江期中) 已知x > 0，y > 0，则下列不等式一定成立的是（ ） A.  B.  C.  D.  11.关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（　　） A.这两个方程的根都是负根 B.这两个方程的根中可能存在正根 C.（m－1）2＋（n－1）2≥2 D.－1≤2m－2n≤1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若“∀x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　　. 13.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于　　　　 km/h. 14. (2026·上海高考) 已知  ________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）设集合A＝{x｜（x＋1）·（x－5）＜0}，集合B＝{x｜2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. （1）当a＝1时，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围. 16.（本小题满分15分）关于实数x的不等式2kx2＋kx－＜0. （1）若k＝1，求该不等式的解集； （2）若该不等式对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围. 17.（本小题满分15分）（1）若正数a，b满足＋＝1，求a＋b的最小值，并求出对应的a，b的值； （2）若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围. 18.（本小题满分17分）某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（m≥0）（单位：万元）满足x＝3－（k为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2024年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数； （2）该厂家2024年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 19.（本小题满分17分）若关于x的不等式x2－4mx＋m＜0的解集为（x1，x2）. （1）当m＝1时，求＋的值； （2）若x1＞0，x2＞0，求＋的值及x1＋4x2的最小值. 参考答案 1.B　x2－x－6≥0⇒（x－3）（x＋2）≥0⇒x≥3或x≤－2，而集合B＝（－3，3），∴A∩B＝（－3，－2]，故选B. 2.D　选项A中，＜x＜且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－，与x∈Z矛盾；选项C中，x＝±1，与∀x∈R矛盾；选项D中，由Δ＝1－8＝－7＜0可知D正确. 3.C　选项A：不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求；选项B：不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求；选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求；选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求. 4.B　因为a＞0，b＞0，取a＝4，b＝1，则满足ab≤4，但是a＋b＝5＞4，所以“ab≤4”不能推出“a＋b≤4”； 反过来，因为2≤a＋b，所以当a＋b≤4时， 有2≤4，即ab≤4. 综上可知，“ab≤4”是“a＋b≤4”的必要不充分条件.故选B. 5.D　由题设，x－2＞0，∴y＝（x－2）＋≥2＝，当且仅当x＝2＋时等号成立，∴函数最小值为.故选D. 6.D　 ，即，, 所以原式的解集为. 故答案为：D. 7.A　由提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量为：10－×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为：x≥42，即（x－6）（x－7）≤0，即6≤x≤7，故选A. 8.B　由题意得－1和3是关于x的方程－2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，则解得则－2x2＋bx＋c＝－2x2＋4x＋6，由－2x2＋bx＋c＋t≤4得，t≤2x2－4x－2，当－1≤x≤0时，（2x2－4x－2）min＝－2，故t≤－2.故选B. 9.BD　令a＋b＝s，ab＝t，由题意可得s＞2，t＞1，t－s＝1， 由均值不等式s≥2，则t－1≥2，由t＞1可得t2－2t＋1≥4t，则t≥3＋2，a＝b＝＋1取等号；s≥2，由s＞2可得s2－4s－4≥0，则s≥2＋2，a＝b＝＋1取等号；故选B、D. 10.ABD. A、x > 0，y > 0，则，当且仅当x = y时等号成立，故A正确；B、，，即，则，故B正确；C、当x = 1,y = 2时，x + y = 3 > 2 = xy，故C错误；D、，当且仅当x = y时等号成立，故D正确. 11.ACD　设方程x2＋2mx＋2n＝0的两根为x1，x2，方程y2＋2ny＋2m＝0的两根为y1，y2.由题意知x1x2＝2n＞0，y1y2＝2m＞0，又∵x1＋x2＝－2m，y1＋y2＝－2n，∴这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确； ∵4m2－8n≥0，4n2－8m≥0，∴m2－2n≥0，n2－2m≥0， ∴（m－1）2＋（n－1）2＝m2－2n＋1＋n2－2m＋1≥2，故C正确； ∵y1y2＝2m，y1＋y2＝－2n， ∴2m－2n＝y1y2＋y1＋y2＝（y1＋1）（y2＋1）－1，∵y1，y2均为负整数，∴（y1＋1）（y2＋1）≥0， ∴2m－2n≥－1.∵x1·x2＝2n，x1＋x2＝－2m， ∴2n－2m＝x1x2＋x1＋x2＝（x1＋1）（x2＋1）－1， ∵x1，x2均为负整数，∴（x1＋1）（x2＋1）≥0， ∴2n－2m≥－1，即2m－2n≤1，∴－1≤2m－2n≤1，故D正确. 综上所述，正确的结论有A、C、D.故选A、C、D. 12.[3，＋∞）　解析：因为“∀x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，所以“∃x∈（1，4]，x2－2ax＋9≤0”是真命题，即存在x∈（1，4]，使2a≥x＋成立. 又x＋≥2＝6等号仅当x＝，即x＝3时成立，所以只要2a≥6，解得a≥3. 13.80　解析：根据题意，得x＋x2≥40. 移项整理，得x2＋10x－7 200≥0. 显然Δ＞0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根， 即x1＝80，x2＝－90， 根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图象（图略）， 得不等式的解集为{x｜x≤－90或x≥80}. 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h. 14. 　解析：，则，即，当且仅当，即，或，时等号成立，故最大值为. 15.解：（1） 由题意得：A＝{x｜－1＜x＜5}， 当a＝1时，B＝{x｜1≤x≤3}， 故A∪B＝{x｜－1＜x＜5}. （2）由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，可得B⫋A， 当B＝∅时，得2－a＞1＋2a，解得a＜； 当B≠∅时，得解得≤a＜2. 综上，a的取值范围为（－∞，2）. 16.解：（1）当k＝1时，原不等式即为：2x2＋x－＜0， 解得－＜x＜，所以不等式的解集为{x｜－＜x＜}. （2）若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x恒成立， 当k＝0时，－＜0恒成立，故k＝0满足题意； 当k≠0时，要使得不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x恒成立， 则即解得k∈（－3，0）.综上：k∈（－3，0]. 17.解：（1）原式＝（a＋b）＝2＋＋＋8≥10＋2＝18， 当且仅当a＝6，b＝12时取等号， 所以a＋b的最小值为18，此时a＝6，b＝12. （2）xy＝x＋y＋8≥2＋8， 即（）2－2－8≥0，即（－4）（＋2）≥0，解得≥4， 所以xy≥16，当且仅当x＝y＝4取等号， 所以xy的取值范围为[16，＋∞）. 18.解：（1）由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－， 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－（8＋16x＋m）＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29（m≥0）. （2）∵m≥0，＋（m＋1）≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2024年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元. 19.解：（1）由题可知关于x的方程x2－4x＋1＝0有两个根x1，x2， 所以 故＋＝＝＝－4. （2）由题意关于x的方程x2－4mx＋m＝0有两个正根， 所以有⇒解得m≥. 同时x1＋x2＝4x1x2，由x1＞0，x2＞0得＋＝4， 所以x1＋4x2＝（x1＋4x2）＝， 由于，＞0，所以＋≥2＝4， 当且仅当＝，即x1＝2x2，且x1＋x2＝4x1x2，解得x1＝，x2＝时取得“＝”， 此时实数m＝＞符合条件， 故x1＋4x2≥，且当m＝时，取得最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $