第三章 函数的概念与性质单元试卷-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 函数的概念与性质章末测试卷，适用于单元复习，全面覆盖函数定义、单调性、奇偶性等核心知识，通过基础巩固与综合应用题，考查数学抽象、逻辑推理及数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|函数定义、幂函数性质、图象判断|如第3题结合幂函数奇偶性与单调性，考查逻辑推理| |多选题|3题|函数概念辨析、新定义应用|第11题以新定义“离实数最近整数”考查创新思维| |填空题|3题|最值定义、周期函数零点|第12题默写最值定义，夯实基础；第14题周期函数零点体现数学抽象| |解答题|5题|不等式求解、实际应用（新能源汽车利润）|第18题结合新能源汽车生产利润，考查数学建模与应用意识|

函数的概念与性质章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数满足，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 2．已知函数，设，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 3．已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 6．幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知，，.下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数，的四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的，都有______，且存在，使得______，那么我们称M是函数的最大值； 对于任意的，都有______，且存在，使得______，那么我们称M是函数的最小值． 13．函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 14．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点有______个． 四、解答题 15．已知，求以下不等式的解集 (1)； (2)； (3)． 16．函数，    (1)画出函数的图象； (2)当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）. 17．已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 18．2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 19．已知二次函数 (1)求不等式的解集； (2)求函数的单调增区间； (3)若，求函数的值域． 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B A C D CD BD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据得到对称轴，即可得到结果. 【详解】函数是二次函数，其中， 所以对称轴， 因为，所以函数对称轴为， 即，解得， 故选：A. 2．D 【分析】根据题意，在同一个直角坐标系中画出三个函数的图象，结合最大值的含义可直接得出最小值. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数,,， 根据题意可得函数为图中黑线表示部分， 根据图像可得，点A为函数与的交点， 所以解得，故点A的横坐标为， 点B为函数与的交点， 所以，解得，故点B的横坐标为， 点C为函数与的交点， 所以，得，故点C的横坐标为， 所以函数, 由图像可知，当时，函数有最小值为. 故选：D. 3．A 【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，从而利用奇偶性及单调性求解即可. 【详解】设，由题意得，所以， 其定义域为R，又，所以函数为奇函数， 任取，因为， 所以，所以函数单调递增， 故选：A 4．D 【分析】先判断的奇偶性可排除A和B，再分析时的符号可排除C，从而可得正确选项. 【详解】由，可得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A和B， 又当时，，故排除C. 故选：D. 5．B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 6．A 【分析】根据幂函数定义和定义域求出的值，得到解析式，解不等式得解. 【详解】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为R，不合题意； 当时，，定义域为，合题意. 所以，即，所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 7．C 【分析】根据幂函数的定义，求得的值.结合函数的图象关于原点对称，确定的值. 代入不等式求解，可得实数的取值范围. 【详解】由题可知，，即，解得，或. 若，则，图象关于y轴对称； 若，则，图象关于原点对称. 所以. 由，即化简得 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．D 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D. 9．CD 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同， 因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同， 所以是同一个函数，故C正确； 对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选:CD. 10．BD 【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B、D. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以当时，，故B正确； 对于C：当，时，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以，则，即，故D正确. 故选：BD 11．ACD 【分析】直接根据新定义，逐一验算各个选项即可求解. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，，总，使得，即有，且， 此时的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】略 【详解】略 13． 【分析】依题意可得，令，，判断的奇偶性，即可得到的对称性，从而得解. 【详解】因为， 令，， 定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，函数图象关于对称， 所以关于对称，所以. 故答案为： 14．5 【分析】利用周期函数的性质，将函数在整个区间上的零点个数问题转化为在一个周期内的零点个数问题，再结合一个周期内的函数表达式求出该周期内的零点个数，最后根据周期数累加得到总个数. 【详解】当时，令， 所以的图象与轴交点的横坐标分别为，． 当时，，又的最小正周期为2， 所以，所以， 所以当时，的图象与轴交点的横坐标分别为，， 又，综上可知，共有5个交点． 故答案为：. 15．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用平方法转化为一元二次不等式求解. （2）利用因式分解法求解一元二次不等式. （3）移项通分，再转化为一元二次不等式求解. 【详解】（1）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式，解得， 所以原不等式的解集为. （3）不等式，则， 解得或，所以原不等式的解集为. 16．(1)    (2) . 【分析】（1）根据给定的分段函数，作出函数图象即可. （2）利用函数的单调性求出在区间上的值域即可. 【详解】（1）函数在上的图象是直线在的部分， 在上的图象是抛物线在的部分， 在上的图象是直线在的部分，函数的图象如图，    （2）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 而，因此，， 所以函数在上的值域为. 17．(1) 因为的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. (2) 函数在上单调递增，证明如下： 设，且， 则 ， ，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断； （2）根据函数单调性定义判断，证明. 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)； (2)千辆时，取得最大值30万元. 【分析】（1）根据给定信息直接求出的解析式. （2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）由函数，得. （2）当时，，在处取最大值，（万元）； 当时， （万元），当且仅当（千辆）时取等号， 而，所以在千辆时取得最大值30万元. 19．(1) (2) (3) 【分析】因式分解得不等式的解集；求得函数对称轴可得单调区间和值域. 【详解】（1），故或， 故不等式的解集为 （2）对称轴为且开口向上，故单调递增区间为. （3）由（2）知，若，在上为减函数，在上为增函数， 函数最小值为，最大值为， 故其值域为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $