第四单元 混合运算与数量关系（二）（综合题型）奥数思维训练-2026-2027学年苏教版数学四年级上册(新教材)

**基本信息** 以混合运算规则与复合数量关系为核心，构建从基础到奥数的阶梯式方法体系，强化运算逻辑与多步建模能力，培养抽象思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与规则|2类核心模块|运算顺序标注法、括号优先级规则|从单一运算升级到混合运算，建立运算唯一性逻辑| |基础应用题型|5类基础题|分步列式法、文字题关键词定位法|从一步应用过渡到两步推理，强化中间量求解| |奥数进阶题型|7类进阶题|逆推还原法、归一建模法、差量消元法|从标准模型到变式拓展，培养复杂问题转化能力| |核心解题方法|6大方法|凑整巧算法、方案枚举法|方法覆盖计算优化与应用建模，提升迁移能力|

第四单元 混合运算与数量关系（二）（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是整数四则运算的综合进阶单元，以两步、三步四则混合运算为计算载体，结合进阶的乘除复合数量关系，建立规范的运算顺序规则与多步应用题建模能力。 核心本质：一方面通过运算顺序与括号规则，规范多步四则运算的执行逻辑，保证计算结果的唯一性；另一方面将单一的乘法、除法数量关系升级为多步复合数量关系，实现从 “一步解题” 到 “多步推理” 的思维跨越。 两大核心模块： 运算规则模块：四则混合运算的顺序、括号的作用、运算性质的应用； 数量关系模块：归一归总进阶、和差倍复合、多场景综合应用题。 2. 与前期知识的联系与升级 计算层面：从单一的乘除法、加减法运算，升级为多级运算混合，引入括号改变运算顺序，对运算规则的严谨性要求更高。 应用层面：从一步数量关系升级为两步、三步复合关系，需要先求出中间量，再求解最终问题，对逻辑链条的长度要求提升。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接整数乘除法计算与基础数量关系，是小学整数计算阶段的综合收官内容，也是后续小数、分数混合运算、复杂应用题的核心运算基础，承上启下作用显著。 奥数价值：延伸出凑整巧算、错中求解、还原逆推、复杂归一、和差倍综合、方案优化等经典题型，训练运算巧算能力、逆向推理能力与多步建模能力，是小升初计算与应用模块的必考核心内容。 二、核心基础规则与必备知识点 1. 四则混合运算的标准运算顺序 运算顺序是混合运算的核心准则，所有计算必须严格遵循： 同级运算：只有加减法或只有乘除法时，从左到右依次计算。 两级运算：既有加减法又有乘除法时，先算乘除法，后算加减法（简称 “先乘除，后加减”）。 含括号运算：算式里有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 有多层括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 核心作用：通过统一的顺序规则，保证同一算式的计算结果唯一，括号是改变运算优先级的核心工具。 2. 核心运算性质（巧算基础） （1）减法的性质 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 公式： 逆用： （2）除法的性质 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 公式：（均不为 0） 逆用： （3）去括号与添括号规则 括号前是加号 / 乘号，去 / 添括号后，括号内运算符号不变： ， 括号前是减号 / 除号，去 / 添括号后，括号内运算符号变号：加变减、减变加，乘变除、除变乘。 ， 3. 进阶数量关系模型 在基础数量关系之上，延伸出复合应用模型： 双归一模型：涉及两个维度的单一量，先通过连除求最小单位量，再通过乘除求解目标量。 归总变形模型：总量固定，伴随损耗、剩余、新增等条件，先求修正后的总量，再求解新的每份数或份数。 和差倍复合模型：通过多步运算间接给出和、差、倍关系，需先计算出隐藏的和 / 差 / 倍数，再套用和差倍公式。 4. 列式计算的核心表述规则 文字题中的关键表述对应运算逻辑： “除” 与 “除以”：A 除以 B 列式为；A 除 B 列式为。 “的和 / 差 / 积 / 商”：先算和差积商时，需添加括号保证运算优先级。 示例：“36 与 12 的差乘 5，积是多少” 列式为，必须加括号。 三、基础应用题型与标准解法 1. 运算顺序辨析与基础脱式计算 题型特征：给出两步、三步混合算式，判断运算顺序，或直接进行脱式计算。 解题策略：先标注运算顺序，明确先算什么、再算什么；严格按顺序分步计算，每一步只算一个运算，不跳步；括号内的运算同样遵循先乘除后加减规则。 2. 括号改写题 题型特征：给定算式，要求按指定运算顺序添加括号，或判断添加括号后结果的变化。 解题策略：要改变原本的运算优先级，就给需要先算的部分加上括号；多层运算按小括号→中括号的顺序添加。 3. 两步计算应用题 题型特征：需要先求出中间隐藏量，再求解最终问题，如 “已知总价和单价，买若干件后剩多少钱”。 解题策略：先梳理数量关系链条，明确先求什么、再求什么；分步列式或列综合算式，综合算式中注意通过括号保障运算顺序。 4. 基础列式计算（文字题） 题型特征：用文字描述运算关系，要求列出综合算式并计算。 解题策略：抓住 “和、差、积、商” 等关键词，确定最后一步运算是什么，反向推导前置运算；注意 “除”“去除” 等反向表述，避免被除数与除数颠倒。 5. 简单归一归总两步题 题型特征：单一维度的归一或归总，两步即可求解，如 “3 本书 45 元，买 8 本需要多少钱”。 解题策略：归一问题先除后乘，归总问题先乘后除；明确中间单一量或总量的意义，确保运算逻辑正确。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）混合运算巧算进阶 1. 题型特征 多步四则混合运算，数字间存在凑整关系，或可通过运算性质简化计算，直接按顺序计算繁琐且易出错。 2. 核心巧算方法 带符号搬家法：只有同级运算时，数字可带着前面的运算符号移动位置，优先计算能凑整、能整除的组合。 适用场景：加减混合、乘除混合的同级运算，通过调整顺序凑出整十整百数。 分组凑整法：将算式中互补的数分组结合，使每组计算结果为整十、整百数，再汇总计算。 示例：加减混合中，将加的数与减的数分别分组，或两两配对凑整。 去括号凑整法：利用去括号规则去掉括号，使原本被括号隔开的凑整组合可以直接计算。 易错提醒：括号前是减号、除号时，去括号后内部符号必须变号，这是最高频出错点。 商不变巧算：除法算式中，被除数与除数同时乘 / 除以相同的数（0 除外），商不变；将除数凑成整十、整百、整千数，简化计算。 提取公因数法：乘加、乘减混合运算中，提取公共因数，将剩余部分加减合并后再相乘，对应乘法分配律的逆用。 拓展：隐藏公因数题型，通过积不变规律将数字变形，构造出相同因数后再提取。 （二）错中求解进阶 1. 题型特征 多步混合运算中，看错运算符号、漏看括号、看错数字，得到错误结果，求正确结果或原数；比单步错中求解更复杂，需要分步逆推。 2. 三类高频考法 看错数字 / 符号类：某一步的数字或符号看错，其余步骤正确。 解题策略：从看错的步骤入手，先求出该步骤中不变的量，再按正确的运算逐步推导正确结果。 漏看括号类：计算时漏掉小括号，导致运算顺序错误，得到错误结果。 解题策略：先根据错误的运算顺序和结果，求出算式中的未知数，再代入原式按正确顺序计算。 抄错数类：抄写算式时将数字抄错数位、多写少写数字，导致结果偏差。 解题策略：计算数字的实际差值，结合运算层级推导对最终结果的影响，修正得到正确答案。 （三）还原问题（逆推问题） 1. 题型特征 已知一个数经过若干步加减乘除运算后的最终结果，反向推导原来的数；或已知物品经过多次取用后的剩余量，求原有总量。属于典型的逆向思维题型，是奥数经典考点。 2. 核心解题方法：逆推法 核心逻辑：从最终结果出发，按运算的逆顺序，进行逆运算：加变减、减变加、乘变除、除变乘。 标准步骤： 按正向运算顺序画出流程图，从原数到结果，标注每一步运算； 从结果反向倒推，每一步都用逆运算，逐步还原到原数； 遇到括号时，整体逆推，确保运算优先级对应。 进阶类型：多量还原，如甲乙两数互相给数后数量相等，分别求原数，需结合和不变性质辅助求解。 （四）归一归总问题进阶 1. 双归一求时间 / 数量 题型特征：已知两个维度的总量，求完成目标量所需的时间或参与的数量，如 “3 人 4 天加工 60 个零件，照这样计算，5 人加工 150 个需要几天”。 解题策略： 先用连除求出单一单位量（1 人 1 天的工作量）； 目标问题求时间，就用目标总量 ÷ 人数 ÷ 单日效率； 求人数，就用目标总量 ÷ 天数 ÷ 单日效率。 2. 归总带余量 / 损耗 题型特征：总量计算伴随固定的损耗、剩余、预留量，不是简单的每份数 × 份数。 示例：“一批货物，每车运 12 吨，运 8 车后还剩 5 吨，若每车运 10 吨，需要几辆车运完”。 解题策略：先根据原条件算出完整总量（含剩余），再用总量除以新的每份数，有余数时结合场景用进一法取值。 3. 倍比法进阶 题型特征：同类量成整数倍关系，单一量不是整数不便直接计算，通过倍数关系快速求解。 解题思路：先求出同类量的倍数，再用对应量乘 / 除倍数得到结果，避免小数计算，提升准确率。 （五）和差倍综合应用 1. 隐藏和差型 题型特征：不直接给出两数的和或差，需要通过混合运算先计算出和 / 差，再套用和差倍公式。 示例：“甲乙两数，甲是乙的 3 倍，甲减 20、乙加 20 后两数相等，求两数原来各是多少”。 解题策略：先根据条件推导出差值或和值，明确差倍、和倍关系，再用标准公式求出 1 份量，进而求出两个数。 2. 几倍多几 / 几倍少几型 题型特征：大数不是小数的整倍数，而是几倍多几或几倍少几，需要先修正总量再计算。 核心公式： 和倍多几：小数 =（和 - 多的数）÷（倍数 + 1） 和倍少几：小数 =（和 + 少的数）÷（倍数 + 1） 差倍多几、差倍少几同理，先修正差值再计算。 （六）方案优化与经济问题 1. 购票 / 租车最优方案 题型特征：有两种或多种票价 / 车型，已知总人数与各方案单价，求最省钱的购票 / 租车方案。 解题策略： 先计算各方案的人均单价，优先选择单价更低的方案； 优先满员使用低价方案，剩余人数对比单独买低价票、换高价方案的成本； 枚举所有可行组合，用混合运算计算每种方案的总费用，对比选出最小值。 2. 促销类数量关系 题型特征：“买几送几”“满减” 等促销场景，求实际单价、可购买总数或总花费。 解题策略：将 “买几送几” 看作一组，先算组数，再算总数量 / 总价；满减问题先算包含几个满减档位，扣除对应金额。 （七）拓展提升类 1. 定义新运算进阶 题型特征：自定义包含多级运算的新规则，可能带有括号，求算式结果或反求未知数。 解题策略：严格按定义规则，先算括号内的新运算，再算括号外的，逐步转化为常规四则运算。 2. 等量代换与消元初步 题型特征：给出两组不同的数量组合与对应总价，求单一物品的价格，如 “3 支笔 + 2 本本子共 20 元，2 支笔 + 2 本本子共 16 元”。 解题策略：对比两组条件，消去相同的量，先求出单一未知量，再代入求另一个量；本质是通过减法消元，是方程思想的启蒙。 五、核心解题方法汇总 顺序标注法：混合运算基础计算的核心方法，先标注运算优先级，按顺序分步计算，避免跳步出错。 凑整巧算法：通过带符号搬家、去括号、提取公因数等方式，构造整十整百组合，简化运算过程。 逆推还原法：还原问题的核心思路，从结果出发，逆运算逐步倒推，还原初始数值。 归一建模法：复杂应用题的通用思路，先求单一量或固定总量，再求解目标问题。 差量消元法：等量代换类问题的核心，通过对比两组条件的差值，消去相同量，求出单一量。 方案枚举法：优化类问题通用解法，枚举所有可行方案并计算成本，对比选择最优解。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 运算顺序混乱：同级运算不按从左到右，两级运算先算加减后算乘除，是最基础也最高频的错误。 “除” 与 “除以” 混淆：文字题中将 “A 除 B” 列式为，正确应为，导致结果完全相反。 括号作用误解：认为加括号只是改变形式，不影响结果，忽略括号会改变运算优先级，进而改变最终结果。 归一基准搞错：求单一量时除数选错维度，将 “每人每天” 算成 “每人总天”，导致单一量偏差。 2. 计算类易错点 去括号变号错误：括号前是减号、除号时，去括号后内部运算符号未全部变号，只变第一个、漏变后面的。 脱式跳步出错：多步运算一次算多个步骤，导致中间结果算错，最终答案偏差。 提取公因数漏项：提取公共因数后，括号内的项数遗漏，尤其是常数项 1 容易被漏掉。 逆推运算顺序错：还原问题中逆推时，先算的部分没有后逆推，运算优先级对应错误，导致原数算错。 3. 应用类易错点 综合算式漏括号：列综合算式解应用题时，需要先算的加减部分忘记加括号，导致运算顺序错误，结果不对。 归总余量遗漏：带剩余、损耗的归总题，忘记加上剩余量或扣除损耗，导致总量计算不准。 方案枚举不全：优化问题只算纯方案，忽略混合搭配方案，找不到真正的最优解。 进一去尾用错：租车、装货等场景用去尾法，导致无法装下全部人员 / 货物；应结合实际场景选择取整方式。 培优练习 一、选择题 1．超市购进60箱苹果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下的又卖了5天才卖完，下面用“（60×15－210）÷5”来解决的问题是（    ）。 A．剩下多少千克苹果？ B．剩下的苹果平均每天卖出多少千克？ C．一共有多少千克苹果？ 【答案】B 【分析】60×15，算出购进苹果的总质量，用购进苹果的总质量减去第一天卖出的210千克，得到剩下的苹果质量，再用剩下的苹果质量除以卖完剩下苹果的天数，求出剩下的苹果平均每天卖出的质量，列式为：（60×15－210）÷5。 【详解】A．求剩下多少千克苹果，列式为60×15－210，不符合题意； B．求剩下的苹果平均每天卖出多少千克，列式为（60×15－210）÷5，符合题意； C．求一共有多少千克苹果，列式为60×15，不符合题意。 超市购进60箱苹果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下的又卖了5天才卖完，用“（60×15－210）÷5”来解决的问题是剩下的苹果平均每天卖出多少千克？。 2．乐乐带80元钱去商店买了一筒（12个）羽毛球，还剩下32元。算式32÷[（80－32）÷12]解决的问题是（    ）。 A．每个羽毛球多少元。 B．80元一共可以买几个羽毛球。 C．剩下的钱还可以买几个羽毛球。 【答案】C 【分析】根据题意，算式是先求买12个羽毛球花的总钱数，再算单个羽毛球的价格，最后用剩下的钱除以单价就能得到剩下的钱可购买的羽毛球数量。 【详解】12个羽毛球的总价：（元） 单个羽毛球的价格：（元） 剩余32元可买的羽毛球数量：（个） 解决的是剩下的钱还可以买几个羽毛球的问题。 3．改变25×40＋60÷10的运算顺序，先算加法，再算除法，最后算乘法，算式是（    ）。 A．25×（40＋60）÷10 B．25×[（40＋60）÷10] C．（25×40＋60）÷10 【答案】B 【分析】原算式按照先乘除后加减的顺序计算。若要改变运算顺序，需使用小括号和中括号。题目要求先算加法，需给加法部分加上小括号；再算除法，需将加法结果与除数部分纳入中括号进行除法运算；最后算乘法，即因数乘前面计算的结果。据此分析各选项。 【详解】原算式，正常运算顺序是先同时计算乘法和除法，再算加法。题目要求先算加法，再算除法，最后算乘法。 A．，运算顺序是先算小括号里的加法，再算乘法，最后算除法，此选项错误； B．，运算顺序是先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法，此选项正确； C．，运算顺序是先算小括号里的乘法，再算小括号里的加法，最后算除法，此选项错误。 改变25×40＋60÷10的运算顺序，先算加法，再算除法，最后算乘法，算式是B选项。 4．开学时，学校买来180把扫帚，分给6个年级，每个年级10个班，平均每班分几把？小晨的方法是“180÷（6×10）”，他的想法是先算（    ）。 A．每个年级分多少把 B．每个班级分多少把 C．学校共多少个班 【答案】C 【分析】列出的算式，根据运算顺序，先算小括号内的乘法，再算除法。根据乘法的意义，可知先算的是什么。 【详解】6个年级，每个年级10个班，先算乘法6×10，表示先算学校一共有多少班。 5．不计算，比一比下面（    ）算式得数最大。 A．540÷3＋6×2 B．540÷（3＋6×2） C．540÷[（3＋6）×2] 【答案】A 【分析】当被除数相同时，除数越小，商就越大；除数越大，商就越小。 【详解】由分析可得：被除数相同，比较除数的大小，除数越小，商就越大。 3＜（3＋6×2）＜[（3＋6）×2] 故答案为：A 二、填空题 6．某商场第一季度销售空调238台，第二季度销售空调374台，上半年平均每月销售空调( )台。 【答案】102 【分析】上半年有两个季度即第一季度和第二季度，上半年有6个月。第一季度销售量＋第二季度的销售量＝上半年的销售量，上半年的销售量÷6＝平均每月的销售量。 【详解】（238＋374）÷6 ＝612÷6 ＝102（台） 7．把28＋36＝64，64÷8＝8，248÷8＝31三道算式写成综合算式是：________________。 【答案】248÷[（28＋36）÷8]＝31 【分析】先计算28＋36，用和除以8，得出的商作除数，用248除以商，所以合并时要给加法添上小括号，再给（28＋36）÷8添上中括号。 【详解】根据分析写成综合算式是：248÷[（28＋36）÷8]＝31。 8．根据3.6－2.8＝0.8，2.5×0.8＝2，10÷2＝5，可以列出综合算式是( )。 【答案】10÷[2.5×（3.6－2.8）]＝5 【分析】根据题意分析，10÷2＝5中的2是2.5×0.8＝2得来的，那么可以将2替换为2.5×0.8，要先算2.5×0.8所以要加上括号，即10÷（2.5×0.8），2.5×0.8中的0.8是3.6－2.8＝0.8得来的，将0.8替换为3.6－2.8，要先算3.6－2.8，要加上括号，即10÷[2.5×（3.6－2.8）]所以列出的综合算式是10÷[2.5×（3.6－2.8）]＝5； 【详解】根据3.6－2.8＝0.8，2.5×0.8＝2，10÷2＝5，可以列出综合算式是10÷[2.5×（3.6－2.8）]＝5。 9．在计算“[82－（32＋49）÷9]”时，要先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 【答案】 加 除 减 【分析】同级运算，从左往右依次计算，既有乘除，又有加减，先算乘除，再算加减，有括号的，先算括号里面的，既有小括号，又有中括号，先算小括号里面的，再算中括号里面的；据此即可解答。 【详解】根据分析可知，在计算“[82－（32＋49）÷9]”时，要先算加法，再算除法，最后算减法。 10．把5＋7＝12，12×5＝60，900÷60＝15改写成综合算式是( )。 【答案】900÷[（5＋7）×5]＝15 【分析】用5＋7＝12替换12×5＝60中的12，先算加法，后算乘法，要加小括号，即（5＋7）×5＝60，再用（5＋7）×5＝60替换900÷60＝15中的60，先算乘法，后算除法，要加中括号。 【详解】900÷[（5＋7）×5] ＝900÷[12×5] ＝900÷60 ＝15 把5＋7＝12，12×5＝60，900÷60＝15改写成综合算式是900÷[（5＋7）×5]＝15。 11．四年级师生去刘胡兰纪念馆开展“缅怀革命先烈赓续红色基因”的主题教育。若全坐大客车，每辆42人，8辆刚好够用。若全坐小客车，每辆21人，需要多少辆？ 我这样列式：42×8÷21第一步求的是：________ 我这样列式：42÷21×8第一步求的是：________ 【答案】四年级参加活动的师生一共有多少人；每辆大客车能坐的人数是小客车的几倍 【分析】对于列式42×8÷21：已知每辆大客车坐42人，8辆大客车刚好够用，根据乘法的意义，42×8表示的是四年级参加活动的师生一共有多少人。对于列式42÷21×8：每辆大客车坐42人，每辆小客车坐21人，42÷21表示每辆大客车坐的人数是每辆小客车坐的人数的几倍。据此解答。 【详解】根据分析可知： 42×8÷21第一步求的是：四年级参加活动的师生一共有多少人；42÷21×8第一步求的是：每辆大客车能坐的人数是小客车的几倍。 12．某水果店准备去批发市场购买120千克苹果，结果发现梨的单价是苹果的一半，于是拿出一半的钱买梨，剩下的钱全买苹果。这次买回苹果和梨一共( )千克。 【答案】180 【分析】因为梨的单价只有苹果的一半，所以买120千克苹果的钱可以购买120×2＝240千克梨。一半的钱买苹果，可以购买120÷2千克苹果；一半的钱买梨，可以购买240÷2千克梨。将苹果的重量加上梨的重量解答即可。 【详解】120÷2＋120×2÷2 ＝60＋240÷2 ＝60＋120 ＝180（千克） 所以这次买回苹果和梨一共180千克。 13．把45＋96＝141，200－141＝59，10×59＝590三个算式合并成一个综合算式是( )。 【答案】10×[200－（45＋96）]＝590 【分析】先用45加96求出和，再用200减去求出的和，最后用10乘前面的数，这里45＋96两边加小括号；200－（45＋96）两边加中括号，可以先算减法，再算乘法。 【详解】由分析可知：把45＋96＝141，200－141＝59，10×59＝590三个算式合并成一个综合算式是10×[200－（45＋96）]＝590。 14．要使算式240÷15－5×2的运算顺序变为先减后乘最后除，需要添加的括号是( )，结果是( )。 【答案】 240÷[（15－5）×2] 12 【分析】由题意得，在算式240÷15－5×2中，要先算除法，再算乘法，最后算减法。要想先算减法，再算乘法，最后算除法，需要在算式15－5的两边加上小括号，在算式15－5×2的两边加上中括号，即综合算式为240÷[（15－5）×2]。 【详解】240÷[（15－5）×2] ＝240÷[10×2] ＝240÷20 ＝12 要使算式240÷15－5×2的运算顺序变为先减后乘最后除，需要添加的括号是240÷[（15－5）×2]，结果是12。 15．计算940×[128－（54＋31）]时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 【答案】 加 减 乘 【分析】四则混合运算运算顺序：同级运算，从左到右依次计算；既有乘除又有加减的，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的。 【详解】计算940×[128－（54＋31）]时，先算加法，再算减法，最后算乘法。 三、判断题 16．一个有中括号的四则运算算式里，可以没有小括号。( ) 【答案】× 【详解】一个有中括号的四则运算算式里，可以没有小括号。这句话不对，因为在需要加括号的算式，要先用小括号，再用中括号，如果要用中括号，说明中括号里面有小括号。所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查的是整数四则混合运算中括号的作用，要明确先有小括号才会再有中括号。 17．在计算125×[126－（78＋22）]时，最后计算乘法。( ) 【答案】√ 【分析】在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 【详解】根据四则混合运算的运算顺序，有括号先算括号里的，最后算括号外面的乘法。本题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查四则混合运算中括号的用法，熟练掌握括号的用法是解决本题的关键。 18．计算49×[（13＋23）÷9]时，应先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。( ) 【答案】√ 【分析】根据四则混合运算规律，49×[（13＋23）÷9]先计算小括号里的加法，再计算中括号里除法，最后计算中括号外的乘法，据此判断即可。 【详解】49×[（13＋23）÷9] ＝49×[36÷9] ＝49×4 ＝196 计算49×[（13＋23）÷9]时，应该先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法，原题说法正确。 故答案为：√ 19．480÷（2＋6×3）和480÷[（2＋6）×3]的计算结果相等。( ) 【答案】× 【分析】如果只有加和减或只有乘和除，从左往右计算；一级运算与二级运算同时出现时，先进行二级运算；有括号的算式，需要先计算括号内的部分，在括号内部，也遵循从高级到低级的运算顺序；480÷（2＋6×3）先算括号里面的6×3再算加法，最后算括号外的除法；480÷[（2＋6）×3]先算小括号里面的2＋6再算乘法最后算除法。 【详解】由分析得： 480÷（2＋6×3） ＝480÷（2＋18） ＝480÷20 ＝24 480÷[（2＋6）×3] ＝480÷[8×3] ＝480÷24 ＝20 故480÷（2＋6×3）和480÷[（2＋6）×3]的计算结果不相等； 故答案为：× 20．可以把，，合成一个综合算式是。( ) 【答案】× 【分析】根据整数混合运算的法则，先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左向右依次运算。据此计算判断。 【详解】 ＝96÷16×2 ＝6×2 ＝12 故答案为：× 【点睛】解决本题的关键是熟练掌握整数混合运算的方法。 四、计算题 21．脱式计算。 （390＋286）÷13    180×[42÷（62－56）]    45×（85－45） 【答案】52；1260；1800 【分析】（390＋286）÷13先算括号里面的加法，再算括号外面的除法； 180×[42÷（62－56）] 先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法。 45×（85－45）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法 【详解】（390＋286）÷13 ＝676÷13 ＝52 180×[42÷（62－56）] ＝180×[42÷6] ＝180×7 ＝1260 45×（85－45） ＝45×40 ＝1800 22．脱式计算。 （76×32－2036）÷36        46×12－248÷8 25×（44＋288÷16）          246÷[96÷（366－350）] 【答案】11；521； 1550；41 【分析】（1）先算小括号里的乘法，再算小括号里的减法，最后计算括号外的除法； （2）先算乘法和除法，最后计算减法； （3）先算小括号里的除法，再算小括号里的加法，最后计算括号外的乘法； （4）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后计算中括号外的除法。 【详解】（76×32－2036）÷36 ＝（2432－2036）÷36 ＝396÷36 ＝11 46×12－248÷8 ＝552－31 ＝521 25×（44＋288÷16） ＝25×（44＋18） ＝25×62 ＝1550 246÷[96÷（366－350）] ＝246÷[96÷16] ＝246÷6 ＝41 五、解答题 23．钢笔每支8元，商店“买4送1”。李老师要买20支钢笔，一共需要付多少元？ 【答案】128元 【分析】根据“买4送1”的优惠规则，可知每5支钢笔为一组，其中只需支付4支的钱。李老师需要20支钢笔，先计算20支里面包含多少个这样的一组，即20÷（4＋1），再计算这一组实际需要付款的价格，即4×8，最后根据单价×数量＝总价，求出总价。 【详解】 （元） 答：一共需要付128元。 24．某工厂要生产1200个零件，前3天每天生产180个，剩下的要在4天内完成，平均每天需要生产多少个？ 【答案】165个 【分析】根据题意，先利用乘法求出前3天已经生产的零件总个数，即180×3，再用计划生产的总个数减去已经生产的个数，求出剩下的零件个数。最后用剩下的零件个数除以剩下的天数，即可求出平均每天需要生产的个数。 【详解】 （个） （个） 答：平均每天需要生产165个。 25．超市运来面粉85袋，运来的大米比面粉的3倍多25袋，超市运来面粉和大米共多少袋？ 【答案】365袋 【分析】根据题意，用85乘3，先求出面粉的3倍是多少袋，再加上25，求出运来的大米有多少袋，最后加上85，求出超市运来面粉和大米共多少袋。 【详解】85×3＋25＋85 ＝255＋25＋85 ＝280＋85 ＝365（袋） 答：超市运来面粉和大米共365袋。 26．海海一家在双休日骑自行车到某景区玩。去时每小时行12千米，共行了2小时，返回时由于逆风骑行，每小时行的路程是去时的一半。返回时用了几小时？ 【答案】12×2÷（12÷2）＝4（时） 【分析】根据题意，海海一家去时每小时行12千米，共行了2小时，用乘法求出海海家到景区的距离，往返的距离相等，返回时每小时行的路程是去时的一半，用除法求出返回时的速度，最后用家到景区的距离除以返回时的速度，即可求出返回时用的时间。 【详解】    （时） 答：返回时用了4小时。 27．郑老师买了30个环保布袋，25套再生纸笔记本，一共花费1060元。其中每个环保布袋12元，每套再生纸笔记本多少钱？ 【答案】 28元 【分析】已知环保布袋的数量和单价，以及再生纸笔记本的数量和总花费，要求再生纸笔记本的单价。首先计算环保布袋的总费用，再用总花费减去环保布袋的费用，得到再生纸笔记本的总费用，最后用总费用除以数量即可求出再生纸笔记本的单价。 【详解】（1060－30×12）÷25 ＝（1060－360）÷25 ＝700÷25 ＝28（元） 答：每套再生纸笔记本28元。 28．张叔叔去银行取款，第一次取出存款金额的一半还多15元，第二次取出余下钱数的一半还多20元，这时还剩225元，张叔叔原有存款多少元？ 【答案】1010元 【分析】第二次取出余下钱数的一半还多20元，这时还剩225元，也就是第一次取出钱后余下钱数的一半是225＋20元，第一次取出钱后余下钱数是（225＋20）×2元。因为第一次取出存款金额的一半还多15元，则存款金额的一半是（225＋20）×2＋15元，存款金额是[（225＋20）×2＋15]×2元。 【详解】[（225＋20）×2＋15]×2 ＝[245×2＋15]×2 ＝[490＋15]×2 ＝505×2 ＝1010（元） 答：张叔叔原有存款1010元。 【点睛】解决类似问题时，也可借助线段图，将整个线段看作整体（原来），能够快速区分出最后剩余部分与整体（原来）的关系，通过倒推的方式，层层递进，进而求得整体（原来）。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 混合运算与数量关系（二）（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、基础概念与核心意义 1. 主题定义与本质 本单元是整数四则运算的综合进阶单元，以两步、三步四则混合运算为计算载体，结合进阶的乘除复合数量关系，建立规范的运算顺序规则与多步应用题建模能力。 核心本质：一方面通过运算顺序与括号规则，规范多步四则运算的执行逻辑，保证计算结果的唯一性；另一方面将单一的乘法、除法数量关系升级为多步复合数量关系，实现从 “一步解题” 到 “多步推理” 的思维跨越。 两大核心模块： 运算规则模块：四则混合运算的顺序、括号的作用、运算性质的应用； 数量关系模块：归一归总进阶、和差倍复合、多场景综合应用题。 2. 与前期知识的联系与升级 计算层面：从单一的乘除法、加减法运算，升级为多级运算混合，引入括号改变运算顺序，对运算规则的严谨性要求更高。 应用层面：从一步数量关系升级为两步、三步复合关系，需要先求出中间量，再求解最终问题，对逻辑链条的长度要求提升。 3. 教材定位与奥数价值 教材定位：承接整数乘除法计算与基础数量关系，是小学整数计算阶段的综合收官内容，也是后续小数、分数混合运算、复杂应用题的核心运算基础，承上启下作用显著。 奥数价值：延伸出凑整巧算、错中求解、还原逆推、复杂归一、和差倍综合、方案优化等经典题型，训练运算巧算能力、逆向推理能力与多步建模能力，是小升初计算与应用模块的必考核心内容。 二、核心基础规则与必备知识点 1. 四则混合运算的标准运算顺序 运算顺序是混合运算的核心准则，所有计算必须严格遵循： 同级运算：只有加减法或只有乘除法时，从左到右依次计算。 两级运算：既有加减法又有乘除法时，先算乘除法，后算加减法（简称 “先乘除，后加减”）。 含括号运算：算式里有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 有多层括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 核心作用：通过统一的顺序规则，保证同一算式的计算结果唯一，括号是改变运算优先级的核心工具。 2. 核心运算性质（巧算基础） （1）减法的性质 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 公式： 逆用： （2）除法的性质 一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 公式：（均不为 0） 逆用： （3）去括号与添括号规则 括号前是加号 / 乘号，去 / 添括号后，括号内运算符号不变： ， 括号前是减号 / 除号，去 / 添括号后，括号内运算符号变号：加变减、减变加，乘变除、除变乘。 ， 3. 进阶数量关系模型 在基础数量关系之上，延伸出复合应用模型： 双归一模型：涉及两个维度的单一量，先通过连除求最小单位量，再通过乘除求解目标量。 归总变形模型：总量固定，伴随损耗、剩余、新增等条件，先求修正后的总量，再求解新的每份数或份数。 和差倍复合模型：通过多步运算间接给出和、差、倍关系，需先计算出隐藏的和 / 差 / 倍数，再套用和差倍公式。 4. 列式计算的核心表述规则 文字题中的关键表述对应运算逻辑： “除” 与 “除以”：A 除以 B 列式为；A 除 B 列式为。 “的和 / 差 / 积 / 商”：先算和差积商时，需添加括号保证运算优先级。 示例：“36 与 12 的差乘 5，积是多少” 列式为，必须加括号。 三、基础应用题型与标准解法 1. 运算顺序辨析与基础脱式计算 题型特征：给出两步、三步混合算式，判断运算顺序，或直接进行脱式计算。 解题策略：先标注运算顺序，明确先算什么、再算什么；严格按顺序分步计算，每一步只算一个运算，不跳步；括号内的运算同样遵循先乘除后加减规则。 2. 括号改写题 题型特征：给定算式，要求按指定运算顺序添加括号，或判断添加括号后结果的变化。 解题策略：要改变原本的运算优先级，就给需要先算的部分加上括号；多层运算按小括号→中括号的顺序添加。 3. 两步计算应用题 题型特征：需要先求出中间隐藏量，再求解最终问题，如 “已知总价和单价，买若干件后剩多少钱”。 解题策略：先梳理数量关系链条，明确先求什么、再求什么；分步列式或列综合算式，综合算式中注意通过括号保障运算顺序。 4. 基础列式计算（文字题） 题型特征：用文字描述运算关系，要求列出综合算式并计算。 解题策略：抓住 “和、差、积、商” 等关键词，确定最后一步运算是什么，反向推导前置运算；注意 “除”“去除” 等反向表述，避免被除数与除数颠倒。 5. 简单归一归总两步题 题型特征：单一维度的归一或归总，两步即可求解，如 “3 本书 45 元，买 8 本需要多少钱”。 解题策略：归一问题先除后乘，归总问题先乘后除；明确中间单一量或总量的意义，确保运算逻辑正确。 四、奥数进阶题型与解题策略 （一）混合运算巧算进阶 1. 题型特征 多步四则混合运算，数字间存在凑整关系，或可通过运算性质简化计算，直接按顺序计算繁琐且易出错。 2. 核心巧算方法 带符号搬家法：只有同级运算时，数字可带着前面的运算符号移动位置，优先计算能凑整、能整除的组合。 适用场景：加减混合、乘除混合的同级运算，通过调整顺序凑出整十整百数。 分组凑整法：将算式中互补的数分组结合，使每组计算结果为整十、整百数，再汇总计算。 示例：加减混合中，将加的数与减的数分别分组，或两两配对凑整。 去括号凑整法：利用去括号规则去掉括号，使原本被括号隔开的凑整组合可以直接计算。 易错提醒：括号前是减号、除号时，去括号后内部符号必须变号，这是最高频出错点。 商不变巧算：除法算式中，被除数与除数同时乘 / 除以相同的数（0 除外），商不变；将除数凑成整十、整百、整千数，简化计算。 提取公因数法：乘加、乘减混合运算中，提取公共因数，将剩余部分加减合并后再相乘，对应乘法分配律的逆用。 拓展：隐藏公因数题型，通过积不变规律将数字变形，构造出相同因数后再提取。 （二）错中求解进阶 1. 题型特征 多步混合运算中，看错运算符号、漏看括号、看错数字，得到错误结果，求正确结果或原数；比单步错中求解更复杂，需要分步逆推。 2. 三类高频考法 看错数字 / 符号类：某一步的数字或符号看错，其余步骤正确。 解题策略：从看错的步骤入手，先求出该步骤中不变的量，再按正确的运算逐步推导正确结果。 漏看括号类：计算时漏掉小括号，导致运算顺序错误，得到错误结果。 解题策略：先根据错误的运算顺序和结果，求出算式中的未知数，再代入原式按正确顺序计算。 抄错数类：抄写算式时将数字抄错数位、多写少写数字，导致结果偏差。 解题策略：计算数字的实际差值，结合运算层级推导对最终结果的影响，修正得到正确答案。 （三）还原问题（逆推问题） 1. 题型特征 已知一个数经过若干步加减乘除运算后的最终结果，反向推导原来的数；或已知物品经过多次取用后的剩余量，求原有总量。属于典型的逆向思维题型，是奥数经典考点。 2. 核心解题方法：逆推法 核心逻辑：从最终结果出发，按运算的逆顺序，进行逆运算：加变减、减变加、乘变除、除变乘。 标准步骤： 按正向运算顺序画出流程图，从原数到结果，标注每一步运算； 从结果反向倒推，每一步都用逆运算，逐步还原到原数； 遇到括号时，整体逆推，确保运算优先级对应。 进阶类型：多量还原，如甲乙两数互相给数后数量相等，分别求原数，需结合和不变性质辅助求解。 （四）归一归总问题进阶 1. 双归一求时间 / 数量 题型特征：已知两个维度的总量，求完成目标量所需的时间或参与的数量，如 “3 人 4 天加工 60 个零件，照这样计算，5 人加工 150 个需要几天”。 解题策略： 先用连除求出单一单位量（1 人 1 天的工作量）； 目标问题求时间，就用目标总量 ÷ 人数 ÷ 单日效率； 求人数，就用目标总量 ÷ 天数 ÷ 单日效率。 2. 归总带余量 / 损耗 题型特征：总量计算伴随固定的损耗、剩余、预留量，不是简单的每份数 × 份数。 示例：“一批货物，每车运 12 吨，运 8 车后还剩 5 吨，若每车运 10 吨，需要几辆车运完”。 解题策略：先根据原条件算出完整总量（含剩余），再用总量除以新的每份数，有余数时结合场景用进一法取值。 3. 倍比法进阶 题型特征：同类量成整数倍关系，单一量不是整数不便直接计算，通过倍数关系快速求解。 解题思路：先求出同类量的倍数，再用对应量乘 / 除倍数得到结果，避免小数计算，提升准确率。 （五）和差倍综合应用 1. 隐藏和差型 题型特征：不直接给出两数的和或差，需要通过混合运算先计算出和 / 差，再套用和差倍公式。 示例：“甲乙两数，甲是乙的 3 倍，甲减 20、乙加 20 后两数相等，求两数原来各是多少”。 解题策略：先根据条件推导出差值或和值，明确差倍、和倍关系，再用标准公式求出 1 份量，进而求出两个数。 2. 几倍多几 / 几倍少几型 题型特征：大数不是小数的整倍数，而是几倍多几或几倍少几，需要先修正总量再计算。 核心公式： 和倍多几：小数 =（和 - 多的数）÷（倍数 + 1） 和倍少几：小数 =（和 + 少的数）÷（倍数 + 1） 差倍多几、差倍少几同理，先修正差值再计算。 （六）方案优化与经济问题 1. 购票 / 租车最优方案 题型特征：有两种或多种票价 / 车型，已知总人数与各方案单价，求最省钱的购票 / 租车方案。 解题策略： 先计算各方案的人均单价，优先选择单价更低的方案； 优先满员使用低价方案，剩余人数对比单独买低价票、换高价方案的成本； 枚举所有可行组合，用混合运算计算每种方案的总费用，对比选出最小值。 2. 促销类数量关系 题型特征：“买几送几”“满减” 等促销场景，求实际单价、可购买总数或总花费。 解题策略：将 “买几送几” 看作一组，先算组数，再算总数量 / 总价；满减问题先算包含几个满减档位，扣除对应金额。 （七）拓展提升类 1. 定义新运算进阶 题型特征：自定义包含多级运算的新规则，可能带有括号，求算式结果或反求未知数。 解题策略：严格按定义规则，先算括号内的新运算，再算括号外的，逐步转化为常规四则运算。 2. 等量代换与消元初步 题型特征：给出两组不同的数量组合与对应总价，求单一物品的价格，如 “3 支笔 + 2 本本子共 20 元，2 支笔 + 2 本本子共 16 元”。 解题策略：对比两组条件，消去相同的量，先求出单一未知量，再代入求另一个量；本质是通过减法消元，是方程思想的启蒙。 五、核心解题方法汇总 顺序标注法：混合运算基础计算的核心方法，先标注运算优先级，按顺序分步计算，避免跳步出错。 凑整巧算法：通过带符号搬家、去括号、提取公因数等方式，构造整十整百组合，简化运算过程。 逆推还原法：还原问题的核心思路，从结果出发，逆运算逐步倒推，还原初始数值。 归一建模法：复杂应用题的通用思路，先求单一量或固定总量，再求解目标问题。 差量消元法：等量代换类问题的核心，通过对比两组条件的差值，消去相同量，求出单一量。 方案枚举法：优化类问题通用解法，枚举所有可行方案并计算成本，对比选择最优解。 六、易错点与避坑指南 1. 概念类易错点 运算顺序混乱：同级运算不按从左到右，两级运算先算加减后算乘除，是最基础也最高频的错误。 “除” 与 “除以” 混淆：文字题中将 “A 除 B” 列式为，正确应为，导致结果完全相反。 括号作用误解：认为加括号只是改变形式，不影响结果，忽略括号会改变运算优先级，进而改变最终结果。 归一基准搞错：求单一量时除数选错维度，将 “每人每天” 算成 “每人总天”，导致单一量偏差。 2. 计算类易错点 去括号变号错误：括号前是减号、除号时，去括号后内部运算符号未全部变号，只变第一个、漏变后面的。 脱式跳步出错：多步运算一次算多个步骤，导致中间结果算错，最终答案偏差。 提取公因数漏项：提取公共因数后，括号内的项数遗漏，尤其是常数项 1 容易被漏掉。 逆推运算顺序错：还原问题中逆推时，先算的部分没有后逆推，运算优先级对应错误，导致原数算错。 3. 应用类易错点 综合算式漏括号：列综合算式解应用题时，需要先算的加减部分忘记加括号，导致运算顺序错误，结果不对。 归总余量遗漏：带剩余、损耗的归总题，忘记加上剩余量或扣除损耗，导致总量计算不准。 方案枚举不全：优化问题只算纯方案，忽略混合搭配方案，找不到真正的最优解。 进一去尾用错：租车、装货等场景用去尾法，导致无法装下全部人员 / 货物；应结合实际场景选择取整方式。 培优练习 一、选择题 1．超市购进60箱苹果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下的又卖了5天才卖完，下面用“（60×15－210）÷5”来解决的问题是（    ）。 A．剩下多少千克苹果？ B．剩下的苹果平均每天卖出多少千克？ C．一共有多少千克苹果？ 2．乐乐带80元钱去商店买了一筒（12个）羽毛球，还剩下32元。算式32÷[（80－32）÷12]解决的问题是（    ）。 A．每个羽毛球多少元。 B．80元一共可以买几个羽毛球。 C．剩下的钱还可以买几个羽毛球。 3．改变25×40＋60÷10的运算顺序，先算加法，再算除法，最后算乘法，算式是（    ）。 A．25×（40＋60）÷10 B．25×[（40＋60）÷10] C．（25×40＋60）÷10 4．开学时，学校买来180把扫帚，分给6个年级，每个年级10个班，平均每班分几把？小晨的方法是“180÷（6×10）”，他的想法是先算（    ）。 A．每个年级分多少把 B．每个班级分多少把 C．学校共多少个班 5．不计算，比一比下面（    ）算式得数最大。 A．540÷3＋6×2 B．540÷（3＋6×2） C．540÷[（3＋6）×2] 二、填空题 6．某商场第一季度销售空调238台，第二季度销售空调374台，上半年平均每月销售空调( )台。 7．把28＋36＝64，64÷8＝8，248÷8＝31三道算式写成综合算式是：________________。 8．根据3.6－2.8＝0.8，2.5×0.8＝2，10÷2＝5，可以列出综合算式是( )。 9．在计算“[82－（32＋49）÷9]”时，要先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 10．把5＋7＝12，12×5＝60，900÷60＝15改写成综合算式是( )。 11．四年级师生去刘胡兰纪念馆开展“缅怀革命先烈赓续红色基因”的主题教育。若全坐大客车，每辆42人，8辆刚好够用。若全坐小客车，每辆21人，需要多少辆？ 我这样列式：42×8÷21第一步求的是：________ 我这样列式：42÷21×8第一步求的是：________ 12．某水果店准备去批发市场购买120千克苹果，结果发现梨的单价是苹果的一半，于是拿出一半的钱买梨，剩下的钱全买苹果。这次买回苹果和梨一共( )千克。 13．把45＋96＝141，200－141＝59，10×59＝590三个算式合并成一个综合算式是( )。 14．要使算式240÷15－5×2的运算顺序变为先减后乘最后除，需要添加的括号是( )，结果是( )。 15．计算940×[128－（54＋31）]时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 三、判断题 16．一个有中括号的四则运算算式里，可以没有小括号。( ) 17．在计算125×[126－（78＋22）]时，最后计算乘法。( ) 18．计算49×[（13＋23）÷9]时，应先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。( ) 19．480÷（2＋6×3）和480÷[（2＋6）×3]的计算结果相等。( ) 20．可以把，，合成一个综合算式是。( ) 四、计算题 21．脱式计算。 （390＋286）÷13    180×[42÷（62－56）]    45×（85－45） 22．脱式计算。 （76×32－2036）÷36        46×12－248÷8 25×（44＋288÷16）          246÷[96÷（366－350）] 五、解答题 23．钢笔每支8元，商店“买4送1”。李老师要买20支钢笔，一共需要付多少元？ 24．某工厂要生产1200个零件，前3天每天生产180个，剩下的要在4天内完成，平均每天需要生产多少个？ 25．超市运来面粉85袋，运来的大米比面粉的3倍多25袋，超市运来面粉和大米共多少袋？ 26．海海一家在双休日骑自行车到某景区玩。去时每小时行12千米，共行了2小时，返回时由于逆风骑行，每小时行的路程是去时的一半。返回时用了几小时？ 27．郑老师买了30个环保布袋，25套再生纸笔记本，一共花费1060元。其中每个环保布袋12元，每套再生纸笔记本多少钱？ 28．张叔叔去银行取款，第一次取出存款金额的一半还多15元，第二次取出余下钱数的一半还多20元，这时还剩225元，张叔叔原有存款多少元？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $