周测评(六) 幂函数、函数的应用(一)-【衡水真题密卷】2025-2026学年高一上册数学学科素养周测评

青春最酷的样子就是全力队赴。 2025一2026学年度高一学科素养周测评（六） 数学·幂函数、函数的应用（一） 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 A.-1或2 24分。在每小题给出的四个选项中，只 B.2 有一项是符合题目要求的。 C.-1 D.1 题号 2 3 答案 4.某商店购进一批水杯，若按每个15元的 价格销售，每天能卖出30个；售价每提 1.设幂函数f(x)=x“,则“a<0”是“f(x)在 高1元，日销售量将减少2个，现决定提 定义域内单调递减”的 价销售，为了使这批水杯每天获得不低 A.充分不必要条件 于400元的销售收入，这批水杯的销售 B.必要不充分条件 单价x(单位：元)的取值范围是() C.充要条件 A.{x|10≤x<16} D.既不充分也不必要条件 B.{x|12≤x<18} 2.函数y=√x2一4x的单调递减区间为 C.{x|15<x≤20} D.{x|10≤x<20} A.[2,+∞) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 B.[4,+∞) 12分。在每小题给出的选项中，有多项 C.(-∞，2] 符合题目要求。全部选对的得6分，部 D.(-∞，0] 分选对的得部分分，有选错的得0分。 3.已知幂函数f(x)=(a2-a-1)xa为偶 题号 5 6 函数，则a= ( 答案 高一学科素养周测评（六） 数学第1页（共4页） 5.已知幂函数f(x)=x的图象经过点(4， 8.已知定义在R上的函数f(x)=x3十x5, 2),则 则关于x的不等式f(x2一3)十f(一5 A.a=2 2x)<0的解集为 B.f(x)的图象经过点(1,1) C.f(x)在[0，十∞)上单调递增 D.不等式f(x)≥x的解集为{x|x≤1} 6.已知幂函数f(x)=xm(m,n∈N*,m,n 互质)，则下列说法正确的是() A.当m,n是奇数时，f(x)是奇函数 B.当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶 函数 C.当m是奇数，n是偶数时，f(x)是偶 函数 D.当0<”<1时，fx)在0，十∞)上是 减函数 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。 7.已知幂函数f(x)=mxm-立满足条 件f(3-a)>f(a),则实数a的取值范 围是 高一学科素养周测评（六）数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 (2)设g(x)=2f(x)-8x十2-a,若存 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 在实数x∈[一3,3]，使得g(x)<0 9.(22分)已知幂函数f(x)=x的图象过 成立，求实数a的取值范围. 点停》 (1)解不等式f(3x+2)≥f(1-2x); 高一学科素养周测评（六）数学第3页（共4页） 10.(30分)受到我国经济发展，医疗消费需 (3)当该产品的年产量为多少时，公司 求增长，人们健康观念转变以及人口老 所获年利润最大？最大年利润是 龄化进程加快等因素的影响，医疗器械 多少？ 市场近年来持续保持着增长趋势.某医 疗器械公司为了进一步加强市场竞争 力，计划改进生产某产品的技术.已知 生产该产品的年固定成本为100万元， 最大产能为80台，每生产x台该产品， 需另投入成本G(x)万元，G(x)= x2+kx,0≤x≤40， 当 2500 101x+ -1100,40<x≤80. x 年产量为10台时，需另投入成本500万 元.由市场调研知，每台该产品的售价 为100万元，且全年内生产的该产品当 年能全部销售完. (1)求k的值. (2)求年利润W(x)(单位：万元)关于年 产量x(单位：台)的函数解析式（利 润=销售收入一成本). 高一学科素养周测评（六）数学第4页（共4页）真题密卷 学科素养周测评 8.(分] 1(3a-1)x,x<1, 【解析】因为f(x)= fe=f6=6音-9 (22分) z2-2ax+a,x≥1 增函数， 10.解：(1)因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x 3a-1>0, <3},所以a>0,且1和3是方程a.x2+bx+c 所以 -2a≤1， 解得3 =0的两个根，所以-合=4，后一-3， 3a-1≤1-a, 即b=-4a,c=3a, (6分) 所以f(x)=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a, 即实数口的取值范周为（号，]： 因为f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,4幻上单调 四、解答题 递增，所以当x∈1,4]时，f(x)mx=f(4)=3a 9.解：(1)f(x)在区间(0，十∞)上单调递增.(2分) =6,所以a=2,b=-8,c=6, 证明如下： 故f(x)=2x2-8x十6. (14分) 任取x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2,则 (2)由f(x)>g(x), f)f)=(2,)-(:)= 得a.x2+bx+c>-(3a-1)x+3a-1, 即a.x2-(a+1)x+1>0, x2+4、4 =，-x4+40-2） =(x1一x2)· 即(a.x-1)(x-1)>0. (20分) +) ①当}=1，即a=1时，解得<1或x>1; (9分) 4 0当。>1，即0<a<1时，解得x<1或之 因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,且1十 0,即a-1+)<0, ③当<1，即a>1时，解得<古或>1 a 综上，当a=1时，解集为{xx<1或x>1}; 所以f(x1)<f(x2). 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递增.(15分) 当0<a<1时解集为：<1或x>: (2)由(1)知f(x)在[2,6]上单调递增， 当a>1时，解集为<或x>1: (30分) 所以fx=f2)=2-音-0， 2025一2026学年度高一学科素养周测评（六）》 数学·幂函数、函数的应用（一）】 一、选择题 为{xx≤0或x≥4}.又函数t=x2-4x在(-o∞， 1.B【解析】若暴函数f(x)=x在定义域内单调递 0]上单调递减，在[4，十∞)上单调递增，y=t在 减，则必有a<0;但若a=-1<0,f(x)=x1= [0,十∞)上单调递增，则函数y=√x2一4z的单调 x 递减区间为（一∞，0]. 不在定义域内单调递减，故“a<0”是“f(x)在定义 3.B【解析】因为f(x)=(a2-a-1)x“是暴函数， 域内单调递减”的必要不充分条件. 所以a2-a-1=1,解得a=-1或a=2.当a=-1 2.D【解析】令t=x2-4x,则y=E.由x2-4x≥0， 时，f(x)=x-1,不是偶函数，不符合题意；当a=2 解得x≥4或x≤0，故函数y=√x2一4z的定义域 时，f(x)=x2,是偶函数，符合题意，故a=2. ·8· ·数学· 参考答案及解析 4.C【解析】设这批水杯的销售单价为x元，由题 整理得5.x2+16x+3≥0，即(x+3)(5x+1) 意得，[30-2(x-15)]·x≥400，即x2-30x+ ≥0， 200≤0，解得10≤x≤20，又因为x>15,所以15 <x≤20，即这批水杯的销售单价x的取值范围 解得<一3或≥-日》 是{x|15<x≤20. 二、选择题 故不等式的解集为(-0，-3]U[-号十)： 5.ABC【解析】暴函数f(x)=x的图象经过点 (10分) (2)由(1)可知，f(x)=x2,则g(x)=2x2一8x+ (4,2,则2=，得a=方所以了()=x= 2-a, √元，故A正确；又f(1)=√I=1,即f(x)的图象 由g(x)<0,得2x2-8.x+2-a<0, 经过点(1,1)，故B正确；f(x)在[0，十∞)上单 即a>2x2-8x+2, (14分) 令h(x)=2x2一8x十2，根据题意，存在实数x∈ 调递增，故C正确；不等式f(x)≥x,即√≥x, [-3,3],使得a>h(x), 解得0≤x≤1，故D错误. 则a>h(x)min,由于h(x)=2(x-2)2-6, 6.AC【解析】f(x)=x品=W,当m,n是奇数 所以当x=2时，h(x)取最小值-6，故a>-6, 时，f(x)是奇函数，故A正确；当m是偶数，n是 (20分) 奇数时，f(x)在x<0时无意义，故B错误；当m 所以a的取值范围为（一6，十∞）. (22分) 是奇数，n是偶数时，f(x)是偶函数，故C正确； 10.解：(1)将x=10,G(x)=500代入G(x)=x 当0<贸<1时，f)在0，十e)上是增函数， +kx,得100+10k=500,解得k=40.(5分) (2)由题意可得，当0≤x≤40时，W(x)=100x 故D错误 -x2-40x-100=-x2+60x-100: 三、填空题 7元.[o,)【解析】因为fx)=mx专为累函数，所 当40<x≤80时，W(x)=100z-101x-2500 以m=1,则f(x)=x立，故f(x)的定义域为[0， +1100-100=-z-2500+100. (10分) +∞)，且在定义域上为增函数，所以由f(3一a) 故年利润W(x)关于年产量x的函数关系式为 3-a≥0， -x2+60x-100,0≤x≤40， >f(a),可得a≥0， 解得0≤a< 2,故实数 W(x)= 2500 3-a>a, x +1000,40<x≤80. a的取值范国为0,2 31 (13分) (3)由(2)得，当0≤x≤40时，W(x)=-x2+ 8.(-2,4)【解析】由于y=x3和y=x5均在R上 60x-100=-(x-30)2+800. 单调递增，则f(x)在R上单调递增，又 当x=30时，W(x)max=800; (20分) ∫(-x)=-x3-x5=-f(x),所以∫(x)为奇 当40<x≤80时，W(x)=-x- 2500 函数.由f(x2-3)十f(-5-2x)<0,得 x +1000 f(x2-3)<-f(-5-2x),即f(x2-3)< =-(x+2500)+1000 f(5十2x),则有x2-3<5十2x,即x2-2x-8< 0,解得-2<x<4. 2500 ≤-2 四、解答题 x· +1000=900, x 9.解：(1)因为幂函数∫(x)=x的图象过点 2500 当且仅当x= ,即x=50时，等号成立， x 停，》所以竖广-日那得。=2， W(x)max=900. (27分) 所以f(x)=x2, (3分) 而900>800，故当x=50时，年利润最大，最大 (30分) 由f(3x+2)≥f(1-2x), 年利润是900万元. 得(3x十2)2≥(1-2x)2, ·9。