第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 一元二次函数、方程和不等式章末测试卷，全面覆盖单元核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配单元复习需求，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|基本不等式求最值、充分必要条件判断|基础概念辨析，突出运算能力| |多选题|3题|不等式性质、条件判断|多角度考查，培养推理意识| |填空题|3题|不等式取值范围、恒成立问题、几何应用|结合性质与几何，体现模型意识| |解答题|5题|解不等式（含参数）、函数图像与不等式、证明、实际应用|分层设计，综合考查数学思维与应用能力|

一元二次函数、方程和不等式章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若关于的不等式的解集为，则（   ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 4．“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．6 6．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 7．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．“”的一个充分不必要条件可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12．如果，则 （1）的取值范围是___________；（2）的取值范围是___________； （3）的取值范围是_____________；（4）的取值范围是_______________. 13．若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是______． 14．已知在中，，若的内接矩形的一边在BC边上，则该内接矩形的面积的最大值为______． 四、解答题 15．解关于的不等式. (1); (2) (3). 16．画出二次函数的图象，你能通过观察图象，获得不等式及的解集吗？ 17．已知．证明：中至少有一个不小于1. 18．（1）把64写成两个正数的积，当这两个数取什么值时，它们的和最小，是多少？ （2）把12写成两个正数的和，当这两个数取什么值时，它们的积最大，是多少？ 19．已知关于不等式的解集为或． (1)求值； (2)当，且满足时，求的最小值． 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B A B D B AD ABC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为． 故选：D 2．B 【分析】解一元二次不等式，再结合充分必要条件的定义求解. 【详解】，，，， 推不出，， 是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件． 故选:B. 3．D 【分析】由一元二次不等式的解集与对应的方程的解的关系结合二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 则是方程的两个根， 根据韦达定理可知，解得， 故选：D. 4．B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 5．A 【分析】先分离常数，再配凑积为定值形式，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】， 由 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 6．B 【分析】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】解：由，得，又， 所以 . 当且仅当时等号成立. 故选：B. 7．D 【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得. 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 8．B 【分析】应用公式法解绝对值不等式求的解，再由充分、必要性的定义得条件间的关系. 【详解】由， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．AD 【分析】利用特殊值、差比较法、不等式的性质等知识确定正确答案. 【详解】A选项，若，则， 所以，所以A选项正确. B选项，若，当时，，所以B选项错误. C选项，若，如，则，所以C选项错误. D选项，若，则 ，所以，所以D选项正确. 故选：AD 10．ABC 【分析】求出不等式恒成立时k的取值范围，再利用充分不必要条件的意义判断得解. 【详解】由知，当时，恒成立，则， 当时，，解得，则，因此， 显然，，，ABC正确； 而，D错误. 故选：ABC 11．ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可． 【详解】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 13． 【分析】将问题转化为，由此可求的取值范围. 【详解】因为，恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14．150 【分析】结合三角形的内接矩形的性质，以及二次函数的最值问题. 【详解】 如图，过点向作垂线，垂足为，交于点， 设矩形与，分别交于点，与交于点，且，， 由题意知，， 所以， 又因为，， 所以，即，其中， 矩形面积，， 当时，取得最大值150. 故答案为：150. 15．(1) (2) (3) 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为； （3）不等式， 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 16．图象为： 能， 或  ， 【分析】先画出函数的图像，再数形结合得出一元二次不等式的解集即可. 【详解】二次函数的图象如图， 观察函数图象可知：当或时，函数图象位于x轴上方，此时，，即的解集为 或  ； 当时，函数图象位于x轴下方，此时，即； 所以不等式的解集是. 17． 反证法：假设中3个数都小于1， 则有， 由可得，，解得， 由，解得， 由可得，，解得， 因为， 所以无解，即假设不成立， 所以中至少有一个不小于1，命题得证. 【分析】利用反证法思想，解一元二次不等式组即可证明. 【详解】略 18．（1）两个正数都为8时，它们的和取得最小值16；（2）两个正数都为6时，它们的积取得最大值36. 【分析】（1）设两个正数分别为，列出关系式，再利用基本不等式求出和的最小值. （2）设两个正数分别为，列出关系式，再利用基本不等式求出积的最大值. 【详解】（1）设两个正数分别为，则，，当且仅当时取等号， 所以当这两个正数都为8时，它们的和取得最小值16. （2）设两个正数分别为，则，，当且仅当时取等号， 所以这两个正数都为6时，它们的积取得最大值36. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求解； （2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为或， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，解得. （2）解：由（1）知，可得， 因为，所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $