第三章 函数的概念与性质 单元综合检测试题-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第三章函数单元检测，通过厨余垃圾处理、药品降价等真实情境应用题与2025全国一卷函数题等真题改编题，覆盖函数定义域、奇偶性等核心知识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数定义域（第2题）、奇偶性（第3题）、单调性（第6题）|第8题构造函数判断单调性，培养数学思维| |多选|3/18|幂函数性质（第9题）、函数图象分析（第10题）|第11题结合二次函数图象判断系数关系，体现几何直观| |填空|3/15|分段函数（第12题）、函数解析式（第13题）|第14题利用奇偶性求解析式，强化推理意识| |解答|5/77|幂函数综合（第15题）、应用题（第19题）|第19题对比补贴方案，培养数学建模与数据观念|

第三章单元综合检测 (120分钟　150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2026·菏泽高一检测)已知函数f(x)=,则f(f(1))= (　　) A.1　　 B.-8　　 C.-2　　 D.2 2.函数f(x)=的定义域为 (　　) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 3.(2025·全国一卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)= (　　) A.- B.- C. D. 4.(2025·延边高一检测)已知幂函数y=(m2-9m+19)的图象不过原点,则实数m的值为 (　　) A.0 B.3　 C.6　 D.3或6 5.有关部门决定对某药品分两次降价,假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元,降价后的价格是y元,则y关于x的函数关系式是(　　) A.y=m(1-x)2 B.y=m(1+x)2 C.y=2m(1-x) D.y=2m(1+x) 6.函数f(x)=的单调递增区间是(　　) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[1,3] D.[-1,1] 7.(2026·沙坪坝高一检测)函数y=的图象大致为 (　　) 8.(2026·芜湖高一检测)若函数f(x)的定义域为R,且对∀x1,x2∈R,且x1<x2,有f(x1)-f(x2)<x2-x1,则不等式f(x)-f(2-x)+2x>2的解集为 (　　) A.(-1,+∞)　 B.(0,+∞) C.(1,+∞)　 D.(2,+∞) 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.若函数y=xα的定义域为R且为奇函数,则α可能的值为 (　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 10.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)的定义域为[-4,4) B.函数f(x)的值域为[0,+∞) C.此函数在定义域内是增函数 D.对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应 11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0 C.9a+3b+c<0 D.abc<0 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2026·嘉峪关高一检测)某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元时,不享受任何折扣;如果顾客购物总金额超过800元时,那么超过800元部分享受一定的折扣优惠,按如表折扣分别累计计算: 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的解析式为y=,若y=30元,则他购物实际所付金额为　　元.  13.若函数f(x)满足f()=x,则f(x)的解析式为　　.  14.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,则f(x)=　　,g(x)=　　.  四、解答题(共77分) 15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm+1,且函数在(0,+∞)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的奇偶性; (3)若f(1-2a)<f(2),求实数a的取值范围. 16.(15分)(2026·绵阳高一检测)已知函数f(x)=,且f(1)=10,f(3)=6. (1)求f(x)的解析式; (2)判断f(x)在区间[3,+∞)上的单调性并用单调性的定义证明你的判断. 17.(15分)已知函数f(x)是一次函数,且满足f(x-1)+f(x)=2x-1. (1)求f(x)的解析式; (2)判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性,并用函数单调性的定义给予证明. 18.(17分)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)+f(-x)=0,且当x<0时f(x)=x2+2x. (1)求f(x)的解析式; (2)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出函数f(x)的完整图象,并根据图象直接写出函数f(x)的单调区间及x∈[-2,2]时y=f(x)的值域. 19.(17分)(2025·江门高一检测)某企业进行技术创新,把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾x吨,最少为70吨,最多为120吨,日加工处理总成本y元与日加工处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(平均成本=) (2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式有两种:方案一:每日进行定额财政补贴,金额为5 000元;方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为60x元.如果你是企业的决策者,为了获得每日最大利润,你会选择哪个补贴方案?为什么? 答案解析 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2026·菏泽高一检测)已知函数f(x)=,则f(f(1))= (　　) A.1　　 B.-8　　 C.-2　　 D.2 【解析】选C.因为函数f(x)=,易知f(1)=12-2=-1, 所以f(f(1))=f(-1)=-3+1=-2. 2.函数f(x)=的定义域为 (　　) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 【解析】选D.由题意知:x2-x>0,解得x<0或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). 3.(2025·全国一卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)= (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选A.由题知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),所以f(-)=f()=f()=5-2×=-. 4.(2025·延边高一检测)已知幂函数y=(m2-9m+19)的图象不过原点,则实数m的值为 (　　) A.0 B.3　 C.6　 D.3或6 【解析】选B.由题意,,解得m=3. 5.有关部门决定对某药品分两次降价,假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元,降价后的价格是y元,则y关于x的函数关系式是(　　) A.y=m(1-x)2 B.y=m(1+x)2 C.y=2m(1-x) D.y=2m(1+x) 【解析】选A.第一次降价后价格为m(1-x),第二次降价后价格变为y=m(1-x)(1-x)=m(1-x)2. 6.函数f(x)=的单调递增区间是(　　) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[1,3] D.[-1,1] 【解析】选D.函数f(x)=的定义域需要满足3+2x-x2≥0,解得f(x)的定义域为[-1,3],因为y=3+2x-x2在[-1,1]上单调递增,所以f(x)=在[-1,1]上单调递增. 7.(2026·沙坪坝高一检测)函数y=的图象大致为 (　　) 【解析】选B.因为f(-x)==-f(x),所以y=是奇函数, 即y=图象关于原点对称,故C,D错误; 因为当x>0时,y=≤0,故A错误,B正确. 8.(2026·芜湖高一检测)若函数f(x)的定义域为R,且对∀x1,x2∈R,且x1<x2,有f(x1)-f(x2)<x2-x1,则不等式f(x)-f(2-x)+2x>2的解集为 (　　) A.(-1,+∞)　 B.(0,+∞) C.(1,+∞)　 D.(2,+∞) 【解析】选C.由f(x1)-f(x2)<x2-x1⇒f(x1)+x1<f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x, 因为对∀x1,x2∈R,且x1<x2,有f(x1)-f(x2)<x2-x1, 所以有g(x1)<g(x2),所以函数g(x)=f(x)+x是R上的增函数, 由f(x)-f(2-x)+2x>2⇒f(x)+x>f(2-x)+(2-x)⇒g(x)>g(2-x)⇒x>2-x⇒x>1. 【点睛】本题构造函数g(x)=f(x)+x是关键,利用函数g(x)的单调性解不等式. 二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.若函数y=xα的定义域为R且为奇函数,则α可能的值为 (　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 【解析】选BD.当α=-1时,幂函数y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),A不符合题意; 当α=1时,幂函数y=x,B符合题意; 当α=2时,幂函数y=x2的定义域为R且为偶函数,C不符合题意; 当α=3时,幂函数y=x3的定义域为R且为奇函数,D符合题意. 10.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)的定义域为[-4,4) B.函数f(x)的值域为[0,+∞) C.此函数在定义域内是增函数 D.对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应 【解析】选BD.由题图可知,函数f(x)的定义域为[-4,0]∪[1,4),故A错误; 函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确; 函数f(x)在定义域内不是单调函数,故C错误; 对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应,故D正确. 11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0 C.9a+3b+c<0 D.abc<0 【解析】选ACD.由二次函数图象开口向下知:a<0,对称轴为直线x=-=1,即2a+b=0,故b>0.又因为f(0)=c>0,f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0,所以abc<0. 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2026·嘉峪关高一检测)某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元时,不享受任何折扣;如果顾客购物总金额超过800元时,那么超过800元部分享受一定的折扣优惠,按如表折扣分别累计计算: 可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的解析式为y=,若y=30元,则他购物实际所付金额为　1 320　元.  【解析】若x=1 300,则y=5%×(1 300-800)=25<30,因此x>1 300. 由10%(x-1 300)+25=30,得x=1 350(元),所以实际所付金额为x-y=1 320元. 13.若函数f(x)满足f()=x,则f(x)的解析式为　f(x)=(x≠1)　.  【解析】令=t,则x=,t≠1,所以f(t)=,t≠1,所以f(x)=(x≠1). 14.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,则f(x)=　 x2-2　,g(x)=　 x　.  【解析】由f(x)+g(x)=x2+x-2,得f(-x)+g(-x)=x2-x-2. 由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得f(x)-g(x)=x2-x-2. 又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得f(x)=x2-2,g(x)=x. 四、解答题(共77分) 15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm+1,且函数在(0,+∞)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式; 【解析】(1)f(x)=(m2-m-5)xm+1为幂函数,则有m2-m-5=1,解得m=3或m=-2, 当m=3时,f(x)=x4,在(0,+∞)上单调递增,符合题意; 当m=-2时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,不合题意;所以f(x)=x4. (2)判断函数f(x)的奇偶性; 【解析】(2)f(x)=x4,函数的定义域为R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),函数为偶函数. (3)若f(1-2a)<f(2),求实数a的取值范围. 【解析】(3)因为函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,若f(1-2a)<f(2),有-2<1-2a<2,解得-<a<,所以实数a的取值范围为(-,). 16.(15分)(2026·绵阳高一检测)已知函数f(x)=,且f(1)=10,f(3)=6. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)由f(1)=10,f(3)=6,得,整理得, 解得,所以f(x)==x+. (2)判断f(x)在区间[3,+∞)上的单调性并用单调性的定义证明你的判断. 【解析】(2)f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,理由如下: 设x1,x2∈[3,+∞),且x1<x2,f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+9(-)=(x2-x1)+9· =(x2-x1)(1-)=(x2-x1)·,因为x1,x2∈[3,+∞),且x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>9, 所以(x2-x1)·>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在区间[3,+∞)上单调递增. 17.(15分)已知函数f(x)是一次函数,且满足f(x-1)+f(x)=2x-1. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)设一次函数f(x)=ax+b(a≠0), 由f(x-1)+f(x)=2x-1,可得a(x-1)+b+ax+b=2x-1, 整理得(2a-2)x+2b-a+1=0,所以解得所以f(x)=x. (2)判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性,并用函数单调性的定义给予证明. 【解析】(2)g(x)==1+. 可判断g(x)=1+在(1,+∞)上单调递减,证明如下: 任取x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,则g(x1)-g(x2)=1+-(1+)=-, 因为x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递减. 18.(17分)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)+f(-x)=0,且当x<0时f(x)=x2+2x. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)因为f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),令x>0,则-x<0, 依题意知f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,即-f(x)=x2-2x,故f(x)=-x2+2x; 当x=0时,f(0)+f(0)=0,故f(0)=0,故f(x)= (2)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出函数f(x)的完整图象,并根据图象直接写出函数f(x)的单调区间及x∈[-2,2]时y=f(x)的值域. 【解析】(2)由f(-x)=-f(x),知f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故函数f(x)的完整图象如图所示, 由图象可知,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,+∞),单调递增区间是(-1,1). x∈[-2,2]时,y=f(x)的值域为[-1,1]. 19.(17分)(2025·江门高一检测)某企业进行技术创新,把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾x吨,最少为70吨,最多为120吨,日加工处理总成本y元与日加工处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(平均成本=) 【解析】(1)由题意可知,每吨厨余垃圾平均加工成本为+40,x∈[70,120],+40≥2+40=2×40+40=120, 当且仅当,即x=80时,每吨厨余垃圾的平均加工成本最低,最低为120元, 因为120>100,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. (2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式有两种:方案一:每日进行定额财政补贴,金额为5 000元;方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为60x元.如果你是企业的决策者,为了获得每日最大利润,你会选择哪个补贴方案?为什么? 【解析】(2)若该企业采用补贴方案一,设该企业每日获利为y1元, y1=100x-(x2+40x+3 200)+5 000=-x2+60x+1 800=-(x-60)2+3 600, 因为x∈[70,120],y1=-(x-60)2+3 600在[70,120]上单调递减,所以当x=70吨时,企业获得最大利润,为3 550元. 若该企业采用补贴方案二,设该企业每日获利为y2元,y2=100x+60x-(x2+40x+3 200)= -x2+120x-3 200 =-(x-120)2+4 000, 因为x∈[70,120],y2=-(x-120)2+4 000在[70,120]上单调递增,所以当x=120吨时,企业获得最大利润,为4 000元. 结论:选择方案一,当日加工处理量为70吨时,可以获得最大利润3 550元;选择方案二,当日加工处理量为120吨时,获得最大利润4 000元;所以选择方案二进行补贴. 学科网（北京）股份有限公司 $