专题04 比和比例（解决问题专项讲义）数学苏教版六年级上册（新教材）

该小学数学“比和比例”专项讲义通过6大题型系统构建知识体系，按“基础解题逻辑-进阶技巧”分层梳理，以核心模块框架呈现比的意义、基本性质、应用及比例相关知识脉络，突出比的化简、按比分配等重难点的内在联系。 讲义亮点在于生活化练习设计与方法创新，如“调色颜料比”“蜂蜜水甜度比较”等典例培养抽象能力，“乘法口诀速算化简比”“已知比值反推未知量”等技巧提升运算能力，分层训练支持不同学生进阶，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题04 比和比例（解决问题专项讲义） 题型01 根据比的意义解决问题 题型02 根据比的基本性质解决问题 题型03 比的应用 题型04 按比分配问题 题型05 根据比例的意义和基本性质解决问题 题型06 比例的应用 题型01 根据比的意义解决问题 一、求实际问题中的比基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际场景的比的问题时先根据题意确定两个关联量的对应数值，先统一两个量的单位，再把两个有序数值用比号连接，最终得到原始比。比如先算出3个总价15元的笔记本的单本单价5元，再算出2支总价8元的钢笔的单支单价4元，就能得出笔记本和钢笔的单价比为5:4。 ‌特殊速算技巧‌ 当两个关联量的数值符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算两个量的最大公因数，快速同步化简得到最简整数比，比如40个男生和32个女生的人数比，直接用五八四十、四八三十二的口诀，得出最大公因数是8，前后项同时除以8快速得到5:4，不用分步笔算找公因数。 ‌结果预判规律‌ 实际场景中的比，前后项都必须是正数值，化简后的最简比前后项的最大公因数一定为1，且比值一定是正数，解题前先预判两个量的大致量级，避免出现前后项顺序颠倒、单位不统一就直接求比的低级错误。 二、求实际问题中的比进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“两个独立已知量直接求比”的场景，先统一单位再直接把两个有序量用比号连接后化简；遇到“两个量需要先通过乘除运算得到单份量再求比”的场景，先算出两个量对应的单份结果，再按指定顺序组成比，先锁定核心的“两个关联量的有序对应”模块，再匹配对应的化简条件，不用反复调整比的前后项顺序。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求比问题，比如已知总人数在40~50之间，男女生人数总和是9的倍数，可先补出符合区间的完整总人数45人，再按3:2的份数拆分出男女生人数27人和18人，直接得到男女生人数比3:2，比拆分零散数值分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个量的比值和其中一个量的具体数值，可反向依托比的意义反推另一个未知量，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如甲乙的速度比是5:3，甲的速度是25千米/时，直接用25÷5×3快速算出乙的速度是15千米/时，验证比值完全符合题意。 【典例1】用绿色和红色两种颜料混合可以调出黄色，调色效果如下图。聪聪调色时，绿色颜料用了10mL，红色颜料用了25mL。 （1）聪聪调色时，绿色颜料用量与红色颜料用量的比是（ ），化简后的整数比是（ ），比值是（ ）。 （2）他调出的是什么颜色？请说明理由。 【专项训练1】不同肉类中蛋白质与脂肪的含量比不同，下面哪种肉的蛋白质与脂肪的含量比的比值最高？ 肉类 牛肉 猪肉（瘦） 羊肉 鸡肉 蛋白质与脂肪的含量比 5∶1 10∶3 19∶14 19∶9 【专项训练2】甲乙两人骑自行车出去郊游，已知甲的速度是乙的速度的0.6倍，同时出发同时间内乙的路程与甲路程的比是多少？最简单整数比是？比值是？ 【专项训练3】资料显示，动物的小腿骨与大腿骨长度的比值越大，这种动物跑得越快。下表中是几种动物的小腿骨与大腿骨长度参考数值，先填表，再判断哪种动物跑得最快。 动物 小腿骨长（厘米） 大腿骨长（厘米） 比值 大象 36 60 马 24 26 羚羊 15 12 【专项训练4】欣欣水果超市后来运来的水果吨数与现有水果吨数的最简整数比是多少？比值是多少？ 【专项训练5】大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔结构的佛塔。大雁塔高度的约等于开封铁塔高度的。写出大雁塔与开封铁塔高度的最简整数比。 题型02 根据比的基本性质解决问题 一、根据比的基本性质解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际比的化简问题时先根据题意确定比的前后项量级，先算出除法部分对应的“前后项的最大公因数”，再用这个结果同时除前后项，最终得到最简整数比。 ‌特殊速算技巧‌ 当比的前后项符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算化简结果，比如42:49，直接用七七四十九、六七四十二的口诀，得出最大公因数是7，前后项同时除以7快速得到最简整数比6:7，不用分步笔算找公因数。 ‌结果预判规律‌ 化简后的最简整数比，前后项的最大公因数一定是1，且前后项的比值和原比的比值完全相等，解题前先预判化简后两项的大致范围，避免出现只化简其中一项、前后项除以不同数字的低级错误。 二、根据比的基本性质解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“前后项为整数的比化简”场景直接用“前后项同时除以最大公因数”列式，遇到“前后项为小数/分数的比化简”场景，先把前后项同时乘10/100或分母的最小公倍数转化为整数比，再化简得到最简结果，先锁定核心的“统一前后项为整数”的运算模块，再匹配对应的化简条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的连比合并问题，比如已知甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，可先把两个比里乙的份数补成相同的等重整份12，算出甲:乙=8:12、乙:丙=12:15，直接合并得到连比甲:乙:丙=8:12:15，比拆分零散数值分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最简整数比和前后项的差值，可反向依托比的基本性质反推原比的前后项，适配各类带隐藏条件的分配题型。比如最简整数比是3:2，两项差值为10，直接用10÷（3-2）=10，把最简比的前后项同时乘10，快速算出原比为30:20。 【典例2】一项工程，师傅单独做4天完成，徒弟单独做5天完成，求徒弟与师傅工作效率最简单的整数比。 【专项训练1】3个小朋友来聪聪家做客，聪聪妈妈泡了4杯蜂蜜水（如图）。请写出蜂蜜和水的最简整数比，并判断哪几杯蜂蜜水一样甜？ 【专项训练2】徒步上山要6小时，沿原路返回要4小时，上山时间和下山时间的最简整数比是多少？速度的最简整数比是多少？ 【专项训练3】 （1）分别写出三种水果的总价与质量的比，并求出比值。 （2）哪种水果最便宜？ 【专项训练4】火车2.5小时行驶250千米，汽车3小时行驶240千米。 （1）火车与汽车的速度比是多少？ （2）行驶500千米，火车与汽车所用时间的比是多少？ 【专项训练5】甲、乙、丙三个数的和是94，乙知甲、乙两个数的比是3∶2，乙、丙两个数的比是7∶6，甲、乙、丙三个数各是多少？ 题型03 比的应用 一、比的应用（非分配类问题）基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决非分配类比的实际问题时先根据题意确定两组关联量的对应比，先算出除法部分对应的“比的前后项的比值”，再用这个结果乘已知量，最终得到未知的对应量。比如已知甲乙速度比为3:2，甲的速度是15千米/时，先算出比值3÷2=1.5，再用15÷1.5，就能得出乙的速度是10千米/时。 ‌特殊速算技巧‌ 当比的前后项数值符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算单份结果，快速算出未知量，比如甲乙的工作效率比为7:5，甲每小时做21个零件，直接用三七二十一的口诀得出单份3，再用3×5快速得到乙每小时做15个零件，不用分步笔算求比值。 ‌结果预判规律‌ 非分配类比的问题中，比值是固定不变的，未知量的数值一定和它对应的比的份数成正比，解题前先预判未知量的大致范围，避免出现前后项顺序颠倒、比值乘反的低级错误。 二、比的应用（非分配类问题）进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“已知两个量的比和其中一个量，求另一个量”的场景，直接用“已知量÷对应份数×未知量对应份数”列式；遇到“已知两个量的比和两个量的差值，求两个量各自的数值”的场景，直接用“差值÷份数差×各自对应份数”列式，先锁定核心的“求1份对应具体数量”的除法模块，再匹配对应的份数乘法条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的连比转换问题，比如已知甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，可先把两个比里乙的份数补成相同的等重整份12，算出甲:乙=8:12、乙:丙=12:15，直接合并得到连比甲:乙:丙=8:12:15，比拆分零散数值分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个量的比和其中一个量的变化后数值，可反向依托比的基本性质反推变化前的原始量，适配各类带动态调整的非分配题型。比如甲乙的钱数比是3:5，甲得到10元后两人钱数相等，直接用10÷（5-3）=5，快速算出甲原来有15元、乙原来有25元。 【典例3】某工厂男女工人数的比是5∶3，后来从其他工厂调来了21名女工，这时女工人数正好占全厂的，现在这个工厂一共有几个工人？ 【专项训练1】育苗小学要举办第三届文化节，六（1）班需要做一面彩旗。彩旗的长与宽之比是3∶2，长是1.2米，这个彩旗的宽是多少米？面积是多少平方米？ 【专项训练2】为了改善环境，学校计划栽种一批玉兰树和桂花树。经征求师生建议，在总棵数不变的情况下，将其中的16棵玉兰树改为桂花树，玉兰树和桂花树的比从计划的6∶4变成11∶9。学校准备栽种两种树的总棵数是多少？ 【专项训练3】A、B两个仓库货物质量比是12∶11，后来B仓库又运来24吨货物，此时A、B仓库货物质量比是8∶9。求B仓库原有货物多少吨？ 【专项训练4】一块金牌重412g，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比为3∶206，做202块这样的金牌需要黄金多少克？ 【专项训练5】三峡千古情景区开业短短三个多月，接待游客150万人次。上个月，宜昌市某企业员工分三批到三峡千古情进行了游览，第一批的人数占游览总人数的，第二批游览人数是140人，这时已经游览人数与未游览人数的比是3∶2。上个月，该企业共有多少人游览了三峡千古情？ 题型04 按比分配问题 一、按比分配问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际分配问题时先根据题意确定总量对应的总份数，先算出除法部分对应的“每1份的具体数量”，再用这个结果乘比的各项对应份数，最终得到各部分的具体分配量。比如已知甲乙两人总共有45元零花钱，甲乙钱数比为4:5，先算出总份数9份对应的单份金额5元，再分别乘4和5，就能得出甲有20元、乙有25元。 ‌特殊速算技巧‌ 当总量和总份数符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算单份结果，再口算各部分对应份数的乘积，比如甲乙总共有63块糖果，数量比为3:4，直接用七九六十三的口诀得出单份9块，再分别乘3、4快速得到27块和36块，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 按比分配的各部分数量之和一定等于题目给出的总数量，每一部分的数值一定小于总数量，占比越大的部分对应数值越大，解题前先预判各部分的大致范围，避免出现总份数算错、单份量和份数乘反的低级错误。 二、按比分配问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“已知总量和两数之比求各部分量”的场景直接用“总量÷总份数×对应份数”列式，遇到“已知其中一个部分量和两数之比求另一部分量”的场景直接用“已知部分量÷对应份数×另一部分份数”列式，先锁定核心的“求1份对应具体数量”的除法模块，再匹配对应的份数乘法条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不完整的总量估算分配问题，比如已知两个班级人数比为5:4，总人数在40~50之间，可先把总份数9份对应的公倍数补成符合区间的完整总量45人，再减去空缺部分的人数，直接用45÷9×5快速得出一班25人、二班20人，比拆分零散部分分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个部分量的差值和两数之比，可反向依托份数差反推单份数量，适配各类带差值条件的分配题型。比如甲乙的零件数量比为7:3，甲比乙多20个，直接用20÷（7−3）得到单份5个，快速算出甲有35个、乙有15个零件。 【典例4】把一根长36厘米的铁丝按3∶4∶5截成三段，正好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是多少平方厘米？ 【专项训练1】建筑工地运来水泥、黄沙、石子各6吨，按2∶3∶5拌制成一种混凝土，如果要把黄沙全部用完，石子还少多少吨？水泥还剩多少吨？ 【专项训练2】为坚持德育为先，提高智育水平，加强体育美育，落实劳动教育，某小学开展了一系列劳动课程的学习。六（1）班的同学们利用周末时间组织了“美味健康我知道”糖水制作活动。笑笑计划按糖和水3∶22的比配制200克的糖水，则糖和水分别需要准备多少克？ 【专项训练3】盒子里有红、黄、绿三种颜色的球共154个，红球的个数是绿球的，绿球的个数与黄球的个数之比为4∶5，黄球有多少个？ 【专项训练4】童童、欣欣和敏敏三个家庭相约到餐馆用餐，共用去360元，三家决定按人数分摊餐费。三家应各付多少元？ 【专项训练5】常青小学举办了“我为亚运绘蓝图”主题绘画比赛，四、五、六年级共提交了312件作品，四、五、六年级的作品数量比是3∶4∶6。四、五、六年级各提交了多少件作品？ 题型05 根据比例的意义和基本性质解决问题 一、根据比例的意义和基本性质解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决比例相关实际问题时先根据题意确定两组关联量的对应数值，先统一两组量的单位，再分别计算两组量的比值（或两内项、两外项的乘积），最终判断是否成比例、解出未知项。 ‌特殊速算技巧‌ 当比例的内项、外项数值符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算交叉乘积，快速判断比例是否成立或解出未知项。 ‌结果预判规律‌ 能组成比例的两个比，比值一定完全相等，两内项乘积一定等于两外项乘积；成正比例的两个量比值固定，成反比例的两个量乘积固定，解题前先预判结果的大致范围，避免出现内项外项搞混、比值乘积算错的低级错误。 二、根据比例的意义和基本性质解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“判断两个比能否组成比例”的场景，直接用“算比值/算交叉乘积是否相等”列式判断；遇到“解比例求未知项”的场景，直接用“两内项乘积=两外项乘积”列方程求解，先锁定核心的“比例基本性质”运算模块，再匹配对应的计算条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到残缺比例补项问题，比如已知比例的三项为2、3、4，缺第四项，可先把已知的两项凑成内项（或外项）算出乘积，再除以剩余已知项得到未知项，直接用2×6÷3=4快速补出比例2:3=4:6，比枚举所有可能组合更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个量的比例关系和其中一组对应数值，可反向依托比例的基本性质反推另一组对应数值，适配各类带隐藏比例的实际题型。比如3米长的竹竿影长2米，同一时间测得旗杆影长10米，直接列比例3:2=x:10，用2x=3×10算出x=15米，快速得到旗杆高度。 【典例5】根据下面的信息写出一个比例。 【专项训练1】下图是学校操场和教室前悬挂的国旗尺寸。 ①分别写出两面国旗长与宽的比，并求出比值。 ②这两个比能组成比例吗？如果能、写出组成的比例。 【专项训练2】学校航模组有男生18人，女生15人；美术组有男生24人，女生20人。 （1）航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比能组成比例吗？ （2）如果能组成比例，指出比例的内项和外项。 【专项训练3】小琴调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了20毫升蜂蜜和250毫升水，第二杯用了32毫升蜂蜜和400毫升水。分别写出这两杯蜂蜜水中蜂蜜和水的体积的比，判断它们能否组成比例。 【专项训练4】善于观察的阳阳发现家里一共有大米和面粉70千克，且大米质量的和面粉质量的相等，阳阳家有大米多少千克？ 【专项训练5】一个比例的两个内项的积是，一个外项是，写出符合条件的一个比例。 题型06 比例的应用 一、比例的应用基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决比例实际应用问题时先根据题意确定两组相关联的对应量，先判断两组量的比例属性（正比例/反比例），再列出对应比例等式，最终通过比例基本性质解出未知量。 ‌特殊速算技巧‌ 当比例的内项、外项数值符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算交叉乘积，快速解出未知项，比如解比例3:4=x:8，直接用四八三十二、四八三十二的口诀，算出4x=24，快速得到x=6，不用分步笔算解方程。 二、比例的应用进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“单一量固定，求对应总量/数量”的比例场景，直接用“已知总量:已知数量=未知总量:未知数量”列式；遇到“总乘积固定，求对应单量/数量”的比例场景，直接用“已知单量×已知数量=未知单量×未知数量”列式。 ‌逆向推导技巧‌ 已知比例应用场景中的最终结果和其中一组关联量，可反向依托比例的基本性质反推缺失的条件量，适配各类带隐藏比例的实际题型。比如一批货物用载重5吨的货车运，6次运完，改用载重3吨的货车，直接用5×6÷3=10，快速算出需要10次才能运完。 【典例5】一辆汽车2小时行驶160千米，照这样的速度，从甲城到乙城还需要5.5小时，甲乙两地相距多少千米？（用比例解） 【专项训练1】俗话说“旧物易主贵如宝”，在一次物物交换活动中，每4个玩具汽车可以换6本故事书，淘气拿来14个玩具汽车，可以换得多少本故事书？（用比例解） 【专项训练2】用黄铜和黄金制成一种合金。现有黄金，黄铜，要使制成的合金中黄金和黄铜的比是2∶5，还应加入多少克的黄金？（列比例解答） 【专项训练3】我国高铁运营里程与高速公路通车里程的比约是4∶7，已知高速公路通车里程约17.5万公里，求高铁运营里程约是多少万公里？（用比例解） 【专项训练4】在一次美术泥塑课上，妙想用陶土亲手捏制了一个自己的小泥人，她希望这个泥人能真实地反映自己的身形比例。经过精心设计，她将小泥人的身高与自己的实际身高按1∶24的比例缩小。妙想的实际身高是1.5米，小泥人的身高是多少厘米？ 【专项训练5】为了迎接六一儿童节的到来，乐乐和欢欢用两条彩带装饰班级。两条彩带总长度为22米，乐乐把其中一条彩带剪去用来为同学们包装糖果袋，此时欢欢的那条彩带和乐乐的彩带的长度比是3∶2。乐乐和欢欢手里的彩带原来各为多长？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 比和比例（解决问题专项讲义） 题型01 根据比的意义解决问题 题型02 根据比的基本性质解决问题 题型03 比的应用 题型04 按比分配问题 题型05 根据比例的意义和基本性质解决问题 题型06 比例的应用 题型01 根据比的意义解决问题 一、求实际问题中的比基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际场景的比的问题时先根据题意确定两个关联量的对应数值，先统一两个量的单位，再把两个有序数值用比号连接，最终得到原始比。比如先算出3个总价15元的笔记本的单本单价5元，再算出2支总价8元的钢笔的单支单价4元，就能得出笔记本和钢笔的单价比为5:4。 ‌特殊速算技巧‌ 当两个关联量的数值符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算两个量的最大公因数，快速同步化简得到最简整数比，比如40个男生和32个女生的人数比，直接用五八四十、四八三十二的口诀，得出最大公因数是8，前后项同时除以8快速得到5:4，不用分步笔算找公因数。 ‌结果预判规律‌ 实际场景中的比，前后项都必须是正数值，化简后的最简比前后项的最大公因数一定为1，且比值一定是正数，解题前先预判两个量的大致量级，避免出现前后项顺序颠倒、单位不统一就直接求比的低级错误。 二、求实际问题中的比进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“两个独立已知量直接求比”的场景，先统一单位再直接把两个有序量用比号连接后化简；遇到“两个量需要先通过乘除运算得到单份量再求比”的场景，先算出两个量对应的单份结果，再按指定顺序组成比，先锁定核心的“两个关联量的有序对应”模块，再匹配对应的化简条件，不用反复调整比的前后项顺序。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的总量求比问题，比如已知总人数在40~50之间，男女生人数总和是9的倍数，可先补出符合区间的完整总人数45人，再按3:2的份数拆分出男女生人数27人和18人，直接得到男女生人数比3:2，比拆分零散数值分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个量的比值和其中一个量的具体数值，可反向依托比的意义反推另一个未知量，适配各类带隐藏条件的实际场景题型。比如甲乙的速度比是5:3，甲的速度是25千米/时，直接用25÷5×3快速算出乙的速度是15千米/时，验证比值完全符合题意。 【典例1】用绿色和红色两种颜料混合可以调出黄色，调色效果如下图。聪聪调色时，绿色颜料用了10mL，红色颜料用了25mL。 （1）聪聪调色时，绿色颜料用量与红色颜料用量的比是（ ），化简后的整数比是（ ），比值是（ ）。 （2）他调出的是什么颜色？请说明理由。 【答案】（1）10∶25 2∶5 /0.4 （2）黄红色；因为1∶2＝，1∶3＝，，图中绿色颜料用量∶红色颜料用量在1∶2和1∶3之间，所以他调出的是黄红色。 【分析】（1）根据比的意义，用绿色颜料∶红色颜料，代入数值求出它们的比，再依据比的基本性质化简比，用比的前项除以后项求出比值； （2）将2∶5的比值和题图中比的比值比较，，该比值区间对应图中的黄红区域，由此判断调出的颜色。 【解答】（1）10∶25 ＝（10÷5）∶（25÷5） ＝2∶5 2∶5＝2÷5＝＝0.4 聪聪调色时，绿色颜料用量与红色颜料用量的比是10∶25，化简后的整数比是2∶5，比值是，也可以写成0.4。 （2）略 【专项训练1】不同肉类中蛋白质与脂肪的含量比不同，下面哪种肉的蛋白质与脂肪的含量比的比值最高？ 肉类 牛肉 猪肉（瘦） 羊肉 鸡肉 蛋白质与脂肪的含量比 5∶1 10∶3 19∶14 19∶9 【答案】牛肉的蛋白质与脂肪的含量比的比值最高 【分析】要找出比值最高的肉类，需要先根据分别计算出每种肉对应的比的比值，再比较比值的大小。 【解答】牛肉： 猪肉（瘦）： 羊肉： 鸡肉： 答：牛肉的蛋白质与脂肪的含量比的比值最高。 【专项训练2】甲乙两人骑自行车出去郊游，已知甲的速度是乙的速度的0.6倍，同时出发同时间内乙的路程与甲路程的比是多少？最简单整数比是？比值是？ 【答案】5∶3；5∶3； 【分析】路程＝速度×时间，甲乙两人用的时间相同，所以他们的路程比就是他们的速度比。根据比的基本性质，将比化成最简整数比；用比的前项除以比的后项，所得的商即为比值。 【解答】甲的速度是乙的速度的0.6倍，将乙的速度看作“1”，则甲的速度是“0.6” 乙的速度∶甲的速度＝1∶0.6，所以乙的路程∶甲的路程＝1∶0.6， 1∶0.6 ＝（1×5）∶（0.6×5） ＝5∶3 5∶3＝5÷3＝ 答：同时出发同时间内乙的路程与甲路程的比是5∶3，最简单整数比是5∶3。比值是。 【专项训练3】资料显示，动物的小腿骨与大腿骨长度的比值越大，这种动物跑得越快。下表中是几种动物的小腿骨与大腿骨长度参考数值，先填表，再判断哪种动物跑得最快。 动物 小腿骨长（厘米） 大腿骨长（厘米） 比值 大象 36 60 马 24 26 羚羊 15 12 【答案】；；；羚羊 【分析】根据比的意义写出各动物小腿骨与大腿骨的长度比，用比的前项÷后项，求出比值，比较即可。 【解答】大象：36∶60＝36÷60＝＝ 马：24∶26＝24÷26＝＝ 羚羊：15∶12＝15÷12＝＝ 动物 小腿骨长（厘米） 大腿骨长（厘米） 比值 大象 36 60 马 24 26 羚羊 15 12 ＝、＝、＝ 答：羚羊跑得最快。 【专项训练4】欣欣水果超市后来运来的水果吨数与现有水果吨数的最简整数比是多少？比值是多少？ 【答案】1∶11； 【分析】先用原来的水果吨数加上后来又运来的水果吨数，算出现有水果吨数，然后得出后来运来的水果吨数与现有水果吨数的比，再化简，最后用前项除以后项求出比值。 【解答】5＋0.5＝5.5（吨） 0.5∶5.5 ＝（0.5×10）∶（5.5×10） ＝5∶55 ＝（5÷5）∶（55÷5） ＝1∶11 1∶11＝1÷11＝ 答：欣欣水果超市后来运来的水果吨数与现有水果吨数的最简整数比是1∶11，比值是。 【专项训练5】大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔结构的佛塔。大雁塔高度的约等于开封铁塔高度的。写出大雁塔与开封铁塔高度的最简整数比。 【答案】 【分析】根据题意，大雁塔高度的约等于开封铁塔的，可得到令大雁塔×＝开封铁塔×＝1，再计算出大雁塔和开封铁塔的高度比，最后化简成最简整数比，据此解答。 【解答】大雁塔高度： 开封铁塔高度： 大雁塔高度：开封铁塔高度 答：大雁塔和开封铁塔高度的最简整数比为。 题型02 根据比的基本性质解决问题 一、根据比的基本性质解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际比的化简问题时先根据题意确定比的前后项量级，先算出除法部分对应的“前后项的最大公因数”，再用这个结果同时除前后项，最终得到最简整数比。 ‌特殊速算技巧‌ 当比的前后项符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算化简结果，比如42:49，直接用七七四十九、六七四十二的口诀，得出最大公因数是7，前后项同时除以7快速得到最简整数比6:7，不用分步笔算找公因数。 ‌结果预判规律‌ 化简后的最简整数比，前后项的最大公因数一定是1，且前后项的比值和原比的比值完全相等，解题前先预判化简后两项的大致范围，避免出现只化简其中一项、前后项除以不同数字的低级错误。 二、根据比的基本性质解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“前后项为整数的比化简”场景直接用“前后项同时除以最大公因数”列式，遇到“前后项为小数/分数的比化简”场景，先把前后项同时乘10/100或分母的最小公倍数转化为整数比，再化简得到最简结果，先锁定核心的“统一前后项为整数”的运算模块，再匹配对应的化简条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的连比合并问题，比如已知甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，可先把两个比里乙的份数补成相同的等重整份12，算出甲:乙=8:12、乙:丙=12:15，直接合并得到连比甲:乙:丙=8:12:15，比拆分零散数值分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知最简整数比和前后项的差值，可反向依托比的基本性质反推原比的前后项，适配各类带隐藏条件的分配题型。比如最简整数比是3:2，两项差值为10，直接用10÷（3-2）=10，把最简比的前后项同时乘10，快速算出原比为30:20。 【典例2】一项工程，师傅单独做4天完成，徒弟单独做5天完成，求徒弟与师傅工作效率最简单的整数比。 【答案】4∶5 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用1÷4，求出师傅的工作效率；用1÷5，求出徒弟的工作效率；再根据比的意义，用徒弟的工作效率∶师傅的工作效率，化简即可解答。 【解答】（1÷5）∶（1÷4） ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝4∶5 答：徒弟与师傅工作效率最简单的整数比4∶5。 【专项训练1】3个小朋友来聪聪家做客，聪聪妈妈泡了4杯蜂蜜水（如图）。请写出蜂蜜和水的最简整数比，并判断哪几杯蜂蜜水一样甜？ 【答案】10∶50＝1∶5；25∶60＝5∶12；16∶80＝1∶5；18∶90＝1∶5； ①、③、④杯蜂蜜水一样甜 【分析】蜂蜜水的甜度由蜂蜜和水的比值决定。比值越大越甜，比值相同则甜度相同。据此先利用比的基本性质（比的前项和后项同时除以相同的非零数，比值不变）将各杯蜂蜜与水的比化为最简整数比；再比较化简后的比，找出比值相同的杯子。 【解答】①号杯：蜂蜜∶水＝10∶50＝（10÷10）∶（50÷10）＝1∶5，1∶5＝1÷5＝0.2 ②号杯：蜂蜜∶水＝25∶60＝（25÷5）∶（60÷5）＝5∶12，5∶12＝5÷12≈0.42 ③号杯：蜂蜜∶水＝16∶80＝（16÷16）∶（80÷16）＝1∶5，1∶5＝1÷5＝0.2 ④号杯：蜂蜜∶水＝18∶90＝（18÷18）∶（90÷18）＝1∶5，1∶5＝1÷5＝0.2 因为①、③、④号杯蜂蜜与水的最简整数比均为1∶5，比值相同，所以这三杯蜂蜜水一样甜。 答：①、③、④号杯蜂蜜与水的最简整数比均为1∶5，②号杯蜂蜜与水的最简整数比为5∶12。①、③、④号这三杯蜂蜜水一样甜。 【专项训练2】徒步上山要6小时，沿原路返回要4小时，上山时间和下山时间的最简整数比是多少？速度的最简整数比是多少？ 【答案】3∶2；2∶3 【分析】直接写出上山与下山的时间比，再化简为最简整数比。根据比的基本性质：比的前项和比的后项同时除以它们的最大公因数即可求出上山时间和下山时间的最简整数比； 因为沿原路返回，所以上山和下山路程相同。设路程为单位“1”，根据速度等于路程除以时间，分别求出上山的速度与下山的速度。根据比的基本性质，把比化简成最简整数比；据此解答。 【解答】 答：上山时间和下山时间的最简整数比是3∶2，速度的最简整数比是2∶3。 【专项训练3】 （1）分别写出三种水果的总价与质量的比，并求出比值。 （2）哪种水果最便宜？ 【答案】（1）22∶5，4.4；57∶10，5.7；63∶10，6.3 （2）西红柿 【分析】（1）分别用三种水果的总价比质量，根据比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变化成最简整数比；用比的前项除以后项求出比值。 （2）根据总价÷数量＝单价，可知比值表示单价，比较比值的大小，比值最小的最便宜。 【解答】（1）13.2∶3 ＝（13.2×10）∶（3×10） ＝132∶30 ＝（132÷6）∶（30÷6） ＝22∶5 13.2∶3＝13.2÷3＝4.4 11.4∶2 ＝（11.4×10）∶（2×10） ＝114∶20 ＝（114÷2）∶（20÷2） ＝57∶10 11.4∶2＝11.4÷2＝5.7 25.2∶4 ＝（25.2×10）∶（4×10） ＝252∶40 ＝（252÷4）∶（40÷4） ＝63∶10 25.2∶4＝25.2÷4＝6.3 （2）因为4.4＜5.7＜6.3 答：西红柿最便宜。 【专项训练4】火车2.5小时行驶250千米，汽车3小时行驶240千米。 （1）火车与汽车的速度比是多少？ （2）行驶500千米，火车与汽车所用时间的比是多少？ 【答案】（1）5∶4 （2）4∶5 【分析】（1）速度＝路程÷时间，据此代入数据，分别求出速度，再根据比的意义，写出火车与汽车的速度比，最后根据比的基本性质化成最简整数比，结果仍然是一个比。 （2）时间＝路程÷速度，据此分别用500÷火车速度、500÷汽车速度，分别求出行驶500千米，火车与汽车的时间各多少，再根据比的意义，写出火车与汽车的所用时间的比，再化成最简整数比。 【解答】（1）250÷2.5＝100（千米） 240÷3＝80（千米） 100∶80 ＝（100÷20）∶（80÷20） ＝5∶4 答：火车与汽车的速度比是5∶4。 （2）500÷100＝5（小时） 500÷80＝（小时） 5∶ ＝（5×4）∶（×4） ＝20∶25 ＝（20÷5）∶（25÷5） ＝4∶5 答：行驶500千米，火车与汽车所用时间的比是4∶5。 【专项训练5】甲、乙、丙三个数的和是94，乙知甲、乙两个数的比是3∶2，乙、丙两个数的比是7∶6，甲、乙、丙三个数各是多少？ 【答案】甲42；乙28； 丙24 【分析】已知甲数和乙数的比是3∶2，乙数与丙数的比是7∶6，可求出甲、乙、丙三个数的连比是21∶14∶12，则甲、乙、丙三个数的和是21＋14＋12＝47份，用总和除以三个数的份数和可求出每份是多少，再分别乘各数占的份数，可知这三个数各是多少，据此解答。 【解答】甲∶乙＝3∶2＝21∶14 乙∶丙＝7∶6＝14∶12 甲∶乙∶丙＝21∶14∶12 94÷（21＋14＋12） ＝94÷47 ＝2 甲：21×2＝ 42 乙：14×2＝28 丙：12×2＝24 答：甲、乙、丙三个数各是42、28和24。 【点睛】此题考查的是按比分配问题，解答本题的关键是求出甲、乙、丙三个数的连比是多少，再根据按比例分配解答的方法进行解答。 题型03 比的应用 一、比的应用（非分配类问题）基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决非分配类比的实际问题时先根据题意确定两组关联量的对应比，先算出除法部分对应的“比的前后项的比值”，再用这个结果乘已知量，最终得到未知的对应量。比如已知甲乙速度比为3:2，甲的速度是15千米/时，先算出比值3÷2=1.5，再用15÷1.5，就能得出乙的速度是10千米/时。 ‌特殊速算技巧‌ 当比的前后项数值符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算单份结果，快速算出未知量，比如甲乙的工作效率比为7:5，甲每小时做21个零件，直接用三七二十一的口诀得出单份3，再用3×5快速得到乙每小时做15个零件，不用分步笔算求比值。 ‌结果预判规律‌ 非分配类比的问题中，比值是固定不变的，未知量的数值一定和它对应的比的份数成正比，解题前先预判未知量的大致范围，避免出现前后项顺序颠倒、比值乘反的低级错误。 二、比的应用（非分配类问题）进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“已知两个量的比和其中一个量，求另一个量”的场景，直接用“已知量÷对应份数×未知量对应份数”列式；遇到“已知两个量的比和两个量的差值，求两个量各自的数值”的场景，直接用“差值÷份数差×各自对应份数”列式，先锁定核心的“求1份对应具体数量”的除法模块，再匹配对应的份数乘法条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到带残缺条件的连比转换问题，比如已知甲:乙=2:3，乙:丙=4:5，可先把两个比里乙的份数补成相同的等重整份12，算出甲:乙=8:12、乙:丙=12:15，直接合并得到连比甲:乙:丙=8:12:15，比拆分零散数值分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个量的比和其中一个量的变化后数值，可反向依托比的基本性质反推变化前的原始量，适配各类带动态调整的非分配题型。比如甲乙的钱数比是3:5，甲得到10元后两人钱数相等，直接用10÷（5-3）=5，快速算出甲原来有15元、乙原来有25元。 【典例3】某工厂男女工人数的比是5∶3，后来从其他工厂调来了21名女工，这时女工人数正好占全厂的，现在这个工厂一共有几个工人？ 【答案】245个 【分析】抓住男工人数不变这一等量关系，设现在工厂一共有x个工人，先分别表示出原来男工人数和现在男工人数，列方程求解。 【解答】解：设现在这个工厂一共有x个工人。 答：现在这个工厂一共有245个工人。 【专项训练1】育苗小学要举办第三届文化节，六（1）班需要做一面彩旗。彩旗的长与宽之比是3∶2，长是1.2米，这个彩旗的宽是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】0.8米；0.96平方米 【分析】用彩旗长除以它占的份数，求出一份的长度，再乘宽占的份数，即可求出宽的长度，长方形的面积＝长×宽，据此列式计算即可。 【解答】1.2÷3×2 ＝0.4×2 ＝0.8（米） 1.2×0.8＝0.96（平方米） 答：这个彩旗的宽是0.8米，面积是0.96平方米。 【专项训练2】为了改善环境，学校计划栽种一批玉兰树和桂花树。经征求师生建议，在总棵数不变的情况下，将其中的16棵玉兰树改为桂花树，玉兰树和桂花树的比从计划的6∶4变成11∶9。学校准备栽种两种树的总棵数是多少？ 【答案】320棵 【分析】总棵数不变，把总棵数看作单位“1”。 计划玉兰树：桂花树＝6∶4，总份数10份，玉兰树占总数 调整后玉兰树：桂花树＝11∶9，总份数20份，玉兰树占总数； 16棵玉兰树改成桂花树，玉兰树占比减少，减少的分率对应数量16棵，利用“对应量÷对应分率＝总量”求出总棵数。 【解答】原来玉兰树占总棵数： 6∶（6＋4）＝6∶10＝12∶20＝ 改动后玉兰树占总棵数： 11∶（11＋9）＝ 玉兰树占比减少：－＝ 总棵数：16÷＝320（棵） 答：学校准备栽种两种树的总棵数是320棵。 【专项训练3】A、B两个仓库货物质量比是12∶11，后来B仓库又运来24吨货物，此时A、B仓库货物质量比是8∶9。求B仓库原有货物多少吨？ 【答案】105.6吨 【分析】根据题意，A仓库货物质量始终不变，B仓库货物质量发生变化。应用比的基本性质，通过找12和8的最小公倍数，将前后两个比中代表A仓库的份数统一。通过找出B仓库份数的变化量与实际增加质量的对应关系，求出一份代表的实际质量，进而计算出B仓库原有的货物质量即可解答。 【解答】， 12和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24。 （吨） 答：B仓库原有货物105.6吨。 【专项训练4】一块金牌重412g，其中所含的黄金质量与金牌总质量的比为3∶206，做202块这样的金牌需要黄金多少克？ 【答案】1212克 【分析】根据黄金质量与金牌总质量的比为，把金牌总质量看作单位“1”，黄金质量占金牌总质量的。先根据分数乘法的意义，用一块金牌的总质量乘求出一块金牌中黄金的质量，再乘求出做块这样的金牌需要黄金的总质量。 【解答】（克） （克） 答：做202块这样的金牌需要黄金1212克。 【专项训练5】三峡千古情景区开业短短三个多月，接待游客150万人次。上个月，宜昌市某企业员工分三批到三峡千古情进行了游览，第一批的人数占游览总人数的，第二批游览人数是140人，这时已经游览人数与未游览人数的比是3∶2。上个月，该企业共有多少人游览了三峡千古情？ 【答案】400人 【分析】把游览总人数看作单位“1”，已经游览人数与未游览人数的比是3∶2，说明第一批和第二批游览的人数占游览总人数的，第一批的人数占游览总人数的，则第二批的人数占游览总人数的－，对应的是第二批游览的人数140人，根据公式：对应量÷对应分率＝单位“1”，则游览总人数＝第二批的游览人数÷（－），据此解答。 【解答】140÷（－） ＝140÷（－） ＝140÷（－） ＝140÷ ＝140× ＝400（人） 答：该企业共有400人游览了三峡千古情。 题型04 按比分配问题 一、按比分配问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决实际分配问题时先根据题意确定总量对应的总份数，先算出除法部分对应的“每1份的具体数量”，再用这个结果乘比的各项对应份数，最终得到各部分的具体分配量。比如已知甲乙两人总共有45元零花钱，甲乙钱数比为4:5，先算出总份数9份对应的单份金额5元，再分别乘4和5，就能得出甲有20元、乙有25元。 ‌特殊速算技巧‌ 当总量和总份数符合表内除法规则时，可直接依托乘法口诀口算单份结果，再口算各部分对应份数的乘积，比如甲乙总共有63块糖果，数量比为3:4，直接用七九六十三的口诀得出单份9块，再分别乘3、4快速得到27块和36块，不用分步笔算。 ‌结果预判规律‌ 按比分配的各部分数量之和一定等于题目给出的总数量，每一部分的数值一定小于总数量，占比越大的部分对应数值越大，解题前先预判各部分的大致范围，避免出现总份数算错、单份量和份数乘反的低级错误。 二、按比分配问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“已知总量和两数之比求各部分量”的场景直接用“总量÷总份数×对应份数”列式，遇到“已知其中一个部分量和两数之比求另一部分量”的场景直接用“已知部分量÷对应份数×另一部分份数”列式，先锁定核心的“求1份对应具体数量”的除法模块，再匹配对应的份数乘法条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到不完整的总量估算分配问题，比如已知两个班级人数比为5:4，总人数在40~50之间，可先把总份数9份对应的公倍数补成符合区间的完整总量45人，再减去空缺部分的人数，直接用45÷9×5快速得出一班25人、二班20人，比拆分零散部分分步推算更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个部分量的差值和两数之比，可反向依托份数差反推单份数量，适配各类带差值条件的分配题型。比如甲乙的零件数量比为7:3，甲比乙多20个，直接用20÷（7−3）得到单份5个，快速算出甲有35个、乙有15个零件。 【典例4】把一根长36厘米的铁丝按3∶4∶5截成三段，正好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】54平方厘米 【分析】先根据铁丝总长度和三段的长度比，用按比分配的方法求出较短两段的长度；直角三角形中斜边最长，因此较短的两段是直角边，再根据三角形面积＝底×高÷2代入数值计算。 【解答】根据分析，解答如下： （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：这个直角三角形的面积是54平方厘米。 【专项训练1】建筑工地运来水泥、黄沙、石子各6吨，按2∶3∶5拌制成一种混凝土，如果要把黄沙全部用完，石子还少多少吨？水泥还剩多少吨？ 【答案】4吨；2吨 【分析】先根据黄沙的总重量和其在配比中对应的份数，求出每份材料的重量，再分别计算用完黄沙时所需水泥、石子的重量，最后与原有重量作差得到结果。 【解答】（吨） （吨） （吨） （吨） （吨） 答：石子还少4吨，水泥还剩2吨。 【专项训练2】为坚持德育为先，提高智育水平，加强体育美育，落实劳动教育，某小学开展了一系列劳动课程的学习。六（1）班的同学们利用周末时间组织了“美味健康我知道”糖水制作活动。笑笑计划按糖和水3∶22的比配制200克的糖水，则糖和水分别需要准备多少克？ 【答案】糖：24克 水：176克 【分析】根据题意，糖和水的质量比是，即将糖水总质量平均分成份，其中糖占份，水占份。已知糖水总质量为克，分别求出糖和水各占总质量的几分之几，再用总质量乘对应的分率即可求出各自的质量。 【解答】总份数：（份） 糖的质量： （克） 水的质量： （克） 答：糖需要准备克，水需要准备克。 【专项训练3】盒子里有红、黄、绿三种颜色的球共154个，红球的个数是绿球的，绿球的个数与黄球的个数之比为4∶5，黄球有多少个？ 【答案】70个 【分析】通过红球的个数是绿球的，则可以知道红球与绿球的比是1∶2，绿球和黄球的个数比是4∶5，这两个里面都有绿球，把两个比里面绿球变成相同的份数，则红∶绿＝1∶2＝2∶4，这样绿球都是4份，构成连比红∶绿∶黄＝2∶4∶5，总份数能够求出来，然后总数量也知道，用总数量÷总份数＝一份量，之后再根据所占的份数求解即可。 【解答】红球：绿球＝1∶2，绿球∶黄球＝4∶5，红球：绿球：黄球＝2∶4∶5。 154÷（2＋4＋5） ＝154÷11 ＝14（个） 黄：14×5＝70（个） 答：黄球有70个。 【专项训练4】童童、欣欣和敏敏三个家庭相约到餐馆用餐，共用去360元，三家决定按人数分摊餐费。三家应各付多少元？ 【答案】童童家分摊的餐费为150元，欣欣家分摊的餐费为90元，敏敏家分摊的餐费为120元。 【分析】要分配的总量是餐费360元，按人数分摊餐费，也就是按照童童、欣欣、敏敏三家人口数的比为5∶3∶4，进行分配的。 先求出三家人数的总份数，进一步求出童童、欣欣、敏敏三家分摊的餐费分别占总餐费的几分之几，最后分别求得三家分摊的餐费，列式解答即可。 【解答】童童家分摊的餐费：（元） 欣欣家分摊的餐费：（元） 敏敏家分摊的餐费：（元） 答：童童家分摊的餐费为150元，欣欣家分摊的餐费为90元，敏敏家分摊的餐费为120元。 【专项训练5】常青小学举办了“我为亚运绘蓝图”主题绘画比赛，四、五、六年级共提交了312件作品，四、五、六年级的作品数量比是3∶4∶6。四、五、六年级各提交了多少件作品？ 【答案】四年级72件；五年级96件；六年级144件 【分析】已知四、五、六年级共提交了312件作品，四、五、六年级的作品数量比是3∶4∶6，即四年级提交的件数占3份，五年级提交的件数占4份，六年级提交的件数占6份，一共占（3＋4＋6）份； 用四、五、六年级提交作品的总件数除以总份数，求出一份数，再分别用一份数乘3、4、6，求出四、五、六年级各自提交的作品件数。 【解答】一份： 312÷（3＋4＋6） ＝312÷13 ＝24（件） 四年级：24×3＝72（件） 五年级：24×4＝96（件） 六年级：24×6＝144（件） 答：四年级提交了72件作品，五年级提交了96件作品，六年级提交了144件作品。 题型05 根据比例的意义和基本性质解决问题 一、根据比例的意义和基本性质解决问题基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决比例相关实际问题时先根据题意确定两组关联量的对应数值，先统一两组量的单位，再分别计算两组量的比值（或两内项、两外项的乘积），最终判断是否成比例、解出未知项。 ‌特殊速算技巧‌ 当比例的内项、外项数值符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算交叉乘积，快速判断比例是否成立或解出未知项。 ‌结果预判规律‌ 能组成比例的两个比，比值一定完全相等，两内项乘积一定等于两外项乘积；成正比例的两个量比值固定，成反比例的两个量乘积固定，解题前先预判结果的大致范围，避免出现内项外项搞混、比值乘积算错的低级错误。 二、根据比例的意义和基本性质解决问题进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“判断两个比能否组成比例”的场景，直接用“算比值/算交叉乘积是否相等”列式判断；遇到“解比例求未知项”的场景，直接用“两内项乘积=两外项乘积”列方程求解，先锁定核心的“比例基本性质”运算模块，再匹配对应的计算条件，不用反复调整算式结构。 ‌特殊场景速算技巧‌ 遇到残缺比例补项问题，比如已知比例的三项为2、3、4，缺第四项，可先把已知的两项凑成内项（或外项）算出乘积，再除以剩余已知项得到未知项，直接用2×6÷3=4快速补出比例2:3=4:6，比枚举所有可能组合更快。 ‌逆向推导技巧‌ 已知两个量的比例关系和其中一组对应数值，可反向依托比例的基本性质反推另一组对应数值，适配各类带隐藏比例的实际题型。比如3米长的竹竿影长2米，同一时间测得旗杆影长10米，直接列比例3:2=x:10，用2x=3×10算出x=15米，快速得到旗杆高度。 【典例5】根据下面的信息写出一个比例。 【答案】（a＋256）∶21＝（a＋96）∶16（答案不唯一） 【分析】因为火车的速度始终是不变的，所以路程和时间的比是能组成比例的。通过长256m的隧道，时间是21秒，路程是（a＋256）m；通过长96m的隧道，时间是16秒，路程是（a＋96）m，据此解答。 【解答】因为火车匀速行驶，所以速度保持不变。速度等于路程除以时间，因此两个隧道的总路程与对应时间的比值相等。 答：可以组成比例（a＋256）∶21＝（a＋96）∶16。（答案不唯一） 【专项训练1】下图是学校操场和教室前悬挂的国旗尺寸。 ①分别写出两面国旗长与宽的比，并求出比值。 ②这两个比能组成比例吗？如果能、写出组成的比例。 【答案】①；； ； ②能；144∶96＝96∶64 【分析】①根据比的意义，直接写出两面国旗长与宽的比，然后用比的前项除以比的后项，即可求出比值； ②根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，可以比较它们的比值进行判断，如果相等，就能组成比例，即可写出。 【解答】① ②它们的比值都是，所以这两个比能组成比例，144∶96＝96∶64。 【专项训练2】学校航模组有男生18人，女生15人；美术组有男生24人，女生20人。 （1）航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比能组成比例吗？ （2）如果能组成比例，指出比例的内项和外项。 【答案】（1）能 （2）见详解 【分析】（1）根据表示两个比相等的式子叫做比例。分别列出航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比并化简，它们的最简比相等即能组成比例，不相等即不能组成比例。 （2）组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。据此解答。 【解答】（1）航模组男、女生的人数比为：18∶15＝6∶5 美术组男、女生的人数比为：24∶20＝6∶5 18∶15＝24∶20 答：航模组男、女生人数的比和美术组男、女生人数的比能组成比例。 （2）答：所列比例为18∶15＝24∶20，比例的内项是15和24，外项是18和20。 【专项训练3】小琴调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了20毫升蜂蜜和250毫升水，第二杯用了32毫升蜂蜜和400毫升水。分别写出这两杯蜂蜜水中蜂蜜和水的体积的比，判断它们能否组成比例。 【答案】蜂蜜和水的体积的比都是2∶25；能组成比例20∶250＝32∶400 【分析】两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，分别写出两杯蜂蜜水中蜂蜜和水的体积的比，根据比的基本性质化简即可，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变； 根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫比例，判断它们能否组成比例。 【解答】第一杯：20∶250＝（20÷10）∶（250÷10）＝2∶25 第二杯：32∶400＝（32÷16）∶（400÷16）＝2∶25 答：两杯蜂蜜水中蜂蜜和水的体积的比都是2∶25，能组成比例20∶250＝32∶400。 【专项训练4】善于观察的阳阳发现家里一共有大米和面粉70千克，且大米质量的和面粉质量的相等，阳阳家有大米多少千克？ 【答案】45千克 【分析】先根据“大米质量的和面粉质量的相等”求出大米与面粉的质量比，再结合总质量按比例分配计算大米的质量。 【解答】大米质量面粉质量 大米质量面粉质量 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝45（千克） 答：阳阳家有大米45千克。 【专项训练5】一个比例的两个内项的积是，一个外项是，写出符合条件的一个比例。 【答案】∶4＝∶ 【分析】利用比例基本性质，两内项积等于两外项积，写出符合条件的比例。 【解答】÷＝，只要满足另一个外项是，两内项的积是就可以了（答案不唯一）。 【点睛】此题的关键是灵活运用比例的基本性质解题。 题型06 比例的应用 一、比例的应用基础解题逻辑 ‌基础计算逻辑‌ 解决比例实际应用问题时先根据题意确定两组相关联的对应量，先判断两组量的比例属性（正比例/反比例），再列出对应比例等式，最终通过比例基本性质解出未知量。 ‌特殊速算技巧‌ 当比例的内项、外项数值符合表内乘除法规则时，可直接依托乘法口诀口算交叉乘积，快速解出未知项，比如解比例3:4=x:8，直接用四八三十二、四八三十二的口诀，算出4x=24，快速得到x=6，不用分步笔算解方程。 二、比例的应用进阶解题技巧 ‌基础应用逻辑‌ 遇到“单一量固定，求对应总量/数量”的比例场景，直接用“已知总量:已知数量=未知总量:未知数量”列式；遇到“总乘积固定，求对应单量/数量”的比例场景，直接用“已知单量×已知数量=未知单量×未知数量”列式。 ‌逆向推导技巧‌ 已知比例应用场景中的最终结果和其中一组关联量，可反向依托比例的基本性质反推缺失的条件量，适配各类带隐藏比例的实际题型。比如一批货物用载重5吨的货车运，6次运完，改用载重3吨的货车，直接用5×6÷3=10，快速算出需要10次才能运完。 【典例5】一辆汽车2小时行驶160千米，照这样的速度，从甲城到乙城还需要5.5小时，甲乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】600千米 【分析】根据路程＝时间×速度可知，速度＝，汽车行驶速度不变，路程与时间的比值一定，所以二者成正比例关系，由题意可知，一辆汽车2小时行驶160千米，从甲城到乙城还需要5.5小时，所以总的时间＝已行驶的2小时＋还需的5.5小时，据此列正比例方程求解。 【解答】解：设甲乙两地相距千米。 （小时） 答：甲乙两地相距600千米。 【专项训练1】俗话说“旧物易主贵如宝”，在一次物物交换活动中，每4个玩具汽车可以换6本故事书，淘气拿来14个玩具汽车，可以换得多少本故事书？（用比例解） 【答案】21本 【分析】玩具汽车数量和换得的故事书数量是相关联的量，每个玩具汽车换的故事书数量固定，二者成正比例关系，可列正比例式求解。 【解答】解：设可以换得本故事书。 答：可以换得21本故事书。 【专项训练2】用黄铜和黄金制成一种合金。现有黄金，黄铜，要使制成的合金中黄金和黄铜的比是2∶5，还应加入多少克的黄金？（列比例解答） 【答案】15克 【分析】黄铜的质量不变，设还应加入克黄金，根据加入后黄金总质量与黄铜质量的比是列比例求解。 【解答】解：设还应加入克的黄金。 答：还应加入15克黄金。 【专项训练3】我国高铁运营里程与高速公路通车里程的比约是4∶7，已知高速公路通车里程约17.5万公里，求高铁运营里程约是多少万公里？（用比例解） 【答案】10万公里 【分析】根据题意可知，高铁运营里程与高速公路通车里程的比是4∶7，已知高速公路通车里程是17.5万公里，求高铁运营里程。可以设高铁运营里程为x万公里，根据比例的意义列出比例式，再利用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）解方程求解。 【解答】解：设高铁运营里程约是x万公里 答：高铁运营里程约是10万公里。 【专项训练4】在一次美术泥塑课上，妙想用陶土亲手捏制了一个自己的小泥人，她希望这个泥人能真实地反映自己的身形比例。经过精心设计，她将小泥人的身高与自己的实际身高按1∶24的比例缩小。妙想的实际身高是1.5米，小泥人的身高是多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】1.5米＝150厘米；设小泥人的身高是x厘米，小泥人的身高∶妙想实际身高＝1∶24，列比例：x∶150＝1∶24，解比例，即可解答，注意单位换算。 【解答】1.5米＝150厘米 解：设小泥人的身高是x厘米。 x∶150＝1∶24 24x＝150×1 24x＝150 x＝150÷24 x＝6.25 答：小泥人的身高是6.25厘米。 【专项训练5】为了迎接六一儿童节的到来，乐乐和欢欢用两条彩带装饰班级。两条彩带总长度为22米，乐乐把其中一条彩带剪去用来为同学们包装糖果袋，此时欢欢的那条彩带和乐乐的彩带的长度比是3∶2。乐乐和欢欢手里的彩带原来各为多长？ 【答案】乐乐10米；欢欢12米 【分析】根据“两条彩带总长度为22米”，可以设乐乐手中的彩带原来长米，则欢欢手中的彩带原来长（22－）米； 根据乐乐把自己的彩带剪去用来包装糖果袋，可知乐乐现在彩带的长度是原来的（1－）； 根据“此时欢欢的那条彩带和乐乐的彩带的长度比是3∶2”可得出等量关系：欢欢原来彩带的长度∶乐乐原来彩带的长度×（1－）＝3∶2，据此列出比例方程，并求解。 【解答】解：设乐乐手中的彩带原来长米，则欢欢手中的彩带原来长（22－）米。 （22－）∶（1－）＝3∶2 （22－）∶＝3∶2 ×3＝（22－）×2 2.4＝44－2 2.4＋2＝44 4.4＝44 ＝44÷4.4 ＝10 欢欢：22－10＝12（米） 答：乐乐手里的彩带原来为10米长，欢欢手里的彩带原来为12米长。 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