第二章 等式与不等式（单元分层自测·培优冲刺卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一年级数学第二章“等式与不等式”培优冲刺卷，整合多地区模拟及期末真题，适配单元复习，强化数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、不等式性质、解集判断|基础巩固，结合真题情境，培养数学眼光| |多选题|3/15|一元二次不等式解集、方程根的条件|注重逻辑推理，体现数学思维的严谨性| |填空题|3/15|基本不等式求最值|强化运算能力，突出模型意识| |解答题|5/50|二次函数零点、n阶基本不等式应用|分层设计，融合创新应用，发展数学语言表达|

2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集定义计算. 【详解】由已知， 所以. 2．（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，结合的条件逐一验证各选项的恒成立性. 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 3．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 4．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项通分后转化为求一元二次不等式的解集即可． 【详解】由，即，解得：， 所以不等式的解集为：. 5．（2026高三·全国·专题练习）设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意可知：关于的一元二次方程有实根， 则，解得或． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将，，三数相加，借助于基本不等式即可说明. 【详解】因都是正数， 由， 当且仅当时，等号成立， 所以，，至少有一个不小于2. 7．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 8．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 二、多选题 9．（25-26高一上·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 10．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 11．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题 12．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 13．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 14．（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 【答案】 【分析】采用目标换元+一元二次方程判别式法求最值，将所求式整体设元，转化为方程有正根的存在性问题，避免复杂均值配凑，最后务必验证等号可取性. 【详解】由题，因为，所以， 令，则, 故，即，所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 因为，所以的最小值为， 此时，因此的最小值为 四、解答题 15．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）（1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 【分析】（1）结合根与系数关系求解可得； （2）直接将必要条件转化为两个集合的包含关系，再分类讨论可得； （3）直接将不等式分解因式，再根据两根的大小分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）设二次函数的两个不相等的零点为，且， 所以，解得. 所以实数的取值范围为． （2）设，， 因为是的必要条件，所以， ①当时符合题意，此时，解得； ②当时，则且等号不能同时成立，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由不等式化为，， 即得． 因为，所以， ①当，即时，原不等式的解集为或； ②当时，原不等式化为，原不等式的解集为； ③当时，，原不等式的解集为或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解的解集为； 当时，不等式的解集为或. 16．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）将不等式左边配方，转化为 ，即得答案； （2）利用一元二次不等式的解以及韦达定理，可得到 且 ，代入到中，利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：， 代入要求解的不等式中， 得：， 因为， 所以， 解得： 故不等式的解集为 . 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 【答案】(1)当时， ;当或时， . (2) 【详解】（1）由 ，当且仅当时，等号成立， 所以当时， . 所以当或时， . （2）由 得 所以 或 ； 由 ，移项通分得 即 ，所以，解得， 由， 所以不等式组的解是. 18．（25-26高一上·重庆·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，，求的最小值； (2)若，求的最大值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】(1)4. (2) (3)判断 证明：当时，成立. 当时， 所以 因为（），所以等号不成立，所以 综上所述，. 【分析】（1）根据积为定值，利用基本不等式即可求出和的最小值； （2）根据和为定值，由基本不等式即可求得积的最大值； （3）将表达式利用基本不等式变形证明，并验证等号是否成立即可. 【详解】（1）当，时， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. （2）当时，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （3）略 19．（25-26高一上·上海·开学考试）已知实数，，，，满足，． (1)判断的正负，并证明； (2)若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)依题意得，. 方法一（最优解）：韦达定理应用， 变形结构，显然， 由韦达定理，可知，和是一元二次方程的两个根． 其中， 所以为非负数； 方法二：由已知，可用表达，， ， 所以为非负数. (2)不可以． 【分析】（1）方法一，利用韦达定理可得和是一元二次方程的两个根，利用根的判别式得到； 方法二：由已知，可用表达，并得到； （2）若都为整数，其可能的情况有都为奇数和其中至少有一个为偶数，就两种情况，分别推出矛盾，故、不能都为整数. 【详解】（1）略 （2）若都为整数， 其可能的情况有：都为奇数和其中至少有一个为偶数． ①若、都为奇数，则为偶数，为奇数， 则为偶数，与已知矛盾． ②若、为整数，且其中至少有一个为偶数， 则必为偶数，为偶数，与已知矛盾． 因此，，不可能都为整数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2026高三·全国·专题练习）已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 7．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．（25-26高一上·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 11．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题 12．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 13．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 14．（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 四、解答题 15．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）（1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 16．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 18．（25-26高一上·重庆·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，，求的最小值； (2)若，求的最大值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 19．（25-26高一上·上海·开学考试）已知实数，，，，满足，． (1)判断的正负，并证明； (2)若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·培优冲刺卷（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C C D C A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 AB BCD ACD 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13．3 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）设二次函数的两个不相等的零点为，且， 所以，解得.（2分） 所以实数的取值范围为．（4分） （2）设，， 因为是的必要条件，所以，（5分） ①当时符合题意，此时，解得； ②当时，则且等号不能同时成立，解得． 综上所述，实数的取值范围为．（8分） （3）由不等式化为，， 即得． 因为，所以，（9分） ①当，即时，原不等式的解集为或；（10分） ②当时，原不等式化为，原不等式的解集为；（11分） ③当时，，原不等式的解集为或．（12分） 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解的解集为； 当时，不等式的解集为或.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为；（3分） （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， （5分） 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：，（18分） 代入要求解的不等式中， 得：，（12分） 因为， 所以， 解得： 故不等式的解集为 .（15分） 17．（15分） 详解】（1）由 ，当且仅当时，等号成立，（5分） 所以当时， . 所以当或时， .（7分） （2）由 得 所以 或 ；（8分） 由 ，移项通分得 即 ，所以，解得， 由，（12分） 所以不等式组的解是.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当，时， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4.（4分） （2）当时，， 所以，当且仅当时等号成立，（6分） 所以的最大值为.（8分） (3)判断 证明：当时，成立.（10分） 当时， （12分） 所以（14分） 因为（），所以等号不成立，所以 综上所述，.（17分） 19．（17分） (1)依题意得，. 变形结构，显然， 由韦达定理，可知，和是一元二次方程的两个根．（4分） 其中， 所以为非负数；（8分） （2）若都为整数， 其可能的情况有：都为奇数和其中至少有一个为偶数． ①若、都为奇数，则为偶数，为奇数， 则为偶数，与已知矛盾．（13分） ②若、为整数，且其中至少有一个为偶数， 则必为偶数，为偶数，与已知矛盾． 因此，，不可能都为整数．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）设是实数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2026高三·全国·专题练习）已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 7．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．（25-26高一上·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 11．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题 12．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 13．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 14．（25-26高二下·山西长治·期末）已知的最小值为______． 四、解答题 15．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）（1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 16．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 18．（25-26高一上·重庆·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，，求的最小值； (2)若，求的最大值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 19．（25-26高一上·上海·开学考试）已知实数，，，，满足，． (1)判断的正负，并证明； (2)若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $