专题03 单调性求参·最值求参·值域求参·分段求参·奇偶求参六大核心问题（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦函数性质与参数求解的六大核心问题，通过题型分类系统覆盖单调性、最值、值域、分段函数、奇偶性求参，形成以性质应用为逻辑主线的专项训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性求参|10题|抽象与具体函数单调性条件转化|以单调性定义及判定为基础，建立参数不等式| |最值求参|10题|恒成立与存在性问题|通过最值存在性及大小关系构建参数方程/不等式| |值域求参|10题|值域范围与集合包含关系|基于函数值域构成要素，分析参数对值域的影响| |分段函数单调性求参|10题|整体单调及衔接点条件|结合各段单调性及端点值关系综合求参| |分段函数值域求参|10题|分段值域整合及范围确定|分段值域合并分析，建立参数约束| |奇偶性求参|10题|奇偶性定义应用及性质转化|利用奇偶性定义式构建参数方程，结合定义域|

专题03单调性求参·最值求参·值域求参·分段求参·奇偶求参六大核心问题 题型一 根据函数单调性求参 题型二 根据函数最值求参 题型三 根据值域求参数的值或范围 题型四 根据分段函数的单调性求参 题型五 根据分段函数的值域求参 题型六 根据函数的奇偶性求参 题型一 根据函数单调性求参 1．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 2．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 3．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 4．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 7．（多选）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 8．已知函数，，则满足的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 10．对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 题型二 根据函数最值求参 11．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 13．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 15．函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 17．若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 18．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 19．（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 20．已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 题型三 根据值域求参数的值或范围 21．函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 23．若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________． 24．下列四个命题，其中为真命题的是（   ） A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B．和表示同一函数 C．函数的单调增区间为 D．若函数的值域是，则实数或 25．定义在上的函数，若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则的取值范围是_____ 26．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 28．函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围是_________. 题型四 根据分段函数的单调性求参 31．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 33．已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 34．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 35．已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 36．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 40．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 题型五 根据分段函数的值域求参 41．设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 42．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 43．已知函数在上单调递增且值域为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（多选）已知函数．若当时，，则的值可以是（   ） A． B．6 C．8 D． 45．设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 46．若函数的值域是，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．已知函数.若的最小值为，则的一个取值为__________；的取值范围为__________． 48．若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．已知，若有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 根据函数的奇偶性求参 51．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 52．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 53．若函数是上的偶函数，则的值为______． 54．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 55．（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 56．已知函数为奇函数，则的最小值为_________． 57．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 58．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 59．已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 60．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 专题03单调性求参·最值求参·值域求参·分段求参 问题 题型归纳 题型一根据函数单调性求参 题型二根据函数最值求参 题型三根据值域求参数的值或范围 题型四根据分段函数的单调性求参 题型五根据分段函数的值域求参 题型六根据函数的奇偶性求参 题型专练 题型一根据函数单调性求参 1.[2,4] 【详解】题干中条件(：-)儿(x)f(,】<0对任意不等实数x,恒成立 单调递减函数， 故f(x)=x2-x+7是开口向上的抛物线，其对称轴为x=2,即： f)-是在化，+四)上递减的充要条件是系数。>0： 且P-al+7之号整理得8-a≥a一a≤4， a 综合三个条件，得a的取值范围是[2,4]. 2.6 【详解】因为函数f(x)在定义域(0，+∞)上是单调函数， 且-2 则存在唯一的常数1∈(0，+∞)，使得f(0=2, 1/13 上好每一堂课 奇偶求参六大核心 则函数f(x)在R上是严格 a≥2； 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f)-是=4，也即)+， 于是，由f0=+1=2,解得，1=1故()是1， 所以G)=5+1=6 3.（-0,4+22] 【详解】因为f(x)= x-2+2,x≤2 x2-a+2a,x>2函数y=-+2a的对称轴为直线x=号 当号≤2，即g54时，函数f冈在(2，四)上为增西数，y=2-m+2a过定点2,4 根据题意，有f)m=f(2)=2-2+2=2≤4-2a+2a=4,此时a≤4： 当号>2.即。4时当2时f以=侣}=2年 由题意得/(2)=2≤2a- 4,解得4a≤4+22： 综上所述，实数a的取值范围是(-o,4+22]。 4.A 5.B 6.3sks9 或2 ≤k≤1 【详解】因为f(-)=0,所以a-b+1=0,即a=b-1, 因为对任意实数x均有f(x)≥0，所以△=b2-4a≤0，即b2-4b+4≤0. 解得b=2,a=1. 所以函数的表达式为f(x)=x2+2x+1,所以8(x)=f()-a=x2+(2-k)x+1. 「117 设n)=x2+(2-k)x+1,要使得g(x)是2'2 上的单调函数，只要 [k-2≥1 k-2≥1 k-2≤- [k-2≤- 22 2-2 2 2 2 2 或 或 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得3≤ks 1k≤1. 2或2 7.ABC 8.D 9.回f儿)-be在化+o)上单词递海 (x-1)(x2+1) 您明：设1s5<则/))=oge,三ig5+5-7 °x3+1 (x-1(x+1)-(x+1(:-1)=2(x-x)<0,(:+10(x-)>0, o传骨，s传号0 f(x)-f(s)<0,.f(x)<f(), ∴)-=oe化网上单洞造搭 am引 o.(m-2信2[+m) 【详解】令x+1=x-),则x= ①当1<-2时，则[-2,0[2,4-2+o),且x[-2,0小[2,4上(=2单调递增。 所以1<-2时，满足x≠，恒有f(x)≠f(:): [-x-2,x≤-2 ②当 时，f(x)=1 在 上单调递增， t=-2 +2).x>-2:显然时 x≥-2f(x)x∈[-2,0U[2,4 所以1=-2时，满足x≠x2恒有f(x)≠f(:2): ③当-2<t<0时， 在x∈[-2，小上f(x)=-x+1单调递减，此时()e[0,2+小，且0<2+1<2， 在6op4肚o-号华送北时Q-引40s号1， 显然02+50-引[4有交架， 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以-2<1<0时，不满足￥≠时，恒有f()≠f(3): ④当0≤1≤2时，则x∈[-2,0]上f(x)=-x+1单调递减，且f(x)[,2+川， ,上)-c-)单调造塔，且e[-2-哥引 若1-分>21，即1<子不符合051S2的前是， 若2-1s2,即1s2时2+1-2-引无交架， 2 者0s1≤含时，恒有2+11-且2-号1，显2+[-号2-分引有交集 所以，0s1≤时，不满足56时，恒有了5)5)， 3<1≤2时，满足x≠x时，恒有f(x)≠f(): ⑤当2<t<4时， 在x∈[-2,0小U[2,上f()=-x+t单调递减，此时f(x)e[0,-2+小U,2+],且0<-2+t<2, 在xe化4上f)-“号单调递增，此时/()042， 04号<1， 显然Q2与4-62小有交袋， 所以2<1<4时，不满足x≠五时，恒有f(:)≠f(:): ⑥当1≥4时，则[-2,0小U[2,4]=(-0,4,且在x∈[-2,0小U[2,4上f(x)=-x+1单调递减， 所以1≥4时，满足x≠x时，恒有f(:)≠f(:): 综上，的取值范国是（←2小（信2小，+m) 题型二根据函数最值求参 11.D 12.[4,+0) 4 4 【详解】当x>0时，)=x+之2Kx=4,当且仅当x=2时取等号 即f(x)≥4， 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x<0时，f(x)=a-x在(-o,0)上单调递减，此时f(x)>a, 因为f(x)在定义域内有最小值，所以a≥4. 故实数a的取值范围为[4，+o∞). 13.B 14.[0, 【详解】若a<0,则由x→-o,可知f(x)→-0无最小值； 若a=0,则f()有最小值f(2)=0. 以下假设a>0,此时f(x)在区间(-o,a)上单调递减， 于是f(x)在R上有最小值当且仅当l-a=limf(x)≥minf(x) 下面对a的取值分类讨论： 当0<a<2时，因为min{f(x)1x之a=f(2)=0, 所以1-ad≥0→-1≤a≤1→a∈(0，]. 当a>2时，因为minf(x)=f(a=(a-2}, 所以1-d2≥(a-2,整理得2a2-4a+3≤0， 该二次判别式△=-8<0，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当a>0时a的取值范围是(0，. 综上所述，实数a的取值范围是[0，. 15.A 16.[V2-1,+o) x(x-2),x>2 【详解】因为f()=k2-,x≤2且f0=0: 当0≤m≤1时，则f(x)=x(2-x)在0，m单调递增， 可得f(m)=m(2-m)=m,则k=2-m∈l,2]: 当1<m≤2时，则f(x)=x(2-x)在[0，刂单调递增，在l,m单调递减， 可得/0=1=a,则=2 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m>2时，因为f1+2)=f)=1, yf(x) 0 21+2衣 0当2<m≤145封，可得/0=1，划-5-》 (i)当m>1+V2时，可得f(m)=m(m-2)=m,则k=m-2>V2-1: 综上所述，k的取值范围是[2-山+∞）. 故答案为： [2-l,+o） 17.A 18.[-1,0] 【详解1当0叫，)=+1≥2+1=2+1，当且议当即x时，等号成立 当x≤0时，f(x)=x+2r+=(x+,为开口向上的二次函数，对称轴为x=-4 要使f(0)是f(x)的最小值，只需f(x)=x+2x+在(-o,0]上递减，且2+1≥f(0)=P, 「-120 即12+1≥，解得-1≤1≤0 故答案为：【1,0] 19.CD 20.分 【详解】对于二次函数y=a(x--a+1,先讨论a的正负， 对称轴为x=1?此时最大值在端点处取得， 当y-a10-1+1 当x=2时，y=a(2-1}-a+1=a-a+1=1, 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 因为a>0,所以-4a+1<l,即最大值为1， 1 而函数有最大值2a?则2a=1?解得a=2 当a<0时，最大值在对称轴处取得， 当x=1时，y=a(1-12-a+1=-a+1, 可得-a+1=2a'解得a=3,不符合意，排除。 综上，a的值为2： 故答案为：2 题型三根据值域求参数的值或范围 21.B -2UDb+oo) 】当。>0时，函数=x+2在-山，2上单调递增，可得-a+2≤乃≤2a+2,又函数%= [2,3]上单调递减，可得1≤≤2， a>0 中 。总 ,使 成立，可知-a+2≤1，解得 x,e{x2≤xs3}3x∈{-1≤x≤2}片=y 2a+2≥2 a≥1 当a<0时，函数片=a+2在-l,2]上单调递减，可得2a+2≤y≤-a+2, a<0 同理可知 -a+2之2，解得a≤-) 2a+2≤1 1 综上，a≤-2或a≥1 所以实数，的级值范国引L+o s.B 【详解】由题意可知b≠0：在等式a+6=a6(2-a+6)两边同时除以o6并整理可得a+。b a 6+, 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 构造酒数了)=x+生，共x传2小】 由对匀函数的单调性可知，函数在上单调递减，在L2)上单调遥指， Hr付)90-2，re-以g传减9》. 因为0传2所以a+。号) 构造西致8倒-x上+元，其中》 因为唇致y=+八y=在山》上均为格函数，故通数8问在兮引上为增圣数。 且e-A肉引-*所以Eg内[4-写)上前能装为2+) 故当b[l)时.6合A[2+) 原问恩等价于对在意的a∈行，总存在c-》 使得f(a)=g(b) [2≤2 29)22+等》所以2+弩9解得≤2 所以实数的取位范国民子] 故答案为： [ 24.D 2.68) f(x)=0 【详解】由题设，令0<x<2得x=1'则f闭的大致图象如下： 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当xe0)时，)=x+5单调道减，若[a,1=(0少，值域为a,md, （f@=m 由f(a)=mb → 故a+4_5_b+4_5=m f(b)=ma f(b)=m a b ab b a ab a m 所以a2-5a+4=b2-5b+4=mab(mab为常数)，即a,b是x2-5x+4-mab=0的两个不同根， 所以a+b=5,与a,be(0,)矛盾，即实数a,b不存在： 当xe.2时f)=5-x+号单调递增，若[a,]s,2,值减为[mmb, fa)=5-(a+4 a 则@_f-m fb)=5-(b+) b a b 所以5b-b-4b=5a-b-4g, a -6，整理得5ab-4a+b)=0, bs4 5024,解得4<a<4又E2八则4 1<b<23 a∈(1,2)3 a<2' 由m-@-4+5-1=4+2且3.得 aaa a816且2a4,得2下msy 16 9 8 而m 16时，a=b=8 5,显然不符合b>a: 19 综上，me2'16 故答案为： 19 2'16 26.B 2z.( 【详解】由f(y)=k-Vx+2在[-2，+o)上单调递减， 由题意10=a即k-6+2=a则6+V0+2:a+62 所以b-a=Vb+2-Va+2,令0≤m=a+2<m=Vb+2, 所以a=m2-2,b=n2-2,则n2-m2=n-m→m+n=1→n=1-m>m, 9/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，k=a+6+2=m2-2+n=m2-m-1=0m--及且0≤m< 所u(子 故答案为： 28.D 29.D 30.（-0,1) 【解1气<1时。了问的取宜疤用(@+2》则+1<142<2学产在L+网)有解， 设g树=2-220. 令m-0小，且y=2m-的对称转m=子 当2时，m》,=m在目上单河莲减，在引上单调瑞啦 所以8y<2x1 68即gy<0,印日g)<0, 与1sxs2时，m}别=2小上单调送 所以2168ys2x 11 168,即0≤y≤1，即0≤g(x)s1, 所以问的指坡为灯[专】， 所以g(x)=1, 所以t<g(x)nx,即t<1, 故答案为：（-0,1). 题型四根据分段函数的单调性求参 31.A 32.B 别 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 2a-1>0 【详解】因为f 为增函数，所以 2a-)x1-a≤1-12，解得})<as1, 2 则实数的取值范围是 34.[0,2) 【详解】因为y=2为增函数，所以∫(x)只能是R上的增函数， 2-a>0 所以i+a≥1，解得0≤a<2 35.C 36.D 37.D 38.B 39.写 【详解】由函数f(x)= [1+5a,x21 在R上单调递减，得-4a≥1 x2+8ax+1,x<1 2+8a≥1+5a 所以a的取值花国是了京， 答为 40.B 题型五根据分段函数的值域求参 41.B 42.ACD 43.C 44.BD 45.B 46.A 47. 2(答案不唯一，2≤a≤4均可) [2,4] 11/13 上好每一堂课 解得1。 1 -≤a≤- 3 4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】由题意f0)=2+8-2=日 2 2 当x<1时，f()=x+2x+a,为开口向上，对称轴为x=-1的抛物线， 所以()的最小值在-1处取得，且f(-)=a-1, 要使f(x)的最小值为f(), 需a-1≥号，解得a≥2： 当x≥1时，f(x)=2+a2-2, 令1=2，则1≥2此时y=f)=1+号-2≥2x号 -2=2Wa-2, 当且仅当1-号，即1=N石时取等号 当a≤4时，a≤2，所以y=+号-2在2，w)上单调遥增。 所以y=1+9-2的最小值为？0，满足题意， 当a>4时，石>2y=1+号-2在[2，V向)单调递减，在(a,切)上单调递增。 t 所以当1=石时，y=1+-2有最小值，不满足在1，即，=2时取得最小值。 综上a的取值范围是2≤a≤4. 故答案为：2（答案不唯一，2≤a≤4均可）；[2,4 48.A 49.D 50.C 题型六根据函数的奇偶性求参 51.A 52.c 53.3 【详解】~函数f(x)=am2+bx+1是定义在[-l+a,2a上的偶函数， 1 -1+a+2a=0,即a=3 12/13 上好每一堂课 故不符合题意 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :f(x)=f(-x), ..ax2+bx+I=ax2-bx+I, ∴.b=0 a+b=号 3 54.B 55.ACD 56.6 【详解】 因为函数f(x)=me+ne为奇函数， 所以f(-x)+f(x)=me+ne+me+ne=(m+n)(e+e）=0, 因为e+e≠0，所以m+n=0, 所以6m2+12n=6m2-12m=6(m-1)-6≥-6，当且仅当m=1时取等号， 所以6m2+12n的最小值为6。 57.0 【详解】由题意f(-x)+f(x)=(-x)+a(-x2+b(-x)+x3+a2+bx=0, 所以，在x∈R上-x3+a2-bx+x3+ax2+bx=2ax2=0恒成立，则a=0, 所以f()=x+bx,又f(2)=8+2b=8,可得b=0, 综上，a+b=0. 58.D 59.C 60.C 13/13 专题03单调性求参·最值求参·值域求参·分段求参·奇偶求参六大核心问题 题型一 根据函数单调性求参 题型二 根据函数最值求参 题型三 根据值域求参数的值或范围 题型四 根据分段函数的单调性求参 题型五 根据分段函数的值域求参 题型六 根据函数的奇偶性求参 题型一 根据函数单调性求参 1．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 2．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的，使得，结合函数的单调性得出，即，再由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可得出的值. 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 3．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 4．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 5．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 6．设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 【答案】或 【分析】先根据已知条件求出的值，然后根据二次函数的单调性求出结果. 【详解】因为，所以，即， 因为对任意实数x均有，所以，即. 解得. 所以函数的表达式为，所以. 设，要使得是上的单调函数，只要 或或或 解得或. 7．（多选）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】由二次函数的基本性质，结合函数过定点的判定、恒成立条件下参数范围求解、单调性与对称轴的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 8．已知函数，，则满足的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数的导数，令确定的单调性，列出关于的不等式求解. 【详解】，令则， 故在上单调递增，，故在上单调递减， 所以，解得. 9．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增. 证明：设，则， ∵，， ∴，故 ∴，∴， ∴在上单调递增. (2) 【分析】（1）由函数单调性定义证明即可得出结论； （2）分离参数可得在上恒成立，再由单调性求得最值可得. 【详解】（1）略 （2）原不等式等价于， 令，， 由（1）知在上单调递增； 函数在上单调递增； 所以在上单调递增， ∴， 实数k的取值范围为. 10．对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据分段函数在不同区间上的单调性，再结合区间并应用分类讨论研究不同区间值域是否有交集，即可得实数的取值范围. 【详解】令，则 ①当时，则，且上单调递增， 所以时，满足恒有； ②当时，，显然时在上单调递增， 所以时，满足恒有； ③当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ④当时，则上单调递减，且， 上单调递增，且， 若，即，不符合的前提， 若，即时，与无交集， 若时，恒有且，显然与有交集， 所以，时，不满足时，恒有， 时，满足时，恒有； ⑤当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ⑥当时，则，且在上单调递减， 所以时，满足时，恒有； 综上，的取值范围是 题型二 根据函数最值求参 11．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 12．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 13．若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 14．已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先按、、分类讨论. 时无最小值；时有最小值；时需满足一定的条件，再分与 讨论，综合得的取值范围. 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 15．函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 16．已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，分、和三种情况讨论，结合的单调性和图象列式求解即可. 【详解】因为，且， 当时，则在单调递增， 可得，则； 当时，则在单调递增，在单调递减， 可得，则； 当时，因为， （i）当时，可得，则； （ii）当时，可得，则； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：. 17．若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 18．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： 19．（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 【答案】CD 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断. 【详解】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 20．已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【分析】对二次项系数分类讨论并结合二次函数的性质建立方程，进而求解参数即可. 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 题型三 根据值域求参数的值或范围 21．函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数值域的性质结合分离参数法得到，再得到时，，最后利用二次函数的性质分类讨论对称轴的位置，建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为的值域为， 所以当时，恒成立， 而，则，即， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 当时，，可得， 因为，所以， 而，可得，且的值域为， 则当时，， 由二次函数性质得的对称轴为，， 当时，解得，此时，解得， 可得实数的取值范围是， 当时，解得，此时， 可得实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是，故B正确. 22．已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得， 由，总，使成立，可知，解得； 当时，函数在上单调递减，可得， 同理可知，解得. 综上，或. 所以实数的取值范围是. 23．若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】在等式两边同时除以并整理可得，构造函数，其中，函数，其中，分析可知函数在上的值域为在上值域的子集，即可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，在等式两边同时除以并整理可得， 构造函数，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，，所以在上的值域为， 因为，所以， 构造函数，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 且，，所以在上的值域为． 故当时，， 原问题等价于对任意的，总存在，使得， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 24．下列四个命题，其中为真命题的是（   ） A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B．和表示同一函数 C．函数的单调增区间为 D．若函数的值域是，则实数或 【答案】D 【分析】对A，取进行说明，即判断正误；对B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对C，直接求出的增区间，即可判断正误；对D，利用二次函数的性质，结合条件得. 【详解】对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数， 但在上不具有单调性，即不是增函数，所以A错误， 对于B，因为的值域为，的值域为，所以和不表示同一函数，故B错误， 对于C，因为， 当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的单调增区间为，，故C错误， 对于D，函数的值域是，又的对称轴为，图象开口向上， 则，解得或，所以D正确， 故选：D. 25．定义在上的函数，若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】根据图象，分、研究的值域，进而求得的取值范围； 【详解】由题设，令，得，则的大致图象如下：    当时，单调递减，若，值域为， 由，故， 所以（为常数），即是的两个不同根， 所以，与矛盾，即实数不存在； 当时，单调递增，若，值域为， ，则， 所以，整理得， ，解得，又，则， 由且，得， 而时，，显然不符合， 综上，. 故答案为： 26．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 27．已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据已知得到，令，结合得，进而有且求参数范围. 【详解】由在上单调递减， 由题意，即，则， 所以，令， 所以，，则， 综上，，且， 所以. 故答案为： 28．函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 29．若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的值域为，得到不等式求解的取值范围. 【详解】当时，，值域为，不满足题意，故， 因为的值域为，所以， 解得，即的取值范围是. 故选：D. 30．已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据条件将问题转化为“在上有解”，然后构造函数，采用分类讨论法分析出的最大值，则的范围可求. 【详解】当时，的取值范围是，则即在上有解， 设， 令，且的对称轴， 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即； 当时，，在上单调递增， 所以，即，即， 所以的值域为，所以1， 所以，即， 故答案为：. 题型四 根据分段函数的单调性求参 31．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 32．已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 33．已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的求法，结合一次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】因为为增函数，所以，解得， 则实数的取值范围是. 34．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为增函数，所以只能是R上的增函数， 所以，解得． 35．已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 36．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 37．函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 38．函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 39．已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用分段函数单调性，结合二次函数、反比例函数单调性列式求解. 【详解】由函数在R上单调递减，得，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 40．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可 【详解】依题意，解得， 故选：B 题型五 根据分段函数的值域求参 41．设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 所以， 故选：B. 42．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 43．已知函数在上单调递增且值域为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据在上单调递增，列出不等式组，求得，再由函数的值域为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数在上单调递增， 则满足，解得， 当时，可得；当时，可得， 又因为的值域为，则且，解得. 故选：C. 44．（多选）已知函数．若当时，，则的值可以是（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】BD 【分析】画出大致图象，分段讨论，根据当时，，可求出，对需要进行分类讨论，分或，求解后，结合图象及不等式的求解，求出的范围即可求解． 【详解】由题意，作出图象如下： 当时，，在上单调递增，其值域为； 当时，，由对勾函数性质知，在上单调递减，其值域为， 在上单调递增，其值域为， 因为当时，， 由，得，解得，（舍去），所以； 由，得或，解得或（舍去）或， 所以．所以， 即． 故选：BD． 45．设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由的单调性得值域为，结合二次函数的性质，讨论、研究的最小值求参数范围. 【详解】在上单调递增，对应值域为， 当时，在上单调递减，对应值域为， 而， 若，则（舍），此时，不存在最小值， 若，则，即，此时，则最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增，对应值域为， 此时，则最小值为， 综上，，故的最小值为. 故选：B 46．若函数的值域是，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，分别求在和内的值域，结合题意列式求解即可 【详解】设在，内的值域分别为，由题意可知：， 1.当时，则， 可知在内单调递减，可得， 所以在内的值域为； 2.当时，因为的图象开口向上，对称轴为， （1）若，可知在内单调递减，则， 可得在内的值域， 因为，可得，解得； （2）若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得在内的值域， 因为，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 47．已知函数.若的最小值为，则的一个取值为__________；的取值范围为__________． 【答案】 2（答案不唯一，均可） 【分析】分别分析和两部分，根据二次函数、对勾函数的性质，求得最小值，对比分析，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意， 当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以的最小值在处取得，且， 要使的最小值为， 需，解得； 当时，， 令，则，此时， 当且仅当，即时取等号 当时， ，所以在上单调递增， 所以的最小值为，满足题意； 当时， ，在单调递减，在上单调递增， 所以当 时，有最小值，不满足在x=1，即时取得最小值，故不符合题意. 综上的取值范围是. 故答案为：2（答案不唯一，均可）； 48．若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性确定时的的范围，再根据函数的值域为列不等式组即可求得的取值范围. 【详解】当时，，则函数在递增， 所以，则此时； 当时，，要使得的值域为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 49．已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为在上，，所以需要当时，即可，然后当时，分别讨论函数的单调性和值域，即可求出结果. 【详解】因为当时，，根据一次函数和反比例函数的单调性可知， 此时在上单调递增，所以. 所以在上，. 那么要使得分段函数的值域为，则当时，能取到所有负数即可. 此时. 当时值域为，不合题意； 当时，单调递减，， 此时值域为，不合题意； 当时，，此时单调递增，， 此时值域为，故只需即可， 所以. 故选：D. 50．已知，若有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论和两种情况时，函数的每段解析式的单调性与最值情况，即可求解 【详解】① 当时， 当时，单调递增，此时； 当单调递减；单调递增， 故时，的最小值为，故若有最小值，则； ②当时， 当，单调递减，此时； 当时,单调递增，此时， 故若有最小值，则，解得, 综上实数a的取值范围是 故选：C. 题型六 根据函数的奇偶性求参 51．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得. 因此. 52．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】已知函数的定义域为， 所以 ， 又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 53．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 54．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 55．（多选）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 56．已知函数为奇函数，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】 因为函数为奇函数， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 57．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 58．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 59．已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 60．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 2 / 37 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