1.1 正数和负数（导学案）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦“正数和负数”，引导学生理解正负数概念、0的意义及相反意义的量的表示。通过气温、盈利亏损等生活实例导入，衔接小学学过的数，搭建从已知到未知的学习支架。 以“自主学习-合作探究”为主线，设置探究问题、例题导析及分层习题，融入数学史内容，培养学生抽象能力（数感、符号意识）和应用意识，助力学生用数学眼光观察现实、用数学语言表达实际问题。

1.1 正数和负数 导学案 1.理解正数、负数的概念，能准确识别正数与负数，掌握正、负号的读写方法。 2.理解 的意义，明确 既不是正数也不是负数。 3.能用正数和负数表示生活中具有相反意义的量，理解其实际含义。 教学重点：正数、负数的本质——“方向性＋数量”。 教学难点： 的多重含义及其“不属于正负”概念。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 ◎章节导入： 在小学，我们从日常生活中的实例出发，学习了自然数、小数、分数及其运算．在日常生活、生产和科研中，还会遇到另外一些数的表示问题．例如： （1）北京冬季某一天的最高气温为零上 3 摄氏度，最低气温为零下 3 摄氏度．如何用数区分“零上 3 摄氏度”和“零下 3 摄氏度”？ （2）某公司今年 7 月份盈利 50 万元，8 月份亏损 10 万元．该公司在记账时如何用数分别表示“盈利 50 万元”和“亏损 10 万元”？ （3）某年，我国棉花产量比上年增长 7.8%，玉米产量比上年减少 0.7%．统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示“增长 7.8%”和“减少 0.7%”？ 上面的问题都涉及意义相反的两个量，为了能用数表示像这样具有相反意义的两个量，需要引入负数．本章我们将认识负数的意义，把数的范围扩大到有理数，并在有理数范围内学习数的表示和大小比较等． ◎新课引入 自然数、分数与小数以及0等都大于或等于0，那么小于0的数如何表示呢，今天我们就来学习正数与负数. 思考：想一想，以前学过的这些数都有什么特点？ 新知自研：自研课本第1--5页的内容． 【学法指导】 自研课本P1-5的内容，思考： ●探究一：具有相反意义的量 ◆1.观察思考 观察下列情境中的量，它们有什么特点. 总结：以上这些量的特征： ①描述同一类事物 ②意义完全相反 ③都带有具体数量，即都是意义相反的量. ◆2.获取新知 在同一个问题中，意义相反的两个量，我们称为具有相反意义的量。 具有相反意义的量包括三层次含义： (1)具有相反意义；(2)具有数量；(3)属性相同。 如：①增加↔减少②零上↔零下③前进↔后退④收入↔支出⑤盈利↔亏损⑥向东↔向西⑦上升↔下降 想一想：你还能举出生活中相反意义的量吗？ ◆3.新知巩固 下列选项中，是具有相反意义的量的是（ ） A.身高增加1cm与体重减少1kg B.海平面以上与海平面以下 C.向东5 m与向西8 m D.存入100元与降价10元 【分析】相反意义的量需要满足：属性相同、意义相反、都带具体数量. 解：A：身高、体重是两类不同的量，不满足属性相同，排除. B：只有相反描述，没有具体数量，不属于量，排除. C：都为路程，东、西意义相反，带有具体长度，是相反意义的量. D：存钱、降价是不同场景的量，属性不一样，排除. ●探究二：正数与负数的定义 ◆1.新知探究 ①为了区分相反意义的量，我们规定其中一种意义的量为正，用小学学过的大于 0 的数表示；另一种和它意义相反的量为负，在正数前加上负号 “－” 表示. 正数：大于 0 的数，如 3，50，7.8。正数前面可以加 “+”（正号），如 + 3，通常正号可以省略不写。 负数：在正数前面加上负号 “－” 的数，如－3，－10，－0.7。负号不能省略。 ②正数与负数的读法 (1)正数的实质就是大于0的任何数， “＋”读作正，正数可以含 “＋”，也可以不含“＋”； (2)负数就是在正数前面加上“－”的数，“－”读作负，每一个正数都对应一个负数； ◆2.探究思考 符号“＋” “－”有哪些含义？ (1)数有带符号(＋、－)的数和不带符号的数两种呈现形式； (2)数包括正数、0、负数三种情况． 注意：符号“＋” “－”的含义： (1)作为运算符号是加减号；例如：20－10 (2)作为数的性质是正负号．例如：+100，－30 ◆3.知识链接 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉时期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，如关于家畜买卖的第八题，使用“正与负”来表示“卖出与买入”，将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负. 魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负. ◆4.新知巩固 判断下列各数是正数还是负数: -11，，+38，-0.36，2.7,0,+9 【分析】依据正负数字定义区分：数字大于 0 为正数，带负号且小于 0 为负数. 解：正数：，+38，2.7，+9 负数： -11, -0.36 【注意】判断一个数是正数还是负数时，不能简单地理解为带 “+”号的数就是正数，带 “−”号的数就是负数，如我们以后会学到-(-4)就不是负数，而+(-5)也不是正数。 ●探究三：0 的意义 ◆1.新知探究 ①思考：0是正数还是负数? 如图为：“中华人民共和国水准零点”标志 即为“海拔 0 米基准” 全国高程测量原始计算起算点，海拔高度比较的基准. 也就是说，海拔0米不是没有高度 ②思考：下图是吐鲁番盆地的示意图,其中的湖和山峰与海平面的关系是什么？由此你能得出什么结论？ ①艾丁湖低于海平面154.3m ②博格达峰高出海平面5445m 总结：“0”可以表示一种基准，高于基准的量用正数来表示，低于基准的量用负数表示. ◆2.探究思考 下图中的数据表示什么？ ① 海平面记作0 米： 正数（如 A 点 4600）：表示高出海平面 4600 米，海拔为正，代表陆地高地； 负数（如 B 点 - 100）：表示低于海平面 100 米，海拔为负，代表洼地、地下盆地。 ② 以收支平衡 0 元为基准： 正数（如 + 15.00）：代表收入、进账，钱款增加； 负数（如 - 10.00、-30.00）：代表支出、消费，钱款减少。 ◆3.新知巩固 下列关于“0”的说法中,正确的个数是 (　　) ①0是正数和负数的分界; ②0只能表示“什么也没有”; ③0可以表示特定的意义,如0 ℃等; ④0是正数; ⑤0是自然数. A.4　　　　 B.3　　　　 C.2　　　　 D.1 【分析】0不是正数也不是负数. 解：0除了可以表示“无”的意义外,还有其他意义,故②不正确; 0既不是正数,也不是负数,故④不正确.①③⑤正确. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装，一箱橘子的标准质量为 2.5 kg，如果用正数表示超过标准质量的克数，那么： （1）比标准质量多 65 g 和比标准质量少 30 g 各怎么表示？ （2）50 g，−27 g 各表示什么意思？ 【分析】规定超出标准质量记正数，不足记负数，据此完成书写与含义解读. 【解答】解：（1）比标准质量多 65 g 用 + 65 g 表示，比标准质量少 30 g 用−30 g 表示； （2）50 g 表示这箱橘子的质量比标准质量多 50 g，−27 g 表示这箱橘子的质量比标准质量少 27 g. 例2（1）一个月内，李明体重增加 1.2 kg，张华体重减少 0.5 kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值. （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下： A 品牌减少 2%，B 品牌增长 4%，C 品牌增长 1%，D 品牌减少 3%。 写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 【分析】规定增加、增长记作正数，减少记作负数，无变化记为 0，据此书写增长值与增长率. 【解答】解：（1）这个月李明体重增长 1.2 kg，张华体重增长 -0.5 kg，刘伟体重增长 0 kg. （2）A 增长率：-2% B 增长率：4% C 增长率：1% D 增长率：-3% 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨正数和负数的概念以及如何表示和读法； B.探讨如何用正负数表示一对具有相反意义的量. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列各数中：5，−，−3，0，−25.8，+2，负数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意 0 既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可. 【详解】解：5>0，是正数；−<0，是负数 −3<0，是负数；0 既不是正数，也不是负数； −25.8<0，是负数；+2>0，是正数；选C 2.下列语句中错误的有（ ）个． ①不带“−”号的数都是正数；②如果a是正数，那么−a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 解答：①0不带“−”号但不是正数，故原说法错误； ②如果a是正数，那么−a一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④0℃表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 3.下列具有相反意义的量的是（   ） A．运进20吨和卖出15吨 B．上升3米和下降5米 C．气温上升8℃和湿度降低6℃ D．盈利13万元和支出8000元 【分析】判断是否具有相反意义的量，需满足两个条件：一是同一种类量，二是变化方向相反；据此逐项判断即可求解. 解：∵ 相反意义的量要求同种量且方向相反. A：运进和卖出虽均涉及货物，但运进对应运出，卖出对应买入，不是直接相反动作，故不具备相反意义. B：上升和下降都是高度变化，方向相反，具备相反意义. C：气温和湿度是不同物理量，不具备相反意义. D：盈利是净利润，支出是费用，不具备相反意义. 所以选B 4．魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（    ） A．−1斗 B．+1斗 C．−7斗 D．+7斗 解：∵益实一斗（增加1斗）记为+1斗， ∴损实七斗（减少7斗）记为−7斗， 故选：C． 5.如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 6.食盐的包装袋上标着“净重（500±5克）”，那么一袋重量为（    ）克的食盐可以顺利出厂． A．550 B．510 C．497 D．450 解：∵食盐的包装袋上标着“净重（500±5克）”， ∴500−5=495（克），500+5=505（克）， 观察四个选项，550>505，510>505，495<497<505，450<495， 即C选项符合题意， 故选：C． 7.一种巧克力的质量标识为“100±0.25克”，表示其标准重量为100克，上下偏差不超过0.25克就符合标准，则下列巧克力符合标准的是（   ） A．100.51克 B．100.30克 C．99.70克 D．99.80克 【分析】根据巧克力的质量标识为“100±0.25克”，求出合格质量范围的取值范围，进而即可求解. 解：∵标准重量100克，偏差±0.25克， ∴合格范围为99.75克≤合格质量≤ 100.25克， A、100.51>100.25，不符合； B、100.30>100.25，不符合； C、99.70<99.75，不符合； D、99.75<99.80<100.25，符合； 所以选D 8.某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“250±0.5mL”，表示其标准质量为250mL，上下偏差不超过0.5mL就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是______________mL． 解：由题意，净含量为250mL，允许偏差为±0.5mL， ∴250−0.5=249.5mL，250+0.5=250.5mL， ∴符合要求的净含量范围为249.5mL≤净含量≤250.5mL， ∴生产符合要求的牛奶的最小净含量是249.5mL， 故答案为：249.5． ▲1.在同一个问题中，意义相反的两个量，我们称为具有相反意义的量。 具有相反意义的量包括三层次含义： (1)具有相反意义；(2)具有数量；(3)属性相同。 ▲2.正数和负数 ①正数：大于 0 的数，正数前面可以加 “+”（正号），通常正号可以省略不写。 负数：在正数前面加上负号 “－” 的数，负号不能省略。 ②正数与负数的读法 (1)正数的实质就是大于0的任何数， “＋”读作正，正数可以含 “＋”，也可以不含“＋”； (2)负数就是在正数前面加上“－”的数，“－”读作负，每一个正数都对应一个负数； 题型一 正数和负数的概念 1．在﹣2，0，，2这四个数中，是负数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 【分析】根据负数的定义即可求得答案． 【解答】解：﹣2是负数；，2是正数；0既不是正数也不是负数； 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．下列各数是正数的是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣0.3 【分析】根据正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“﹣”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点．据此解答即可． 【解答】解：A．是正数，故此选项符合题意； B．0既不是正数，也不是负数，故此选项不符合题意； C．﹣1是负数，故此选项不符合题意； D．﹣0.3是负数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数的定义，解题的关键是掌握：正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“﹣”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点． 3．在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据正数的定义解答即可． 【解答】解：这五个数中，正数有3个，分别为π，11，3， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键． 4．已知下列各数：，﹣2，3.14，0，0.2，﹣216，6，，其中正数有　 　；负数有　 ． 【分析】根据正数与负数的特征可判定求解． 【解答】解：在，﹣2，3.14，0，0.2，﹣216，6，中，正数3.14，0.2，6，；负数有，﹣2，﹣216． 故答案为3.14，0.2，6，；，﹣2，﹣216， 【点评】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 题型二 0的再认识 5．既不是正数也不是负数的数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】既不是正数也不是负数的数只有0． 【解答】解：0既不是正数也不是负数． 故选：C． 【点评】本题考查了实数的知识，注意熟练掌握：既不是正数也不是负数的数只有0． 6．规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是（　　） A．8吨记为﹣8吨 B．15吨记为+5吨 C．6吨记为﹣4吨 D．+3吨表示重量为13吨 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选10吨为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可． 【解答】解：A、10﹣8＝2（吨） 所以8吨记为﹣2吨，而不是﹣8吨，故A说法错误； B、15﹣10＝5（吨） 所以15吨记为+5吨说法正确； C、10﹣6＝4（吨） 所以﹣4吨表示重量为6吨说法正确； D、13﹣10＝3（吨） 所以+3吨表示重量为13吨说法正确； 故选：A． 【点评】此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 7．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元 D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示 【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可． 【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C，正确，故不符合题意； C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元，正确，故不符合题意； D．规定向正北走用正数表示，则向正南走才用负数表示，原说法错误，故符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 8．四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可． 【解答】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意． 题型三 判断是否为相反意义的量 9．下列各组量中具有相反意义的量是（　　） A．上升与下降 B．向东走3m与向南走5m C．长大4岁与减少5kg D．零上2℃与零下6℃ 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：A、上升的反义词是下降是正确的，但这句话没有说明是哪两个量，故此选项不符合题意； B、向东走与向南走不是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； C、长大4岁与减少5kg不是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、零上2℃与零下6℃是具有相反意义的量，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 10．下列是具有相反意义的量的是（　　） A．向东走5米和向北走5米 B．身高增加2厘米和体重减少2千克 C．胜1局和亏本70元 D．收入50元和支出40元 【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反． 【解答】解：A．“向东”与“向北”，没有具体数量，不符合题意； B．身高和体重不是相反的量，不符合题意； C．胜1局和亏本70元不是相反的量，不符合题意； D．收入50元和支出40元具有相反意义，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，解题关键：相反意义的量的两个关键因素，它们必须是同一属性，意义相反． 11．下列选项中具有相反意义的量是（　　） A．气温上升5℃和零下5℃ B．顺时针4圈和逆时针3圈 C．盈利200元和支出300元 D．走了100米和跑了100米 【分析】根据正负数是表示一对意义相反的量，可以辨别出只顺时针4圈和逆时针3圈的意义符合． 【解答】解：A、气温上升5°C和零下5°C不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意； B、顺时针4圈和逆时针3圈是一对意义相反的量，故选项正确，符合题意； C、盈利200元和支出300元不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意， D、走了100米和跑了100米不具有相反意义的量，故选项错误，不合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量． 12．下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（　　） A．借贷5万元与还贷6万元 B．高出海平面8888米与低于海平面188米 C．亏损2万元与盈利8万元 D．增产10吨粮食与减产-10吨粮食 【分析】根据正负数表示相反意义的量，可得答案． 【解答】解：A、借贷5万元与还贷6万元是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、高出海平面8888米与低于海平面188米，具有相反意义的量，故B不符合题意； C、亏损2万元与盈利8万元，具有相反意义的量，故C不符合题意； D、增产10吨粮食与减产-10吨粮食， 因为减产-10吨粮食相当于增产10吨粮食， 所以不具有相反意义的量， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键． 题型四 运用正负数表示具有相反意义的量 13．某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为（　　） A．+10cm3 B．﹣10cm3 C．+0cm3 D．﹣20cm3 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为﹣10cm3， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 14．正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作+10，那么还书5本可以记作（　　） A．﹣10 B．+10 C．﹣5 D．+5 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：借书10本记作+10，那么还书5本可以记作﹣5， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 15．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量． （1）收入10元，　　 6元； （2）高出海平面500m，　 　海平面100m； （3）减少60kg，　　 80kg； （4）　 　500元，节约700元； （5）向东走5米，　 　走6米． （6）　　 3m2，缩小4m2． 【分析】根据题意，要构成相反意义，则关键词为“反义”，据此分析，找出其余小题中与关键词具有相反意义的词，再填空即可． 【解答】解：（1）根据题意，收入10元，支出6元； （2）根据题意，高出海平面500m，低于海平面100m； （3）根据题意，减少60kg，增加80kg； （4）根据题意，浪费500元，节约700元； （5）根据题意，向东走5米，向西走6米； （6）根据题意，扩大3m2，缩小4m2． 故答案为：（1）支出；（2）低于；（3）增加；（4）浪费；（5）向西；（6）扩大． 【点评】本题考查了正负数的知识，掌握正负数的定义是关键． 16．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． （1）气温是零上8℃，零上为正； （2）向南走200米，向南为负； （3）转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； （4）高于海平面8米，高于海平面为正． 【分析】正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题． 【解答】解：本题答案不唯一，如： （1）气温是零上8℃，+8℃； （2）向南走200米，﹣200米； （3）顺时针转动转盘5圈，+5圈； （4）高于海平面8米，+8米． 【点评】本题主要考查了正确的掌握正负数的概念，解答本题的关键就是读懂题意． 题型五 运用正负数表示误差范围 17．某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适． A．17℃～23℃ B．20℃～23℃ C．17℃～20℃ D．20℃～26℃ 【分析】选20℃为标准记为0，超过部分为正，不足部分为负，直接计算即可． 【解答】解：20℃﹣3℃＝17℃，20℃+3℃＝23℃， 则该药品在17℃～23℃范围内保存． 故选：A． 【点评】本题考查正负数问题，选准标准，规定超过部分为正，不足部分为负，由此用正负数解答问题是关键． 18．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可． 【解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm～4.7mm， 则A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 19．某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（　　） A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃ 【分析】此题比较简单，根据正数和负数的定义便可解答． 【解答】解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃﹣2℃＝18℃，最高温度是20℃+2℃＝22℃，即18℃～22℃之间是合适温度． 故选：C． 【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 20．如图是加工某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．Φ45.04 B．Φ44.96 C．Φ44.98 D．Φ45.02 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【解答】解：∵45+0.03＝45.03，45﹣0.04＝44.96， ∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03， ∵45.04不在该范围之内， ∴不合格的是A， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 题型六 正数、负数的探究题 21．已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（　　） A．﹣46 B．﹣36 C．37 D．45 【分析】观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为﹣46． 故选A． 【解答】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数， 所以前9行的数的个数为1+2+3+…+9＝45， 而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数， 所以第10行数的第1个数为﹣46． 故选：A． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题． 22．观察下面依次排列的两列数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出每组第15个数、第101个数、第2018个数分别是什么吗？ （1）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8，　 　，　 　，　 ，…； （2）﹣1，，﹣3，，﹣5，，﹣7，，　 　，　 　，　 　，…． 【分析】第一组数中，序号是3的倍数的数是正数，其余数是负数，符号后面的数是从1开始的连续自然数； 第二组数中，偶数项是以项数为分母，1为分子的数，奇数项是在项数前加﹣． 【解答】解：（1）后面的3个数依次为+9，﹣10，﹣11． 观察发现，若n能被3整除，则第n个数为+n，若n不能被3整除，则第n个数为﹣n（n为正整数）， 所以第15个数为15，第101个数为﹣101，第2018个数为﹣2018． 故答案为：+9，﹣10，﹣11； （2）后面的3个数依次为﹣9，，﹣11． 观察发现，若n能被2整除，则第n个数为，若n不能被2整除，则第n个数为﹣n（n为正整数）， 所以第15个数为﹣15，第101个数为﹣101，第2018个数为． 故答案为：﹣9，，﹣11． 【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 23．已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，…将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 第4行 7 8 9 10 第5行 11 12 13 14 15 … 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数是 　 　，第20行从右边数第5个数是 　　． 【分析】观察数据的排列特点发现：第i（i为正整数）行有i个数据，据此可得出第n行的最后一个数为，便可解决问题． 【解答】解：观察发现， 第i（i为正整数）行共有i个数， 所以前n行数据的总个数为：1+2+3+……+n． 即表示第n行最后一个数为． 所以n＝9时，． 即有第9行，最后一个数为45． 所以第10行第1个数为46，那么低10行第5个数为50． n＝20时，210． 即表示第20行最后一个数为210， 所以第20行从右边数第5个数是206． 故答案为：50，206． 【点评】本题考查数据的排列规律，发现第n行的最后一个数是是解题的关键． 24．有一组数据依次为：－1，0，＋2，0，－3，0，＋4，0，－5，0，＋6，0，…. (1)若这组数据共有100个，则共有多少个负数，多少个正数？ (2)第2000个数是什么？ 【分析】（1）连续4个数分为1组，有1个正数，1个负数，2个0，则100个数分成25组，即可得出结论； （2）观察可知：偶数位置的数都是0，即可得出结论． 【解答】（1）观察可知，连续4个数中，1个正数，1个负数，2个0，故100个数中，有25个负数，25个正数． （2）根据排列规律可知：偶数位置的数为0，故第2000个数为0． 【点评】本题考查了数字的变化规律．掌握数字的变化规律是解答本题的关键． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 正数和负数 导学案 1.理解正数、负数的概念，能准确识别正数与负数，掌握正、负号的读写方法。 2.理解 的意义，明确 既不是正数也不是负数。 3.能用正数和负数表示生活中具有相反意义的量，理解其实际含义。 教学重点：正数、负数的本质——“方向性＋数量”。 教学难点： 的多重含义及其“不属于正负”概念。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 ◎章节导入： 在小学，我们从日常生活中的实例出发，学习了自然数、小数、分数及其运算．在日常生活、生产和科研中，还会遇到另外一些数的表示问题．例如： （1）北京冬季某一天的最高气温为零上 3 摄氏度，最低气温为零下 3 摄氏度．如何用数区分“零上 3 摄氏度”和“零下 3 摄氏度”？ （2）某公司今年 7 月份盈利 50 万元，8 月份亏损 10 万元．该公司在记账时如何用数分别表示“盈利 50 万元”和“亏损 10 万元”？ （3）某年，我国棉花产量比上年增长 7.8%，玉米产量比上年减少 0.7%．统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示“增长 7.8%”和“减少 0.7%”？ 上面的问题都涉及意义相反的两个量，为了能用数表示像这样具有相反意义的两个量，需要引入负数．本章我们将认识负数的意义，把数的范围扩大到有理数，并在有理数范围内学习数的表示和大小比较等． ◎新课引入 自然数、分数与小数以及0等都大于或等于0，那么小于0的数如何表示呢，今天我们就来学习正数与负数. 思考：想一想，以前学过的这些数都有什么特点？ 新知自研：自研课本第1--5页的内容． 【学法指导】 自研课本P1-5的内容，思考： ●探究一：具有相反意义的量 ◆1.观察思考 观察下列情境中的量，它们有什么特点. 总结：以上这些量的特征： ①描述同一类事物 ②意义完全 ③都带有具体 ，即都是意义相反的量. ◆2.获取新知 在同一个问题中， 的两个量，我们称为具有 的量。 具有相反意义的量包括三层次含义： (1)具有 ；(2)具有 ；(3)属性相同。 如：①增加↔ ② ↔零下③前进↔ ④收入↔ ⑤ ↔亏损⑥向东↔ ⑦上升↔ 想一想：你还能举出生活中相反意义的量吗？ ◆3.新知巩固 下列选项中，是具有相反意义的量的是（ ） A.身高增加1cm与体重减少1kg B.海平面以上与海平面以下 C.向东5 m与向西8 m D.存入100元与降价10元 ●探究二：正数与负数的定义 ◆1.新知探究 ①为了区分相反意义的量，我们规定其中一种意义的量为正，用小学学过的大于 0 的数表示；另一种和它意义相反的量为 ，在正数前加上负号 “ ” 表示. 正数： 的数，如 3，50，7.8。正数前面可以加 “ ”（ 号），如 + 3，通常正号可以 。 负数：在 前面加上负号 “－” 的数，如－3，－10，－0.7。负号不能 。 ②正数与负数的读法 (1)正数的实质就是大于0的任何数， “＋”读作 ，正数可以含 “＋”，也可以不含“＋”； (2)负数就是在正数前面加上“－”的数，“－”读作 ，每一个正数都对应一个负数； ◆2.探究思考 符号“＋” “－”有哪些含义？ (1)数有带符号(＋、－)的数和不带符号的数两种呈现形式； (2)数包括正数、 、 三种情况． 注意：符号“＋” “－”的含义： (1)作为运算符号是 号；例如：20－10 (2)作为数的性质是 号．例如：+100，－30 ◆3.知识链接 我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉时期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，如关于家畜买卖的第八题，使用“正与负”来表示“卖出与买入”，将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负. 魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负. ◆4.新知巩固 判断下列各数是正数还是负数: -11，，+38，-0.36，2.7,0,+9 【注意】判断一个数是正数还是负数时，不能简单地理解为带 “+”号的数就是正数，带 “−”号的数就是负数，如我们以后会学到-(-4)就不是负数，而+(-5)也不是正数。 ●探究三：0 的意义 ◆1.新知探究 ①思考：0是正数还是负数? 如图为：“中华人民共和国水准零点”标志 即为“海拔 0 米基准” 全国高程测量原始计算起算点，海拔高度比较的基准. 也就是说，海拔0米不是 高度 ②思考：下图是吐鲁番盆地的示意图,其中的湖和山峰与海平面的关系是什么？由此你能得出什么结论？ ①艾丁湖低于海平面154.3m ②博格达峰高出海平面5445m 总结：“0”可以表示一种基准，高于基准的量用 来表示，低于基准的量用 表示. ◆2.探究思考 下图中的数据表示什么？ ① 记作0 米： 正数（如 A 点 4600）：表示 海平面 4600 米，海拔为正，代表陆地高地； 负数（如 B 点 - 100）：表示 海平面 100 米，海拔为负，代表洼地、地下盆地。 ② 以收支平衡 元为基准： 正数（如 + 15.00）：代表 、进账，钱款增加； 负数（如 - 10.00、-30.00）：代表 、消费，钱款减少。 ◆3.新知巩固 下列关于“0”的说法中,正确的个数是 (　　) ①0是正数和负数的分界; ②0只能表示“什么也没有”; ③0可以表示特定的意义,如0 ℃等; ④0是正数; ⑤0是自然数. A.4　　　　 B.3　　　　 C.2　　　　 D.1 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装，一箱橘子的标准质量为 2.5 kg，如果用正数表示超过标准质量的克数，那么： （1）比标准质量多 65 g 和比标准质量少 30 g 各怎么表示？ （2）50 g，−27 g 各表示什么意思？ 【分析】规定超出标准质量记 ，不足记 ，据此完成书写与含义解读. 【解答】 例2（1）一个月内，李明体重增加 1.2 kg，张华体重减少 0.5 kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值. （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下： A 品牌减少 2%，B 品牌增长 4%，C 品牌增长 1%，D 品牌减少 3%。 写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 【分析】规定增加、增长记作 ，减少记作 ，无变化记为 ，据此书写增长值与增长率. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨正数和负数的概念以及如何表示和读法； B.探讨如何用正负数表示一对具有相反意义的量. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列各数中：5，−，−3，0，−25.8，+2，负数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2.下列语句中错误的有（ ）个． ①不带“−”号的数都是正数；②如果a是正数，那么−a一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 3.下列具有相反意义的量的是（   ） A．运进20吨和卖出15吨 B．上升3米和下降5米 C．气温上升8℃和湿度降低6℃ D．盈利13万元和支出8000元 4．魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（    ） A．−1斗 B．+1斗 C．−7斗 D．+7斗 5.如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 6.食盐的包装袋上标着“净重（500±5克）”，那么一袋重量为（    ）克的食盐可以顺利出厂． A．550 B．510 C．497 D．450 7.一种巧克力的质量标识为“100±0.25克”，表示其标准重量为100克，上下偏差不超过0.25克就符合标准，则下列巧克力符合标准的是（   ） A．100.51克 B．100.30克 C．99.70克 D．99.80克 8.某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“250±0.5mL”，表示其标准质量为250mL，上下偏差不超过0.5mL就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是______________mL． ▲1.在同一个问题中， 的两个量，我们称为具有 的量。 具有相反意义的量包括三层次含义： (1)具有 ；(2)具有 ；(3)属性相同。 ▲2.正数和负数 ①正数： 的数，正数前面可以加 “ ”（ 号），通常正号可以 。 负数：在 前面加上负号 “－” 的数，负号不能 。 ②正数与负数的读法 (1)正数的实质就是大于0的任何数， “＋”读作 ，正数可以含 “＋”，也可以不含“＋”； (2)负数就是在正数前面加上“－”的数，“－”读作 ，每一个正数都对应一个负数； 题型一 正数和负数的概念 1．在﹣2，0，，2这四个数中，是负数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 2．下列各数是正数的是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣0.3 3．在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知下列各数：，﹣2，3.14，0，0.2，﹣216，6，，其中正数有　 　；负数有　 ． 题型二 0的再认识 5．既不是正数也不是负数的数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 6．规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是（　　） A．8吨记为﹣8吨 B．15吨记为+5吨 C．6吨记为﹣4吨 D．+3吨表示重量为13吨 7．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元 D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示 8．四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 题型三 判断是否为相反意义的量 9．下列各组量中具有相反意义的量是（　　） A．上升与下降 B．向东走3m与向南走5m C．长大4岁与减少5kg D．零上2℃与零下6℃ 10．下列是具有相反意义的量的是（　　） A．向东走5米和向北走5米 B．身高增加2厘米和体重减少2千克 C．胜1局和亏本70元 D．收入50元和支出40元 11．下列选项中具有相反意义的量是（　　） A．气温上升5℃和零下5℃ B．顺时针4圈和逆时针3圈 C．盈利200元和支出300元 D．走了100米和跑了100米 12．下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（　　） A．借贷5万元与还贷6万元 B．高出海平面8888米与低于海平面188米 C．亏损2万元与盈利8万元 D．增产10吨粮食与减产-10吨粮食 题型四 运用正负数表示具有相反意义的量 13．某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为（　　） A．+10cm3 B．﹣10cm3 C．+0cm3 D．﹣20cm3 14．正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作+10，那么还书5本可以记作（　　） A．﹣10 B．+10 C．﹣5 D．+5 15．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量． （1）收入10元，　　 6元； （2）高出海平面500m，　 　海平面100m； （3）减少60kg，　　 80kg； （4）　 　500元，节约700元； （5）向东走5米，　 　走6米． （6）　　 3m2，缩小4m2． 16．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． （1）气温是零上8℃，零上为正； （2）向南走200米，向南为负； （3）转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； （4）高于海平面8米，高于海平面为正． 题型五 运用正负数表示误差范围 17．某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适． A．17℃～23℃ B．20℃～23℃ C．17℃～20℃ D．20℃～26℃ 18．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 19．某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（　　） A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃ 20．如图是加工某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．Φ45.04 B．Φ44.96 C．Φ44.98 D．Φ45.02 题型六 正数、负数的探究题 21．已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（　　） A．﹣46 B．﹣36 C．37 D．45 22．观察下面依次排列的两列数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出每组第15个数、第101个数、第2018个数分别是什么吗？ （1）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8，　 　，　 　，　 ，…； （2）﹣1，，﹣3，，﹣5，，﹣7，，　 　，　 　，　 　，…． 23．已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，…将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 2 3 第3行 4 5 6 第4行 7 8 9 10 第5行 11 12 13 14 15 … 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数是 　 　，第20行从右边数第5个数是 　　． 24．有一组数据依次为：－1，0，＋2，0，－3，0，＋4，0，－5，0，＋6，0，…. (1)若这组数据共有100个，则共有多少个负数，多少个正数？ (2)第2000个数是什么？ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $