第四章 指数函数、对数函数与幂函数章末测试-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第二册）

第4章 指数函数、对数函数与幂函数章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数和的图象有且只有两个公共点 B．，当时，使得恒成立 C．，使得成立 D．当时，方程有解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知（）（    ） A．当时，的值域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．存在，使得 D．函数的零点个数为 11．（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 13．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 . 14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). 16．（15分）（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）． (1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 17．（15分）（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. (1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； (2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 18．（17分）（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 19．（17分）（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 指数函数、对数函数与幂函数章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合后由交集定义可得答案. 【详解】集合表示函数的定义域，则， 集合表示函数的值域，则. 故. 故选：A. 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可. 【详解】由题意得：在上单调递增， 所以对称轴，所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 因为在上递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以. 故选：B 5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 6．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得. 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 7．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 所以， 因为，所以，解得：. 所以， 由，可得的定义域为， 令，则在单调递减， 而在定义域单调递增， 由复合函数的单调性可知:在单调递减. 故选：C. 8．（23-24高一上·北京通州·期末）设函数，，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数和的图象有且只有两个公共点 B．，当时，使得恒成立 C．，使得成立 D．当时，方程有解 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，结合函数图象即可判断A B；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C；根据当时，函数和的图象都过过点，即可判断D. 【详解】对于A，如图所示，作出函数和的图象， 由图可知，函数和的图象有三个公共点，故A错误； 对于B，由A选项可知，当时，， 所以不存在，当时，使得恒成立，故B错误； 对于C，如图，作出函数，的图象，    由图可知，函数的图象在的图象的上方， 函数的图象在的图象的下方， 所以，， 所以不存在，使得成立，故C错误； 对于D，因为，， 当时，函数的图象过点， 函数的图象过点，即直线与函数图象有交点， 当时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点， 所以当时，方程有解，故D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知（）（    ） A．当时，的值域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质即可求解AB，结合函数奇偶性的定义即可判断CD. 【详解】当时，，此时的值域为，故A错误， 当时，在上单调递增，所以，B正确， 当时，，，所以是偶函数，C正确， 当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误， 故选：BC 10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．存在，使得 D．函数的零点个数为 【答案】ACD 【分析】根据分段函数，求出的解析式即可判断A；举反例，取一个特殊值验证选项的正误判断B；作出函数的图象，发现函数的值域为，即可判断C；利用数形结合的思想，将函数的零点问题转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个数问题，再结合图象即可得解判断D. 【详解】对于选项A，当时，，所以， 所以，故A正确； 对于选项B，当时，与矛盾，故B错误； 对于选项C，由为偶函数，可作出函数在上的图象，    观察图象，的值域为，即存在，使得，故C正确； 对于选项D，由的零点个数即为根的个数， 即与的的交点个数，观察图象，在时，有5个交点， 根据对称性可得时，也有5个交点，共计10个交点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：判断方程零点个数的常用方法： ①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数； ②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数； ③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题. 11．（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 13．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 . 【答案】1 【分析】根据已知条件，推得，，再结合对数的运算法则，即可求解． 【详解】解：， 所以，， 所以． 故答案为：1． 14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)2 【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得. （2）利用对数运算法则求解即得. 【详解】（1）. （2） . 16．（15分）（23-24高一上·广西贺州·期末）已知函数，（其中且）． (1)若函数定义域为R ，求实数的取值范围； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)是偶函数 【分析】 （1）首先求出的解析式，依题意可得恒成立，即可得到，从而求出参数的取值范围； （2）设，首先求出定义域，再根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）由题意得， 因为函数定义域为， 所以恒成立， 即， 解得， 故实数的取值范围. （2）设， 定义域需满足：，解得， 故函数的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 又因为， 即， 所以是偶函数，即是偶函数. 17．（15分）（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. (1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； (2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为， 所以，解得，即注射了药品，的值为. （2）设药物注射量为，则小时后残余量为， 设药物注射量为，则小时后残余量为， 又题可知，药物注射量为，药物注射量为， 设小时后残余量相同，则， 即，两边取对数可得，即， 即，即， 即，即， 解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等. 18．（17分）（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ） 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； （ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1． （2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. （ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得： 则，解得. 19．（17分）（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$