03简单根式的复合函数值域求解讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义围绕含根式的复合函数值域求解，通过方法指导框架图系统梳理知识体系，将换元法（单换元、双换元）转化为二次函数或分式函数的步骤清晰呈现，突出新元取值范围确定与函数转化的重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，基础训练如求简单根式函数值域，能力提升题如已知最值求参数值，结合例题与变式题引导学生运用换元法推理运算，培养数学思维。不同层次题目满足学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

含根式的复合函数值域的求解 解法提示：复合函数求值域均可利用换元法进行求解.首先计算新元的取值范围，然后将新元看作新函数的自变量求解新函数的值域即可.根式函数通过单换元或双换元可以转化为二次函数或二次比二次型分式函数，从而求解值域 【例1】1.求的值域. 【例2】2.求的值域. 【例3】3.求函数的值域． 【变式1】4.函数的值域为______． 【变式2】5.求的值域. 【变式3】6.已知函数，则的值域为___________． 基础训练 1.设，函数则（    ） A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值 C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值 2.函数的值域是______. 3.函数的值域为______. 4.函数的值域为______. 5.函数的值域是______. 6.已知函数，则的值域为______. 7.函数的值域为______. 能力提升 8.函数在区间的值域为，则的值为______. 9.函数的最大值为4，求实数的值为______. 10.求函数的值域为______. 含根式的复合函数值域的求解参考答案 1.【答案】 【分析】利用换元法将原函数值域转化为定区间上的二次函数值域后即可求解. 【详解】令 则,由二次函数的性质可知， 该函数的值域为. 2.【答案】 【分析】利用换元法将原函数值域转化为定区间上的二次函数值域,然后利用幂函数的单调性求解值域. 【详解】首先求函数的定义域，解得 所以的值域为 所以的值域为. 3.【答案】 【分析】形如的函数利用对偶式的性质求解值域或利用换元法构造齐次式转化为二次方程有解问题求解即可. 【详解】方法一：构造对偶式 定义域为 构造对偶式 则，易知在单调增 所以，，所以 又因为，所以. 方法二：换元法构造齐次式 设,则 当时，解得，此时 当时，于是 令 利用二次型比二次型的判别式处理方法，将值域转化为二次方程有解问题. 即方程在有解. 1）,解得.解得(舍去). 2）,则解得. 综上，，又因为，所以. 4.【答案】 【分析】利用基本不等式得到最小值，然后计算函数在端点处的函数值得到值域 【详解】令 根据对勾函数以及反比例函数的性质,则在单调减. 所以函数的值域为， 所以值域为. 5.【答案】 【分析】利用基本不等式得到最小值，然后计算函数在端点处的函数值得到值域 【详解】由基本不等式，. 所以函数最大值为.当且仅当，即时取等号. 因为，所以该函数关于对称.最小值在断点处取得 考虑函数的端点值，. 综上，的值域为. 6.【答案】 【分析】利用换元法构造齐次式转化为二次方程有解问题求解即可. 【详解】设，则 时，. 时， 时， 所以，. 消去可得关于的一元二次方程在上有解. 设，则 解得，故函数的值域为. 基础训练 1．B 【分析】根据分段函数节点，结合函数奇偶性的定义分类讨论可以判断函数为偶函数；结合分段函数在不同区间的单调性和最值即可判断是否有最大值. 【详解】函数定义域为，关于原点对称，对任意可得： 若，则，代入得： 若，则，代入得： 若，代入得： 对所有都满足，因此是偶函数. ①当时，，，函数单调递增，因此，开区间取不到，因此无法达到； ②当时，，，函数单调递减， 所以，同理开区间也无法取得； ③当时，，由得：，即，所以中间段最大值也小于, 综上所述，所有函数值都小于，且不存在使得，所以没有最大值. 2． 【分析】根据二次函数性质求值域即可. 【详解】， 所以. 3． 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果. 【详解】设，则，即，所以， 因为，所以当时，函数取得最大值为.根据二次函数性质 4． 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 5． 【分析】先求出的定义域，令，再利用二次函数及幂函数的性质，即可求解. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 令，当时，，所以， 则的值域是， 6． 【分析】利用换元法（）将原函数变形为，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 所以原函数可转化为， 根据二次函数性质，对称轴为，在上单调递减， 所以函数的值域为. 7． 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 8.或. 【详解】设，即，，，所以， 因为，所以当时，函数取得最大值为. 因为值域为. 所以有或. 当时， （舍去）或 当时， 或（舍去）. 综上，或. 9.或 【详解】易知函数定义域为. 令，则 1)当时，函数最大值为0，不符合题意. 2)当时，当时，函数有最大值， 解得或. 3)当时，抛物线开口向上，所以此时函数无最大值. 综上，或. 10. 【分析】令转化为上半单位圆约束，设借助换元把原式化为关于的二次函数，先求出在上半单位圆下的取值范围，再结合二次函数单调性代入区间端点得到函数最值. 【详解】由于常数不影响函数的最值的横坐标，所以讨论值域即可.令，则,隐含的几何约束条件为：（且）． 原函数可重写为关于和的表达式：， 令，因为， 所以有交叉项． 将目标函数完全转化为关于的一元二次函数：， 由柯西不等式，，故． 当时取等号．所以． 因为，当时，若，则，；若，则； 在一、二象限单位圆上，的投影最小值发生在最左侧端点（即），所以． 因此，． 二次函数开口向上，对称轴为． 因为定义域区间整体在对称轴－1.5的右侧，函数在此区间单调递增． 所以最小值；最大值. 所以值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 含根式的复合函数值域的求解 解法提示：复合函数求值域均可利用换元法进行求解.首先计算新元的取值范围，然后将新元看作新函数的自变量求解新函数的值域即可.根式函数通过单换元或双换元可以转化为二次函数或二次比二次型分式函数，从而求解值域 【例1】1.求的值域. 【例2】2.求的值域. 【例3】3.求函数的值域． 【变式1】4.函数的值域为______． 【变式2】5.求的值域. 【变式3】6.已知函数，则的值域为___________． 基础训练 1.设，函数则（    ） A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值 C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值 2.函数的值域是______. 3.函数的值域为______. 4.函数的值域为______. 5.函数的值域是______. 6.已知函数，则的值域为______. 7.函数的值域为______. 能力提升 8.函数在区间的值域为，则的值为______. 9.函数的最大值为4，求实数的值为______. 10.求函数的值域为______. 学科网（北京）股份有限公司 $